专题10一元一次不等式（2）（知识梳理+题型精析+寒假预习讲义）2025-2026学年苏科版七年级数学下册

专题10一元一次不等式（2） 【题型01 一元一次不等式组的定义】..................................4 【题型02 求不等式组的解集】........................................4 【题型03 求一元一次不等式组的整数解】..............................5 【题型04 由一元一次不等式组的解集求参数】..........................5 【题型05 由不等式组解集的情况求参数】..............................6 【题型06 不等式组与方程组结合的问题】..............................6 【题型07 列一元一次不等式组】......................................6 【题型08 不等式组的经济问题】......................................7 【题型09 不等式组的分配问题】......................................8 【题型10 不等式组的方案选择问题】..................................9 【题型11 一元一次不等式组的其他应用】.............................10 【题型12 列一元一次不等式】.......................................11 【题型13 用一元一次不等式解决实际问题】...........................12 【题型14 用一元一次不等式解决几何问题】...........................12 知识梳理 知识点01:一元一次不等式组 核心概念 1.一元一次不等式组 由几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合而成（通常为 2 个），形式如： 关键：同一未知数、每个都是一元一次不等式、≥2 个不等式 2.不等式组的解集 不等式组中所有不等式解集的公共部分；若无公共部分，则无解 3.解不等式组 求不等式组解集的过程 知识点02:解一元一次不等式组（标准步骤） 1.分别求解：逐个解出每个一元一次不等式（步骤：去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为 1；乘 / 除负数，不等号必变向） 2.数轴表示：在同一条数轴上画出所有解集 空心圈：>、<（不包含端点） 实心点：⩾、⩽（包含端点） 方向：大于向右，小于向左 3.找公共部分：观察重叠区域，确定解集 4.写解集 / 判无解：写出公共解集；无重叠则无解 知识点03:四种基本解集规律（设 a<b） 知识点04:易错点提醒 1.去分母、系数化为负数时，不等号方向必须改变 2.数轴表示：含等号用实心点，不含等号用空心圈 3.解集是公共部分，不是简单合并或取单个解集 知识点05:用一元一次不等式解决问题 一、核心解题步骤（6 步） 1.审：读题，分清已知量、未知量，找不等关系（抓关键词：大于、小于、不大于、至少、不超过、最多、不足等）。 2.设：设未知数（不设 “最多 / 至少”，直接设未知量，如 “设可买x件”）。 3.列：根据不等关系，列出一元一次不等式。 4.解：解一元一次不等式。 5.验：检验解集是否符合实际意义（如人数、件数为正整数，长度、重量为正数等）。 6.答：写出完整答案，明确 “最多 / 至少 / 不超过” 等结论。 二、常见不等关系关键词与不等式对应 关键词 对应不等号 示例 大于、超过、多于 > 花费超过 100 元：x>100 小于、不足、少于 < 人数不足 50 人：x<50 不大于、不超过、最多 ≤ 最多买 8 件：x≤8 不小于、至少、不少于 ≥ 至少得 90 分：x≥90 三、常见实际问题类型（建模思路） 1. 分配 / 装载问题 核心：总量≤（或≥）承载上限 / 下限。 示例：货车载重5吨，装x箱每箱重0.8吨的货物，列：0.8x≤5。 2. 费用 / 购物问题 核心：总费用≤预算，或方案 A 费用＜方案 B 费用。 示例：买笔记本每本5元，总预算30元，设买x本，列：5x≤30。 3. 行程问题 核心：路程关系（路程 = 速度 × 时间），如 “走完全程时间不超过t”。 示例：速度60km/h，路程s，时间不超过2h，列：​≤2。 4. 工程问题 核心：工作总量 = 工作效率 × 时间，如 “完成任务时间≤规定时间”。 示例：每天做15个零件，要完成200个，设需x天，列：15x≥200。 5. 方案选择问题 核心：比较两种方案的费用 / 数量，列不等式求最优解。 示例：甲方案费用10x+50，乙方案15x，选甲更划算，列：10x+50<15x。 四、解题关键与易错点 1.关键：准确提取不等关系，正确列不等式；解后检验实际意义（如取整数解）。 2.易错点： (1)关键词理解错（如 “不超过” 写成<，应是≤）。 (2)去分母、系数化为 1 时，负数未变不等号方向。 (3)忽略实际限制（如人数不能为小数、负数）。 【题型1.一元一次不等式组的定义】 【典例】下列各式不是一元一次不等式组的是（   ）． A． B． C． D． 【跟踪专练1】下列不等式组中，是一元一次不等式组的有 ．（填序号） ①    ②    ③   ④    ⑤ 【跟踪专练2】我们规定任意两点M、N之间的距离记作，已知点A在数轴上，对应的数是，点B在数轴上对应的点是1；如果点Q在数轴上，而且满足，请用不等式表示出所有符合条件的点Q所对应数x的范围 ． 【跟踪专练3】下列不等式组中，不是一元一次不等式组的是（ ） （） ()()() A．() B．() C．()、() D．()、() 【题型2.求不等式组的解集】 【典例】不等式组的解集是 ． 【跟踪专练1】不等式组的解集为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】求不等式的解集，我们根据“同号两数相乘，积为正”可得，①或②．解①得；解②得． 不等式的解集为或． 请你仿照上述方法，求不等式的解集为 ． 【跟踪专练3】若不等式组，无解，则k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【题型3.求一元一次不等式组的整数解】 【典例】不等式组的整数解为 ． 【跟踪专练1】不等式组的最大整数解是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【跟踪专练2】若，则不等式组的整数解的和为 ． 【跟踪专练3】不等式组的非负整数解是（   ） A．0，1，2，3 B．1，2，3 C． D． 【题型4.由一元一次不等式组的解集求参数】 【典例】已知关于的方程的解为负数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】若不等式组的解集是，则 ． 【跟踪专练2】如果关于x的不等式组 恰有2个整数解，符合条件的a的取值可以是（   ） A．6 B．3.5 C．4 D．4.5 【跟踪专练3】已知关于的不等式组． （1）若该不等式组无解，则的取值范围是 ； （2）若该不等式组的解集中，每一个值均不在的范围中，则的取值范围是 ． 【题型5.由不等式组解集的情况求参数】 【典例】若不等式组无解，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】关于x的不等式组有且只有三个整数解，则a的取值范围是 ． 【跟踪专练2】已知关于的不等式组的整数解共有4个，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练3】若不等式组只有个正整数解（为自然数），则称这个不等式组为阶不等式组．若关于的不等式组，是4阶不等式组，则的取值范围是 ． 【题型6.不等式组与方程组结合的问题】 【典例】若关于、的方程组满足，则的取值范围是 ． 【跟踪专练1】不等式组的解集是0＜x＜2，那么a+b＝（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2 【跟踪专练2】若方程组的解，满足，则的取值范围为 ． 【跟踪专练3】若关于的方程组的解均为正数，则整数的最小值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【题型7.列一元一次不等式组】 【典例】某商场的货运电梯只限载货，严禁载人．根据图示的标识，该货梯运送货物的质量m（kg）满足的不等关系为（　　）    A． B． C． D． 【跟踪专练1】“与的积是非负数，且与的和不小于6”用不等式（组）表示为 ． 【跟踪专练2】将一箱苹果分给若干个小朋友，若每个小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每个小朋友分8个苹果，则有1个小朋友分到的苹果不足8个．求这一箱苹果的个数与小朋友的人数．若设小朋友的人数为，则可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练3】如图，用图1中的a张长方形和b张正方形纸板作侧面和底面，做成如图2的竖式和横式两种无盖纸盒，若a＋b的值在285和315之间（不含285与315），且用完这些纸板做竖式纸盒比横式纸盒多30个，则a的值可能是 ． 【题型8.不等式组的经济问题】 【典例】某电商平台店铺促销优惠，每单消费满299元减30元．小王在该店铺内已选购了a元的商品，为凑满减又加购了一件12元的商品，则a的取值范围是 ． 【跟踪专练1】为有效开展“阳光体育”活动，某校计划购买篮球和足球共50个，购买资金不超过3200元，且购买篮球的数量不少于足球数量的一半，若每个篮球80元，每个足球50元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练2】某商场购进两种商品，商品每件的进价为100元，商品每件的进价为60元，该商场计划购进两种商品共60件，且购进商品的件数不少于商品件数的2倍．若商品按每件150元销售，商品按每件80元销售，为满足销售完两种商品后获得的总利润不低于1770元，则购进商品的件数为多少？（列不等式组求解） 【跟踪专练3】学雷锋志愿者小分队为帮助贫困山区的小朋友开展“阳光体育”活动，进行了一次募捐．筹集捐款不超过3000元，计划拿来购买一批篮球、足球和实心球等体育用品，送给山区的小朋友．已知篮球、足球和实心球的单价之比为6：3：2，且其单价之和为110元． (1)请问篮球、足球和实心球的单价分别为多少元？ (2)如果要用筹集到的捐款购买篮球、足球和实心球的总数量是100个，其中足球的数量是篮球数量的4倍，且购买实心球的数量不超过45个，请问有哪几种购买方案？ 【题型9.不等式组的分配问题】 【典例】把一些书分给几名同学，如果每人分5本，那么余6本；如果前面的每名同学分7本，那么最后一人可分到书但不足3本．这些书共有 本． 【跟踪专练1】某学校科技活动小组制作了部分科技产品后，把剩余的甲、乙两种原材料制作成了100个A，B两种型号的工艺品，已知每制作一个工艺品需甲、乙两种原料如下表： A型 B型 原料甲 千克/个 千克/个 原料乙 千克/个 千克/个 已知剩下甲种原料29千克，乙种原料37.2千克，假设制作x个A型工艺品，根据题意，列出相应的不等式组正确的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】一堆玩具分给若干个小朋友，若每人分2件，则剩余3件；若前面每人分3件，则最后一个人得到的玩具数不足2件．求小朋友的人数与玩具数． 【跟踪专练3】七年级某班部分学生参加端午节包粽子活动，活动结束后把包好的粽子分给这些学生．如果每人分4个，那么余6个；如果前面的学生每人分5个，那么最后1名学生能分到的粽子不少于2个但少于4个．求参加端午节包粽子活动的学生的人数． 【题型10.不等式组的方案选择问题】 【典例】三种图书的单价分别为元、元和元，某学校计划恰好用元购买上述图书本，那么不同的购书方案有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 【跟踪专练1】某学校为打造书香校园，计划购进甲、乙两种规格书柜共20个．甲种书柜的单价为180元，乙种书柜的单价为240元，其中乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量．学校最多能提供资金4320元，请设计几种购买方案供学校选择． 【跟踪专练2】某乡村在开展“美丽乡村”建设时，决定购买A，B两种树苗对村里的主干道进行绿化改造，已知购买A种树苗3棵，B种树苗4棵，需要380元；购买A种树苗5棵，B种树苗2棵，需要400元． （1）求购买A，B两种树苗每棵各需多少元？ （2）现需购买这两种树苗共100棵，要求购买A种树苗不少于60棵，且用于购买这两种树苗的资金不超过5620元．则有哪几种购买方案？ 【跟踪专练3】根据以下素材，探索完成任务． 背景 某学校拟向公交公司租借两种车共8辆，用于接送八年级师生去实践基地参加社会实践活动． 素材1 A型车最大载客量是50人，B型车的最大载客量是35人，已知A型车每辆的租金是450元，B型车每辆的租金是300元． 素材2 八年级的师生共有305人，根据学校预算，租车的费用需要控制在2900元（包含2900元）以内． 问题解决 任务1 根据素材2中该校八年级师生的实际情况，该如何租车？请给出所有满足条件的租车方案． 任务2 在所有满足条件的租车方案中，花费最少的方案比预算2900元省多少钱？ 【题型11.一元一次不等式组的其他应用】 【典例】某班有住宿生若干人，分住若干间宿舍，若每间住4人，则还余20人无宿舍住：若每间住8人，则有一间宿舍不空也不满，求住宿生有多少人，安排住宿的房间 间． 【跟踪专练1】把若干个苹果分给几名小朋友，如果每人分3个则余下8个；如果每人分5个，则最后一人分得的苹果不足5个问有多少名小朋友？多少个苹果？下列答案正确的是（   ） A．5名小朋友，23个苹果． B．6个小朋友，23个苹果． C．个小朋友，26个苹果． D．5名小朋友，23个苹果或6个小朋友，26个苹果． 【跟踪专练2】综合与实践：猜数游戏在日常生活中有着广泛应用，与数学有着密切的关联． 小丽在4张同样的纸片上各写了一个正整数，从中随机抽取2张，并将它们上面的数相加，重复这样做，每次所得的和都是5，6，7，8中的一个数，并且这4个数都能取到．猜猜看，小丽在4张纸片上各写了什么数． 游戏分析：设小丽在4张纸片上写的正整数依次为a、b、c、d，其中． 最小的两个数的和为5，最大的两个数的和为8，，， ，解得：，正整数，2． 当时，，则，但它们的和出现的数是 ，不符合题意； 当时，，若，它们的和出现的数是 ； 当时，，若，，它们的和出现的数5，6，7，8； 给出结论：综上分析可得，纸片上的数可能是 ； 游戏拓展：小丽在4张同样的纸片上各写了一个正整数，从中随机抽取2张，并将它们上面的数相加，重复这样做，每次所得的和都是6，7，8，9中的一个数，并且这4个数都能取到．模仿上述求解过程，求出小丽在4张纸片上各写了什么正整数． 【跟踪专练3】已知是不等式组解集中的解，若存在一个a，使，我们把这样的称为该不等式组的“关联解”，a叫做“关联系数”． (1)当时，下列不等式组存在“关联解”的是_________． A． B． C． (2)不等式组的解集上存在“关联解”，若，“关联系数a”的取值范围为_________． (3)不等式组的解集存在关联解，，若，且是整数，直接写出“关联系数a”的值_________． 【题型12.列一元一次不等式】 【典例】公共汽车上有个座位，车上已有人坐在座位上，在某站又上来人，有一部分人无座位，则可列不等式为 ． 【跟踪专练1】某学校组织八年级学生到劳动实践教育基地参加实践活动，某小组的任务是用不超过3小时的时间平整一块面积为的土地．开始的半小时，由于操作不熟练，只平整了土地．设他们在剩余时间内每小时平整土地，根据题意可列不等式为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】用适当的式子表示下列关系： (1)x减去6大于12； (2)y的2倍与5的差是负数； (3)m的3倍与4的和是非负数； (4)a的2倍与b的的和不大于4； (5)n的5倍与9的差不小于-1； (6)长方形相邻两边的长分别为4，，它的周长大于20． 【跟踪专练3】青少年近视已经成为困扰我国中小学生的严重问题，根据《儿童青少年学习用品近视防控卫生要求》中对学生用品——护目灯的光照度、色温、蓝光、频闪等参数都有明确的合格要求，某企业生产的A，B两种型号的护目灯均符合要求．已知出售1件A型号和3件B型号护目灯共收入1100元，出售2件A型号和5件B型号护目灯共收入1900元． (1)求A型号和B型号每件护目灯的售价； (2)若出售A，B两种型号（均有销售，且总件数不超过13件）共收入3000元，则出售A，B两种型号的护目灯各几件？ 【题型13.用一元一次不等式解决实际问题】 【典例】杭州某中学社团制作杭州特色文创产品义卖，前期投入1000元，每个产品材料成本10元，售价20元，场地及宣传费为销售收入的，若要使利润（销售收入减去材料成本、前期投入、场地及宣传费）超过1000元，则至少需要制作并售出 个产品． 【跟踪专练1】在特定的实验装置和相对稳定的条件下，对玉米植株进行了连续1小时光照处理，测得植株体内有机物增加了a毫克；还进行了连续1小时黑暗处理，测得植株体内有机物减少了b毫克．在光照强度、温度等条件不变的情况下，对植株进行光照和黑暗处理共24小时，则光照处理的时间最少应超过（　　）（用含有a、b的式子表示）小时，该植株体内才能积累有机物． A． B． C． D． 【跟踪专练2】为了加强体育锻炼，某班计划购买足球和篮球共40个．已知足球和篮球的价格分别为60元/个和90元/个，购买的总费用不超过2800元．该班级至少购买几个足球？ 【跟踪专练3】某学校为丰富课后服务内容，计划采购一批篮球和足球．已知购买2个篮球和3个足球共需510元；购买3个篮球和5个足球共需810元． (1)求每个篮球和每个足球的价格． (2)若学校决定购买篮球和足球共50个，总费用不超过5800元，那么最多可以购买多少个篮球？ 【题型14.用一元一次不等式解决几何问题】 【典例】中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为、、，则三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为（    ） A．2 B．3 C． D． 【跟踪专练1】将长为6，宽为a（a大于3且小于6）的长方形纸片按如图①所示的方式折叠并压平，剪下一个边长等于长方形宽的正方形，称为第一次操作；再把剩下的长方形按如图②所示的方式折叠并压平，剪下边长等于此时长方形宽的正方形，称为第二次操作；如此反复操作下去…若在第n次操作后，剩下的长方形恰为正方形，则操作终止．当时，a的值为 ．    【跟踪专练2】某中学决定增设乒乓球、羽毛球两门选修课程，需要购进一批乒乓球拍和羽毛球拍．已知购买2副乒乓球拍和4副羽毛球拍共需要350元，购买6副乒乓球拍和3副羽毛球拍共需要420元． (1)购买一副乒乓球拍和一副羽毛球拍各需多少元？ (2)已知该中学需要购买两种球拍共80副，所花费用不超过4340元，则可购买的羽毛球拍最多是几副？ 【跟踪专练3】十五世纪杰出的法国数学家尼古拉斯·丘凯（Nicolas chuquet）在他的名著《数学三章》中提到了“平均数的规则”即：已知a、b、c、d都是正整数，如果，那么，并给出了证明． (1)根据我们所学习过的不等式的性质，我们不难证明这个结论． 由，在不等式的两边同时乘以________________________，可以得到； 由，在不等式的两边同时加上______________，可以得到； 由，在不等式的两边同时除以______________，可以得到； 同理可证，所以成立． (2)丘凯在《数学三章》中对于“平均数的规则”给出了两种证明，其中一种是用图形几何的方式直观地说明了“平均数的规则”成立．    长度1是_______；长度2是_______．（用含有字母的式子表示） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10一元一次不等式（2） 【题型01 一元一次不等式组的定义】..................................4 【题型02 求不等式组的解集】........................................5 【题型03 求一元一次不等式组的整数解】..............................8 【题型04 由一元一次不等式组的解集求参数】..........................9 【题型05 由不等式组解集的情况求参数】.............................12 【题型06 不等式组与方程组结合的问题】.............................14 【题型07 列一元一次不等式组】.....................................16 【题型08 不等式组的经济问题】.....................................18 【题型09 不等式组的分配问题】.....................................21 【题型10 不等式组的方案选择问题】.................................24 【题型11 一元一次不等式组的其他应用】.............................27 【题型12 列一元一次不等式】.......................................33 【题型13 用一元一次不等式解决实际问题】...........................36 【题型14 用一元一次不等式解决几何问题】...........................38 知识梳理 知识点01:一元一次不等式组 核心概念 1.一元一次不等式组 由几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合而成（通常为 2 个），形式如： 关键：同一未知数、每个都是一元一次不等式、≥2 个不等式 2.不等式组的解集 不等式组中所有不等式解集的公共部分；若无公共部分，则无解 3.解不等式组 求不等式组解集的过程 知识点02:解一元一次不等式组（标准步骤） 1.分别求解：逐个解出每个一元一次不等式（步骤：去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为 1；乘 / 除负数，不等号必变向） 2.数轴表示：在同一条数轴上画出所有解集 空心圈：>、<（不包含端点） 实心点：⩾、⩽（包含端点） 方向：大于向右，小于向左 3.找公共部分：观察重叠区域，确定解集 4.写解集 / 判无解：写出公共解集；无重叠则无解 知识点03:四种基本解集规律（设 a<b） 知识点04:易错点提醒 1.去分母、系数化为负数时，不等号方向必须改变 2.数轴表示：含等号用实心点，不含等号用空心圈 3.解集是公共部分，不是简单合并或取单个解集 知识点05:用一元一次不等式解决问题 一、核心解题步骤（6 步） 1.审：读题，分清已知量、未知量，找不等关系（抓关键词：大于、小于、不大于、至少、不超过、最多、不足等）。 2.设：设未知数（不设 “最多 / 至少”，直接设未知量，如 “设可买x件”）。 3.列：根据不等关系，列出一元一次不等式。 4.解：解一元一次不等式。 5.验：检验解集是否符合实际意义（如人数、件数为正整数，长度、重量为正数等）。 6.答：写出完整答案，明确 “最多 / 至少 / 不超过” 等结论。 二、常见不等关系关键词与不等式对应 关键词 对应不等号 示例 大于、超过、多于 > 花费超过 100 元：x>100 小于、不足、少于 < 人数不足 50 人：x<50 不大于、不超过、最多 ≤ 最多买 8 件：x≤8 不小于、至少、不少于 ≥ 至少得 90 分：x≥90 三、常见实际问题类型（建模思路） 1. 分配 / 装载问题 核心：总量≤（或≥）承载上限 / 下限。 示例：货车载重5吨，装x箱每箱重0.8吨的货物，列：0.8x≤5。 2. 费用 / 购物问题 核心：总费用≤预算，或方案 A 费用＜方案 B 费用。 示例：买笔记本每本5元，总预算30元，设买x本，列：5x≤30。 3. 行程问题 核心：路程关系（路程 = 速度 × 时间），如 “走完全程时间不超过t”。 示例：速度60km/h，路程s，时间不超过2h，列：​≤2。 4. 工程问题 核心：工作总量 = 工作效率 × 时间，如 “完成任务时间≤规定时间”。 示例：每天做15个零件，要完成200个，设需x天，列：15x≥200。 5. 方案选择问题 核心：比较两种方案的费用 / 数量，列不等式求最优解。 示例：甲方案费用10x+50，乙方案15x，选甲更划算，列：10x+50<15x。 四、解题关键与易错点 1.关键：准确提取不等关系，正确列不等式；解后检验实际意义（如取整数解）。 2.易错点： (1)关键词理解错（如 “不超过” 写成<，应是≤）。 (2)去分母、系数化为 1 时，负数未变不等号方向。 (3)忽略实际限制（如人数不能为小数、负数）。 【题型1.一元一次不等式组的定义】 【典例】下列各式不是一元一次不等式组的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式组的定义，每个不等式中含有同一个未知数且未知数的次数是1的不等式组是一元一次不等式组． 根据一元一次不等式组的定义进行解答． 【详解】解：A．该不等式组符合一元一次不等式组的定义，故本选项错误； B．该不等式组中含有2个未知数，不是一元一次不等式组，故本选项正确； C．该不等式组符合一元一次不等式组的定义，故本选项错误； D．该不等式组符合一元一次不等式组的定义，故本选项错误． 故选：B． 【跟踪专练1】下列不等式组中，是一元一次不等式组的有 ．（填序号） ①    ②    ③   ④    ⑤ 【答案】①②④ 【分析】本题主要考查一元一次不等式组的定义，熟练掌握定义并灵活运用是解题的关键．根据一元一次不等式组的定义，含有两个或两个以上的不等式，不等式中的未知数相同，并且未知数的最高次数是一次，对各选项判断后即可得解． 【详解】解：根据一元一次不等式组的定义，①②④都只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，所以都是一元一次不等式组； ③含有两个未知数， ⑤含有一个未知数，但未知数的最高次数是2， 所以③⑤都不是一元一次不等式组． 故答案为：①②④． 【跟踪专练2】我们规定任意两点M、N之间的距离记作，已知点A在数轴上，对应的数是，点B在数轴上对应的点是1；如果点Q在数轴上，而且满足，请用不等式表示出所有符合条件的点Q所对应数x的范围 ． 【答案】 【分析】本题考查数轴上两点间的距离，有理数的减法等知识，分“当点Q在A点的左边，即时，当点Q在线段上，当点Q在B点的右边”三种情况讨论即可得解，运用数形结合与分类讨论思想解题是解题的关键． 【详解】解：当点Q在A点的左边，即时，； 当点Q在线段上，即时，； 当点Q在B点的右边，即时，； 故答案为： 【跟踪专练3】下列不等式组中，不是一元一次不等式组的是（ ） （） ()()() A．() B．() C．()、() D．()、() 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次不等式组的定义，根据一元一次不等式组的定义进行判断即可，正确理解一元一次不等式组的定义是解题的关键． 【详解】解：根据一元一次不等式组的概念，可知（）、（）、（）是一元一次不等式组，（）中含有两个未知数，且最高次数为，故不是一元一次不等式组， 故选：． 【题型2.求不等式组的解集】 【典例】不等式组的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次不等式组的解法，分别求解每个不等式，再找出解集的公共部分就是不等式组的解集． 【详解】解：解不等式，得； 解不等式，得； 所以原不等式组的解集为． 故答案为：． 【跟踪专练1】不等式组的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查求不等式组的解集，解题关键是分别求解两个不等式． 分别求解两个不等式，然后求解集的公共部分． 【详解】解：∵不等式组为， 解不等式，得， ∴不等式组的解集为， 故选：D． 【跟踪专练2】求不等式的解集，我们根据“同号两数相乘，积为正”可得，①或②．解①得；解②得． 不等式的解集为或． 请你仿照上述方法，求不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次不等式的解法及有理数乘法的符号法则，解题的关键是根据 “异号两数相乘，积为负” 的性质，将一元二次不等式拆分为两个一元一次不等式组，再通过求解不等式组得到原不等式的解集． 根据 “异号两数相乘，积为负”，将不等式拆分为两个一元一次不等式组：①（前正后负）或②（前负后正）；分别求解两个不等式组，能求出解集的即为原不等式的有效解集，最后合并有效解集． 【详解】解：∵不等式    ，根据 “异号两数相乘，积为负”， ∴可拆分为两个不等式组：① 或 ② 解不等式组①：由得；由得， ∴不等式组①的解集为    ． 解不等式组②：由得；由得， ∵与无公共解， ∴不等式组②无解． 综上，原不等式的解集为． 故答案为：． 【跟踪专练3】若不等式组，无解，则k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，能根据不等式组无解建立新不等式是解题的关键．先求得不等式组的每个不等式的解集，根据不等式组无解，建立起新的不等式，解之即可． 【详解】解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∵不等式组无解， ∴， ∴， 故选：A． 【题型3.求一元一次不等式组的整数解】 【典例】不等式组的整数解为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为， 不等式组的整数解是， 故答案为：． 【跟踪专练1】不等式组的最大整数解是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的整数解及解一元一次不等式组，熟知解一元一次不等式组的步骤是解题的关键． 根据解一元一次不等式组的步骤，求出不等式组的解集，并按要求写出最大整数解即可． 【详解】解：解不等式，得， 不等式组的解集为， 不等式组的最大整数解是 故选：D． 【跟踪专练2】若，则不等式组的整数解的和为 ． 【答案】36 【分析】本题考查了性定义，求不等式组的解集，根据新定义把转化为一元一次不等式组求解即可． 【详解】解：∵， ∴由得， 解①得， 解②得， ∴， ∴整数解为， ∴整数解的和为． 故答案为：36． 【跟踪专练3】不等式组的非负整数解是（   ） A．0，1，2，3 B．1，2，3 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．根据解不等式组的一般步骤解不等式组，求出不等式组的解集，即可求出它的非负整数解． 【详解】解： 解不等式①得： 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：， ∴不等式组的非负整数解是：0，1，2，3， 故选：A 【题型4.由一元一次不等式组的解集求参数】 【典例】已知关于的方程的解为负数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把m看作常数，根据一元一次方程的解法求出x的表达式，再根据方程的解是负数列不等式并求解即可． 【详解】解：由2x+4=m-x得， x=， ∵方程有负数解， ∴＜0， 解得m＜4． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解与解不等式，把m看作常数求出x的表达式是解题的关键． 【跟踪专练1】若不等式组的解集是，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，解题的关键是正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则．解不等式组中两个不等式后根据不等式组的解集可得关于的方程，解之可得． 【详解】解：， 解不等式得：， ∵不等式组的解集是， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练2】如果关于x的不等式组 恰有2个整数解，符合条件的a的取值可以是（   ） A．6 B．3.5 C．4 D．4.5 【答案】B 【分析】本题主要考查一元一次不等式组的整数解，关键是掌握解不等式组的方法．先求出每个不等式的解集，再根据不等式组有且只有2个整数解，求出的取值范围即可求解． 【详解】解：， 两边乘2得，， 解得，； ， 移项得，， 解得，， 不等式组的解集为． 恰有2个整数解， 整数解为2和3， ， 即， 对比选项，只有3.5满足． 故选：B． 【跟踪专练3】已知关于的不等式组． （1）若该不等式组无解，则的取值范围是 ； （2）若该不等式组的解集中，每一个值均不在的范围中，则的取值范围是 ． 【答案】 或 【分析】本题考查了由一元一次不等式组的解集求参数，熟练掌握由一元一次不等式组的解集求参数是解题的关键． （1）先分别求出两个不等式的解，再根据不等式无解的含义列不等式求解即可； （2）首先根据不等式组有解求得 ，再根据题意得到或，分别求解即可． 【详解】解：（1）， 解①，得， 解②，得， 若该不等式组无解，则， 解得． 故答案为：． （2）若该不等式组的解集中，每一个值均不在的范围中， 则首先要满足不等式有解， ， 解得， 其次要满足或， 解得或， 的取值范围是或． 故答案为：或． 【题型5.由不等式组解集的情况求参数】 【典例】若不等式组无解，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解一元一次不等式组（由不等式组解集的情况求参数），熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键． 先解不等式组中的两个不等式，然后由不等式组无解可得出关于的不等式，解不等式即可求出实数的取值范围． 【详解】解：， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， 不等式组无解， ， ， 故选：A． 【跟踪专练1】关于x的不等式组有且只有三个整数解，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】此题考查了一元一次不等式组的整数解，正确理解“不等式组有且只有三个整数解”是解本题的关键．表示出不等式组的解集，根据解集中有且只有三个整数解，确定出a的范围即可． 【详解】解：解不等式组 ， 由得， 由得，即， 故不等式组的解集为． 由于解集有且只有三个整数解，且， ∴整数解为 ，，． ∴． 故答案为：． 【跟踪专练2】已知关于的不等式组的整数解共有4个，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了根据不等式组的解集情况求参数，先求解不等式组中两个不等式的解集，再根据整数解的个数确定整数解，进而确定a的取值范围即可． 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∵关于的不等式组的整数解共有4个， ∴原不等式组的整数解为， ∴， 故选：B． 【跟踪专练3】若不等式组只有个正整数解（为自然数），则称这个不等式组为阶不等式组．若关于的不等式组，是4阶不等式组，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次不等式组的正整数解，根据题目中的定义进行分析，可知整数解为，，，，从而可得出的范围．理解题中的新定义是解题的关键． 【详解】解：解不等式组得：， ∵关于 的不等式组是阶不等式组， ∴有个正整数解为：，，，， ∴的取值范围是． 故答案为：． 【题型6.不等式组与方程组结合的问题】 【典例】若关于、的方程组满足，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先解二元一次方程组求出，再根据得到关于k的一元一次不等式组，解不等式组即可． 【详解】解： 用①+②得： ， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，正确求出是解题的关键． 【跟踪专练1】不等式组的解集是0＜x＜2，那么a+b＝（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2 【答案】C 【分析】首先解不等式组得到解集为4﹣2a ＜x，得到方程组，求出a和b的值． 【详解】，由①得，x＞4﹣2a，由②得，x， ∵不等式组的解集是0＜x＜2， ∴，解得， ∴a+b＝2﹣1＝1． 故选：C． 【点睛】本题考查解不等式组，方法是首先接触不等式组中各个不等式的解集，其公共部分就是不等式组的解集． 【跟踪专练2】若方程组的解，满足，则的取值范围为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查解方程组及不等式的综合，理解题意，熟练掌握运用求解方法是解题关键．先将两个方程相加，得到，代入然后求解即可． 【详解】解：解方程组： 得，， ∵， ∴， 解得：． 故答案为：． 【跟踪专练3】若关于的方程组的解均为正数，则整数的最小值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的求解，不等式组的求解，解题的关键是掌握相关的计算法则和步骤． 先求出方程组的解，然后列出不等式组进行求解即可． 【详解】解： 解方程组得， 根据题意得， 解得， ∴整数的最小值为1， 故选：C． 【题型7.列一元一次不等式组】 【典例】某商场的货运电梯只限载货，严禁载人．根据图示的标识，该货梯运送货物的质量m（kg）满足的不等关系为（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】据图，列出不等式即可． 【详解】解：由图可知：； 故选D． 【点睛】本题考查列不等式．正确的识图，确定不等关系，是解题的关键． 【跟踪专练1】“与的积是非负数，且与的和不小于6”用不等式（组）表示为 ． 【答案】 【分析】此题考查了列不等式组，正确表示出不等式是解题关键． 根据题中的不等关系列出不等式组即可． 【详解】解：根据题意得，． 故答案为：． 【跟踪专练2】将一箱苹果分给若干个小朋友，若每个小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每个小朋友分8个苹果，则有1个小朋友分到的苹果不足8个．求这一箱苹果的个数与小朋友的人数．若设小朋友的人数为，则可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查由实际问题抽象出一元一次不等式组，关键是正确理解题意，找出题目中的不等关系． 设小朋友人数为，则苹果总数为，当每个小朋友分个苹果时，前个小朋友分得个苹果，最后一个小朋友分得的苹果数为，该值大于且小于，由此可列不等式组． 【详解】解：∵苹果总数为， 前个小朋友分得个苹果， ∴最后一个小朋友分得的苹果数为， 由题意，， 即不等式组为 故选：C． 【跟踪专练3】如图，用图1中的a张长方形和b张正方形纸板作侧面和底面，做成如图2的竖式和横式两种无盖纸盒，若a＋b的值在285和315之间（不含285与315），且用完这些纸板做竖式纸盒比横式纸盒多30个，则a的值可能是 ． 【答案】218，225，232 【分析】根据题意图形可知，竖式纸盒需要4个长方形纸板与1个正方形纸板，横式纸盒要3个长方形纸板与2个正方形纸板，设做成横式纸盒x个，则做成竖式纸盒个，即可算出总共用的纸板数，再根据，即可得到不等式组求出x的值，即可进行求解． 【详解】设做成横式纸盒x个，则做成竖式纸盒个， ∵， ∴， 解得， ∵x为正整数， ∴或或， 当时，， ， 当时，， ， 当时，， ， 综上所述，a的值为218，225，232， 故答案为：218，225，232． 【点睛】此题主要考查不等式的应用，解题的关键是根据题意设出未知数，找到不等关系进行求解，注意结合实际情况取整数解． 【题型8.不等式组的经济问题】 【典例】某电商平台店铺促销优惠，每单消费满299元减30元．小王在该店铺内已选购了a元的商品，为凑满减又加购了一件12元的商品，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】题目主要考查不等式组的应用，理解题意，列出不等式组是解题关键． 根据题意列出不等式组求解即可． 【详解】解：∵为凑满减又加购了一件12元的商品，每单消费满299元减30元． ∴， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练1】为有效开展“阳光体育”活动，某校计划购买篮球和足球共50个，购买资金不超过3200元，且购买篮球的数量不少于足球数量的一半，若每个篮球80元，每个足球50元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次不等式组的实际应用，设购买篮球个，则购买足球个，根据购买资金不超过3200元，且购买篮球的数量不少于足球数量的一半，若每个篮球80元，每个足球50元．列不等式组即可． 【详解】解：设购买篮球个，则购买足球个， 根据题意：， 故选：C． 【跟踪专练2】某商场购进两种商品，商品每件的进价为100元，商品每件的进价为60元，该商场计划购进两种商品共60件，且购进商品的件数不少于商品件数的2倍．若商品按每件150元销售，商品按每件80元销售，为满足销售完两种商品后获得的总利润不低于1770元，则购进商品的件数为多少？（列不等式组求解） 【答案】购进商品的件数为19件或20件 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的实际应用： 设购进件商品，则购进件商品，根据购进商品的件数不少于商品件数的2倍，利润不低于1770元列出不等式组求解即可． 【详解】解：设购进件商品，则购进件商品， 则， 解得， 为整数， 的值为19或20． 答：购进商品的件数为19件或20件． 【跟踪专练3】学雷锋志愿者小分队为帮助贫困山区的小朋友开展“阳光体育”活动，进行了一次募捐．筹集捐款不超过3000元，计划拿来购买一批篮球、足球和实心球等体育用品，送给山区的小朋友．已知篮球、足球和实心球的单价之比为6：3：2，且其单价之和为110元． (1)请问篮球、足球和实心球的单价分别为多少元？ (2)如果要用筹集到的捐款购买篮球、足球和实心球的总数量是100个，其中足球的数量是篮球数量的4倍，且购买实心球的数量不超过45个，请问有哪几种购买方案？ 【答案】(1)篮球单价为60元，足球单价为30元，实心球单价为20元 (2)有两种方案： 方案一：购买篮球11个，足球44个，实心球45个； 方案二：购买篮球12个，足球48个，实心球40个 【分析】本题考查一元一次方程与一元一次不等式组，理解题意是解题的关键． （1）设篮球、足球、实心球的单价分别为元、元、元，根据其单价之和为110元，列出一元一次方程，即可解答． （2）设购买y个篮球，则购买个足球，()个实心球，根据筹集捐款不超过3000元，购买实心球的数量不超过45个，列出一元一次不等式组，即可解答． 【详解】（1）解：设篮球、足球、实心球的单价分别为元、元、元，依题意，得 解得， ∴，， 答：篮球单价为60元，足球单价为30元，实心球单价为20元． （2）设购买y个篮球，则购买个足球，个实心球，依题意，得 ， 解得， ∵y为整数， ∴或12． 当时，，， 当时，，， 答：共有以下两种方案： 方案一：购买篮球11个，足球44个，实心球45个； 方案二：购买篮球12个，足球48个，实心球40个． 【题型9.不等式组的分配问题】 【典例】把一些书分给几名同学，如果每人分5本，那么余6本；如果前面的每名同学分7本，那么最后一人可分到书但不足3本．这些书共有 本． 【答案】36 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，求一元一次不等式组的整数解，根据各数量关系正确列出不等式组是解题的关键．设共有名同学，可得图书共有本，再由每名同学分7本，那么最后一人就分不到3本，可列出不等式组，解出后并结合为正整数即可得到答案． 【详解】解：设共有名同学，则图书共有本， 由题意得， 解得：， 又为正整数， ， 当时， 故答案为：36． 【跟踪专练1】某学校科技活动小组制作了部分科技产品后，把剩余的甲、乙两种原材料制作成了100个A，B两种型号的工艺品，已知每制作一个工艺品需甲、乙两种原料如下表： A型 B型 原料甲 千克/个 千克/个 原料乙 千克/个 千克/个 已知剩下甲种原料29千克，乙种原料37.2千克，假设制作x个A型工艺品，根据题意，列出相应的不等式组正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据题意列出一元一次不等式组即可，掌握一元一次不等式组的应用是解题的关键． 【详解】解：根据题意可得： ， 故选：B． 【跟踪专练2】一堆玩具分给若干个小朋友，若每人分2件，则剩余3件；若前面每人分3件，则最后一个人得到的玩具数不足2件．求小朋友的人数与玩具数． 【答案】小朋友的人数与玩具数分别为5人、件或6人、件． 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，解本题的关键在于找出小朋友人数和玩具数之间的关系式． 设小朋友的人数为人，玩具数为，则，，且，的是正整数，将代入求出、的值，当求出的值后，求的值即可． 【详解】解：设小朋友的人数为人，玩具数为，由题意可得： ， ，即：， 解得，由于的是正整数，所以的取值为5人或6人， 当时，件； 当时，件； 所以小朋友的人数及玩具数分别为5人、件或6人、件． 【跟踪专练3】七年级某班部分学生参加端午节包粽子活动，活动结束后把包好的粽子分给这些学生．如果每人分4个，那么余6个；如果前面的学生每人分5个，那么最后1名学生能分到的粽子不少于2个但少于4个．求参加端午节包粽子活动的学生的人数． 【答案】8或9 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，找准数量关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键． 两次分配的粽子数量是相等的，因此可设有人包粽子，则表示出粽子总量为个，第二次分配时最后一个人的粽子数量为个．根据最后一名学生能分到的粽子不少于个但少于个列出不等式组，求正整数解即可． 【详解】解：设参加端午节包粽子活动的学生有人． 由题意，得， 解得． ∵为正整数， ∴可取或， 答：参加端午节包粽子活动的学生的人数为或． 【题型10.不等式组的方案选择问题】 【典例】三种图书的单价分别为元、元和元，某学校计划恰好用元购买上述图书本，那么不同的购书方案有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】B 【分析】本题主要考查了三元一次方程组的应用，不等式组的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程组，准确计算确定取值范围． 设购买元、元和元图书的数量分别为a、b、c本，根据总本数和总金额列出方程组，通过代入消元得到a与c的关系，再根据非负整数条件确定a的取值范围，从而得到方案数． 【详解】解：设购买三种图书的数量分别为a、b、c本， 由题意得：， 整理得：， ∵a、b、c为非负整数， ∴， 解得：， ∴a的取值范围为0到的整数，共种可能的取值，（分别为0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，）， 对于每一个a值，对应地可求出唯一的b和c， ∴不同的购书方案共有种． 故选：B． 【跟踪专练1】某学校为打造书香校园，计划购进甲、乙两种规格书柜共20个．甲种书柜的单价为180元，乙种书柜的单价为240元，其中乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量．学校最多能提供资金4320元，请设计几种购买方案供学校选择． 【答案】购买方案有三种：甲种书柜8个，乙种书柜12个；甲种书柜9个，乙种书柜11个；甲种书柜10个，乙种书柜10个 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用， 根据不等关系列出一元一次不等式组，求出解集，再根据整数解确定符合题意的方案． 【详解】解：设购买甲种书柜x个，则购买乙种书柜个，根据题意，得 ， 解得， 当时，； 当时，； 当时，． 所以一共有三种方案： 方案一：购买甲种书柜8个，乙种书柜12个； 方案而：购买甲种书柜9个，乙种书柜11个； 方案三：购买甲种书柜10个，乙种书柜10个． 【跟踪专练2】某乡村在开展“美丽乡村”建设时，决定购买A，B两种树苗对村里的主干道进行绿化改造，已知购买A种树苗3棵，B种树苗4棵，需要380元；购买A种树苗5棵，B种树苗2棵，需要400元． （1）求购买A，B两种树苗每棵各需多少元？ （2）现需购买这两种树苗共100棵，要求购买A种树苗不少于60棵，且用于购买这两种树苗的资金不超过5620元．则有哪几种购买方案？ 【答案】（1）购买A，B两种树苗每棵分别需60元，50元；（2）有三种购买方案，方案一：购进A种树苗60棵，B种树苗40棵；方案二：购进A种树苗61棵，B种树苗39棵；方案三：购进A种树苗62棵，B种树苗38棵． 【分析】本题考查的是二元一次方程组及一元一次不等式组的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系和不等关系． （1）设购买A，B两种树苗每棵分别需x元，y元，根据等量关系：买A种树苗3棵，B种树苗4棵，需要380元；购买A种树苗5棵，B种树苗2棵，需要400元，列方程组进行求解即可得； （2）设购进A种树苗m棵，根据购买这两种树苗共100棵，要求购买A种树苗不少于60棵，且用于购买这两种树苗的资金不超过5620元，列出不等式组，解不等式组即可得出答案． 【详解】（1）设购买A，B两种树苗每棵分别需x元，y元，则 ， 解得， 答：购买A，B两种树苗每棵分别需60元，50元； （2）设购进A种树苗m棵，则 ， 解得， ∵m为整数， ∴或61或62， ∴有三种购买方案，分别为： 方案一：购进A种树苗60棵，B种树苗40棵； 方案二：购进A种树苗61棵，B种树苗39棵； 方案三：购进A种树苗62棵，B种树苗38棵． 【跟踪专练3】根据以下素材，探索完成任务． 背景 某学校拟向公交公司租借两种车共8辆，用于接送八年级师生去实践基地参加社会实践活动． 素材1 A型车最大载客量是50人，B型车的最大载客量是35人，已知A型车每辆的租金是450元，B型车每辆的租金是300元． 素材2 八年级的师生共有305人，根据学校预算，租车的费用需要控制在2900元（包含2900元）以内． 问题解决 任务1 根据素材2中该校八年级师生的实际情况，该如何租车？请给出所有满足条件的租车方案． 任务2 在所有满足条件的租车方案中，花费最少的方案比预算2900元省多少钱？ 【答案】任务1：共有2种租车方案，如下： 方案1：租用A型车2辆，B型车6辆；方案2：租用A型车3辆，B型车5辆 任务2：花费最少的是方案1，比预算节省了200元 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的实际应用——方案问题，熟练掌握并利用一元一次不等式解决实际问题是解题的关键； 任务1：设租用A型车a辆，则租用B型车辆，根据总载客量不少于305人且总租金不超过2900元，可列出关于a的一元一次不等式组，解之可得出a的取值范围，再结合a为正整数，即可得出租车方案； 任务2：求出选择每种租车方案所需总租金，比较后，用2900元减去花费最少的总租金，即可得出结论． 【详解】解：任务1：设租用A型车a辆，则租用B型车辆， 根据题意得， 解得， 又因为a为正整数， 所以a可以为或， 当时，， 当时，， 所以共有2种租车方案， 方案1：租用A型车2辆，B型车6辆； 方案2：租用A型车3辆，B型车5辆； 任务2：选择方案1所需总租金为（元）； 选择方案2所需总租金为（元）． （元）， 花费最少的是方案1，比预算节省了200元． 【题型11.一元一次不等式组的其他应用】 【典例】某班有住宿生若干人，分住若干间宿舍，若每间住4人，则还余20人无宿舍住：若每间住8人，则有一间宿舍不空也不满，求住宿生有多少人，安排住宿的房间 间． 【答案】6 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据题目中正确列出一元一次不等式组是解决本题的关键． 设安排住宿的房间有间，则学生有人，根据“每间住4人，则还余20人无宿舍住；每间住8人，则有一间宿舍不空也不满”列不等式组解答即可． 【详解】解：设安排住宿的房间有间，则学生有人， 根据题意，得， 解得. ∵只能取正整数， ∴． 即安排住宿的房间6间． 故答案为：6 【跟踪专练1】把若干个苹果分给几名小朋友，如果每人分3个则余下8个；如果每人分5个，则最后一人分得的苹果不足5个问有多少名小朋友？多少个苹果？下列答案正确的是（   ） A．5名小朋友，23个苹果． B．6个小朋友，23个苹果． C．个小朋友，26个苹果． D．5名小朋友，23个苹果或6个小朋友，26个苹果． 【答案】D 【分析】此题考查了一元一次不等式组的应用，其中根据题意表示出最后一名小朋友分到的苹果数是解本题的关键． 设小朋友为x人，根据每位小朋友分3个苹果，则还剩8个苹果，表示出苹果的个数，再由每位小朋友分5个苹果，根据人数为x人，表示出需要苹果的个数，减去苹果的总数，即为最后一名小朋友分到的苹果数，再利用“最后一位小朋友分到了苹果，但不足5个，至少有1个”列出关于x的不等式，求出不等式的解集，在解集中找出正整数解得到x的值，即为小朋友的人数，即可得到苹果的个数． 【详解】解：设有x名小朋友，则有个苹果 根据题意，得， 解得：． ∵x为整数， ∴或． 当时，； 当时，． 故选：D． 【跟踪专练2】综合与实践：猜数游戏在日常生活中有着广泛应用，与数学有着密切的关联． 小丽在4张同样的纸片上各写了一个正整数，从中随机抽取2张，并将它们上面的数相加，重复这样做，每次所得的和都是5，6，7，8中的一个数，并且这4个数都能取到．猜猜看，小丽在4张纸片上各写了什么数． 游戏分析：设小丽在4张纸片上写的正整数依次为a、b、c、d，其中． 最小的两个数的和为5，最大的两个数的和为8，，， ，解得：，正整数，2． 当时，，则，但它们的和出现的数是 ，不符合题意； 当时，，若，它们的和出现的数是 ； 当时，，若，，它们的和出现的数5，6，7，8； 给出结论：综上分析可得，纸片上的数可能是 ； 游戏拓展：小丽在4张同样的纸片上各写了一个正整数，从中随机抽取2张，并将它们上面的数相加，重复这样做，每次所得的和都是6，7，8，9中的一个数，并且这4个数都能取到．模仿上述求解过程，求出小丽在4张纸片上各写了什么正整数． 【答案】游戏分析：；；给出结论：或；游戏拓展：纸片上的数可能是或 【分析】本题考查的是不等式组的应用， 游戏分析：根据题意分析计算求和进而写出结论； 给出结论：根据分析内容汇总得出结论； 游戏拓展：结合上面的分析及结论，类别写出即可． 【详解】解：游戏分析：设小丽在4张纸片上写的正整数依次为a、b、c、d，其中． 最小的两个数的和为5，最大的两个数的和为8， ，， ，解得：， 正整数，2． 当时，，则，但它们的和出现的数是，不符合题意； 当时，，若，它们的和出现的数是； 当时，，若，，它们的和出现的数5，6，7，8； 给出结论：综上分析可得，纸片上的数可能是或； 故答案为：；；或； 游戏拓展：设小丽在4张纸片上写的正整数依次为m、n、e、f，其中． 最小的两个数的和为6，最大的两个数的和为9， ，， ，解得：， 正整数，2，3． 当时，，则不满足最大的两个数的和为9这一条件，不符合题意； 当时，，若，它们的和出现的数是； 当时，，若，，但它们的和出现的数6，9，不符合题意； 当时，，若，，它们的和出现的数； 给出结论：综上分析可得，纸片上的数可能是或； 【跟踪专练3】已知是不等式组解集中的解，若存在一个a，使，我们把这样的称为该不等式组的“关联解”，a叫做“关联系数”． (1)当时，下列不等式组存在“关联解”的是_________． A． B． C． (2)不等式组的解集上存在“关联解”，若，“关联系数a”的取值范围为_________． (3)不等式组的解集存在关联解，，若，且是整数，直接写出“关联系数a”的值_________． 【答案】(1)B (2) (3)3，5，7 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，理解不等式组的“关联解”定义以及熟练掌握一元一次不等式组的解法是解此题的关键． （1）先求出每个不等式组的解集， 再根据不等式组的“关联解”定义判断即可； （2）先求出不等式组的解集是，求出，根据题意得出不等式组并求出即可． （3）先求出不等式组的解集是，根据“关联解”定义得出解出a的范围，结合是整数即可求出结论． 【详解】（1）解：A．， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 当时，不存在， B．， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 当，时，存在， C． 解不等式①得：， 解不等式②得：， 当存在， 当时，不存在， 故选：B； （2）， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集是， 若，且， ， ， ， ， 故答案为：； （3）， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集是， 若，且， ， ， ， 解得：， ， ， ， 是整数，， ． 故答案为：3,5,7. 【题型12.列一元一次不等式】 【典例】公共汽车上有个座位，车上已有人坐在座位上，在某站又上来人，有一部分人无座位，则可列不等式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了列不等式．根据题意，空座位数为，上来人后，若有人无座位，则大于空座位数，进而列出不等式． 【详解】解：公共汽车上座位总数为，已有人占用座位，又上来人，则空座位数为，若有一部分人无座位，则表明上来的人数大于空座位数，即． 故答案为：． 【跟踪专练1】某学校组织八年级学生到劳动实践教育基地参加实践活动，某小组的任务是用不超过3小时的时间平整一块面积为的土地．开始的半小时，由于操作不熟练，只平整了土地．设他们在剩余时间内每小时平整土地，根据题意可列不等式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了实际问题抽象出一元一次不等式，理解题意，找准不等关系是解此题的关键． 设他们在剩余时间内每小时平整土地，根据“某小组的任务是平整土地，学校要求完成全部任务的时间不超过3小时”即可列出一元一次不等式． 【详解】解：由题意得：， 整理得：， 故选：C． 【跟踪专练2】用适当的式子表示下列关系： (1)x减去6大于12； (2)y的2倍与5的差是负数； (3)m的3倍与4的和是非负数； (4)a的2倍与b的的和不大于4； (5)n的5倍与9的差不小于-1； (6)长方形相邻两边的长分别为4，，它的周长大于20． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，弄清运算的先后顺序和不等关系，才能把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式． （1）根据x减去6得出，再根据x减去6大于12得出答案； （2）先表示出的2倍为，再表示出与5的差为，结果为负数即列出不等式即可； （3）先表示出的3倍为，再表示出与4的和为，结果为非负数即列出不等式即可； （4）先表示出a的2倍是，再表示出的为，它们的和为，然后根据和不大于4即为小于等于4，列出不等式即可 （5）先表示出n的5倍是，再表示出与9的差，然后根据不小于即为大于等于，列出不等式即可； （6）根据长方形周长计算公式可得周长为，再根据周长大于20列出不等式即可． 【详解】（1）解：由题意可得：； （2）解：由题意可得：； （3）解：由题意可得：； （4）解：由题意可得：； （5）解：由题意可得：； （6）解：由题意可得：． 【跟踪专练3】青少年近视已经成为困扰我国中小学生的严重问题，根据《儿童青少年学习用品近视防控卫生要求》中对学生用品——护目灯的光照度、色温、蓝光、频闪等参数都有明确的合格要求，某企业生产的A，B两种型号的护目灯均符合要求．已知出售1件A型号和3件B型号护目灯共收入1100元，出售2件A型号和5件B型号护目灯共收入1900元． (1)求A型号和B型号每件护目灯的售价； (2)若出售A，B两种型号（均有销售，且总件数不超过13件）共收入3000元，则出售A，B两种型号的护目灯各几件？ 【答案】(1)A型号的售价200元，B型号的售价300元 (2)出售A型号3件，B型号8件或A型号出售6件，B型号出售6件或A型号出售9件，B型号出售4件 【分析】本题考查二元一次方程（组）的实际应用， （1）设A型号的护目灯的售价x元，B型号的护目灯的售价y元，根据出售1件A型号的护目灯和3件B型号的护目灯共收入1100元，出售2件A型号的护目灯和5件B型号的护目灯共收入1900元，列出方程组进行求解即可； （2）设出售A型号的护目灯a件，则出售B型号的护目灯b件，根据题意列出二元一次方程进行求解即可． 【详解】（1）解：设A型号的售价x元，B型号的售价y元，由题意得 ， 解得， 答：A型号的售价200元，B型号的售价300元； （2）解：设出售A型号a件，则出售B型号b件， 由题意得，化简得， ∵a，b为正整数，且， ∴或或， 答：出售A型号3件，B型号8件或A型号出售6件，B型号出售6件或A型号出售9件，B型号出售4件． 【题型13.用一元一次不等式解决实际问题】 【典例】杭州某中学社团制作杭州特色文创产品义卖，前期投入1000元，每个产品材料成本10元，售价20元，场地及宣传费为销售收入的，若要使利润（销售收入减去材料成本、前期投入、场地及宣传费）超过1000元，则至少需要制作并售出 个产品． 【答案】334 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用． 根据题意，设售出产品数量为x个，则求出销售收入、材料成本、场地及宣传费，根据“利润超过1000元”列不等式求解，根据x为整数作答即可． 【详解】解：设售出产品数量为x个， ∵每个产品材料成本10元，售价20元， ∴销售收入为元，材料成本为元， ∵场地及宣传费为销售收入， ∴场地及宣传费为元， ∵利润为销售收入减去材料成本、前期投入和场地及宣传费，利润超过1000元， 即， 解得， ∵x为整数， ∴x至少为334． 故答案为：334． 【跟踪专练1】在特定的实验装置和相对稳定的条件下，对玉米植株进行了连续1小时光照处理，测得植株体内有机物增加了a毫克；还进行了连续1小时黑暗处理，测得植株体内有机物减少了b毫克．在光照强度、温度等条件不变的情况下，对植株进行光照和黑暗处理共24小时，则光照处理的时间最少应超过（　　）（用含有a、b的式子表示）小时，该植株体内才能积累有机物． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，根据题意正确列一元一次不等式是解题的关键；设光照处理的时间x小时，则黑暗处理的时间为小时，根据有机物的增加量大于有机物减少量列不等式求解即可． 【详解】解：设光照处理的时间x小时，则黑暗处理的时间为小时， 由题意，， 解得：， 光照处理的时间最少应超过小时，该植株体内才能积累有机物， 故选：． 【跟踪专练2】为了加强体育锻炼，某班计划购买足球和篮球共40个．已知足球和篮球的价格分别为60元/个和90元/个，购买的总费用不超过2800元．该班级至少购买几个足球？ 【答案】27个 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的实际应用．设购买足球有个，则购买篮球个，根据“购买的总费用不超过2800元．”列出不等式，即可求解． 【详解】解：设购买足球有个，则购买篮球个，由题意得， ， 解得：， 因为为整数， 所以的最小值取27． 答：至少购买27个足球． 【跟踪专练3】某学校为丰富课后服务内容，计划采购一批篮球和足球．已知购买2个篮球和3个足球共需510元；购买3个篮球和5个足球共需810元． (1)求每个篮球和每个足球的价格． (2)若学校决定购买篮球和足球共50个，总费用不超过5800元，那么最多可以购买多少个篮球？ 【答案】(1)篮球每个120元，足球每个90元 (2)最多可以购买43个篮球 【分析】本题主要考查了列二元一次方程组和一元一次不等式解决实际问题，解题的关键是找准等量关系和不等关系，列出方程组和不等式． （1）设篮球每个x元，足球每个y元，根据两种购买方式列出方程组求解即可； （2）设购买篮球m个，根据购买金额列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：设篮球每个x元，足球每个y元， 根据题意，得： 解得 答：篮球每个120元，足球每个90元； （2）解：设购买篮球m个，则购买足球个， 根据题意，得： 解得：， ∵ m为整数， ∴ m的最大值为43， 答：最多可以购买43个篮球． 【题型14.用一元一次不等式解决几何问题】 【典例】中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为、、，则三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】由题意得，计算p的值，代入中，利用不等式求出它的最大值． 【详解】∵a=3，b+c=5， ∴p=； =4（bc-4）==9， 当且仅当b=c=2.5时取等号， ∴, ∴这个三角形的面积的最大值是3． 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的面积公式和基本不等式的应用问题，也考查了运算求解能力，解题的关键是列出不等式． 【跟踪专练1】将长为6，宽为a（a大于3且小于6）的长方形纸片按如图①所示的方式折叠并压平，剪下一个边长等于长方形宽的正方形，称为第一次操作；再把剩下的长方形按如图②所示的方式折叠并压平，剪下边长等于此时长方形宽的正方形，称为第二次操作；如此反复操作下去…若在第n次操作后，剩下的长方形恰为正方形，则操作终止．当时，a的值为 ．    【答案】或 【分析】根据题意，第一次和第二次操作后，通过列不等式并求解，即可得到的取值范围；第三次操作后，通过列一元一次方程并求解，即可得到答案． 【详解】根据题意，第一次操作，当剩下的长方形宽为：，长为：时，得： ∴ 当剩下的长方形宽为：，长为：时，得： ∴ ∵ ∴第一次操作，剩下的长方形宽为：，长为：； 第二次操作，当剩下的长方形宽为：，长为：时，得： 解得： ∴ 当剩下的长方形宽为：，长为：时，得： 解得： ∴ ∵在第次操作后，剩下的长方形恰为正方形，且 ∴第三次操作后，当剩下的正方形边长为：时，得： 解得： ∵ ∴符合题意； 当剩下的正方形边长为：时，得： 解得： ∵ ∴符合题意； ∴的值为：或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了一元一次方程不等式、一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元一次方程不等式、一元一次方程的性质，从而完成求解． 【跟踪专练2】某中学决定增设乒乓球、羽毛球两门选修课程，需要购进一批乒乓球拍和羽毛球拍．已知购买2副乒乓球拍和4副羽毛球拍共需要350元，购买6副乒乓球拍和3副羽毛球拍共需要420元． (1)购买一副乒乓球拍和一副羽毛球拍各需多少元？ (2)已知该中学需要购买两种球拍共80副，所花费用不超过4340元，则可购买的羽毛球拍最多是几副？ 【答案】(1)购买一副乒乓球拍需要35元，一副羽毛球需要70元 (2)可购买的羽毛球拍最多是44副 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设购买一副乒乓球拍需要元，一副羽毛球需要元，根据“购买2副乒乓球拍和4副羽毛球拍共需要350元，购买6副乒乓球拍和3副羽毛球拍共需要420元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买副羽毛球拍，则购买副乒乓球拍，利用总价单价数量，结合总价不超过4340元，可列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论． 【详解】（1）解：设购买一副乒乓球拍需要元，一副羽毛球需要元， 根据题意得：， 解得：． 答：购买一副乒乓球拍需要35元，一副羽毛球需要70元； （2）解：设购买副羽毛球拍，则购买副乒乓球拍， 根据题意得：， 解得：， 的最大值为44． 答：可购买的羽毛球拍最多是44副． 【跟踪专练3】十五世纪杰出的法国数学家尼古拉斯·丘凯（Nicolas chuquet）在他的名著《数学三章》中提到了“平均数的规则”即：已知a、b、c、d都是正整数，如果，那么，并给出了证明． (1)根据我们所学习过的不等式的性质，我们不难证明这个结论． 由，在不等式的两边同时乘以________________________，可以得到； 由，在不等式的两边同时加上______________，可以得到； 由，在不等式的两边同时除以______________，可以得到； 同理可证，所以成立． (2)丘凯在《数学三章》中对于“平均数的规则”给出了两种证明，其中一种是用图形几何的方式直观地说明了“平均数的规则”成立．    长度1是_______；长度2是_______．（用含有字母的式子表示） 【答案】(1)，， (2)， 【分析】（1）根据不等式的性质求解即可； （2）设长度1为，则长度2为，则，去分母求出即可得结果． 【详解】（1）由，在不等式的两边同时乘以，可以得到； 由，在不等式的两边同时加上，可以得到； 由，在不等式的两边同时除以，可以得到； （2）设长度1为，则长度2为， 则， 两边同乘以得， ， ， ， ， ， 长度1是；长度2是． 【点睛】本题考查了不等式的性质以及用几何图形证明不等式的成立，数形结合是解题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $