第2课时 等比数列性质及其应用 课件-2025-2026学年高二下学期数学北师大版选择性必修第二册

学习目标 情境引入 探求新知 典例铺路 随堂演练 课堂小结 当堂检测 第一章 数列复习 互动设计 第2课时 等比数列的性质及其应用 互动设计课程 1 课件部分内容快照 【核心性质梳理】 类型三：最 典型题例 一、基本性质 二、前n项和性质（q≠-1） 三、与等差数列对比 例1：下标积性质 例2：等比中项 例3：片段和性质 例4：综合应用 互动设计课程 学 习 目 标 熟练运用等比数列性质。。。 返回主页 探 求 新 知 返回主页 一、基本性质 二、前n项和性质（q≠-1） 三、与等差数列对比 一、基本性质 性质 内容 注意 下标积性质 等差是和，等比是积 等比中项 （两同号数的等比中项有两个） 时才存在 等间隔子列 仍为等比数列 公比为 积的对数 成等差数列（） 联系等差与等比 展开，结合通项公式，可简化计算、快速解题，以下是高频核心性质，搭配推导与说明，便于理解记忆。 则 易错提醒：① 下标必须为正整数，且满足“和相等”；② 若 ，则 等比中项（若 成等比，则 ；或数列中 ） 注意：等比数列中奇数项同号，偶数项同号 二、前n项和性质（q≠-1） 性质 内容 片段和成等比 成等比，公比 和式递推 奇偶项性质 若项数为 ，则 三、与等差数列对比 对比项 等差数列 等比数列 定义 中项 下标性质 片段性质 成等差 成等比 典 例 铺 路 例1：下标积性质 例2：等比中项 例3：片段和性质 例4：综合应用 例1：下标积性质 题目： 等比数列 中，，求 和 。 解析： - ，故 ， - ，故 技巧： 下标和相等，对应项积相等。 在等比数列 中，已知 ，，求 的值。 即时练 解：由下标积性质，，所以 。 代入得 ，故 。 例2：等比中项 题目： 在 和 之间插入三个数，使这五个数成等比数列，求插入的三个数。 解析： 设五个数为 则 ，， ：插入 ：插入 注意： 等比中项有两个，不要漏解。 在等比数列 中，，，求 的值。 即时练 解：由下标积性质，，所以 。 即 ，得 ，所以 。 （注意：等比数列中奇数项同号，偶数项同号，此处 ，，则 也应大于0，故取 。） 已知 是 和 的等比中项，求实数 的值。 例3：片段和性质 题目： 等比数列 中，，求 。 解析： 成等比，即 成等比 公比为 ，故 ， 快捷： 无需求 和 。 已知等比数列 的前 项和为 ，且 ，，求 。 即时练 解：由片段和性质， 成等比数列。 ，，设公比为 （因为每4项一段），则 ，得 。 那么下一段 ，所以 。 例4：综合应用 题目： 等比数列 各项均为正数，且 ，求 。 解析： - （下标和都是11） - ， 原式 概念辨析 随 堂 演 练 返回主页 【基础训练】 1. 等比数列 中，，则 ______。 【基础训练】 2. 等比数列 中，，则 ______；若 ，则 ______。 【基础训练】 3. 等比数列 中，，则 ______。 【能力提升】 4. 等比数列 各项为正，，则 ______。 5. 已知等比数列 的前 项和为 ，若 ，则 ______。 6. 在等比数列 中，，则 ______。 【参考答案】 1. 或 （若限定正数则为8） 解析： 2. ； 解析：；原式 3. 解析： 成等比，即 成等比，， 4. 解析：，原式 ，（各项为正） 5. 解析： 成等比，设 ，则 ，中间项为 ，公比为 ，，， 6. 解析：，， 随 堂 检 测 返回主页 【选择题】 1.在等比数列 中，，且 ，求 的值。 解：由等比中项性质， 是 和 的等比中项，即 ，所以 （因为正数）。 2、在等比数列中，前10项和为10，前20项和为30，求前30项和。 解：设前10项和为 ，则 ，由片段和性质， 成等比，公比 。 则 ，得 。 所以 ，故 。 3.在等比数列 中，已知 ，求 的值。若 成等比数列，且 ，，求 的值。   ∵2,3,4的最小公倍数是12，∴设2a=3b=4c=12k(k≠0)，则a=6k,b=4k,c=3k.∵a+b+c=26,∴6k+4k+3k=26,解得k=2.∴a=12,b=8,c=6.   4.等比数列 的前 项和为 ，若 ，，求 。   解：∵等比数列{aₙ}的前n项和为Sₙ.S₃=7，S₆=63. ∴由等比数列的性质得S₃，S₆-S₃，S₆-S₆成等比数列， 即7，56，S₉-63， ∴56²=7(S₉-63)， 解得S₉=511. 故答案为：511.   5.已知三个数成等比数列，它们的积为64，若中间的数加上2，则成等差数列，求原来的三个数。   解：，它们的乘积是64， ，4，b，则第三个数减去2可得a，4，b-2， ，a+b-2=8， 即ab=16，a+b=10， a=2，b=8， 故这三个数为：2，4，8.   6.在等比数列中，，，求公比 和 。   设等比数列公比为 ，首项为 。由题意得： 两式相除消去 ，得： 将 代入第一个方程，解得： 答案： 公比 ，首项 。   课 堂 小 结 知识小结 返回主页 1 2 3 4 认真领会 1. 知识小结 题型 关键方法 已知两项求第三项 下标积性质：（） 插入若干数成等比 设首项和公比，或直接用等比中项 涉及 的比例 片段和性质，避免求 对数求和问题 积化对数：，再用下标性质 51 $