专题11定义.命题.证明（知识梳理+题型精析+寒假预习讲义）2025-2026学年苏科版七年级数学下册

专题11定义.命题.证明 【题型01 判断是否是命题】..........................................3 【题型02 写出命题的题设与结论】....................................5 【题型03 判断命题真假】............................................7 【题型04 举例梳理假(真)命题】......................................9 【题型05 写出命题的逆命题】.......................................10 【题型06 判断是否为互逆命题】.....................................11 【题型07 写出一个命题的已知.求证及证明过程】......................13 【题型08 以代数为背景的推理与论证】...............................15 【题型09 定理与证明】.............................................18 【题型10 互逆定理】...............................................20 【题型11 解答题3题】.............................................22 知识梳理 知识点01:定义 1. 定义的概念 对名称或术语的含义进行精确描述、明确规定的语句，是数学推理的基础依据，消除概念歧义。 2. 核心特征 语句完整、无歧义，明确 “是什么” 具有唯一性、严谨性，是判断与证明的前提 3. 常见示例 平行线：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线 对顶角：有公共顶点，且两边互为反向延长线的两个角叫做对顶角 无理数：无限不循环小数叫做无理数 知识点02:命题 1. 命题的定义 判断一件事情的语句叫做命题（必须是陈述句，有明确的肯定 / 否定判断，不含模糊词语）。 2. 命题的结构 所有命题都由条件（题设）和结论两部分组成，标准形式：“如果……（条件），那么……（结论）”（也可写为 “若……，则……”）。 条件：已知事项（已知） 结论：由条件推出的事项（求证） 3. 命题的分类（按真假） 类型 定义 判断方法 示例 真命题 条件成立时，结论一定成立的命题 严格推理证明 对顶角相等；两直线平行，同位角相等 假命题 条件成立时，结论不一定成立的命题 举反例（一个符合条件但结论不成立的例子） 若a2=b2，则a=b（反例：a=2,b=−2） 4. 逆命题 定义：将一个命题的条件与结论互换，得到的新命题就是原命题的逆命题。 核心结论：每个命题都有逆命题；原命题为真，逆命题不一定为真（反之亦然）。 示例： 原命题：如果两个角是对顶角，那么它们相等（真） 逆命题：如果两个角相等，那么它们是对顶角（假） 知识点03:证明 1. 证明的概念 从已知条件出发，依据定义、基本事实、定理，通过演绎推理判断命题真假的过程（证明的核心是步步有据、逻辑严谨）。 2. 证明的依据（三大来源） (1)已知条件：题目给出的前提 (2)定义：本章及之前学过的概念定义 (3)基本事实（公理）：无需证明、公认成立的真命题（如：两点确定一条直线；同位角相等，两直线平行） (4)定理：已经证明为真的命题，可直接作为后续证明依据（如：对顶角相等；三角形内角和为180∘） 3. 证明的一般步骤（规范格式） 1.审命题：分清条件与结论，转化为 “如果…… 那么……” 形式 2.画图形：根据题意画出几何图形，标注字母 3.写已知、求证：结合图形，用数学符号写出已知条件和要证明的结论 4.写证明过程：从已知出发，每一步推理标注依据（定义 / 基本事实 / 定理），条理清晰推导至结论 5.检查：验证逻辑是否严谨、依据是否正确、结论是否匹配 4. 假命题的判断方法 举反例：找到一个满足命题条件，但不满足结论的具体例子，即可判定该命题为假命题（无需复杂推理）。 知识点04:定理与推论 1. 定理 经过严格证明的真命题，可作为后续证明的直接依据（如：内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行）。 2. 推论 由定理直接推导得出的真命题，与定理具有同等证明效力（如：由 “三角形内角和为180∘” 可推出 “直角三角形两锐角互余”）。 知识点05:核心易错点与关键提醒 1.定义≠命题：定义是 “规定是什么”，命题是 “判断对不对”；所有定义都是真命题，但真命题不一定是定义 2.命题必须有判断：疑问句、感叹句、祈使句（如 “画直线”“对顶角相等吗？”）不是命题 3.逆命题真假无关：原命题真 / 假，逆命题可真可假，需单独判断 4.证明步步有据：严禁 “想当然”，每一步推理必须有定义、基本事实、定理或已知条件支撑 5.反例只需一个：判定假命题，举一个反例即可，无需多个 【题型1.判断是否是命题】 【典例】在下列句子中，是定义的是（   ） A．过一点画已知直线的垂线 B．有一个角是直角的三角形叫作直角三角形 C．作一个角等于已知角 D．a，b两条直线平行吗 【答案】B 【分析】本题主要考查了定义的概念；定义是描述一个术语或概念的本质特征的陈述．选项B明确给出了直角三角形的定义，符合要求． 【详解】解：∵定义是明确概念含义的陈述，选项B中有一个角是直角的三角形叫做直角三角形符合定义的特征； ∴选项B是定义． 其他选项A、C为操作指令，选项D为疑问句，均不是定义． 故选：B． 【跟踪专练1】“你的作业做完了吗”这句话 命题．（填“是”或者“不是”） 【答案】不是 【分析】本题考查命题的概念，把握命题概念的要点是关键．根据命题的定义判断即可． 【详解】解：“你的作业做完了吗”这句话不是命题． 故答案为：不是 【跟踪专练2】下列语句是命题的是（   ） A．若，求的值 B．两直线相交有几个交点 C．画一个角等于已知角 D．若，则 【答案】D 【分析】本题主要考查了命题，掌握命题的定义是解题的关键，判断是否为命题，①是否为陈述句，②是否为判断语句．根据命题的定义分别判断下列选项即可． 【详解】解：A、不是陈述句，故不是命题，本选项不符合题意； B、不是陈述句，故不是命题，本选项不符合题意； C、没有作出判断，故不是命题，本选项不符合题意； D、符合命题的定义，本选项符合题意； 故选：D． 【跟踪专练3】“回文诗”即正念倒念都有意思，均成文章的诗，如：“秋江楚雁宿沙洲，雁宿沙洲浅水流，流水浅洲沙宿雁，洲沙宿雁楚江秋”，其意境与韵味读起来都是一种美的享受在数学中也有这样一类数有这样的特征，即正读倒读都一样的自然数，我们称之为“回文数”，例如，等下列几个命题：是“回文数”；所有两位数中，有个“回文数”；所有三位数中，有个“回文数”；任意六位数的“回文数”是的倍数，其中，真命题有 （填序号）． 【答案】 【分析】本题考查了命题与定理，整式的加减，根据“回文数”的定义进行分析即可求解，解题的关键是熟练掌握“回文数”的定义． 【详解】解：根据定义正读倒读都一样，故是“回文数”；是真命题； 两位数的“回文数”为：，，，，，，，，，合计个；是真命题； 三位数的“回文数”中，百位和个位是的为：，，，，，，，，，，合计个，同理百位和个位是的有个，依次类推，则三位数的“回文数”合计个；是真命题； 设任意六位数的“回文数”十万位，万位，千位，百位，十位，个位上的数字分别为，，，，，，则， 根据定义，，，， ∴， ∴是的倍数；是真命题； 故答案为：． 【题型2.写出命题的题设与结论】 【典例】请把命题“有两个角相等的三角形是等腰三角形”改写成“如果，那么”的表述形式： ． 【答案】如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形 【分析】本题考查命题的改写，关键是准确区分命题的题设与结论．原命题中，“一个三角形有两个角相等”是题设，“这个三角形是等腰三角形”是结论，将题设放在“如果”之后，结论放在“那么”之后即可完成改写． 【详解】解：原命题的题设为“一个三角形有两个角相等”，结论为“这个三角形是等腰三角形”，因此改写成“如果，那么”的形式为：如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形． 故答案为：如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形． 【跟踪专练1】把命题“同角的补角相等”改写成“如果……那么……”的形式，改写正确的（　　） A．如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的补角 B．如果同角，那么补角相等 C．如果两个角相等，那么这两个角的补角也相等 D．如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等 【答案】D 【分析】本题考查了写出命题的题设与结论，正确理解命题即可． 【详解】解：命题“同角的补角相等”的题设为：两个角是同一个角的补角，结论为：这两个角相等， ∴把命题“同角的补角相等”改写成“如果……那么……”的形式为：如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等， 故选：D 【跟踪专练2】根据下面的条件，写出一个结论，使之成为一个真命题． （1）内错角相等， ． （2）如果，那么 ． 【答案】 两直线平行 【分析】本题考查了真命题，按照条件补充完整结论即可，熟知正确的命题是真命题是解题的关键． 【详解】解：（1）内错角相等，两直线平行，是真命题 ； （2）如果，那么，是真命题， 故答案为：两直线平行；． 【跟踪专练3】下列说法不正确的是（    ） A．“相等的角是对顶角”是假命题 B．“两直线平行，同位角相等”是真命题 C．命题“三个内角都相等的三角形是等边三角形”的条件是“一个三角形是等边三角形” D．“若，则”是假命题的反例可以是 【答案】C 【分析】根据对顶角的概念，平行线的判定，等边三角形的定义，绝对值的定义判断各项，即可得出结论． 【详解】解：A．“相等的角是对顶角”是假命题，正确，故A选项不符合题意； B．“两直线平行，同位角相等”是真命题，正确，故B选项不符合题意； C．命题“三个内角都相等的三角形是等边三角形”的条件是“三角形的三个内角都相等”，错误，故C选项符合题意； D．，，故“若，则”是假命题的反例可以是正确，故D选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了判断命题的真假，命题的条件，用反例法证明命题的真假，熟练掌握知识点是解题的关键． 【题型3.判断命题真假】 【典例】下列命题中是真命题的是（      ） A．同角的余角互补 B．相等的角是对顶角 C．两点之间线段最短 D．同位角相等 【答案】C 【分析】本题主要考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．逐一分析各选项是否符合几何基本概念和定理． 【详解】A、同角的余角均为，它们的和为，仅当时成立，错误，为假命题，不符合题意； B、对顶角必相等，但相等的角未必是对顶角（如平行线中的同位角），错误，为假命题，不符合题意； C、两点之间线段最短，此为公理，正确，为真命题，符合题意； D、同位角相等，需两直线平行作为前提，否则不一定成立，错误，为假命题，不符合题意； 故选：C． 【跟踪专练1】命题“若，则”是个 命题（填“真”或“假”） 【答案】假 【分析】本题考查判断命题的真假，根据绝对值的定义，时，a的值可以是2或，因此命题不总是成立，进而可得答案． 【详解】解：∵当时，，但， ∴命题“若，则”是假命题． 故答案为：假． 【跟踪专练2】下列命题中，真命题有（    ）个 ①如果两个角相等，那么它们是对顶角；②声源振动越快，音调就越高；③若，那么；④病毒都不能独立生活． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查判断真假命题，涉及数学，物理、生物等知识，逐项判断真假即可． 【详解】解：①∵相等的角不一定是对顶角，例如两直线平行时的同位角相等，但不是对顶角，∴①是假命题； ②∵声源振动越快，频率越高，音调越高，这是声学基本规律，∴②是真命题； ③∵当时，，但，∴“若，那么”不成立，③是假命题； ④∵病毒无细胞结构，必须寄生在活细胞内才能生活，不能独立生活，∴④是真命题； 综上，真命题共2个， 故选：B． 【跟踪专练3】下列命题中，其逆命题成立的是 （填序号）． ①同旁内角互补，两直线平行；②如果两个角是直角，那么它们度数相等；③如果两个数相等，那么它们的平方相等． 【答案】① 【分析】本题考查了互逆命题及真假命题的定义，熟练掌握它们的概念是解题的关键 把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．判断事物的语句叫命题，正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；先根据互逆命题的定义写出逆命题，再判断真假即可． 【详解】①同旁内角互补，两直线平行的逆命题是：两直线平行，同旁内角互补，是真命题； ②如果两个角是直角，那么它们相等，它的逆命题是：如果两个角相等，那么它们是直角，是假命题； ③如果两个实数相等，那么它们的平方相等，它的逆命题是：如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等，是假命题． 所以，逆命题成立的是① ； 故答案为：① 【题型4.举例说明假(真)命题】 【典例】对于命题“如果，那么”，能说明它是假命题的反例是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查举反例，要说明命题“如果，那么”是假命题，需找到满足但的反例． 【详解】解：A、，和为，且，满足反例条件． B、，和为90°，但，支持原命题． C、，和为，不满足条件． D、，和为，不满足条件． 故选A． 【跟踪专练1】用一组a，b，c的值说明命题“如果，那么”是假命题，这组值可以是a＝ ，b＝ ，c＝ ． 【答案】 2 1 （答案不唯一） 【分析】本题主要考查了假命题，举反例，弄清题意是解题的关键； 假设a，b为正数，c为负数，可知该命题是假命题． 【详解】解：当时，，则， 所以“如果，那么”是假命题． 故答案为：（答案不唯一）． 【跟踪专练2】要判断命题“若，则”是假命题，可以举一个反例．下列反例中符合要求的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查的是命题和定理．根据条件，逐项把数值代入计算并判断，即可解答． 【详解】解：A、若，满足，此选项不符合题意； B、若，满足，此选项不符合题意； C、若，满足，此选项不符合题意； D、若，满足，但，故命题“若，则”是假命题，此选项符合题意； 故选：D． 【跟踪专练3】用一组的值说明命题“若，则”是假命题，这组值可以是 ．（按的顺序填写） 【答案】2，1，-1（答案不唯一） 【分析】根据题意选择a、b、c的值即可． 【详解】解：当a＝2，b＝1，c＝﹣1时，2＞1，而2×（﹣1）＜1×（﹣1）， ∴命题“若a＞b，则ac＞bc”是错误的， 故答案为：2，1，-1（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了命题与定理，不等式的性质，要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 【题型5.写出命题的逆命题】 【典例】命题“两直线平行，内错角相等”的逆命题为（   ） A．两直线相交，内错角相等 B．内错角相等，两直线相交 C．内错角相等，两直线平行 D．以上都不对 【答案】C 【分析】本题考查逆命题，将原命题的条件和结论互换，写出逆命题即可． 【详解】解：“两直线平行，内错角相等”的逆命题为内错角相等，两直线平行； 故选C 【跟踪专练1】如果，那么的逆命题是 ． 【答案】如果 ，那么； 【分析】将一个命题的题设和结论互换就可以得到逆命题． 【详解】解：∵原命题为如果，那么， ∴逆命题为：如果 ，那么， 故答案为：如果 ，那么． 【点睛】本题考查了命题与逆命题的定义，理解逆命题的定义是解题的关键． 【跟踪专练2】下列命题的逆命题是假命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】此题考查了真假命题和逆命题，不等式的性质等知识．写出逆命题，根据不等式的性质进行判断即可． 【详解】解：A. 原命题的逆命题是：若，则，是真命题； B. 原命题的逆命题是：若，则，是真命题； C. 原命题的逆命题是：若，则，是假命题； D. 原命题的逆命题是：若，则，是真命题； 故选：C 【跟踪专练3】下列三个命题：①对顶角相等；②两直线平行，内错角相等；③相等的两个实数的平方也相等．它们的逆命题成立的有 ．（填序号） 【答案】② 【分析】找出各个命题的逆命题，即可判断． 【详解】解：①对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，不成立； ②两直线平行，内错角相等的逆命题是内错角相等，两直线平行，成立； ③相等的两个实数的平方也相等的逆命题是两个实数的平方相等，则这两个数相等，不成立； 故答案为②． 【点睛】本题考查的是命题的真假、逆命题的概念，熟练掌握常见性质定理是解题的关键． 【题型6.判断是否为互逆命题】 【典例】命题1：如果直角三角形的两条直角边长分别为，，斜边长为，那么．命题2：如果一个三角形的三条边长分别为，，，且，那么这个三角形是直角三角形．则命题1与命题2是 命题． 【答案】互逆 【分析】根据互逆命题的定义直接得出的答案，在两个命题中，如果一个命题的结论和题干是另一个命题的题干和结论，则称它们为互逆命题． 【详解】根据互逆命题的定义可知命题1与命题2是互逆命题， 故答案为：互逆 【点睛】本题考查了互逆命题的定义，理解定义是解题的关键． 【跟踪专练1】命题“如果|x|＝|y|，那么x2＝y2”的逆命题是（　　） A．如果|x|≠|y|，那么x2≠y2 B．如果|x|＝|y|，那么x2≠y2 C．如果x2＝y2，那么|x|＝|y| D．如果x2≠y2，那么|x|≠|y| 【答案】C 【分析】交换题设和结论，即可得到答案． 【详解】解：“如果|x|＝|y|，那么x2＝y2”的逆命题是：如果x2＝y2，那么|x|＝|y|， 故选：C． 【点睛】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握求一个命题的逆命题，就是交换原命题的题设与结论． 【跟踪专练2】下列命题的逆命题正确的是(     ) A．对顶角相等 B．直角三角形两锐角互余 C．全等三角形的对应角相等 D．全等三角形的面积相等 【答案】B 【分析】先分别写出第个选项的逆命题，再判断其是否正确． 【详解】解：A的逆命题是：相等的角是对顶角，假命题； B的逆命题是：两锐角互余的三角形是直角三角形，真命题； C的逆命题是：对应角相等的三角形是全等三角形，假命题； D的逆命题是：面积相等的三角形是全等三角形，假命题； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了学生对逆命题以及真假命题的定义的理解，要求学生对常用的基础知识牢固掌握，比较简单． 【跟踪专练3】下列命题中，真命题是（ ） A．真命题的逆命题一定是真命题 B．两边分别平行的两个角相等 C．等角的余角相等 D．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 【答案】C 【分析】本题考查了命题的判断，根据逆命题、平行线的性质，平行公理，等角的余角相等，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：A. 真命题的逆命题不一定是真命题，故该选项不符合题意； B. 两边分别平行的两个角相等或互补，原命题是假命题，故该选项不符合题意； C. 等角的余角相等，故该选项符合题意； D. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故该选项不符合题意； 故选：C． 【题型7.写出一个命题的已知.求证及证明过程】 【典例】实验、观察、归纳得到的结论 正确．因此，要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠实验、观察、归纳是不够的，必须进行有根有据的 ． 【答案】 不一定， 证明 【解析】略 【跟踪专练1】试说明“若，，，则”是真命题．以下是排乱的推理过程： ①因为（已知）； ②因为，（已知）； ③所以，（等式的性质）； ④所以（等量代换）； ⑤所以（等量代换）． 正确的顺序是(   ) A．①→③→②→⑤→④ B．②→③→⑤→①→④ C．②→③→①→⑤→④ D．②→⑤→①→③→④ 【答案】C 【分析】写出正确的推理过程，进行排序即可． 【详解】证明：因为，（已知）， 所以，（等式的性质）； 因为（已知）， 所以（等量代换）． 所以（等量代换）． ∴排序顺序为：②→③→①→⑤→④． 故选C． 【点睛】本题考查推理过程．熟练掌握推理过程，是解题的关键． 【跟踪专练2】命题：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行． (1)请将此命题改写成“如果……那么……”的形式； (2)证明该命题．（要求先画出图形，再写出已知和求证，最后写出证明过程） 【答案】(1)在同一平面内，如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行 (2)见解析 【分析】本题考查了命题，命题的改写，命题的证明等知识，掌握这些基础知识是关键． （1）分清命题的题设与结论，按照如果部分后面是题设，那么部分后面是结论的形式改写即可； （2）画出图形，结合图形写出已知、求证，利用平行线的判定即可完成证明． 【详解】（1）解：改成“如果……那么……”的形式为：在同一平面内，如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行． （2）已知：如图，是同一平面内的三条直线，且． 求证：． 证明：． ． 又和是同位角， ∴． 【跟踪专练3】命题：在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行，画出图形，写出该命题的已知、求证，并证明． 【答案】见解析 【分析】本题考查命题与证明，平行线的判定，解题的关键是熟练掌握平行线的判定定理，属于中考常考题型． 写出已知，求证，根据同位角相等两直线平行即可证明． 【详解】解：已知：，， 求证：， 证明：， ． ， ， ， ． 【题型8.以代数为背景的推理与论证】 【典例】描金又称泥金画漆，是一种传统工艺美术技艺．起源于战国时期，在漆器表面，用金色描绘花纹的装饰方法，常以黑漆作底，也有少数以朱漆为底．描金工作分为两道工序，第一道工序是上漆，第二道工序是描绘花纹．现甲、乙两位工匠要完成，，三件原料的描金工作，每件原料先由甲上漆，再由乙描绘花纹．每道工序所需的时间单位：小时如下： 原料 时间 工序 原料 原料 原料 上漆 描绘花纹 则完成这三件原料的描金工作最少需要 小时． 【答案】 【分析】根据分析，甲按、、的顺序，乙中途不会出现停顿进行解答即可． 【详解】甲按、、的顺序，完成这三件原料的描金工作最少需要（小时）， 故答案为：． 【点睛】此题考查推理与论证，关键是得出工作顺序． 【跟踪专练1】为了传承中华民族传统文化，邗江某学校组织“端午”知识微竞赛．竞赛的试题由6道判断题组成，参赛人员只要画“√”或画“×”表示出对各题的正误判断即可，每小题判断正确得1分，判断错误得0分．竞赛A小组共有甲、乙、丙、丁四位同学，他们对6道试题的判断与得分的结果如下图所示，由此可以推断丁同学的得分为（    ）        第1题 第2题 第3题 第4题 第5题 第6题 得分 甲 √ × × √ × × 4分 乙 × √ × × √ × 4分 丙 × √ √ √ × √ 4分 丁 × × √ √ √ × ？ A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【分析】本题主要考查了简单的合情推理，属于基础题．先根据甲乙的总得分与判断的对错数相等推断出第3道题和第6道题的正确答案均为“×”，进而根据丙的判断可得这6道题目的正确答案是：，进而得出丁的分数． 【详解】解：知识测试共有6道题目，每题判断正确得1分，判断错误得0分，甲、乙的得分都是4分，则甲、乙至少有2道题目的结果相同且为正确答案，不难发现，甲、乙的第3道题和第6道题判断相同，所以第3道题和第6道题的正确答案均为“×”， 所以丙的第3道题和第6道题判断错误，而丙也得了4分，说明丙其余题目全部判断正确， 所以这6道题目的正确答案是：， 所以丁做对了3道，得了3分， 故选：D． 【跟踪专练2】数学游艺会上有一项“手脑并用”游戏，其规则是：五人一组如图围成一圈，第一个同学从1开始，依次循环报数，遇到“3的倍数”或“含数字3”则只拍手不报数；若有人违反规则，则游戏结束．某次游戏结束时，每个人都有拍手也有报数，每一轮（5个数）都有人拍手有人报数．小明：“我拍手的次数比别人都多，还好我没有犯错．”小华：“我拍手的次数比别人都少，我也没有犯错．”则游戏结束时对应的数字是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是数字类的逻辑推理，利用规则进行列表，从而可得答案. 【详解】解：五人依次记为，从开始报数： 如下表： （小明） （小华） 第一轮 报数 报数 拍手 报数 报数 第二轮 拍手 报数 报数 拍手 报数 第三轮 报数 拍手 拍手 报数 拍手 第四轮 报数 报数 拍手 报数 报数 第五轮 拍手 报数 拍手 拍手 报数 第六轮 报数 拍手 报数 报数 报数 ∵小明：“我拍手的次数比别人都多，还好我没有犯错．”小华：“我拍手的次数比别人都少，我也没有犯错．” ∴游戏结束时对应的数字是； 故答案为： 【跟踪专练3】综合实践课上，老师带领学生制作A，B两个飞机模型，每个飞机模型都需要先进行打磨，再进行组装两道工序，才能完成制作，已知制作这两个飞机模型每道工序所需的时间如下： 工序 时间（分钟）模型 打磨 组装 A模型 8 4 B模型 5 10 在不考虑其他因素的前提下， （1）如果由一名学生单独完成这两个飞机模型的制作，那么需要 分钟； （2）如果由两名学生分工合作，一名学生只负责打磨，另一名学生只负责组装，那么完成这两个飞机模型的制作最少需要 分钟． 【答案】 19 【分析】此题主要考查了推理与论证，也考查学生的分析问题和解决问题的能力，分类讨论的思想，是一道比较简单的题目． （1）由表格信息可得由一名学生单独完成这两个飞机模型的制作的时间； （2）分两种情况，①当前一名同学先打磨模型B．②当前一名同学先打磨模型A．再比较大小即可． 【详解】解：（1）如果由一名学生单独完成这两个飞机模型的制作，那么需要分钟 （2）前一名同学先打磨模型B，需要5分钟，然后后一名同学组装模型B需要10分钟，同时前一名同学打磨模型A完成，之后后一名组同学组装模型A需要4分钟，则共用时间为分钟， 前一名同学先打磨模型A，需要8分钟，然后后一名同学组装模型A需要4分钟，同时前一名同学打磨模型B完成，之后后一名组同学组装模型B需要10分钟，则共用时间为分钟， ∵，所以这两个模型都制作完成所需的最短时间为19分钟． 【题型9.定理与证明】 【典例】下面关于基本事实和定理的说法不正确的是（  ） A．基本事实和定理都是真命题 B．基本事实就是定理，定理就是基本事实 C．基本事实和定理都可以作为推理论证的依据 D．基本事实的正确性需要经过实践检验，定理的正确性需要经过演绎推理 【答案】B 【分析】本题考查基本事实与定理的概念辨析，关键是明确两者的定义与区别：基本事实是经过长期实践检验、公认为正确的真命题，无需证明；定理是经过演绎推理证明为正确的真命题，二者都可作为推理论证的依据． 【详解】解：A选项：基本事实是公认的真命题，定理是经过严格演绎推理证明的真命题，因此两者都是真命题，该选项说法正确； B选项：基本事实是无需证明的公认的真命题，定理是需要经过演绎推理证明的真命题，二者概念不同，该选项说法错误； C选项：在数学推理论证过程中，基本事实和已被证明的定理都可以作为推理的依据，该选项说法正确； D选项：基本事实的正确性是通过长期的实践检验得以确认的，定理的正确性是通过演绎推理的方式证明得到的，该选项说法正确． 故选：B． 【跟踪专练1】下面关于公理和定理的说法正确的是（   ） A．公理是真命题，但定理不是 B．公理就是定理，定理也是公理 C．公理可作为证明其他定理的依据 D．公理和定理都应经过证明后才能使用 【答案】C 【分析】本题考查公理和定理的定义，解题的关键是明确公理与定理的核心区别（是否需要证明）及相互关系． 根据公理和定理的定义，逐一分析各选项的正确性． 【详解】公理是公认的真命题，无需证明，可作为证明其他定理的依据；定理是经过公理或已有定理证明的真命题． A：公理和定理都是真命题，此说法错误； B：公理与定理定义不同，并非等价概念，此说法错误； C：公理可作为证明其他定理的依据，此说法正确； D：公理无需证明即可使用，此说法错误． 故选：C． 【跟踪专练2】下列可以作为定理的有（    ） ①一个能被2整除的数也必能被4整除；②相等的角是对顶角；③25与x的平均值是3；④三角形内角和为． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题，举一个反例即可说明；经过推理论证的真命题称为定理．首先利用定理的定义先判断命题是否是真命题，然后再看是否经过推理论证； 经过判断可以得到①、②、③是假命题，④是真命题，是经过推理论证的，据此可以解决问题． 【详解】解：能被2整除的数未必能被4 整除，所以①是假命题，不能作为定理； 相等的角是对顶角是假命题，所以②不能作为定理； 25 与x的平均值是 ，所以③是假命题，不能作为定理； 三角形的内角和为，经过证明是正确的，所以④可以作为定理． 故选：A． 【跟踪专练3】现实生活中的交流、游戏等活动，也得选定一些大家认可的结论、规则作为出发点，这不正是《原本》的思想吗！试找出几个这样的生活实例，与同伴进行交流． 【答案】见解析． 【分析】根据生活实例，言之有理即可． 【详解】具体例子很多，如象棋比赛中，有关游戏规则就相当于其公理． 【点睛】此题主要考查公理的定义、特点，解题的关键是根据实际生活找到例子．设计这一习题的目的在于，让学生更好地体会公理化思想． 【题型10.互逆定理】 【典例】下列说法错误的是（   ） A．任何命题都有逆命题 B．任何定理都有逆定理 C．命题的逆命题不一定是真命题 D．定理的逆定理一定是真命题 【答案】B 【分析】本题考查命题与定理，逆定理、互逆定理、原命题、逆命题、互逆命题等知识，解题的关键是掌握基本概念，根据命题和定理的定义对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A、任何命题都有逆命题，正确，故本选项不符合题意； B、任何定理不一定都有逆定理，故本选项符合题意； C、命题的逆命题不一定为真命题，故本选项不符合题意； D、如果一个定理的逆命题能被证明为真命题，那么它叫做原定理的逆定理.故定理的逆定理一定是真命题，本选项不符合题意； 故选：B． 【跟踪专练1】两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的 ，而第一个命题的结论是第二个命题的 ，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的 ．如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么就叫它是原定理的 ． 【答案】 结论 条件 逆命题 逆定理 【分析】根据互逆命题的定义：两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题．以及定理的逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么就叫它是原定理的逆定理，进行作答即可． 【详解】解：两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题．如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么就叫它是原定理的逆定理． 故答案为：结论，条件，逆命题，逆定理． 【点睛】本题考查互逆命题，以及定理的逆定理．熟练掌握相关知识点，是解题的关键． 【跟踪专练2】下列说法不正确的是（    ） A．命题有真命题，也有假命题 B．要说明一个命题是假命题，只要举出反例即可 C．一个定理的逆命题是原定理的逆定理 D．要说明一个命题是真命题，需要进行证明 【答案】C 【分析】根据所学命题的相关知识判断选择即可． 【详解】命题有真命题，也有假命题，是正确的，故A不符合题意； 要说明一个命题是假命题，只要举出反例即可，是正确的，故B不符合题意； 一个定理的逆命题是原定理的逆命题，逆命题不一定正确，即不一定是原定理的逆定理，原说法错误，故C符合题意； 要说明一个命题是真命题，需要进行证明，是正确的，故D不符合题意； 故选C． 【点睛】本题考查了命题的分类、命题的证明、命题与定理的关系，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【跟踪专练3】下列定理中，哪些有逆定理？如果有逆定理，说出它的逆定理． (1)等腰三角形的两个底角相等． (2)内错角相等，两直线平行． (3)对顶角相等． 【答案】(1)有逆定理，逆定理为：两个底角相等的三角形是等腰三角形 (2)有逆定理，逆定理为：两直线平行，内错角相等 (3)没有逆定理 【分析】先写出对应命题的逆命题，然后判断真假即可得到答案． 【详解】（1）解：命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题为“两个角相等的三角形是等腰三角形”，是真命题，故定理“等腰三角形的两个底角相等”有逆定理； （2）解：命题“内错角相等，两直线平行”的逆命题为“两直线平行，内错角相等”，是真命题，故定理“内错角相等，两直线平行”有逆定理； （3）解：命题“对顶角相等”的逆命题为“相等的角是对顶角”，是假命题， 故定理“对顶角相等”没有逆定理． 【点睛】本题主要考查了互逆命题和互逆定理，正确写出每个命题的逆命题并判断真假是解题的关键． 解答题 1．判断下列命题是真命题还是假命题．如果是假命题，请举出一个反例． (1)异号两数相加和为零． (2)若，则． 【答案】(1)假命题．反例见解析 (2)假命题．反例见解析 【分析】本题主要考查了真命题和假命题的判断， 根据真假命题的定义解答，举出反例即可． 【详解】（1）解：异号两数相加和为零，为假命题．反例：； （2）解：若，则，为假命题，，则． 2．写出下列命题的条件和结论： (1)能被整除的数一定是偶数． (2)两直线平行，同旁内角互补． (3)平行于同一条直线的两条直线平行． 【答案】(1)条件：一个数能被2整除；结论：这个数是偶数． (2)条件：两直线平行；结论：同旁内角互补． (3)条件：两条直线都平行于同一条直线；结论：这两条直线平行． 【分析】本题主要考查命题，条件和结论的概念，熟练掌握其概念是做题的关键． （1）根据原命题改写为“如果一个数能被整除，那么这个数一定是偶数”，即可得出答案； （2）根据原命题改写为“如果两直线平行，那么同旁内角互补”，即可得出答案； （3）根据原命题改写为“如果两条直线都平行于同一条直线，那么这两条直线平行”，即可得出答案． 【详解】（1）解：条件：一个数能被2整除；结论：这个数是偶数． （2）解：条件：两直线平行；结论：同旁内角互补． （3）解：条件：两条直线都平行于同一条直线；结论：这两条直线平行． 3．补全下列推理过程： 如图，，，，试说明． 解：∵，，（已知）， ∴（垂直的定义）， ∴（____________）． ∴（____________）． ∵（已知）， ∴____________（等量代换）． ∴（____________）． 【答案】答案见详解； 【分析】本题考查证明补充条件，根据条件与结论因果关系直接填写即可得到答案； 【详解】解：∵，（已知）， ∴（垂直的定义）， ∴（　同位角相等，两直线平行　）， ∴（　两直线平行，同位角相等　）， ∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（　内错角相等，两直线平行　）． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11定义.命题.证明 【题型01 判断是否是命题】..........................................3 【题型02 写出命题的题设与结论】....................................4 【题型03 判断命题真假】............................................5 【题型04 举例梳理假(真)命题】......................................5 【题型05 写出命题的逆命题】........................................5 【题型06 判断是否为互逆命题】......................................6 【题型07 写出一个命题的已知.求证及证明过程】.......................6 【题型08 以代数为背景的推理与论证】................................7 【题型09 定理与证明】..............................................9 【题型10 互逆定理】................................................9 【题型11 解答题3题】.............................................10 知识梳理 知识点01:定义 1. 定义的概念 对名称或术语的含义进行精确描述、明确规定的语句，是数学推理的基础依据，消除概念歧义。 2. 核心特征 语句完整、无歧义，明确 “是什么” 具有唯一性、严谨性，是判断与证明的前提 3. 常见示例 平行线：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线 对顶角：有公共顶点，且两边互为反向延长线的两个角叫做对顶角 无理数：无限不循环小数叫做无理数 知识点02:命题 1. 命题的定义 判断一件事情的语句叫做命题（必须是陈述句，有明确的肯定 / 否定判断，不含模糊词语）。 2. 命题的结构 所有命题都由条件（题设）和结论两部分组成，标准形式：“如果……（条件），那么……（结论）”（也可写为 “若……，则……”）。 条件：已知事项（已知） 结论：由条件推出的事项（求证） 3. 命题的分类（按真假） 类型 定义 判断方法 示例 真命题 条件成立时，结论一定成立的命题 严格推理证明 对顶角相等；两直线平行，同位角相等 假命题 条件成立时，结论不一定成立的命题 举反例（一个符合条件但结论不成立的例子） 若a2=b2，则a=b（反例：a=2,b=−2） 4. 逆命题 定义：将一个命题的条件与结论互换，得到的新命题就是原命题的逆命题。 核心结论：每个命题都有逆命题；原命题为真，逆命题不一定为真（反之亦然）。 示例： 原命题：如果两个角是对顶角，那么它们相等（真） 逆命题：如果两个角相等，那么它们是对顶角（假） 知识点03:证明 1. 证明的概念 从已知条件出发，依据定义、基本事实、定理，通过演绎推理判断命题真假的过程（证明的核心是步步有据、逻辑严谨）。 2. 证明的依据（三大来源） (1)已知条件：题目给出的前提 (2)定义：本章及之前学过的概念定义 (3)基本事实（公理）：无需证明、公认成立的真命题（如：两点确定一条直线；同位角相等，两直线平行） (4)定理：已经证明为真的命题，可直接作为后续证明依据（如：对顶角相等；三角形内角和为180∘） 3. 证明的一般步骤（规范格式） 1.审命题：分清条件与结论，转化为 “如果…… 那么……” 形式 2.画图形：根据题意画出几何图形，标注字母 3.写已知、求证：结合图形，用数学符号写出已知条件和要证明的结论 4.写证明过程：从已知出发，每一步推理标注依据（定义 / 基本事实 / 定理），条理清晰推导至结论 5.检查：验证逻辑是否严谨、依据是否正确、结论是否匹配 4. 假命题的判断方法 举反例：找到一个满足命题条件，但不满足结论的具体例子，即可判定该命题为假命题（无需复杂推理）。 知识点04:定理与推论 1. 定理 经过严格证明的真命题，可作为后续证明的直接依据（如：内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行）。 2. 推论 由定理直接推导得出的真命题，与定理具有同等证明效力（如：由 “三角形内角和为180∘” 可推出 “直角三角形两锐角互余”）。 知识点05:核心易错点与关键提醒 1.定义≠命题：定义是 “规定是什么”，命题是 “判断对不对”；所有定义都是真命题，但真命题不一定是定义 2.命题必须有判断：疑问句、感叹句、祈使句（如 “画直线”“对顶角相等吗？”）不是命题 3.逆命题真假无关：原命题真 / 假，逆命题可真可假，需单独判断 4.证明步步有据：严禁 “想当然”，每一步推理必须有定义、基本事实、定理或已知条件支撑 5.反例只需一个：判定假命题，举一个反例即可，无需多个 【题型1.判断是否是命题】 【典例】在下列句子中，是定义的是（   ） A．过一点画已知直线的垂线 B．有一个角是直角的三角形叫作直角三角形 C．作一个角等于已知角 D．a，b两条直线平行吗 【跟踪专练1】“你的作业做完了吗”这句话 命题．（填“是”或者“不是”） 【跟踪专练2】下列语句是命题的是（   ） A．若，求的值 B．两直线相交有几个交点 C．画一个角等于已知角 D．若，则 【跟踪专练3】“回文诗”即正念倒念都有意思，均成文章的诗，如：“秋江楚雁宿沙洲，雁宿沙洲浅水流，流水浅洲沙宿雁，洲沙宿雁楚江秋”，其意境与韵味读起来都是一种美的享受在数学中也有这样一类数有这样的特征，即正读倒读都一样的自然数，我们称之为“回文数”，例如，等下列几个命题：是“回文数”；所有两位数中，有个“回文数”；所有三位数中，有个“回文数”；任意六位数的“回文数”是的倍数，其中，真命题有 （填序号）． 【题型2.写出命题的题设与结论】 【典例】请把命题“有两个角相等的三角形是等腰三角形”改写成“如果，那么”的表述形式： ． 【跟踪专练1】把命题“同角的补角相等”改写成“如果……那么……”的形式，改写正确的（　　） A．如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的补角 B．如果同角，那么补角相等 C．如果两个角相等，那么这两个角的补角也相等 D．如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等 【跟踪专练2】根据下面的条件，写出一个结论，使之成为一个真命题． （1）内错角相等， ． （2）如果，那么 ． 【跟踪专练3】下列说法不正确的是（    ） A．“相等的角是对顶角”是假命题 B．“两直线平行，同位角相等”是真命题 C．命题“三个内角都相等的三角形是等边三角形”的条件是“一个三角形是等边三角形” D．“若，则”是假命题的反例可以是 【题型3.判断命题真假】 【典例】下列命题中是真命题的是（      ） A．同角的余角互补 B．相等的角是对顶角 C．两点之间线段最短 D．同位角相等 【跟踪专练1】命题“若，则”是个 命题（填“真”或“假”） 【跟踪专练2】下列命题中，真命题有（    ）个 ①如果两个角相等，那么它们是对顶角；②声源振动越快，音调就越高；③若，那么；④病毒都不能独立生活． A．1 B．2 C．3 D．4 【跟踪专练3】下列命题中，其逆命题成立的是 （填序号）． ①同旁内角互补，两直线平行；②如果两个角是直角，那么它们度数相等；③如果两个数相等，那么它们的平方相等． 【题型4.举例说明假(真)命题】 【典例】对于命题“如果，那么”，能说明它是假命题的反例是（  ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】用一组a，b，c的值说明命题“如果，那么”是假命题，这组值可以是a＝ ，b＝ ，c＝ ． 【跟踪专练2】要判断命题“若，则”是假命题，可以举一个反例．下列反例中符合要求的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【跟踪专练3】用一组的值说明命题“若，则”是假命题，这组值可以是 ．（按的顺序填写） 【题型5.写出命题的逆命题】 【典例】命题“两直线平行，内错角相等”的逆命题为（   ） A．两直线相交，内错角相等 B．内错角相等，两直线相交 C．内错角相等，两直线平行 D．以上都不对 【跟踪专练1】如果，那么的逆命题是 ． 【跟踪专练2】下列命题的逆命题是假命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【跟踪专练3】下列三个命题：①对顶角相等；②两直线平行，内错角相等；③相等的两个实数的平方也相等．它们的逆命题成立的有 ．（填序号） 【题型6.判断是否为互逆命题】 【典例】命题1：如果直角三角形的两条直角边长分别为，，斜边长为，那么．命题2：如果一个三角形的三条边长分别为，，，且，那么这个三角形是直角三角形．则命题1与命题2是 命题． 【跟踪专练1】命题“如果|x|＝|y|，那么x2＝y2”的逆命题是（　　） A．如果|x|≠|y|，那么x2≠y2 B．如果|x|＝|y|，那么x2≠y2 C．如果x2＝y2，那么|x|＝|y| D．如果x2≠y2，那么|x|≠|y| 【跟踪专练2】下列命题的逆命题正确的是(     ) A．对顶角相等 B．直角三角形两锐角互余 C．全等三角形的对应角相等 D．全等三角形的面积相等 【跟踪专练3】下列命题中，真命题是（ ） A．真命题的逆命题一定是真命题 B．两边分别平行的两个角相等 C．等角的余角相等 D．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 【题型7.写出一个命题的已知.求证及证明过程】 【典例】实验、观察、归纳得到的结论 正确．因此，要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠实验、观察、归纳是不够的，必须进行有根有据的 ． 【跟踪专练1】试说明“若，，，则”是真命题．以下是排乱的推理过程： ①因为（已知）； ②因为，（已知）； ③所以，（等式的性质）； ④所以（等量代换）； ⑤所以（等量代换）． 正确的顺序是(   ) A．①→③→②→⑤→④ B．②→③→⑤→①→④ C．②→③→①→⑤→④ D．②→⑤→①→③→④ 【跟踪专练2】命题：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行． (1)请将此命题改写成“如果……那么……”的形式； (2)证明该命题．（要求先画出图形，再写出已知和求证，最后写出证明过程） 【跟踪专练3】命题：在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行，画出图形，写出该命题的已知、求证，并证明． 【题型8.以代数为背景的推理与论证】 【典例】描金又称泥金画漆，是一种传统工艺美术技艺．起源于战国时期，在漆器表面，用金色描绘花纹的装饰方法，常以黑漆作底，也有少数以朱漆为底．描金工作分为两道工序，第一道工序是上漆，第二道工序是描绘花纹．现甲、乙两位工匠要完成，，三件原料的描金工作，每件原料先由甲上漆，再由乙描绘花纹．每道工序所需的时间单位：小时如下： 原料 时间 工序 原料 原料 原料 上漆 描绘花纹 则完成这三件原料的描金工作最少需要 小时． 【跟踪专练1】为了传承中华民族传统文化，邗江某学校组织“端午”知识微竞赛．竞赛的试题由6道判断题组成，参赛人员只要画“√”或画“×”表示出对各题的正误判断即可，每小题判断正确得1分，判断错误得0分．竞赛A小组共有甲、乙、丙、丁四位同学，他们对6道试题的判断与得分的结果如下图所示，由此可以推断丁同学的得分为（    ）        第1题 第2题 第3题 第4题 第5题 第6题 得分 甲 √ × × √ × × 4分 乙 × √ × × √ × 4分 丙 × √ √ √ × √ 4分 丁 × × √ √ √ × ？ A．6 B．5 C．4 D．3 【跟踪专练2】数学游艺会上有一项“手脑并用”游戏，其规则是：五人一组如图围成一圈，第一个同学从1开始，依次循环报数，遇到“3的倍数”或“含数字3”则只拍手不报数；若有人违反规则，则游戏结束．某次游戏结束时，每个人都有拍手也有报数，每一轮（5个数）都有人拍手有人报数．小明：“我拍手的次数比别人都多，还好我没有犯错．”小华：“我拍手的次数比别人都少，我也没有犯错．”则游戏结束时对应的数字是 ． （小明） （小华） 第一轮 报数 报数 拍手 报数 报数 第二轮 拍手 报数 报数 拍手 报数 第三轮 报数 拍手 拍手 报数 拍手 第四轮 报数 报数 拍手 报数 报数 第五轮 拍手 报数 拍手 拍手 报数 第六轮 报数 拍手 报数 报数 报数 【跟踪专练3】综合实践课上，老师带领学生制作A，B两个飞机模型，每个飞机模型都需要先进行打磨，再进行组装两道工序，才能完成制作，已知制作这两个飞机模型每道工序所需的时间如下： 工序 时间（分钟）模型 打磨 组装 A模型 8 4 B模型 5 10 在不考虑其他因素的前提下， （1）如果由一名学生单独完成这两个飞机模型的制作，那么需要 分钟； （2）如果由两名学生分工合作，一名学生只负责打磨，另一名学生只负责组装，那么完成这两个飞机模型的制作最少需要 分钟． 【题型9.定理与证明】 【典例】下面关于基本事实和定理的说法不正确的是（  ） A．基本事实和定理都是真命题 B．基本事实就是定理，定理就是基本事实 C．基本事实和定理都可以作为推理论证的依据 D．基本事实的正确性需要经过实践检验，定理的正确性需要经过演绎推理 【跟踪专练1】下面关于公理和定理的说法正确的是（   ） A．公理是真命题，但定理不是 B．公理就是定理，定理也是公理 C．公理可作为证明其他定理的依据 D．公理和定理都应经过证明后才能使用 【跟踪专练2】下列可以作为定理的有（    ） ①一个能被2整除的数也必能被4整除；②相等的角是对顶角；③25与x的平均值是3；④三角形内角和为． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【跟踪专练3】现实生活中的交流、游戏等活动，也得选定一些大家认可的结论、规则作为出发点，这不正是《原本》的思想吗！试找出几个这样的生活实例，与同伴进行交流． 【题型10.互逆定理】 【典例】下列说法错误的是（   ） A．任何命题都有逆命题 B．任何定理都有逆定理 C．命题的逆命题不一定是真命题 D．定理的逆定理一定是真命题 【跟踪专练1】两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的 ，而第一个命题的结论是第二个命题的 ，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的 ．如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么就叫它是原定理的 ． 【跟踪专练2】下列说法不正确的是（    ） A．命题有真命题，也有假命题 B．要说明一个命题是假命题，只要举出反例即可 C．一个定理的逆命题是原定理的逆定理 D．要说明一个命题是真命题，需要进行证明 【跟踪专练3】下列定理中，哪些有逆定理？如果有逆定理，说出它的逆定理． (1)等腰三角形的两个底角相等． (2)内错角相等，两直线平行． (3)对顶角相等． 解答题 1．判断下列命题是真命题还是假命题．如果是假命题，请举出一个反例． (1)异号两数相加和为零． (2)若，则． 2．写出下列命题的条件和结论： (1)能被整除的数一定是偶数． (2)两直线平行，同旁内角互补． (3)平行于同一条直线的两条直线平行． 3．补全下列推理过程： 如图，，，，试说明． 解：∵，，（已知）， ∴（垂直的定义）， ∴（____________）． ∴（____________）． ∵（已知）， ∴____________（等量代换）． ∴（____________）． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $