精品解析：宁夏回族自治区中卫市中宁县第三中学2025-2026学年九年级上学期第四次月考数学试题

2025-2026学年九年级上学期第四次月考数学试题 一．选择题（每小题3分，满分24分） 1. 分别从前面、左面、上面观察图中几何体，不能得到的平面图形是（　　） A. B. C. D. 2. 已知，，是反比例函数的图象上的三点，且则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，四边形是平行四边形，点N在的延长线上，分别交，于点E，M，某位同学将刻度尺放在上，点E是零刻度，点M，点N在直尺上对应的数分别是2，6，则线段的长是（ ） A. 3 B. 4 C. D. 5 4. 关于x的一元二次方程有两个相等实数根，则k的取值为（　　） A. B. C. 且 D. 5. 数学课上，李老师与学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中有2个白球、3个黄球和5个红球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，某种颜色的球出现的频率如图所示，则该球的颜色最有可能是（ ） A. 白球 B. 黄球 C. 红球 D. 黑球 6. 如图，坡度为的斜坡上两树间的水平距离为，则两树间的坡面距离为（　　） A. B. C. D. 7. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点D在x轴上，边在y轴上，若点A的坐标为，则C点的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 已知二次函数的图象在平面直角坐标系中的位置如图所示．则一次函数与反比例函数的图象在同一平面直角坐标系中的位置大致是(　　) A. B. C. D. 二．填空题（每小题3分，满分24分） 9. 若，则_____． 10. 在菱形中，，，点是平面内一点，，连接，当时，的长为____________． 11. 若为方程的两个实数根，则____________． 12. 如图，电灯P在横杆的正上方，在灯光下的影子为，，，点P到的距离是，则点P到的距离是 _____ m． 13. 已知反比例函数的图象经过点，当时，函数值y随自变量x的增大而_____．（填“增大”或“减小”） 14. 如图，是一个由正方体积木搭成的几何体从三个方向看到的图形，正方体积木的个数___________． 15. 如图1是液体沙漏的平面示意图，经过一段时间后如图2所示，此时液面_________． 16. 如图，在平面直角坐标系中，点在第二象限，过点作轴于点，与反比例函数图象交于点E、F，连接，若为的中点，四边形面积为，则的值为_____． 三．解答题（共10小题，满分62分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）画出将向左平移3个单位，再向上平移2个单位后得到的（点A，B，C的对应点分别是，，）； （2）以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出．使与位似，且相似比为，请写出点的坐标（点A，B，C的对应点分别是，，）； （3）请在图中画出与的位似中心M，并写出点M的坐标． 19. 某市为调查市民上班时最常用的交通工具的情况，随机抽取了部分市民进行调查，被调查者从“A：非电动自行车，B：电动自行车，C：公交车，D：家庭汽车，E：其他”五个选项中选择最常用的一项．将所有调查结果整理后绘制成如下不完整的条形统计图和扇形统计图，请结合统计图回答下列问题． （1）本次调查中，一共调查了 名市民，其中“C：公交车”选项的有 人；扇形统计图中，E项对应的扇形圆心角是 度； （2）从B组的甲、乙、丙三个人中随机选择两个人，了解他们使用的电动自行车品牌情况，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲和乙的概率． 20. 矩形种植区域如图所示，米，米．现计划从中开垦出两个正方形区域用于种植青菜，其余区域种植胡萝卜，已知，胡萝卜种植区域的面积是原矩形区域面积的一半，设米． （1）______米（用含的代数式表示），______米； （2）求的长． 21. 如图，在平行四边形中，过点A作交边于点E，点F在边上，且． （1）求证：四边形是矩形． （2）若平分，且，求线段的长． 22. 已知二次函数 的图象与x轴交于点A、（点A在点B的左侧）两点，与y轴交于点．点P是直线上的一动点． （1）求该二次函数的解析式； （2）过点P作轴，交抛物线于点Q，设的长度为h，点P的横坐标为，若h值随的增大而增大，请确定P的横坐标的取值范围． 23. 如图，一次函数的图象与轴，轴分别交于点，，与反比例函数的图象交于点，，已知点的纵坐标为1． （1）反比例函数的表达式为________；当时，的取值范围是________． （2）若点是点关于轴的对称点，求的面积． 24. 近几年中学生近视的现象越来越严重，为响应国家的号召，某公司推出了如图1所示的护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图2所示，其中灯柱，灯臂，灯罩，分别可以绕点C、D上下调节一定的角度． （1）若将绕点C转动使得，与之间的夹角，求点C与点E之间的水平距离； （2）经使用发现：当E点到水平桌面的距离为时，台灯光线最佳．当，且时，试通过计算说明此时光线是否最佳．（精确到，参考数值：，，） 25. 如图，某数学小组在劳动教育中接管了一块面积为的矩形地块种植番茄，该地块一边靠墙，另外三边用木栅栏围住，木栅栏总长为．为了节约原料，该小组需计算木栅栏的最小总长．他们尝试从“函数图象”的角度进行探究： 设为，BC为ym．由面积为，得到，满足条件的可看成是反比例函数的图象在第一象限的坐标；木栅栏总长为，得到，满足条件的可看成一次函数的图象在第一象限的坐标，同时满足这两个条件的就可以看成两个函数图象交点的坐标．请利用题2图完成以下问题： （1）若，能否围出矩形地块？答： （填“能”或“不能”）； （2）若，画出的图象，并写出此时的长； （3）当木栅栏总长最小时，画出的图象，并写出木栅栏总长的最小值． 26. 如图，中，，，点分别是的中点，于点． （1）求证：； （2）求的大小； （3）若，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级上学期第四次月考数学试题 一．选择题（每小题3分，满分24分） 1. 分别从前面、左面、上面观察图中几何体，不能得到的平面图形是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查从不同方向看几何体，认真观察是解题的关键．分别从前面、左面、上面观察图中几何体判断即可． 【详解】解：选项A是从左面看得到的图形，选项C是从上面看得到的图形，选项D是从前面看得到的图形，分别从前面、左面、上面观察图中几何体，不能得到的平面图形是选项B． 故选：B． 2. 已知，，是反比例函数的图象上的三点，且则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据反比例函数的系数判断出函数图象在一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小，再根据，判断出，，的大小．本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 【详解】解：∵反比例函数的系数 函数图象如图，则图象在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小， 又∵， 点，在第一象限，点在第三象限， ∴． 故选：B． 3. 如图，四边形是平行四边形，点N在的延长线上，分别交，于点E，M，某位同学将刻度尺放在上，点E是零刻度，点M，点N在直尺上对应的数分别是2，6，则线段的长是（ ） A. 3 B. 4 C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边的性质和相似三角形的判定和性质，由相似三角形得出对应边成比例是解题的关键．由四边形是平行四边形，可知，，可得，．可得，即，可求出． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，． ，． ． ． ， ． ． ． ． ，，， ，解得（负数舍去） 故选：C 4. 关于x的一元二次方程有两个相等实数根，则k的取值为（　　） A. B. C. 且 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．根据一元二次方程有两个相等实数根需满足判别式为零且二次项系数不为零，进行解答即可． 【详解】解：∵方程为一元二次方程， ∴，即， 解得：， ∵满足， ∴的取值为． 故选：A． 5. 数学课上，李老师与学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中有2个白球、3个黄球和5个红球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，某种颜色的球出现的频率如图所示，则该球的颜色最有可能是（ ） A. 白球 B. 黄球 C. 红球 D. 黑球 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，用频率估计概率，根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值得到抽到该球的概率为，再分别计算出抽到三种颜色的球的概率即可得到答案． 【详解】解：由题意得，该球的频率稳定在左右，即抽到该球的概率为， ∵抽到白球的概率为，抽到黄球的概率为，抽到红球的概率为， ∴该球的颜色最有可能是白球， 故选：A． 6. 如图，坡度为的斜坡上两树间的水平距离为，则两树间的坡面距离为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了坡度问题，此题的关键是熟悉且会灵活应用公式：（坡度）垂直高度水平宽度．利用坡度求得垂直高度，进而利用勾股定理可求得相邻两树间的坡面距离． 【详解】解：∵坡比为的斜坡上两树间的水平距离为， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 7. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点D在x轴上，边在y轴上，若点A的坐标为，则C点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质、勾股定理等知识，在中，利用勾股定理求出即可解决问题． 【详解】解：∵， ， ∵四边形是菱形， ， 在中，， ． 故选：B． 8. 已知二次函数的图象在平面直角坐标系中的位置如图所示．则一次函数与反比例函数的图象在同一平面直角坐标系中的位置大致是(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图形，一次函数的图象，反比例函数的图象，根据二次函数图象开口向下得到，再根据对称轴确定出根据与轴的交点确定出，然后确定出一次函数图象与反比例函数图象的情况，即可得解． 【详解】解：二次函数图象开口方向向下， ， 对称轴为直线， ， ， 与轴的正半轴相交， ， 的图象经过第一、二、四象限， 反比例函数的图象在第一三象限， 只有C选项图象符合． 故选：C． 二．填空题（每小题3分，满分24分） 9. 若，则_____． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】此题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．根据比例的性质直接解答即可． 【详解】解：， ， ， 故答案为： 10. 在菱形中，，，点是平面内一点，，连接，当时，的长为____________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，三角函数的比值关系等，熟练利用勾股定理解三角形是解题的关键． 延长交与点，利用菱形的性质和三角函数的比值关系求出和的比值关系，设，，利用勾股定理建立式子求出和的长度即可得到的长 ． 【详解】解：当点在菱形内部时，延长交与点，如图所示： ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴ ∵， ∴， ∴设，， ∴在中：， 即：， 解得：， ∴，， ∴， ∴在中：， ∴； 当点在菱形外部时，如图所示： ∴ 故答案为：或． 11. 若为方程的两个实数根，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，可得，再将所求式子通分，最后代入求值即可． 【详解】解：∵为方程的两个实数根， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握若，是一元二次方程的两个实数根，则，是解题的关键． 12. 如图，电灯P在横杆的正上方，在灯光下的影子为，，，点P到的距离是，则点P到的距离是 _____ m． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，解题关键是熟练掌握相似三角形对应高的比等于相似比． 根据平行线，得出，再根据相似三角形对应高的比等于相似比求解即可． 【详解】解：， ∴， ， ∵点P到的距离是， ∴点P到的距离是． 故答案为：． 13. 已知反比例函数的图象经过点，当时，函数值y随自变量x的增大而_____．（填“增大”或“减小”） 【答案】增大 【解析】 【分析】本题考查了运用待定系数法求反比例函数的表达式和反比例函数的性质，解题时注意：当，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．根据题意，利用待定系数法解出系数的符号，再根据k值的正负确定函数值的增减性． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， 解得， ∴当，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大 ∴当时，y随x的增大而增大． 故答案为：增大． 14. 如图，是一个由正方体积木搭成的几何体从三个方向看到的图形，正方体积木的个数___________． 【答案】7 【解析】 【分析】根据“从正面看”可得该几何体有2层，再分别根据“从左面看”、“从上面看”，判断该几何体有几行、几列以及正方体的具体摆放，即可解答． 【详解】解：由从上面看易得最底层有5个小正方体，由主视图和左视图知第二层有2个小正方体，那么搭这个几何体共用了个， 故答案为：7． 【点睛】本题考查对三视图的理解应用以及空间想象能力，可从主视图分清物体的上下和左右的层数，从俯视图上分清物体的左右和前后的位置，综合上述分析出小立方体的个数． 15. 如图1是液体沙漏的平面示意图，经过一段时间后如图2所示，此时液面_________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的实际应用．画出截面图，过点C作交于点G，交于点F，由，列出等量关系式，即可求解． 【详解】解：如图所示为沙漏横截面，过点C作交于点G，交于点F， 由题意得：，，， ， ，分别为，边上的高， ， ， 相似三角形对应边的高之比等于相似比， ，即， 解得， 故答案为：． 16. 如图，在平面直角坐标系中，点在第二象限，过点作轴于点，与反比例函数图象交于点E、F，连接，若为的中点，四边形面积为，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】作轴于点，连接，根据反比例函数值的几何意义，找出面积关系，设，列出方程并解方程即可． 【详解】解：作轴于点，连接， 轴于点， ， ， 为的中点， ， 设， 则， 根据反比例函数值的几何意义可知， ， ， ， 四边形面积为， ， 解得． ， 反比例函数在第二象限， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数值的几何意义，找出面积关系并列解方程是解题关键． 三．解答题（共10小题，满分62分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）5 （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查实数的混合运算，解一元二次方程． （1）首先计算零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值和绝对值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可； （2）利用公式法求即可． 掌握零指数幂，负整数指数幂，绝对值以及特殊角的三角函数的运算法则及一元二次方程的解法，是解题的关键． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 ∵，，， 则 ∴， ∴，． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）画出将向左平移3个单位，再向上平移2个单位后得到的（点A，B，C的对应点分别是，，）； （2）以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出．使与位似，且相似比为，请写出点的坐标（点A，B，C的对应点分别是，，）； （3）请在图中画出与的位似中心M，并写出点M的坐标． 【答案】（1） 描点连接得． （2）如上图，的坐标为 （3）如上图，位似中心M的坐标为 【解析】 【分析】本题考查了图形的平移变换、位似变换及位似中心的确定，求一次函数的解析式． （1）根据“左减右加，上加下减”计算平移后各点坐标，再描点作图即可； （2）以原点为位似中心，相似比且在y轴右侧，通过原坐标乘以2得到对应点坐标； （3）连接对应点连线，其交点即为位似中心，通过计算确定位似中心的坐标． 【小问1详解】 解：根据“左减右加，上加下减”计算平移后各点坐标， 向左平移3个单位，向上平移2个单位得； 向左平移3个单位，向上平移2个单位得； 将向左平移3个单位，向上平移2个单位得； 描点连接得． 【小问2详解】 解：以原点O为位似中心，相似比且在y轴右侧，的对应点坐标为． 描点连接得， 故点的坐标为． 【小问3详解】 解：作射线、、，交点即为位似中心M． 设直线的解析式为， 将和代入解析式， 得到方程组：， 解方程组得，代入得， 因此，直线的解析式为， ∵，，故直线为， 联立求解得． ∴位似中心M的坐标为． 19. 某市为调查市民上班时最常用的交通工具的情况，随机抽取了部分市民进行调查，被调查者从“A：非电动自行车，B：电动自行车，C：公交车，D：家庭汽车，E：其他”五个选项中选择最常用的一项．将所有调查结果整理后绘制成如下不完整的条形统计图和扇形统计图，请结合统计图回答下列问题． （1）本次调查中，一共调查了 名市民，其中“C：公交车”选项的有 人；扇形统计图中，E项对应的扇形圆心角是 度； （2）从B组的甲、乙、丙三个人中随机选择两个人，了解他们使用的电动自行车品牌情况，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲和乙的概率． 【答案】（1）2000，800，54 （2） 【解析】 【分析】（1）用条形统计图中D的人数除以扇形统计图中D的百分比可得本次调查的人数；用本次调查的人数分别减去A，B，D，E选项的人数，可得“C：公交车”选项的人数；用乘以E的人数所占的百分比，即可得出答案． （2）列表可得出所有等可能的结果数以及恰好选中甲和乙的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：本次调查中，一共调查了（名）市民， “C：公交车”选项的有（人）， 扇形统计图中，E项对应的扇形圆心角是． 故答案为：2000；800；54． 【小问2详解】 解：列表如下： 甲 乙 丙 甲 （甲，乙） （甲，丙） 乙 （乙，甲） （乙，丙） 丙 （丙，甲） （丙，乙） 共有6种等可能的结果，其中恰好选中甲和乙的结果有：（甲，乙），（乙，甲），共2种， ∴恰好选中甲和乙的概率为． 【点睛】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图、概率公式，能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法、概率公式是解答本题的关键． 20. 矩形种植区域如图所示，米，米．现计划从中开垦出两个正方形区域用于种植青菜，其余区域种植胡萝卜，已知，胡萝卜种植区域的面积是原矩形区域面积的一半，设米． （1）______米（用含的代数式表示），______米； （2）求的长． 【答案】（1），25 （2）米 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、列代数式，解题的关键是： （1）根据线段的和差即可得出米，根据计划从中开垦出两个正方形区域用于种植青菜，，可得米； （2）根据胡萝卜种植区域的面积是原矩形区域面积的一半，列方程即可求得DF的长． 【小问1详解】 解：∵计划从矩形种植区域开垦出两个正方形区域用于种植青菜，，米． ∴米，米，， ∴米，（米）， 故答案为：，25； 【小问2详解】 解：由题意得，， 解得，（不合题意，舍去）， ∴米． 21. 如图，在平行四边形中，过点A作交边于点E，点F在边上，且． （1）求证：四边形是矩形． （2）若平分，且，求线段的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形； （2） 【解析】 【分析】此题考查了矩形的判定和性质、平行四边形的性质、勾股定理等知识，证明四边形是矩形是解题的关键． （1）先证明四边形是平行四边形，又由即可证明结论成立； （2）求出，利用勾股定理求出，在中，利用勾股定理即可求出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵平分，， ∴， ∴， 在中，， ， 在中， ． 即的长是． 22. 已知二次函数 的图象与x轴交于点A、（点A在点B的左侧）两点，与y轴交于点．点P是直线上的一动点． （1）求该二次函数的解析式； （2）过点P作轴，交抛物线于点Q，设的长度为h，点P的横坐标为，若h值随的增大而增大，请确定P的横坐标的取值范围． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求二次函数解析式即可； （2）先求出直线的解析式为,设，则，讨论：当时，，根据二次函数的性质得当时，值随的增大而增大；当或时，，解方程得或，则或时，，而根据二次函数的性质，当时，值随的增大而增大，所以，然后综合两种情况得到的横坐标的取值范围． 【小问1详解】 解：把，分别代入得， 解得， 二次函数解析式为； 【小问2详解】 解：如图， 设直线的解析式为， 把，分别代入得， 解得， 直线的解析式为， 设，则， 当时，， ， 当时，值随的增大而增大； 当或时，， 当时，， 解得或， 或时，,， ， 当时，值随的增大而增大， ， 综上所述，的横坐标的取值范围为或． 【点睛】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数，，是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了待定系数法求抛物线解析式和二次函数的性质． 23. 如图，一次函数的图象与轴，轴分别交于点，，与反比例函数的图象交于点，，已知点的纵坐标为1． （1）反比例函数的表达式为________；当时，的取值范围是________． （2）若点是点关于轴的对称点，求的面积． 【答案】（1），或 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合，正确求出对应的函数解析式和点B的坐标是解题的关键． （1）根据点的纵坐标为，代入一次函数得出，代入反比例函数解析式即可求解；联立一次函数与反比例数解析式，求得点，然后根据函数图象直接写出的取值范围； （2）一次函数的图象轴交于点，则，根据点是点关于轴的对称点，则，进而根据三角形面积公式进行计算即可求解． 【小问1详解】 解：在中，当时， 点在直线上，点的纵坐标为， ． 点在反比例函数上， ∴ ， ∴反比例函数解析式为． 联立，解得或， ∴， ∴由图象可得：当或时，； 【小问2详解】 解：在中，当时，， ． 点是点关于轴的对称点， ． ， ． 24. 近几年中学生近视的现象越来越严重，为响应国家的号召，某公司推出了如图1所示的护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图2所示，其中灯柱，灯臂，灯罩，分别可以绕点C、D上下调节一定的角度． （1）若将绕点C转动使得，与之间的夹角，求点C与点E之间的水平距离； （2）经使用发现：当E点到水平桌面的距离为时，台灯光线最佳．当，且时，试通过计算说明此时光线是否最佳．（精确到，参考数值：，，） 【答案】（1） （2）此时光线最佳 【解析】 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用： （1）过点D作，过点B作，过点C作，求得，，进一步求出点C和点E之间的水平距离是； （2）过点D作，过点C作，得四边形为矩形，求出，再求出，从而可求出，再进行比较大小即可得出结论 【小问1详解】 解：过点D作，过点B作，过点C作 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴点C和点E之间的水平距离是； 【小问2详解】 解：过点D作，过点C作， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴此时光线最佳 25. 如图，某数学小组在劳动教育中接管了一块面积为的矩形地块种植番茄，该地块一边靠墙，另外三边用木栅栏围住，木栅栏总长为．为了节约原料，该小组需计算木栅栏的最小总长．他们尝试从“函数图象”的角度进行探究： 设为，BC为ym．由面积为，得到，满足条件的可看成是反比例函数的图象在第一象限的坐标；木栅栏总长为，得到，满足条件的可看成一次函数的图象在第一象限的坐标，同时满足这两个条件的就可以看成两个函数图象交点的坐标．请利用题2图完成以下问题： （1）若，能否围出矩形地块？答： （填“能”或“不能”）； （2）若，画出的图象，并写出此时的长； （3）当木栅栏总长最小时，画出的图象，并写出木栅栏总长的最小值． 【答案】（1）不能 （2）或 （3）木栅栏总长的最小值是 【解析】 【分析】此题考查了反比例函数和一次函数图象的交点问题，一元二次方程的解等知识，数形结合是解题的关键． （1）联立函数解析式得到一元二次方程，根据方程根的判别式进行判断即可； （2）画出函数图象，联立函数解析式求出交点的坐标即可得到答案； （3）联立函数解析式得到一元二次方程，根据方程根的判别式进行解答即可． 【小问1详解】 解：将反比例函数与直线联立得， ∴， ∴， ∵， ∴方程无解， ∴若，不能围出矩形地块． 故答案为：不能； 【小问2详解】 若，则的图象，如图所示： 联立反比例函数与直线联立得： ， 解得：或， ∴交点坐标为或， ∵设为，BC为ym． ∴或； 【小问3详解】 ∵a是直线与y轴交点的纵坐标， ∴当直线与相切时，a最小， 如图： 此时联立方程组， 整理得：， ∴， 解得或（舍去）， ∴木栅栏总长的最小值是． 26. 如图，中，，，点分别是的中点，于点． （1）求证：； （2）求的大小； （3）若，求的面积． 【答案】（1） 证明：， ， ， ， ， ； （2） （3）的面积为2 【解析】 【分析】（1）先根据相似三角形的判定可得，再根据相似三角形的性质即可得证； （2）先根据等腰直角三角形的判定与性质可得，再根据相似三角形的判定可得，然后根据相似三角形的性质可得，最后根据角的和差即可得； （3）设，从而可得，再根据相似三角形的性质、勾股定理可得，从而可得，然后根据相似三角形的判定与性质可得，从而可求出a的值，最后根据直角三角形的面积公式即可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， 是等腰直角三角形， ， 由（1）可知，， ， 点E是的中点， ， ， ， ， 又， ， ； 【小问3详解】 解：设， 是等腰直角三角形， ， 点分别是的中点， ， 在中，， ， 由（1）知，， ，即， 解得， 在中，， ， ， ，即， 解得， 又， ， 解得， ， 则的面积为． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $