6.1 课时1 计数原理及其简单应用 同步作业-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

6.1 课时1 计数原理及其简单应用 【基础巩固】 1．某班有女生人，男生人，现从该班级选名同学参加某活动，不同的选法有（ ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】C 【解析】完成不同选法这件事有两类办法：选女生有种方法；选男生有种方法， 所以不同的选法有（种）. 故选：C 2．甲、乙、丙、丁四人各写一张贺卡，先将贺卡集中起来，然后每人从中拿一张别人写的贺卡，则不同的分配方式有（ ） 种. A． B． C． D． 【答案】A 【解析】(1)甲先拿，有种拿法； (2)再让写那张被甲拿到的卡片的人去拿，有种拿法； (3)剩余两人只有种拿法，根据分步乘法计数原理知共有种拿法， 故选：A. 3．“万物和生——故宫博物院藏动物题材绘画特展”在故宫博物院文华殿书画馆开展，展览分为“百鸟鸣春”“百兽率舞”“百态生灵”3个单元.现有甲、乙、丙三名游客参观展览，每人选择其中的一个单元进行参观，则至少有一人参观“百鸟鸣春”的参观方案有（ ） A．12种 B．18种 C．19种 D．24种 【答案】C 【解析】由题可知：至少有一人参观“百鸟鸣春”的参观方案有种.故选：C 4．下列说法正确的是（ ） A．中国灯笼又统称为灯彩，主要有宫灯、纱灯、吊灯等种类，现有名学生，每人从宫灯、纱灯、吊灯中选购种，则不同的选购方式有种 B．从村去村的道路有条，从村去村的道路有条，则从村经过村去村不同的路线的条数为 C．一个两层书架，分别放置语文类读物本，数学类读物本，每本读物各不相同，从中取出本，则不同的取法共有种 D．从五个数字中任选个数字，可组成无重复数字的三位数的个数为 【答案】D 【解析】对于A，现有名学生，每人从宫灯、纱灯、吊灯中选购种，每人都有种选择，则不同的选购方式有种，故A错误； 对于B，从村去村的道路有条，从村去村的道路有条，则从村经过村去村不同的路线的条数为种，故B错误； 对于C，一个两层书架，分别放置语文类读物本，数学类读物本，每本读物各不相同，从中取出本，共有种取法，故错误； 对于D，从五个数字中任选个，可组成无重复数字的三位数分三步， 首先确定百位有种，再确定十位有种选择，最后个位有种选择，故共有个，故D正确． 故选：D 5．（多选）现有不同的球个，其中红球个，黄球个，绿球个，则下列说法正确的是（ ） A．从中任选个球，有种不同的选法 B．若每种颜色选出个球，有种不同的选法 C．若要选出不同颜色的个球，有种不同的选法 D．若要不放回地依次选出个球，有种不同的选法 【答案】ABD 【解析】A. 从中任选个球，有种不同的选法，所以该选项正确； B. 若每种颜色选出个球，有种不同的选法，所以该选项正确； C. 若要选出不同颜色的个球，有种不同的选法，所以该选项错误； D. 若要不放回地依次选出个球，有种不同的选法，所以该选项正确. 故选：ABD 6．个老师分配到个班里搞活动，不同的分法有______种． 【答案】 【解析】每个老师都有种分配方法，故个老师共有种. 故答案为： 7．中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）的一种，现有十二生肖的吉祥物各一个，甲、乙、丙三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛、马和羊，乙同学喜欢牛、兔、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，则让三位同学选取的礼物都满意的选择方法共有_________种（用数字作答） 【答案】 【解析】由于三人都喜欢牛、羊这两种吉祥物，分以下几种情况讨论： 若甲选牛或羊作吉祥物，则乙有种选择，丙有种选择， 此时，不同的选择方法种数为种； 若甲选马作吉祥物，则乙有种选择，丙有种选择， 此时，不同的选择方法种数为种. 综上所述，不同的选择方法种数为种. 故答案为：. 8．甲、乙、丙、丁四名同学报名参加，，三个智力竞赛项目，每个人都要报名且只能参加一个项目． (1)共有多少种不同的报名方法？ (2)若甲、乙报同一项目，丙不报项目，则有多少种不同的报名方法？ 【答案】见解析 【解析】(1)每个同学都有种选择，则甲、乙、丙、丁四名同学的报名方法种数为. (2)甲、乙报同一项目，则甲、乙报名的方法种数为， 丙不报项目，则丙有种选择，丁有种选择， 由分步乘法计数原理可知，不同的报名方法种数为. 【能力拓展】 9．若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式为，值域为的“同族函数”包含的函数个数为（ ） A．3 B．8 C．9 D．27 【答案】D 【解析】由题设，的值域为，则或或， 结合“同族函数”的定义，则函数定义域分别从、、中各取至少一个数，所以共有种.故选：D 10．程大位（1533-1606）是明代珠算发明家，徽州人.他所编撰的《直指算法统宗》是最早记载珠算开平方、开立方方法的古算书之一，它完成了计算由筹算向珠算的转变，使算盘成为主要的计算工具.算盘其形长方，周为木框，内贯直柱，俗称“档”.现有一种算盘（如图）共三档，自右向左分别表示个位、十位和百位，档中横以梁，梁上一珠，下拨一珠记作数字：梁下五珠，上拨一珠记作数字.例如：图中算盘表示整数.如果拨动图中算盘的枚算珠，则可以表示不同的三位整数中能被整除的个数为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题“百位”拨动枚算珠可以表示的不同的三位整数有：； “百位”拨动枚算珠可以表示的不同的三位整数有：； “百位”拨动枚算珠可以表示的不同的三位整数有：；. 其中能被整除的三位整数为：. 所以共有个. 故选：B. 11．商场某区域的行走路线图可以抽象为一个正方体道路网（如图，图中的线段均为可行走的通道），甲、乙两人同时从点以相同的速度出发，随机地选择一条最短路径，同时经过并最终到达，共有__________种不同的行走方法．（用数字作答） 【答案】 【解析】由图可知：从点到点最短路径有种情况，从点到点最短路径有种情况， 所以甲、乙两人同时从点到点最短路径有种. 故答案为： 【素养提升】 12．若集合、满足，则称为集合的一个分拆，并规定：当且仅当时，与为集合的同一种分拆，求集合的不同分拆种数. 【答案】 【解析】，对分以下几种情况讨论： 若，必有,,，共种拆分； 若，则,或,,，共种拆分；同理，时，各有种拆分； 若,，则、,、,或,,，共种拆分；同理,、,时，各有种拆分； 若,,，则、、、、,、,、,，,,．共种拆分；共有种不同的拆分． 第4页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.1 课时1 计数原理及其简单应用 【基础巩固】 1．某班有女生人，男生人，现从该班级选名同学参加某活动，不同的选法有（ ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】C 【解析】完成不同选法这件事有两类办法：选女生有种方法；选男生有种方法， 所以不同的选法有（种）. 故选：C 2．甲、乙、丙、丁四人各写一张贺卡，先将贺卡集中起来，然后每人从中拿一张别人写的贺卡，则不同的分配方式有（ ） 种. A． B． C． D． 【答案】A 【解析】(1)甲先拿，有种拿法； (2)再让写那张被甲拿到的卡片的人去拿，有种拿法； (3)剩余两人只有种拿法，根据分步乘法计数原理知共有种拿法， 故选：A. 3．“万物和生——故宫博物院藏动物题材绘画特展”在故宫博物院文华殿书画馆开展，展览分为“百鸟鸣春”“百兽率舞”“百态生灵”3个单元.现有甲、乙、丙三名游客参观展览，每人选择其中的一个单元进行参观，则至少有一人参观“百鸟鸣春”的参观方案有（ ） A．12种 B．18种 C．19种 D．24种 【答案】C 【解析】由题可知：至少有一人参观“百鸟鸣春”的参观方案有种.故选：C 4．下列说法正确的是（ ） A．中国灯笼又统称为灯彩，主要有宫灯、纱灯、吊灯等种类，现有名学生，每人从宫灯、纱灯、吊灯中选购种，则不同的选购方式有种 B．从村去村的道路有条，从村去村的道路有条，则从村经过村去村不同的路线的条数为 C．一个两层书架，分别放置语文类读物本，数学类读物本，每本读物各不相同，从中取出本，则不同的取法共有种 D．从五个数字中任选个数字，可组成无重复数字的三位数的个数为 【答案】D 【解析】对于A，现有名学生，每人从宫灯、纱灯、吊灯中选购种，每人都有种选择，则不同的选购方式有种，故A错误； 对于B，从村去村的道路有条，从村去村的道路有条，则从村经过村去村不同的路线的条数为种，故B错误； 对于C，一个两层书架，分别放置语文类读物本，数学类读物本，每本读物各不相同，从中取出本，共有种取法，故错误； 对于D，从五个数字中任选个，可组成无重复数字的三位数分三步， 首先确定百位有种，再确定十位有种选择，最后个位有种选择，故共有个，故D正确． 故选：D 5．（多选）现有不同的球个，其中红球个，黄球个，绿球个，则下列说法正确的是（ ） A．从中任选个球，有种不同的选法 B．若每种颜色选出个球，有种不同的选法 C．若要选出不同颜色的个球，有种不同的选法 D．若要不放回地依次选出个球，有种不同的选法 【答案】ABD 【解析】A. 从中任选个球，有种不同的选法，所以该选项正确； B. 若每种颜色选出个球，有种不同的选法，所以该选项正确； C. 若要选出不同颜色的个球，有种不同的选法，所以该选项错误； D. 若要不放回地依次选出个球，有种不同的选法，所以该选项正确. 故选：ABD 6．个老师分配到个班里搞活动，不同的分法有______种． 【答案】 【解析】每个老师都有种分配方法，故个老师共有种. 故答案为： 7．中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）的一种，现有十二生肖的吉祥物各一个，甲、乙、丙三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛、马和羊，乙同学喜欢牛、兔、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，则让三位同学选取的礼物都满意的选择方法共有_________种（用数字作答） 【答案】 【解析】由于三人都喜欢牛、羊这两种吉祥物，分以下几种情况讨论： 若甲选牛或羊作吉祥物，则乙有种选择，丙有种选择， 此时，不同的选择方法种数为种； 若甲选马作吉祥物，则乙有种选择，丙有种选择， 此时，不同的选择方法种数为种. 综上所述，不同的选择方法种数为种. 故答案为：. 8．甲、乙、丙、丁四名同学报名参加，，三个智力竞赛项目，每个人都要报名且只能参加一个项目． (1)共有多少种不同的报名方法？ (2)若甲、乙报同一项目，丙不报项目，则有多少种不同的报名方法？ 【答案】见解析 【解析】(1)每个同学都有种选择，则甲、乙、丙、丁四名同学的报名方法种数为. (2)甲、乙报同一项目，则甲、乙报名的方法种数为， 丙不报项目，则丙有种选择，丁有种选择， 由分步乘法计数原理可知，不同的报名方法种数为. 【能力拓展】 9．若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式为，值域为的“同族函数”包含的函数个数为（ ） A．3 B．8 C．9 D．27 【答案】D 【解析】由题设，的值域为，则或或， 结合“同族函数”的定义，则函数定义域分别从、、中各取至少一个数，所以共有种.故选：D 10．程大位（1533-1606）是明代珠算发明家，徽州人.他所编撰的《直指算法统宗》是最早记载珠算开平方、开立方方法的古算书之一，它完成了计算由筹算向珠算的转变，使算盘成为主要的计算工具.算盘其形长方，周为木框，内贯直柱，俗称“档”.现有一种算盘（如图）共三档，自右向左分别表示个位、十位和百位，档中横以梁，梁上一珠，下拨一珠记作数字：梁下五珠，上拨一珠记作数字.例如：图中算盘表示整数.如果拨动图中算盘的枚算珠，则可以表示不同的三位整数中能被整除的个数为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题“百位”拨动枚算珠可以表示的不同的三位整数有：； “百位”拨动枚算珠可以表示的不同的三位整数有：； “百位”拨动枚算珠可以表示的不同的三位整数有：；. 其中能被整除的三位整数为：. 所以共有个. 故选：B. 11．商场某区域的行走路线图可以抽象为一个正方体道路网（如图，图中的线段均为可行走的通道），甲、乙两人同时从点以相同的速度出发，随机地选择一条最短路径，同时经过并最终到达，共有__________种不同的行走方法．（用数字作答） 【答案】 【解析】由图可知：从点到点最短路径有种情况，从点到点最短路径有种情况， 所以甲、乙两人同时从点到点最短路径有种. 故答案为： 【素养提升】 12．若集合、满足，则称为集合的一个分拆，并规定：当且仅当时，与为集合的同一种分拆，求集合的不同分拆种数. 【答案】 【解析】，对分以下几种情况讨论： 若，必有,,，共种拆分； 若，则,或,,，共种拆分；同理，时，各有种拆分； 若,，则、,、,或,,，共种拆分；同理,、,时，各有种拆分； 若,,，则、、、、,、,、,，,,．共种拆分；共有种不同的拆分． 第4页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $