第四章因式分解寒假预习讲义-2025-2026学年北师大版八年级下学期数学（知识点+题型解析+过关测试）

第四章因式分解寒假预习讲义（北师大版） 💧 预习内容概览 1. 课前预习★目标 2.重点知识★梳理归纳 3.核心考点★精讲精练 4.强化巩固★过关演练 💦课前预习★目标 1.理解因式分解的定义，明确它与整式乘法的互逆关系； 2.认识因式分解的基本形式：把多项式化成几个整式的积； 3.初步掌握提公因式法，能找出多项式中的公因式并简单分解； 4.了解公式法（平方差、完全平方公式）的结构特点，能对照公式识别可分解的多项式； 5.能利用因式分解解决简化运算，代数式求值，实际问题建模等相关问题，提升运算与问题解决的能力。 ✏ 重点知识★梳理归纳 ●知识点1因式分解：把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式． ●知识点2公因式：多项式的各项中都含有相同的因式，那么这个相同的因式就叫做公因式． ●知识点3提公因式法：ma+mb+mc=m(a+b+c)而（a+b+c）正好是ma+mb+mc除以所得的商，这种因式分解的方法叫提公因式法． ●知识点4公式法——平方差公式：两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即： ●知识点5公式法——完全平方公式：两个数的平方和加上（减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方． 即，．形如，的式子叫做完全平方式． ●知识点6十字相乘法:x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q).利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法． ●知识点7分组分解法：对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法．即先对题目进行分组，然后再分解因式． ●知识点8因式分解步骤： （1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式； （2）如果各项没有公因式就用公式法. ●知识点9因式分解注意事项： （1）因式分解的对象是多项式； （2）最终把多项式化成乘积形式； （3）结果要彻底，即分解到不能再分解为止． ✅ 核心考点★精讲精练 题型1判断是否是因式分解 例1．下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 变式1．下面是小明的作业，请你帮忙解答：下列等式从左到右的变形，属于因式分解的有 （填序号）． ①；②；③；④；⑤． 变式2．下列因式分解是否正确？为什么？ (1)； (2)． 题型2已知因式分解的结果求参数 例2．若多项式可因式分解为，则的值为（） A． B． C． D． 变式1．已知多项式可分解因式为，则为 ． 变式2．在分解因式时，甲看错了，分解结果为；乙看错了，分解结果为，求的值． 题型3公因式 例3．多项式中，各项的公因式是（    ）． A． B． C． D． 变式1．将多项式分解因式时，应提取的公因式是 ． 变式2．找出的公因式． 题型4提公因式法分解因式 例4．多项式因式分解的结果正确的是(　　) A． B． C． D． 变式1．因式分解： ． 变式2．学了提公因式后，王老师出了这样一道题：分解因式：，小刚同学是这样做的： 解： ． 王老师说他做错了，你认为小刚的解法错在哪里？请写出你的正确答案． 题型5判断能否用公式法分解因式 例5．下列多项式能用公式法分解因式的是（   ） A． B． C． D． 变式1．多项式①；②；③；④；⑤中能用公式法分解因式的有 （填序号）． 题型6平方差公式分解因式 例6．把分解因式的结果是(     ) A． B． C． D． 变式1．分解因式： ． 变式2．分解因式：． 题型7完全平方公式分解因式 例7．下列多项式中，能用完全平方公式分解因式的是（    ） A． B． C． D． 变式1．不论，取何实数，式子的值总是 变式2．因式分解： (1)． (2)． (3)． 题型8综合运用公式法分解因式 例8．因式分解的结果为（   ） A． B． C． D． 变式1．我们学习了配方法，小王发现有的代数式可以用配方法分解因式， 例如：分解因式； 请你根据材料中小王的探究方法解决下列问题：分解因式 ． 变式2．（1）计算：； （2）分解因式：． 题型9综合提公因式和公式法分解因式 例9．某课外密码研究小组接收到一条密文：．已知密码手册的部分信息如下表所示： 密文 … 8 … 明文 … 恩 爱 施 美 我 丽 … 把密文用因式分解解码后，明文可能是（    ） A．美丽恩施 B．我爱恩施 C．我爱美丽 D．恩爱美丽 变式1．因式分解： ． 变式2．分解因式 (1)； (2)． 题型10实数范围内分解因式 例10．将代数式在实数范围内进行因式分解的结果是（    ） A． B． C． D． 变式1．在实数范围内进行因式分解 ． 变式2．在实数范围内分解因式： (1)； (2)． 题型11因式分解在有理数简算中的应用 例11．是（    ）． A．10600 B．10400 C．10800 D．9986 变式1．利用因式分解计算： ． 变式2．（1）分解因式：； （2）利用因式分解计算：． 题型12十字相乘法 例12．分解因式，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 变式1．若关于的二次三项式有一个因式为，则的值为 ． 变式2．阅读下列材料，并完成后面的任务． 在因式分解中有一类形如二次三项式的分解因式的方法叫“十字相乘法”，因式分解二次三项式的公式为．例如：将二次三项式因式分解，这个式子的二次项系数是1，常数项，一次项系数，则，如下图所示． 任务： (1)因式分解：____________． (2)若二次三项式可以分解成两个一次因式乘积的形式，求整数的所有可能的值． 题型13分组分解法 例13．已知，，则整式的值为（   ） A． B． C． D．3 变式1．在对某些多项式进行因式分解时，需要把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符号相反的项，这样分解因式的方法称为“拆项添项法”．如： 例1：分解因式： 解：原式 例2：分解因式： 解：原式 请根据以上材料中的方法，解决下列问题： （1）上述材料中例2括号中应填入 ； （2）运用拆项添项法分解因式： ． 变式2．【课本再现】教科书136页提供了一种因式分解的方法． 【问题解决】 (1)（___________）___________； (2)如果，，是三条边的长，求证：． 题型14因式分解的应用 例14．若实数x，y满足，则下列式子一定成立的是（    ） A． B． C． D． 变式1．若长方形的长为，宽为，它的周长为24，面积为32，则 ． 变式2．已知整数．满足． (1)求证：为正数； (2)若为偶数，判断是奇数还是偶数，并说明理由． ✍ 强化巩固★过关演练 一、单选题 1．下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 2．若多项式可分解为，则的值为（   ） A．2 B．1 C． D． 3．用提公因式法分解因式时，应提取的公因式是（    ） A． B． C． D． 4．下面是甲、乙两位同学因式分解的结果，下列判断正确的是（    ） 甲同学：原式； 乙同学：原式． A．甲对乙错 B．甲错乙对 C．甲乙均对 D．甲乙均错 5．下列各式中不能进行因式分解的是（   ） A． B． C． D． 6．若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 7．下列各式中不是多项式的因式的是（    ） A． B． C． D． 8．若，则的值为（   ） A．6 B．12 C．18 D．24 9．利用因式分解计算等于（   ） A．1 B． C．533 D．534 10．若，则（    ） A． B．8 C． D．6 11．已知三角形三边长a，b，c满足，则三角形一定是（   ） A．等边三角形 B．以a为底边的等腰三角形 C．以c为底边的等腰三角形 D．等腰三角形 12．小强是一位密码翻译爱好者，他在密码手册里记录了这样一条信息：，分别对应“惠”，“爱”，“我”，“州”，“相”，“信”六个字，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（    ） A．相信我爱 B．我爱惠州 C．相爱惠州 D．相信惠州 二、填空题 13．把一个多项式化成几个整式的 的形式，这种变形叫做因式分解．整式乘法是“积化和差”，整式乘法与因式分解为互逆变形，它们都是整式恒等变形．如：属于 ． 14．若，则的值为 ． 15．分解因式： ． 16．已知等腰三角形的两边长分别为，（，都为正整数），且，满足169，则此等腰三角形的周长为 ． 17．若，则 ． 18．若多项式能分解成两个一次因式的积，且其中一个一次因式为，则的值是 19．若，，则计算的结果为 ． 20．分解因式：① ．② ． 三、解答题 21．因式分解： (1)． (2) 22．（1）因式分解：． （2）解方程：． 23．已知整式，整式，若可以分解为，求． 24．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式分解因式，如多项式：因式分解的结果为或，取个人年龄作为的值，当时，，此时可以得到数字密码1723或2317． (1)根据上述方法，若多项式为，当时，求出数字密码； (2)若小阳选取的多项式为，已知他设置的数字密码是6位数字141213，请尝试分析小阳当前年龄是多少，并说明理由． 25．按要求解答下列各题： (1)因式分解：． (2)已知，，求的值． (3)利用简单方法计算：． 26．请阅读下列材料，并完成相应的任务． 著名数学家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则．” 配方法是指将一个二次多项式通过配凑的方式配出完全平方式，将其化为一个多项式的平方与一个常数的和的形式．配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，在因式分解、解方程、求最值等问题中都有广泛应用． 一、配方法在因式分解中的应用 例1因式分解：． 解：原式第一步 第二步 第三步 第四步 二、配方法在求最值问题中的应用 例2求的最小值． 解：原式 ． ， ∴当，即时，的值最小，最小值为． 任务： (1)例1因式分解过程中第二步、第三步依据的公式分别是_______，______．（用等式表示） (2)用配方法将因式分解． (3)用配方法求：当为何值时，代数式的值最小，最小值是多少． (4)当______时，代数式有最_______值，是_________． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章因式分解寒假预习讲义（北师大版） 💧 预习内容概览 1. 课前预习★目标 2.重点知识★梳理归纳 3.核心考点★精讲精练 4.强化巩固★过关演练 💦课前预习★目标 1.理解因式分解的定义，明确它与整式乘法的互逆关系； 2.认识因式分解的基本形式：把多项式化成几个整式的积； 3.初步掌握提公因式法，能找出多项式中的公因式并简单分解； 4.了解公式法（平方差、完全平方公式）的结构特点，能对照公式识别可分解的多项式； 5.能利用因式分解解决简化运算，代数式求值，实际问题建模等相关问题，提升运算与问题解决的能力。 ✏ 重点知识★梳理归纳 ●知识点1因式分解：把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式． ●知识点2公因式：多项式的各项中都含有相同的因式，那么这个相同的因式就叫做公因式． ●知识点3提公因式法：ma+mb+mc=m(a+b+c)而（a+b+c）正好是ma+mb+mc除以所得的商，这种因式分解的方法叫提公因式法． ●知识点4公式法——平方差公式：两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即： ●知识点5公式法——完全平方公式：两个数的平方和加上（减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方． 即，．形如，的式子叫做完全平方式． ●知识点6十字相乘法:x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q).利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法． ●知识点7分组分解法：对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法．即先对题目进行分组，然后再分解因式． ●知识点8因式分解步骤： （1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式； （2）如果各项没有公因式就用公式法. ●知识点9因式分解注意事项： （1）因式分解的对象是多项式； （2）最终把多项式化成乘积形式； （3）结果要彻底，即分解到不能再分解为止． ✅ 核心考点★精讲精练 题型1判断是否是因式分解 例1．下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查因式分解的定义，即把一个多项式转化为几个整式的积的形式，依据定义逐项判断即可． 【详解】解：A选项右边不是整式积的形式，不是因式分解，故A不符合题意； B选项右边展开得，与左边不相等，变形错误，不是因式分解，故B不符合题意； C选项将多项式转化为，是几个整式的积的形式，符合因式分解的定义，故C符合题意； D选项右边不是整式积的形式，不是因式分解，故D不符合题意． 故选：C． 变式1．下面是小明的作业，请你帮忙解答：下列等式从左到右的变形，属于因式分解的有 （填序号）． ①；②；③；④；⑤． 【答案】③④ 【分析】本题考查了因式分解的定义，掌握因式分解的对象是多项式，结果是几个整式的积，与整式乘法互为逆运算是解题的关键． 因式分解是将多项式化为几个整式的积的形式，据此判断各等式变形是否符合定义． 【详解】解：等式①左边为积的形式，右边为多项式，属于整式乘法，不是因式分解； 等式②左边为单项式，不是多项式，不符合因式分解对象要求； 等式③左边为多项式，右边为积的形式，符合因式分解定义； 等式④左边为多项式，右边为积的形式，符合因式分解定义； 等式⑤右边不是积的形式，因此不是因式分解． 故答案为：③④． 变式2．下列因式分解是否正确？为什么？ (1)； (2)． 【答案】(1) 不正确，因为结果不是乘积的形式 (2) 正确，因为等式成立，且结果是整式乘积的形式 【分析】本题考查了因式分解的定义，熟练掌握定义是解题的关键．根据因式分解的定义：因式分解是将一个多项式分解为几个整式的乘积的形式．据此判断因式分解是否正确即可． （1）根据因式分解的定义判断即可； （2）根据因式分解的定义和展开右边的式子验证是否等于左边即可判断． 【详解】（1）解：因为因式分解要求结果必须是整式的乘积，而右边 是和的形式． 故该因式分解不正确，因为结果不是乘积的形式； （2）解：因为等式的右边是整式的乘积， 且等式左边， 等式右边， 即等式左边右边， 故该因式分解正确． 题型2已知因式分解的结果求参数 例2．若多项式可因式分解为，则的值为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过展开因式分解后的表达式，与原多项式比较系数，即可求出的值． 【详解】解：∵多项式可因式分解为， ∴展开得：． 又∵原多项式为， ∴比较系数得：，． 因此的值为3． 故选：B． 变式1．已知多项式可分解因式为，则为 ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解． 计算，进而根据“多项式可分解因式为”即可得出的值． 【详解】解：， ∵多项式可分解因式为， ∴． 故答案为：． 变式2．在分解因式时，甲看错了，分解结果为；乙看错了，分解结果为，求的值． 【答案】1 【分析】本题主要考查分解因式与整式乘法的关系，可以根据二者为互逆过程进行解答； 直接利用多项式乘法进而得出的值，即可得出答案． 【详解】解：， ， ， ， ． 题型3公因式 例3．多项式中，各项的公因式是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查多项式公因式的确定方法．确定多项式的公因式，从系数的最大公约数、各项共有的相同字母、相同字母的最低次幂这三方面分析组合． 【详解】解：∵ 各项系数的最大公约数是， ∵ 多项式各项都含有的相同字母为， ∵ 的最低次幂是，的最低次幂是， ∴ 各项的公因式是． 故答案为：． 变式1．将多项式分解因式时，应提取的公因式是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了公因式，确定公因式时，系数取各项系数的最大公因数，字母部分取各项相同字母的最低次幂． 【详解】解：多项式中，系数6和3的最大公因数是3，字母的最低次幂是，字母的最低次幂是，因此公因式为， 故答案为：． 变式2．找出的公因式． 【答案】 【分析】本题考查了公因式：多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式，熟记公因式的定义是解题关键．根据公因式的定义求解即可得． 【详解】解：系数取3和6的最大公约数3，字母取相同的字母．指数取相同字母的最低次数，的最低次数是1． 所以的公因式为． 题型4提公因式法分解因式 例4．多项式因式分解的结果正确的是(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查运用提公因式法进行因式分解，关键是将多项式中互为相反数的因式转化为相同的形式，从而提取公因式；多项式变形后提取公因式即可． 【详解】解：对多项式因式分解， 原式=； 故选：B． 变式1．因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查提公因式法因式分解．通过观察多项式的各项，提取公因式x即可完成因式分解． 【详解】解：． 故答案为． 变式2．学了提公因式后，王老师出了这样一道题：分解因式：，小刚同学是这样做的： 解： ． 王老师说他做错了，你认为小刚的解法错在哪里？请写出你的正确答案． 【答案】错在分解不彻底，括号里还有公因数3．正确答案为 【分析】本题主要考查了分解因式，正确找到公因式是解题关键． 先观察式子中的各项，判断过程是否正确；再找出公因式为； 然后提取公因式分解因式即可． 【详解】解：错在分解不彻底，括号里还有公因数3． 正确的解题过程如下： ． 题型5判断能否用公式法分解因式 例5．下列多项式能用公式法分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查公式法分解因式，公式法分解因式是指利用完全平方公式或平方差公式进行分解因式，完全平方公式形式，平方差公式形式．再逐一判断各选项是否能用于分解因式. 【详解】解：选项A： 不匹配完全平方公式， ∴ 不能用公式法分解因式. 选项B： 不匹配完全平方公式， ∴ 不能用公式法分解因式. 选项C： 不匹配完全平方公式与平方差公式， ∴ 不能用公式法分解因式. 选项D： ， ∵， ∴ 能用公式法分解因式. 故选：D 变式1．多项式①；②；③；④；⑤中能用公式法分解因式的有 （填序号）． 【答案】③④⑤ 【分析】本题主要考查了公式法分解因式（平方差公式、完全平方公式），熟练掌握平方差公式和完全平方公式的结构特征是解题的关键．根据平方差公式和完全平方公式的形式，逐一判断每个多项式是否符合公式法分解因式的条件． 【详解】解：①不符合完全平方公式形式，且无法用平方差公式分解，故不能使用公式法． ②可写为，平方和在实数范围内不能分解，故不能使用公式法． ③可写为，符合平方差公式，即，故能用公式法． ④可写为，符合完全平方公式，即，故能用公式法． ⑤可写为，符合完全平方公式，即，故能用公式法． 综上，能用公式法分解因式的有③、④、⑤． 故答案为：③④⑤． 题型6平方差公式分解因式 例6．把分解因式的结果是(     ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查利用平方差公式进行因式分解，需注意因式分解要分解到不能再分解为止 【详解】解： 故选：D． 变式1．分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，掌握平方差公式是解题关键．运用平方差公式进行分解． 【详解】解：， 故答案为：． 变式2．分解因式：． 【答案】 【分析】本题考查了综合提公因式和公式法分解因式，平方差公式分解因式，提公因式法分解因式等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 先提公因式，再用平方差公式分解因式． 【详解】解：． 题型7完全平方公式分解因式 例7．下列多项式中，能用完全平方公式分解因式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查完全平方公式分解因式的应用，需依据完全平方公式的结构特征（）逐一分析选项． 【详解】解：完全平方公式的结构为 A、，缺少中间的项，不符合完全平方公式结构，不能用其分解因式； B、，中间项应为，而非，不符合结构，不能用其分解因式； C、，符合平方差公式结构，可用平方差公式分解，而非完全平方公式； D、，符合完全平方公式结构，能用其分解因式； ∴故选D 变式1．不论，取何实数，式子的值总是 ． 【答案】非负数 【分析】本题主要考查了因式分解的意义，利用完全平方公式将原式变形为，根据平方的非负性，得出表达式值总是非负数． 【详解】解：， ， ∵， ∴， ∴不论，取何实数，式子的值总是非负数， 故答案为：非负数． 变式2．因式分解： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了利用完全平方公式进行因式分解，以及整体思想的应用，掌握识别完全平方形式是解题的关键． （1）观察式子结构，符合完全平方和公式的形式，直接套用公式分解； （2）将看作整体，用完全平方公式分解； （3）先展开多项式，合并同类项后得到完全平方形式，再分解． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． 题型8综合运用公式法分解因式 例8．因式分解的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 原式利用完全平方公式和平方差公式分解即可． 【详解】分解：原式， 故选：D． 变式1．我们学习了配方法，小王发现有的代数式可以用配方法分解因式， 例如：分解因式； 请你根据材料中小王的探究方法解决下列问题：分解因式 ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，理解题意，掌握配方法因式分解是解题的关键． 通过配方法，添加和减去一次项系数一半的平方，再应用平方差公式进行因式分解． 【详解】解： =． 故答案为：． 变式2．（1）计算：； （2）分解因式：． 【答案】 (1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的混合运算、用公式法分解因式． (1)用多项式乘以多项式的法则把多项式各部分展开，再去括号、合并同类项； (2)先用平方差公式分解因式，再用完全平方公式分解因式． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型9综合提公因式和公式法分解因式 例9．某课外密码研究小组接收到一条密文：．已知密码手册的部分信息如下表所示： 密文 … 8 … 明文 … 恩 爱 施 美 我 丽 … 把密文用因式分解解码后，明文可能是（    ） A．美丽恩施 B．我爱恩施 C．我爱美丽 D．恩爱美丽 【答案】B 【分析】本题考查因式分解的应用，关键是熟练应用知识点解题；通过提取公因式法和平方差公式对密文进行因式分解，再对应密码手册得到明文． 【详解】解：∵原式= = = ∵根据密码手册：对应“我”，对应“施”，对应“爱”，对应“恩”， ∴组合后明文可能为“我爱恩施”， 故选：B． 变式1．因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，解决本题的关键是熟练掌握因式分解的方法． 先提取公因式，再对括号内的二次三项式利用完全平方公式进行因式分解 【详解】原式 故答案为：． 变式2．分解因式 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解． （1）直接提取公因式即可； （2）先提取公因式，再根据平方差公式分解因式即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ． 题型10实数范围内分解因式 例10．将代数式在实数范围内进行因式分解的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查在实数范围内利用平方差公式进行因式分解，先将常数项转化为实数的平方形式，再进一步求解即可． 【详解】解： 故选：B． 变式1．在实数范围内进行因式分解 ． 【答案】 【分析】本题考查了在实数范围内对二次三项式因式分解． 先提取公因数2，再对括号内的二次三项式进行配方法，转化为平方差形式，最后结合整体写出因式分解结果． 【详解】解： 故答案为：． 变式2．在实数范围内分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了因式分解． （1）首先利用完全平方公式变形，然后利用平方差公式因式分解即可． （2）首先利用完全平方公式变形，然后利用平方差公式因式分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型11因式分解在有理数简算中的应用 例11．是（    ）． A．10600 B．10400 C．10800 D．9986 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解在有理数简算中的应用，熟练掌握运算法则是解此题的关键．利用平方差公式或直接计算 再减 4即可． 【详解】解： ． 故选：B． 变式1．利用因式分解计算： ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解的应用；通过提取公因式进行因式分解后计算． 【详解】解： ． 故答案为 ． 变式2．（1）分解因式：； （2）利用因式分解计算：． 【答案】（1）； （2） 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握分解因式的方法是解题的关键． （1）利用提取公因式法和平方差公式进行分解因式即可； （2）利用完全平方公式进行因式分解计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型12十字相乘法 例12．分解因式，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查二次三项式的因式分解，利用十字相乘法分解二次三项式，需找到两个数，使其和为一次项系数、积为常数项，再完成因式分解即可． 【详解】解：∵要分解，需找两个数满足和为，积为， ∴这两个数是和， ∴． 故选：D． 变式1．若关于的二次三项式有一个因式为，则的值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了因式分解，多项式的乘法． 根据一个因式为得到另一个因式应为，计算，即可求出的值． 【详解】解：∵关于的二次三项式有一个因式为， ∴另一个因式应为， ∵， ∴． 故答案为：5． 变式2．阅读下列材料，并完成后面的任务． 在因式分解中有一类形如二次三项式的分解因式的方法叫“十字相乘法”，因式分解二次三项式的公式为．例如：将二次三项式因式分解，这个式子的二次项系数是1，常数项，一次项系数，则，如下图所示． 任务： (1)因式分解：____________． (2)若二次三项式可以分解成两个一次因式乘积的形式，求整数的所有可能的值． 【答案】(1) (2)整数的所有可能的值为或 【分析】本题考查了十字相乘法因式分解的知识点，掌握十字相乘法中 “常数项分解为两数之积，一次项系数为这两数之和” 的规律是解题的关键． （1）利用十字相乘法，找到两个数，它们的和等于一次项系数，积等于常数项，从而分解因式； （2）列出常数项的所有整数因数对，计算每对因数的和，这些和就是的所有可能值． 【详解】（1）解：∵二次三项式中，常数项，一次项系数 ∴ ． （2）解：∵二次三项式可以分解成两个一次因式乘积的形式， ，，，， ∴整数的所有可能的值为或或或， 即整数的所有可能的值为或． 题型13分组分解法 例13．已知，，则整式的值为（   ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解和代数式求值，解题的关键是对进行因式分解． 由已知条件得到，将分解因式，再将，代入计算即可． 【详解】解：因为，， ∴ ， 将，代入得： ， 故选：C． 变式1．在对某些多项式进行因式分解时，需要把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符号相反的项，这样分解因式的方法称为“拆项添项法”．如： 例1：分解因式： 解：原式 例2：分解因式： 解：原式 请根据以上材料中的方法，解决下列问题： （1）上述材料中例2括号中应填入 ； （2）运用拆项添项法分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，读懂题中的分解方法并熟练掌握整式乘法公式是解题的关键． （1）根据例2的解析过程，通过拆项后提取公因式，括号内应填入二次多项式； （2）运用拆项添项法，将多项式拆成可分组分解的形式，然后提取公因式进行因式分解． 【详解】（1）例2中，原式， ， 故括号中应填入 ； 故答案为：； （2）解：原式 ， 故答案为： ． 变式2．【课本再现】教科书136页提供了一种因式分解的方法． 【问题解决】 (1)（___________）___________； (2)如果，，是三条边的长，求证：． 【答案】(1)； (2)见解析 【分析】本题考查了因式分解的应用，三角形三边关系，解决本题的关键是熟练运用完全平方公式、平方差公式计算． （1）将式子分成两组，然后提取公因式进行因式分解即可； （2）先将不等式左边进行因式分解，然后根据三角形的三边关系判断结果小于0． 【详解】（1）解： ； 故答案为：；； （2）解： 由三角形三边关系得，， ，， ，， ， ． 题型14因式分解的应用 例14．若实数x，y满足，则下列式子一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查的知识点为完全平方公式的应用以及因式分解．通过观察式子的结构，对化简后的式子进行因式分解，得到，因为一个数的平方等于 0，所以这个数为 0，所以推导出，从而得出答案． 【详解】解：， ， ， ， 因为一个数的平方等于 0，所以这个数为 0，即， 所以， 故选：C． 变式1．若长方形的长为，宽为，它的周长为24，面积为32，则 ． 【答案】384 【分析】此题主要考查了提取公因式法分解因式以及长方形的性质．直接利用长方形的性质结合提取公因式法分解因式得出答案． 【详解】解：由题意可得：，， 则， 故 ． 故答案为：384． 变式2．已知整数．满足． (1)求证：为正数； (2)若为偶数，判断是奇数还是偶数，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)是偶数，理由见解析 【分析】本题主要考查了因式分解的应用、奇数和偶数的识别等知识，熟练掌握完全平方公式的应用是解题关键． （1）把代入，利用完全平方公式分解因式，利用平方的非负性质即可证明． （2）由，，，为整数，为偶数，可得出为偶数，进而可得出为偶数，为偶数，得出为偶数，即可得出为偶数． 【详解】（1）证明：∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴为正数． （2）解：为偶数，理由如下： ∵，，，为整数，为偶数， ∴为偶数， ∵， ∴为偶数， ∴，同为偶数或者同为奇数， ∴为偶数， ∴为偶数， ∵， ∴是偶数． ✍ 强化巩固★过关演练 一、单选题 1．下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查因式分解的定义，即把一个多项式化为几个整式的积的形式的变形，据此逐一判断选项即可． 【详解】∵因式分解的定义是将多项式转化为几个整式的积的形式， ∴对各选项分析如下： A选项：，左边是多项式，右边是整式的积，符合因式分解的定义，符合题意； B选项：，右边的不是整式，不符合因式分解的定义，不符合题意； C选项：，是整式的乘法运算，与因式分解过程相反，不符合题意； D选项：，右边不是整式的积的形式，不符合因式分解的定义，不符合题意； 故选：A． 2．若多项式可分解为，则的值为（   ） A．2 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了已知因式分解的结果求参数，熟练掌握运算法则是解题的关键． 通过展开因式分解形式并比较系数，求出和的值，再计算． 【详解】解：由题意得， ∴， 比较系数，得：，且 ， 解得：，， ∴； 故选：A． 3．用提公因式法分解因式时，应提取的公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了公因式的定义，熟练掌握公因式的定义是解答本题的关键．一个多项式的各项都含有的相同的因式叫做这个多项式各项的公因式． 公因式是各项系数的最大公因数和各项相同字母的最低次幂的积 【详解】解：∵系数均为1， ∴数字部分公因数为1； ∵字母部分，a的指数最小为1，b的指数最小为1，c不是公有字母， ∴公因式为 故选D． 4．下面是甲、乙两位同学因式分解的结果，下列判断正确的是（    ） 甲同学：原式； 乙同学：原式． A．甲对乙错 B．甲错乙对 C．甲乙均对 D．甲乙均错 【答案】C 【分析】本题考查因式分解，利用提公因式法进行因式分解，进行判断即可．熟练掌握提公因式法分解因式是解题的关键． 【详解】解：甲同学：∵ 原式 ， ∴ 正确； 乙同学：原式 ， ∴ 正确． 故甲乙均对． 故选：C． 5．下列各式中不能进行因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查因式分解，通过因式分解的常用方法（如平方差公式、完全平方公式）或判别式判断各选项是否能分解． 【详解】解：选项A：，不符合题意； 选项B：，不符合题意； 选项 C：，不能进行因式分解，符合题意； 选项 D：，不符合题意； 故选：C． 6．若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了利用平方差公式分解因式、整体代入法求代数式的值，先利用平方差公式对所求代数式进行因式分解，可得：原式，再将分解后的式子与已知条件建立联系，代入计算即可得出结果. 【详解】解： ， ，， 原式 ． 故选：B． 7．下列各式中不是多项式的因式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了多项式的因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键； 先将多项式分解因式，再找出不是此多项式的因式即可解答． 【详解】解：， 不是多项式的因式， 故选：D． 8．若，则的值为（   ） A．6 B．12 C．18 D．24 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解的应用，涉及了整体代入的思想方法．先对所求代数式因式分解，转化为含已知条件的形式，再代入已知值计算求解． 【详解】∵ 又∵ ∴ 且 ∴原式， 故选：A． 9．利用因式分解计算等于（   ） A．1 B． C．533 D．534 【答案】C 【分析】本题考查因式分解在有理数简算中的应用． 通过提取公因式进行因式分解，将表达式转化为简单乘法计算． 【详解】解： ． 故选：C． 10．若，则（    ） A． B．8 C． D．6 【答案】B 【分析】先求出的值，再代入求值即可． 【详解】 , 常数项相等：, . 项系数相等：, 代入, . 故选：B. 【点睛】本题考查了因式分解，解决本题的关键是掌握因式分解的方法.. 11．已知三角形三边长a，b，c满足，则三角形一定是（   ） A．等边三角形 B．以a为底边的等腰三角形 C．以c为底边的等腰三角形 D．等腰三角形 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式的混合运算．满足，进行化简，然后再进行整理即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， 即， 合并得：， ， ， ， ， ∴， ∴或， ∴这个三角形一定是等腰三角形． 故选：D． 12．小强是一位密码翻译爱好者，他在密码手册里记录了这样一条信息：，分别对应“惠”，“爱”，“我”，“州”，“相”，“信”六个字，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（    ） A．相信我爱 B．我爱惠州 C．相爱惠州 D．相信惠州 【答案】B 【分析】本题考查因式分解的应用，先对原式进行因式分解，再结合给定的汉字对应关系，匹配出对应的密码信息即可． 【详解】解： ， ∵对应“我”，对应“爱”，对应“惠”，对应“州”， ∴结果呈现的密码信息可能是“我爱惠州”． 故选：B． 二、填空题 13．把一个多项式化成几个整式的 的形式，这种变形叫做因式分解．整式乘法是“积化和差”，整式乘法与因式分解为互逆变形，它们都是整式恒等变形．如：属于 ． 【答案】 积 整式乘法 【分析】本题考查了因式分解的意义，根据因式分解的意义即可求解，解题的关键是正确理解掌握因式分解的意义． 【详解】解：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解．整式乘法是“积化和差”，整式乘法与因式分解为互逆变形，它们都是整式恒等变形．如：属于整式乘法， 故答案为：积，整式乘法． 14．若，则的值为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法运算以及提取公因式法分解因式，熟练并正确掌握相关运算法则是解题的关键． 【详解】解：， ， ， 提取公因式，得， ， ， ， ， 故答案为：4． 15．分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 16．已知等腰三角形的两边长分别为，（，都为正整数），且，满足169，则此等腰三角形的周长为 ． 【答案】7或8或11 【分析】本题考查的是因式分解和三角形三边之间的关系，解决本题的关键是熟练掌握这些知识点． 由给定方程解出，再根据非负数的性质求出、的值，最后根据等腰三角形的性质分类讨论周长． 【详解】解：，满足， ，即 ， 解得：． 为正整数， 当时，，当时，， 当时，，若腰为2，则三边为，满足三角形三边关系，周长为7； 若腰为3，则三边为，满足三角形三边关系，周长为8． 当时，，若腰为5，则三边为，满足三角形三边关系，周长为11； 若腰为1，则三边为，但，不满足三角形三边关系，故舍去． 综上，周长为7或8或11． 故答案为：7或8或11． 17．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质，公式法进行因式分解，正确计算是解题的关键． 根据非负数的性质，绝对值和算术平方根均为非负数，它们的和为零，则每个部分均为零，从而求出 m 和 n 的值，然后利用公式法进行因式分解，代入数据进行求值即可． 【详解】解：， 且，， ∴，， 解得：，， 则 当，时， 原式 故答案为： ． 18．若多项式能分解成两个一次因式的积，且其中一个一次因式为，则的值是 【答案】 1 【分析】本题主要考查因式分解，二元一次方程组的运用，多项式乘多项式，掌握多项式乘多项式的法则是关键． 由于多项式能分解成两个一次因式的积，且其中一个因式为，则，根据多项式的乘法法则求解即可． 【详解】解：∵ 多项式能分解成两个一次因式的积，且其中一个一次因式为 ， ∴设， 等式右边， ∴， 解得，， 故答案为：1． 19．若，，则计算的结果为 ． 【答案】4050 【分析】本题考查了因式分解，解决本题的关键是熟练掌握平方差公式． 提取公因式后利用平方差公式简化计算． 【详解】原式 当 ，， 原式=． 故答案为：． 20．分解因式：① ．② ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键． ①先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可； ②先分组得到，再利用提公因式法分解因式即可． 【详解】解：① ， 故答案为：； ② ， 故答案为：． 三、解答题 21．因式分解： (1)． (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分组分解法和十字相乘法进行因式分解． （1）观察多项式结构，前两项含公因式x，后两项含公因式4，采用分组分解法，再分别提取各组公因式，得到，此时两组均含公因式，再次提取公因式完成分解； （2）先将原式展开为二次三项式，寻找两个数，使其乘积为常数项64，和为一次项系数，确定这两个数为和，将二次三项式分解为． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 22．（1）因式分解：． （2）解方程：． 【答案】（1） （2） 【分析】本题考查了因式分解，解决本题的关键是熟练掌握因式分解的方法． （1）直接提取公因式，进而利用完全平方公式计算得出答案； （2）先利用平方差公式进行因式分解，然后计算得出答案. 【详解】解：（1）原式 ． （2）方程左边因式分解，得， 即， 解得． 23．已知整式，整式，若可以分解为，求． 【答案】 【分析】本题考查了多项式的乘法，整式的加减，因式分解． 分别计算和的值，进而作答即可． 【详解】解： ， ， ∵可以分解为， ∴， 解得：． 24．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式分解因式，如多项式：因式分解的结果为或，取个人年龄作为的值，当时，，此时可以得到数字密码1723或2317． (1)根据上述方法，若多项式为，当时，求出数字密码； (2)若小阳选取的多项式为，已知他设置的数字密码是6位数字141213，请尝试分析小阳当前年龄是多少，并说明理由． 【答案】(1)1119或1911 (2)13岁 【分析】本题考查了因式分解的应用以及新定义运算，读懂题意是解题的关键． （1）模仿题干的解题过程，根据因式分解的结果为或，再结合个人具体年龄作进一步分析，即可作答． （2）先把，结合，即可作答． 【详解】（1）解：∵因式分解的结果为或， ∴当时，，， ∴锁屏密码为1119或1911． （2）解：， ∵小阳手机的锁屏密码是6位数字141213，且结合 ∴， ∴． 答：小阳当前年龄是13岁． 25．按要求解答下列各题： (1)因式分解：． (2)已知，，求的值． (3)利用简单方法计算：． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题考查提公因式法分解因式，已知式子的值，求代数式的值，因式分解在有理数简算中的应用． （1）用提公因式法分解因式即可； （2）将转化为，代入已知式子的值，计算即可； （3）将原式转化为，计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， ∴ ， ； （3）解： ． 26．请阅读下列材料，并完成相应的任务． 著名数学家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则．” 配方法是指将一个二次多项式通过配凑的方式配出完全平方式，将其化为一个多项式的平方与一个常数的和的形式．配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，在因式分解、解方程、求最值等问题中都有广泛应用． 一、配方法在因式分解中的应用 例1因式分解：． 解：原式第一步 第二步 第三步 第四步 二、配方法在求最值问题中的应用 例2求的最小值． 解：原式 ． ， ∴当，即时，的值最小，最小值为． 任务： (1)例1因式分解过程中第二步、第三步依据的公式分别是_______，______．（用等式表示） (2)用配方法将因式分解． (3)用配方法求：当为何值时，代数式的值最小，最小值是多少． (4)当______时，代数式有最_______值，是_________． 【答案】(1)，； (2)； (3)当时，有最小值，最小值为； (4)，大，． 【分析】本题考查了因式分解，完全平方公式的应用． （1）根据完全平方公式、平方差公式作答即可； （2）仿照例1作答即可； （3）仿照例2作答即可； （4）仿照例2作答即可． 【详解】（1）解：例1因式分解过程中第二步、第三步依据的公式分别是，， 故答案为：，； （2）解： ； （3）解： ． ， ， ∴当时，有最小值，最小值为； （4）解： ， ， 当时，有最大值，最大值为． 故答案为：，大，． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $