锐角三角函数及其应用知识梳理课件 2026年九年级数学一轮复习知识梳理

锐角三角函数及其应用 知识梳理 本节知识框架 特殊角 锐角三角函数 特殊角的三角函数值 解直角三角形的实际应用 正弦 余弦 正切 仰角、俯角 坡度(坡比)、坡角 方向角 锐角三角函数 及其应用 应用新知 创设情境 巩固新知 课堂小结 布置作业 探究新知 知识梳理 锐角三角函数 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A为△ABC中的一个锐角.则： ∠A的正弦：sin A== 　​　 ∠A的余弦：cos A== 　​　 ∠A的正切：tan A== 　​　 ​ ​ ​ 创设情境 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业 探究新知 知识梳理 特殊角的三角函数值 30° 45° 60° sin α cos α tan α ⁠ ​ ​ 1 创设情境 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业 探究新知 知识梳理 解直角三角形的实际应用 仰角、 俯角 在视线与水平线所夹的锐角中，视线在水 平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方 的角叫俯角 坡度 (坡比)、 坡角 坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫坡度(坡比)，用 字母i表示；坡面与水平线的夹角α叫坡角.坡度等于坡角的正切值，即i=tan α= 　​ 　 　　　 ​ 创设情境 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业 探究新知 知识梳理 方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的小于90°的角，叫做方向角.A点位于O点的 方向，B点位于O点的 ⁠ 方向，C点位于O点的 方向(或西北方向) 北偏东30° 南偏东60° 北偏西45° 创设情境 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业 探究新知 知识梳理 类型一　背对背型 图形 示例 总结 作AD⊥BC，构造Rt△ABD和Rt△ACD求解 作AE⊥BC，DF⊥BC，构造 Rt△ABE和Rt△DFC求解 创设情境 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业 探究新知 知识梳理 类型二　母子型 图形 示例 总结 作CD⊥AB，构造Rt△ACD和Rt△BCD求解 作CD⊥AD，构造Rt△ACD和Rt△BCD求解 作CE⊥AB，构造 Rt△ACERt△ADB求解 创设情境 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业 探究新知 例题精选 1.2025年春晚重庆分会场的主舞台位于两江交汇处的南岸区弹子石广场， 对面就是朝天门，小明同学想把“半城烟水半城山，一城灯火若星河”的 春晚无人机表演尽收眼底，决定在江北嘴的 点或者弹子石的点观看 演出.小明根据所学知识画了如图所示的方位图， 为朝天门，为春晚 主舞台所在地弹子石广场，在的北偏东方向，在 的 东南方向的处，在的北偏东 方 向，在的北偏西方向的 处，且 在的正北方向，与交于点 . (参考数据：， ， ) 创设情境 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业 探究新知 例题精选 (1)求， 两地间的距离； 解：如解图，过点作于点 . 在的北偏东方向，在 的东南方向， . 在的东南方向，在的北偏东 方向， ， ， . ， ， 解图 创设情境 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业 探究新知 例题精选 . ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 答：，两地间的距离约为 ； 创设情境 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业 探究新知 例题精选 (2)小明查资料得知，当观看地点到， 的距离之和越小，观看效果越佳， 请通过计算说明小明应在， 两处中选择哪一处观看？ 解图 解：如解图，过点作于点 . 由(1)可知， 是等腰直角三角形， ， 地到，两地的距离之和为 . 由题意得 ， 为等腰直角三角形. ， ∟ ∟ 创设情境 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业 探究新知 例题精选 . ， ， 在中， ， . ，在的北偏西 方向的 处， ， 是直角三角形， ， 创设情境 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业 探究新知 例题精选 地到， 两地的距离之和为 ， ， 应选择 地观看演出. 答：小明应选择 地观看演出. 创设情境 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业 探究新知 例题精选 2. 为加强森林防火，某林场采用人工瞭望与无人机巡 视两种方式监测森林情况.如图，A，B，C，D在同一平面内. A是瞭望台，某一时刻，观测到甲无人机位于A的正东方向10千米的B 处，乙无人机位于A的南偏西30°方向20千米的D处.两无人机同时飞往C 处巡视，D位于C的正西方向上，B位于C的北偏西30°方向上.(参考数据： ≈1.41，≈1.73，≈2.24，≈2.65) (1)求BD 的长度(结果保留小数点后一位)； 创设情境 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业 探究新知 例题精选 解：(1)如图，过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥CD于点F， ∴∠AED=∠BFC=90°， 由题意得∠DAE=30°， ∴在Rt△ADE中，AE=AD∙cos∠DAE=20∙cos 30°=10(千米)， DE=AD∙sin∠DAE=20∙sin 30°=10(千米)， ∵甲无人机位于A的正东方向10千米的B处， D位于C的正西方向上，∴AB∥CD， ∴AE⊥AB，BF⊥AB， ∴四边形AEFB是矩形， ∟ ∟ E F 创设情境 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业 探究新知 例题精选 ∴EF=AB=10千米，BF=AE=10千米， ∴DF=DE＋EF=20(千米)， ∴BD===10≈26.5(千米)， 答：BD的长度约为26.5千米； ∟ ∟ E F 创设情境 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业 探究新知 例题精选 (2)甲、乙两无人机同时分别从B，D出发沿BC，DC往 C 处进行巡视，乙无人机速度为甲无人机速度的2倍.当两无人机相距20千米时，它们可以开始相互接收到信号.请问甲无人机飞离 B 处多少千米时，两无人机可以开始相互接收到信号(结果保留小数点后一位)? 创设情境 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业 探究新知 例题精选 (2)如解图②，当甲无人机运动到M，乙无人机运动到N时，此时满足 MN=20千米.过点M作MT⊥CD于点T，过点A作AE⊥CD于点E，过点B作 BF⊥CD于点F， 由题意，得∠BCF=90°－30°=60°， 由(1)得，BF=AE=10 千米，DF=20 千米， ∴在Rt△FBC中，BC===20(千米)， CF===10(千米)，∴CD=DF＋CF=30(千米)， 设BM=x千米，则DN=2x千米，CM=(20－x)千米， 解图② 创设情境 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业 探究新知 例题精选 ∴在Rt△CMT中，CT=CM∙cos∠MCT=(20－x)∙cos 60°=(10 － x)千米， MT=CM∙sin∠MCT=(20－x)∙sin 60°=(10－x)千米， ∴TN=CD－DN－CT=30－2x－(10－x)=(20－x)千米， 在Rt△MNT中，由勾股定理得MN2=MT2＋NT2， ∴202=(10－x)2＋(20－x)2， 解得x=15－5或x=15＋5(此时大于BC的长，舍去)， ∴BM=15－5≈3.8(千米)， 答：甲无人机飞离B处约3.8千米时，两无人机可以开始相互接收到信号. 创设情境 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业 探究新知 再见 $