精品解析：黑龙江七台河市逸夫中学2025-2026学年八年级上学期1月质量检测数学试题

2025-2026学年八年级上学期1月质量检测数学试题 一．选择题（每小题3分，本题满分30分） 1. 下列大模型标志中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别．根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 【详解】解：选项A找到这样的一条直线，使图形沿着一条直线对折后两部分完全重合， 选项B、C、D均不能找到这样的一条直线，所以不是轴对称图形， 故选：A． 2. 下列运算结果是的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查合并同类项，幂的乘方，同底数幂的相除，同底数幂相乘，熟练掌握合并同类项、幂的乘方、同底数幂的相除、同底数幂相乘的运算法则是解题的关键． 根据同底数幂相乘法则计算并判定A；根据幂的乘方运算法则计算并判定B；根据同底数幂的相除法则计算并判定C；根据合并同类项法则计算并判定D． 【详解】解：A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、和不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意； 故选：B． 3. 若分式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，分式有意义的条件是分母不为零，因此只需分母 ，解出的取值范围即可． 【详解】解：∵ 分式有意义， ∴ 分母 ， ∴ ， 故选：A． 4. 若等腰三角形中有一个角为50度，则这个等腰三角形的顶角的度数为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质和三角形内角和定理，根据等腰三角形的性质分类讨论是解答本题的关键．根据等腰三角形的性质，分已知角是顶角和底角两种情况分别即可． 【详解】解：∵已知三角形是等腰三角形， ∴当是底角时，顶角； 当是顶角时，符合题意； 综上所述，等腰三角形的顶角度数为或． 故选D． 5. 如图，已知，点D在边上，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质（全等三角形的对应边相等，对应角相等），三角形内角和定理（三角形三个内角的和等于），等腰三角形的性质定理（等边对等角），解题的关键是掌握并熟练应用相关性质定理．先根据全等三角形的性质得到，再证明，然后利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算的度数． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 即， ∵， ∴ 故选：C． 6. 若关于x的分式方程无解，则a的值是（ ） A. B. 0 C. 1.5 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】先将分式方程去分母转化为整式方程，再由原分式方程无解得出增根，代入整式方程即可求出a的值． 【详解】∵， ∴， ∴， ∵关于x的分式方程无解， ∴． ∴． 把代入得，， ∴． 故选D． 【点睛】本题主要考查了分式方程无解的意义，原分式方程转化为整式方程求出的解使原分式方程的分母等于零，这样的根叫作增根，则原分式方程无解，熟知分式方程无解的意义是解题的人关键． 7. 若，，则与的关系为（ ） A. B. C. D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】由于，，可以通过比较M与N的差得出结果． 【详解】解：∵，， ＞0， ∴． 故选：B． 【点睛】本题主要考查多项式乘以多项式、整式的加减．注意不要漏项，漏字母，有同类项的合并同类项，掌握多项式乘以多项式的法则是解题的关键． 8. 为缅怀革命先烈，传承红色精神，某校八年级师生在清明节期间前往距离学校的烈士陵园扫墓．一部分师生骑自行车先走，过了后，其余师生乘汽车出发，结果他们同时达到．已知汽车的速度是骑车速度的3倍，设骑车的速度为，根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，理解题意、找到等量关系成为解题的关键． 由汽车及骑车师生速度间的关系可得出汽车的速度为，再利用“时间、路程、速度”的关系以及等量关系“他们同时达到”列出关于x的分式方程即可． 【详解】解：∵汽车的速度是骑车师生速度的3倍，且骑车师生的速度为， ∴汽车的速度为， 根据题意得：． 故选：B． 9. 如图，中，，，，D为边的中点，的垂直平分线l交于点E，若P为直线l上一动点，则的周长的最小值为（） A. 7 B. 10 C. 12 D. 14 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称——最短路线问题，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，熟练理解轴对称的性质是解题的关键．连接，，由，点D是边的中点，则，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据点F是线段的垂直平分线可知，点C关于直线的对称点为点A，当A、P、D三点共线时，即的长为的最小值，由此即可得出结论． 【详解】如图，在中，，，点D为边的中点，连接，， ∴， ∴， ∴， ∵是线段的垂直平分线， ∴点C关于直线的对称点为点A， ∴当A、P、D三点共线时，即的长为的最小值， ∴的周长最短． 故选：C． 10. 如图，在等边中，，连接、交于点．下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，三角形的外角性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据等边三角形的性质得，通过证明，则，运用外角性质得，再结合，得，即可作答． 【详解】解：∵是等边三角形 ∴， ∵ ∴， 故①正确的； ∴ 故③正确的； ∴， ∵，， ∴， 故②正确的； ∵， ∴， ∵， ∴， 故④错误的； 故选：C． 二．填空题（每小题3分，满分30分） 11. 在平面直角坐标系中，若点和点关于x轴对称，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于x轴对称的点的性质，准确记忆关于x轴对称点横纵坐标之间的关系是解题的关键． 关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，由此可以求出、的值，进而求出答案． 【详解】解：点和点关于x轴对称， ，， ． 故答案为：． 12. 0.000163用科学记数法可表示为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用科学记数法表示较小的数，科学记数法表示较小数时，形式为，其中，为小数点移动的数位，据此作答即可． 【详解】解：． 故答案为：． 13. 在中，，，则的长度为__________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了等角对等边，根据在中，，则，即可作答． 【详解】解：∵在中，， ∴， 故答案为：2． 14. 用如图所示的正方形和长方形卡片若干张，拼成一个边长为的正方形，需要类卡片________张． 【答案】 【解析】 【分析】要拼成边长为a+b的正方形，可先求出其面积，再分别计算每一类图形的面积，进而求出各种类型所需要的张数． 【详解】要拼成的边长为（a+b）的正方形的面积是：（a+b）2=a2+b2+2ab， 图中所示A类的面积为：a×a=a2， C类的面积为：b×b=b2， B类的面积为：a×b=ab， 由上述分析可得出，拼成边长为（a+b）的正方形需要B卡片2张，A类1张，C类1张． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了完全平方公式，立意较新颖，注意对此类问题的深入理解，本题只要读懂题意，然后根据各图形的面积即可找出其中的关系． 15. 如图，已知的角平分线交于，若，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形的面积公式；过点分别作的垂线，垂足分别为，过带你作边上的高，垂足为，根据等面积法可得，代入数据即可求解． 【详解】解：如图所示，过点分别作的垂线，垂足分别为，过带你作边上的高，垂足为， ∵是的角平分线， ∴ ∵ ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 16. 已知等腰三角形的周长为18，其中一边长为5，则该等腰三角形的底边长为______． 【答案】8或5 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．由于长为4的边可能为腰，也可能为底边，故应分两种情况讨论． 【详解】解：当腰为5时，另一腰也为5，则底为， ∵，符合题意， 当底为5时，腰为，符合题意， ∴该三角形的底边长为8或5． 故答案为：8或5． 17. 若，则的值为__________． 【答案】16 【解析】 【分析】本题考查了幂的乘方逆运算法则，同底数幂的乘法，代数式求值，将转化为，利用同底数幂的乘法法则得到，由变形得到，再整体代入计算即可． 【详解】解：，， ， 故答案为：16． 18. 如图，在中，为中线，交于点，若，，，则线段的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】过点作于点，则，可得是等腰直角三角形，则，进而证明得出，作于点，则是等腰直角三角形，勾股定理得出，则，进而得出，即可求解． 【详解】如图所示，过点作于点，则 ∵， ∴是等腰直角三角形， ∵为中线， ∴ ∴ ∵ ∴ 设， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴， 作于点，则是等腰直角三角形， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 故答案为：． 19. 如图，和是的两个外角，若，，则_____°． 【答案】95 【解析】 【分析】本题考查了平角的意义，外角的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．先根据平角的意义求，再根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的外角，， ∴， 故答案为：95． 20. 如图，在四边形中，，，的面积为21，的垂直平分线分别交，于点M，N，若点P和点Q分别是线段和边上的动点，则的最小值为_____． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了轴对称、平行线的性质、线段的垂直平分线的性质、最短路径，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 连接，过点作于，利用三角形的面积公式求出，由题意，进而解题． 【详解】解：连接，过点作于， ∵的面积为21，， ∴， ∴， ∵垂直平分线段， ∴， ∴， ∴当的值最小时，的值最小， 根据垂线段最短可知，当时，的值最小， ∵， ∴， ∴的最小值为7． 故答案为：7 ． 三．解答题（共8小题，满分60分） 21. 分解因式： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查因式分解，掌握因式分解的方法，是解题的关键． （1）完全平方公式法因式分解即可； （2）先提公因式再用平方差公式法因式分解即可． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 原式． 22. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）原分式方程无解 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤：去分母、去括号、移项合并同类项、系数化为1、检验，是解答本题的关键． （1）根据解分式方程的步骤：去分母、去括号、移项合并同类项、系数化为1、检验，进行计算即可； （2）根据解分式方程的步骤：去分母、去括号、移项合并同类项、系数化为1、检验，进行计算即可． 【小问1详解】 去分母，得， 解得， 经检验是原方程的解； 【小问2详解】 去分母，得， 解得：， 经检验是增根， 所以原分式方程无解． 23. （1）． （2） 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了零指数幂，负整数指数幂，分式的乘除、乘方运算； （1）根据零指数幂，负整数指数幂，进行计算即可求解； （2）根据分式的乘方、乘除混合运算进行计算即可求解． 【详解】（1）解： （2）原式 24. 化简求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式，完全平方公式和去括号，二次根式的性质，掌握运算法则是解题关键． 先对原式进行化简，再将代入即可求解． 【详解】解： ， 当时，原式． 25. 已知：如图，在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示． （1）作出关于y轴对称的，并写出点的坐标，（___________）； （2）的面积为___________； （3）在轴上画点，使最小． 【答案】（1）作图见解析， （2）5 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）直接利用轴对称图形的性质得出对应点位置进而得出答案； （2）直接利用所在长方形面积减去周围三角形面积进而得出答案； （3）先确定关于轴的对称点，再连接交轴于则此时满足要求． 【小问1详解】 解：如图所示：即为所求， ， 故答案为：， 【小问2详解】 △ABC的面积为： ； 故答案为：5； 【小问3详解】 如图所示：点P即为所求． 【点睛】本题考查的是轴对称的作图，坐标与图形，掌握轴对称的性质是解本题的关键. 26. 如图，点B，E，C，F在一条直线上，，，． （1）如图（1），求证：； （2）如图（2），，，平分交于点G，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形外角性质，三角形内角和定理，角平分线定义，熟练掌握全等三角形的判定方法，理解全等三角形的对应边相等，对应角相等是解决问题的关键． （1）先根据得，进而可依据判定和全等，然后根据全等三角形的性质即可得出结论； （2）先求出，再由和全等得，再根据平分得，然后根据三角形外角性质即可得出的度数． 【小问1详解】 证明：， ， 即， 在和中 ， ； 【小问2详解】 解：在中，， ， 由（1）可知：， ， 平分交于点G， ， 又是的一个外角， ， ， ． 27. 2024年南国书香节已在广州琶洲顺利举行．某学校在活动期间购买甲、乙两种图书．已知乙图书比甲图书每本价格多10元，用5000元购买的甲图书和用6000元购买的乙图书数量相同． （1）求出甲、乙两种图书每本的价格分别是多少； （2）若计划购买甲、乙两种图书共50本，购书总费用不超过2860元，则最少购进甲图书多少本？ 【答案】（1）甲图书每本的价格为50元，乙图书每本的价格为60元 （2）最少购进甲图书14本 【解析】 【分析】本题考查分式方程的实际应用，一元一次不等式的应用． （1）设甲图书每本的价格为元，则乙图书每本的价格是元，根据用5000元购买的甲图书和用6000元购买的乙图书数量相同，列出分式方程，解方程即可； （2）设购买甲图书本，则购买乙图书本，根据购书总费用不超过2860元，结合（1）的结果，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【小问1详解】 解：设甲图书每本的价格为元，则乙图书每本的价格是元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ， 答：甲图书每本的价格为50元，乙图书每本的价格为60元； 【小问2详解】 解：设购买甲图书本，则购买乙图书本， 由题意得：， 解得：， 答：最少购进甲图书14本． 28. 实验与探究： 教材回顾： 如图，在中，，可将折叠，使得边落在上，点落在上的点，折痕交于点，则． ① 这说明，在一个三角形中，如果两边不等，那么它们所对的角也不等，大边所对的角较大． 请你认真阅读以上材料后，完成下列的任务． 任务一 上述材料中①为什么成立？说明理由． 任务二 如图，在中，，那么他们所对的边大小关系是什么？并给出证明． 任务三 小条同学在完成任务二的发现后，产生一个疑问，在同一个三角形中，有任务二中的边角关系，在两个三角形中有类似的结论吗？聪明的你帮助小条同学解答一下吧．在和中，，，，请你画出符合要求的，探究与的大小关系． 【答案】任务一：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和；任务二：，证明见解析；任务三： 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外角的性质，三角形的边与角的关系，等腰三角形的判定，全等三角形的性质与判定； 任务一：根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，即可求解； 任务二：根据材料①得出结论，在一个三角形中，如果两角不等，那么它们所对的边也不等，大角所对的边较长； 任务三：分情况讨论，结合任务二的结论，即可求解． 【详解】任务一：∵（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）． ∴． ∴． 任务二：如图2，在中，如果，可以作， 交于， 则． ∵， ∴． 这说明，在一个三角形中，如果两角不等，那么它们所对的边也不等，大角所对的边较长． 任务三：由于，分两种情况讨论， ①如图所示，在和中，，， 当落在上时， ∵， ∴， ②如图所示，当不在上时， 中，最大，根据大角所对的边较长可得， ③当在的外部时，作，， 又∵， ∴， ∴， 同上可得，即， 综上所述，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级上学期1月质量检测数学试题 一．选择题（每小题3分，本题满分30分） 1. 下列大模型标志中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算结果是的是（ ） A. B. C. D. 3. 若分式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 4. 若等腰三角形中有一个角为50度，则这个等腰三角形的顶角的度数为（ ） A. B. C. 或 D. 或 5. 如图，已知，点D在边上，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 若关于x的分式方程无解，则a的值是（ ） A. B. 0 C. 1.5 D. 2 7. 若，，则与的关系为（ ） A. B. C. D. 不能确定 8. 为缅怀革命先烈，传承红色精神，某校八年级师生在清明节期间前往距离学校的烈士陵园扫墓．一部分师生骑自行车先走，过了后，其余师生乘汽车出发，结果他们同时达到．已知汽车的速度是骑车速度的3倍，设骑车的速度为，根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，中，，，，D为边的中点，的垂直平分线l交于点E，若P为直线l上一动点，则的周长的最小值为（） A. 7 B. 10 C. 12 D. 14 10. 如图，在等边中，，连接、交于点．下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二．填空题（每小题3分，满分30分） 11. 在平面直角坐标系中，若点和点关于x轴对称，则________． 12. 0.000163用科学记数法可表示为____________． 13. 在中，，，则的长度为__________． 14. 用如图所示的正方形和长方形卡片若干张，拼成一个边长为的正方形，需要类卡片________张． 15. 如图，已知的角平分线交于，若，则_____． 16. 已知等腰三角形的周长为18，其中一边长为5，则该等腰三角形的底边长为______． 17. 若，则的值为__________． 18. 如图，在中，为中线，交于点，若，，，则线段的长为______． 19. 如图，和是的两个外角，若，，则_____°． 20. 如图，在四边形中，，，的面积为21，的垂直平分线分别交，于点M，N，若点P和点Q分别是线段和边上的动点，则的最小值为_____． 三．解答题（共8小题，满分60分） 21. 分解因式： （1）； （2）． 22. 解方程： （1）； （2）． 23. （1）． （2） 24. 化简求值：，其中． 25. 已知：如图，在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示． （1）作出关于y轴对称的，并写出点的坐标，（___________）； （2）的面积为___________； （3）在轴上画点，使最小． 26. 如图，点B，E，C，F在一条直线上，，，． （1）如图（1），求证：； （2）如图（2），，，平分交于点G，求的度数． 27. 2024年南国书香节已在广州琶洲顺利举行．某学校在活动期间购买甲、乙两种图书．已知乙图书比甲图书每本价格多10元，用5000元购买的甲图书和用6000元购买的乙图书数量相同． （1）求出甲、乙两种图书每本的价格分别是多少； （2）若计划购买甲、乙两种图书共50本，购书总费用不超过2860元，则最少购进甲图书多少本？ 28. 实验与探究： 教材回顾： 如图，在中，，可将折叠，使得边落在上，点落在上的点，折痕交于点，则． ① 这说明，在一个三角形中，如果两边不等，那么它们所对的角也不等，大边所对的角较大． 请你认真阅读以上材料后，完成下列的任务． 任务一 上述材料中①为什么成立？说明理由． 任务二 如图，在中，，那么他们所对的边大小关系是什么？并给出证明． 任务三 小条同学在完成任务二的发现后，产生一个疑问，在同一个三角形中，有任务二中的边角关系，在两个三角形中有类似的结论吗？聪明的你帮助小条同学解答一下吧．在和中，，，，请你画出符合要求的，探究与的大小关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $