专题9.4 三元一次方程组（高效培优讲义）数学新教材沪教版五四制六年级下册

专题9.4三元一次方程组 教学目标 1.理解三元一次方程组的概念，能识别三元一次方程组； 2.掌握三元一次方程组的基本解法（代入消元法、加减消元法），能将三元一次方程组转化为二元一次方程组求解； 3. 能根据方程组的特点，选择合适的消元方法，提高解题能力. 教学重难点 1.重点 解三元一次方程组. 2.难点 灵活选择消元方法. 知识点01三元一次方程组的定义 如果方程组中含有三个未知数，且含未知数的项都是一次项，这样的方程组就叫作____________________. 如，下列两个方程组都是三元一次方程组. 知识点02三元一次方程组的解法 解三元一次方程组的基本思路是： 三元一次方程组 二元一次方程组 一元一次方程 【即学即练】 解方程组： 解： 将①分别代入②和③可实现消去_______的目的， 整理得二元一次方程组____________________. 解这个方程组， 得____________________. 所以，原方程组的解是 ____________________. 例２　解方程组，以下解法不正确的是（    ） A． 由①，②消去z，再由①，③消去z B． 由①，③消去z，再由②，③消去z C． 由①，③消去y，再由①，②消去y D． D．由①，②消去z，再由①，③消去y 【解析】由①+②得到 ____________________.消去了_______.； 再由①+③得到 ____________________.消去了_______.； 整理得到的新方程组 ____________________ 但是新方程组含有3个未知数，仍然属于三元一次方程组，所以消元失败. 所以选D. 【点睛】用加减法消元的时候，前后两次的消元必须消同一个未知数. 题型01三元一次方程组的辨析 【典例1】下列方程组中，是三元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】下列方程组中，是三元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】下列方程组中，不属于三元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】下列方程组中，是三元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【变式4】下列是三元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 题型02用代入法解三元一次方程组 【典例1】解下列三元一次方程组： 【变式1】解下列三元一次方程组： ． 【变式2】解下列三元一次方程组： 【变式3】解方程组： 【变式4】解方程组． 题型03 含有二元一次方程的三元一次方程组 【典例1】解方程组 【变式1】解方程组： ； 【变式2】解方程组： ； 【变式3】解方程组： ； 【变式4】解三元一次方程组： 题型04用加减消元法解一般式的三元一次方程组 【典例1】解三元一次方程组： 【变式1】解三元一次方程组： ． 【变式2】解三元一次方程组： 【变式3】解三元一次方程组 ． 【变式4】解方程组： 题型05 轮换对称型三元一次方程组 【典例1】 解方程组 【变式1】解方程组 【变式2】解三元一次方程组 【变式3】解方程组 【变式4】解方程组 题型06 用含一个未知数的代数式表示另外两个未知数 【典例1】已知，且，求的值． 【变式2】已知方程组，求的值． 【变式3】数学活动：探究不定方程 小张，小王两位同学在学习方程过程中，发现三元一次方程组虽然解不出x，y，z的具体数值，但可以解出的值．请在以下横线处补全两人的解法． 小张的方法： ，整理可得：____________； ，整理可得：____________， ∴ 小王的方法：：_____________③； ∴__________得：． 【变式4】已知方程组的解也是方程的解，求的值． 一、单选题 1．下列方程组中，是三元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 2．解方程组，最简便的消元方法是（    ） A．先消去x B．先消去y C．先消去z D．先消去常数项 3．解方程组时，要使解法较为简便，应（    ） A．先消去 B．先消去 C．先消去 D．先消去常数 4．已知方程组，则的值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 二、填空题 5．已知方程是关于x，y，z的三元一次方程，则 ． 6．关于的二元一次方程组，若，则 ． 7．方程组的解为 ． 8．方程组的解为 ． 9．相传洛书是一个三阶幻方，就是将已知9个数填入的方格中，使每一行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等．在如图的幻方中也有类似的规律，则的值为 ． 10．若，则_________； 11．已知，，满足，且，则 ． 12．若三元一次方程组的解使，则的值是 ． 三、解答题 13．解方程组： 14．解方程组 15．解方程组解三元一次方程组． 16．解方程组． 17．在一堂数学课上，刘老师布置了这样一道题目：已知方程组，求的值．针对此问题，乐乐同学认为可以用“整体思想”和“消元、转化”方法求解：用②−①得到③，因为问题是求解整体的值，因此可以在原方程组中“分离”出即可，即，接下来采用“代入消元法”或者“加减消元法”均可解决该问题了． (1)请你替乐乐同学完成接下来的步骤，求解出的值； (2)请你用上述思想方法求解问题：已知，求的值． 18．感悟思想：有些关于方程组的问题，要求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：已知实数，满足①，②，求和的值． 思考：本题常规思路是将①②联立成方程组，解得，的值再代入要求值的代数式得到答案，有的问题用常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形，整体求得代数式的值．如①②可得；①②可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 体会思想： (1)已知二元一次方程组，则___________； (2)三元一次方程组的解是 ___________． 1/37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题9.4三元一次方程组 教学目标 1.理解三元一次方程组的概念，能识别三元一次方程组； 2.掌握三元一次方程组的基本解法（代入消元法、加减消元法），能将三元一次方程组转化为二元一次方程组求解； 3. 能根据方程组的特点，选择合适的消元方法，提高解题能力. 教学重难点 1.重点 解三元一次方程组. 2.难点 灵活选择消元方法. 知识点01三元一次方程组的定义 如果方程组中含有三个未知数，且含未知数的项都是一次项，这样的方程组就叫作三元一次方程组. 例如： 知识点02三元一次方程组的解法 解三元一次方程组的基本方法是： 三元一次方程组 二元一次方程组 一元一次方程 【即学即练】 例1解方程组： 解： 将①分别代入②和③,整理得 解这个方程组，得 所以，原方程组的解是 例２　解方程组，以下解法不正确的是（    ） A． 由①，②消去z，再由①，③消去z B． 由①，③消去z，再由②，③消去z C． 由①，③消去y，再由①，②消去y D． D．由①，②消去z，再由①，③消去y 【解析】由①+②得到5x+2y=16消去了z；再由①+③得到4x-z=7消去了y． 得到的新方程组 但是新方程组含义3个未知数，仍然属于三元一次方程组，所以消元失败. 所以选D. 【点睛】用加减法消元的时候，前后两次的消元必须消的是同一个未知数. 题型01三元一次方程组的辨析 【典例1】下列方程组中，是三元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三元一次方程组的定义，熟练掌握三元一次方程组的定义是解题的关键． 根据三元一次方程组的定义分别进行判断即可． 【详解】解：A、第三个方程中x的次数为2，不符合题意； B、第一个方程为分式方程，不符合题意； C、此方程组为三元一次方程组，符合题意； D、方程组只含有两个未知数，不符合题意． 故选：C． 【变式1】下列方程组中，是三元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用三元一次方程组的定义判断即可． 【详解】解：A．是三元一次方程组，符合题意； B．方程组含有4个未知数，不是三元一次方程组，不符合题意； C．只含有2个未知数，不是三元一次方程组，不符合题意； D．方程组含有4个未知数，不是三元一次方程组，不符合题意； 故选：A． 【点睛】此题考查了解三元一次方程组，熟练掌握三元一次方程组的定义是解本题的关键． 【变式2】下列方程组中，不属于三元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三元一次方程组的定义，即含有三个未知数，并且所含未知数的次数都是1的整式方程组叫做三元一次方程组，再根据三元一次方程组的定义判断即可． 【详解】解：A．符合定义，是三元一次方程组，不符合题意； B．符合定义，是三元一次方程组，不符合题意； C．符合定义，是三元一次方程组，不符合题意； D．方程组含有两个未知数，不是三元一次方程组，符合题意； 故选：D． 【变式3】下列方程组中，是三元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了三元一次方程组，根据三元一次方程组的定义，即含有三个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程组叫做三元一次方程组判断即可．熟练掌握三元一次方程组的定义是解本题的关键． 【详解】解：A．第二个方程是二次方程，不是三元一次方程组，不符合题意； B．第一个方程不是整式方程，不符合题意； C．是三元一次方程组，符合题意； D．方程组含有4个未知数，不是三元一次方程组，不符合题意； 故选：C． 【变式4】下列是三元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三元一次方程组的定义：含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1次的整式方程，叫做三元一次方程组． 根据三元一次方程组的定义逐一判断即可． 【解析】解：A.满足三元一次方程组的定义，故符合题意； B. ，未知数的项的次数为2次，不是三元一次方程，故此选项不符合题意； C. ，未知数的项的次数为2次，不是三元一次方程，故此选项不符合题意； D.，不是整式方程，故此选项不符合题意； 故选A． 题型02用代入法解三元一次方程组 【典例1】解下列三元一次方程组： 【分析】本题考查解三元一次方程组，将①代入②消去y，与③联立得到关于x，z的二元一次方程组求解，再求y的值即可； 【详解】， 将①代入②，得 ， ∴， ， 解得， 把代入①，得， ∴； 【变式1】解下列三元一次方程组： ． 【答案】 【分析】本题考查三元一次方程组的解法，用代入法把三元一次方程组化为二元一次方程组，求解二元一次方程组即可得解． 【详解】解： 把①分别代入②、③式得 ∴ 把y=40代入①，得x=66 ∴原方程组的解是． 【变式2】解下列三元一次方程组： 【分析】本题考查三元一次方程组的解法，用代入法把三元一次方程组化为二元一次方程组，求解二元一次方程组即可得解． 【详解】解： 把③分别代入①②得 解之得z=3,y=5 把y=5,z=3代入①，x=14 所以原方程组的解是 【变式3】解方程组： 【答案】 【分析】本题可以根据x:y:z=1:2:3设参数K，再用代入法解方程组． 【详解】解：因为x:y:z=1:2:3 所以可设x=1k,y=2k,z=3k 把x=1k,y=2k,z=3k代入②式得2k+2k-9k=15 ∴k=-3 ∴x=-3,y=-6,z=-9 ∴方程组的解为． 【变式4】解方程组． 【答案】 【分析】本题考查了三元一次方程组的解法，解题的关键是利用“整体代入”消元法将三元一次方程组转化为二元一次方程组进行求解． 【详解】解： 把代入中，得， ， 把代入中，得， ， 把代入中，得， ， ∴方程组的解为． 题型03 含有二元一次方程的三元一次方程组 【典例1】解方程组 【答案】 【分析】本题考查解三元一次方程组，利用加减消元法解方程组即可，正确求解是解答的关键． 【详解】解：得：， 得：，解得：， 将代入④得：，解得：， 将代入①得：，解得：， ∴原方程组的解为． 【变式1】解方程组： ； 【答案】(1) 【分析】本题主要考查了解三元一次方程组，用②-①加减消元法解三元一次方程组即可； 解：， 得：， 把代入③得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为：； 【答案】 【变式2】解方程组： ； 【答案】 【分析】本题主要考查了解三元一次方程组，用③-①加减消元法解三元一次方程组即可； 【详解】解：， 由③-①得x-2y=-8 ④ 由②④组成方程组 解之得x=10,y=9 把x=10,y=9入①得，z=7 方程组的解为 ； 【变式3】解方程组： ； 【分析】本题主要考查了解三元一次方程组，用②-+①加减消元法解三元一次方程组即可； 解: , 由得：， 由得：， 解得：， 将代入③得：， 将，代入①得：， 方程组的解为 ； 【变式4】解三元一次方程组： 【分析】本题主要考查了解三元一次方程组，用加减消元法解三元一次方程组即可； 【详解】解： ，得 联立①④，得 ，解得 把代入③，得 ∴ ∴ 题型04用加减消元法解一般式的三元一次方程组 【典例1】解三元一次方程组： 【分析】本题考查解三元一次方程组，解题的关键是利用加减消元法将方程组转化为一元一次方程进行解答． 【详解】 ，得 ，得 联立④⑤，得 解得 把代入③，得 ∴ ∴ 【变式1】解三元一次方程组： ． 【分析】本题考查解三元一次方程组，解题的关键是利用加减消元法将方程组转化为一元一次方程进行解答． 解：， ，得④， ，得⑤， ，得， 解得， 把代入④，得， 把，代入②，得． 所以原方程组的解是． 【变式2】解三元一次方程组： 【分析】本题考查解三元一次方程组，解题的关键是利用加减消元法将方程组转化为一元一次方程进行解答． 【详解】， 由，得， ，得， 由④⑤得到 将代入①可得， ， ∴原方程组的解为． 【变式3】解三元一次方程组：． 【分析】本题考查解三元一次方程组，解题的关键是利用加减消元法将方程组转化为一元一次方程进行解答． 解：， 由，可得 ④， 由，可得 ⑤， 由，可得 ，解得 ， 将代入④，可得，解得， 将，代入②，可得， 解得， 所以，该方程组的解为． 【变式4】解方程组： 【答案】 【分析】本题考查解三元一次方程组，熟练掌握加减消元法是解题的关键． 【详解】解：①②得， ①③得， 联立④⑤得方程组， 解得， 把代入①得， 所以方程组的解为． 题型05 轮换对称型三元一次方程组 【典例1】 解方程组： 【答案】 【分析】先把①，②，③的左右两边分别相加，再进行整理即可得出，再利用加减消元法④－①、④－② 、④－③分别求得z、x、y的解即可． 【解析】解：， ①＋②＋③得： ， 即， ④－①得： ④－②得： ④－③得： 故方程组的解为： 【点睛】本题考查加减消元法求解三元一次方程组，解题的关键是利用加减消元法求出． 【变式1】解方程组： 【详解】解： ，得， 则 将①代入④，得，解得 将②代入④，得，解得 将代入①，得：，解得 ∴原方程组的解为； 【变式2】解三元一次方程组： 【详解】解： ，得 用④分别与①，②，③相减，得 ∴ 【变式3】解方程组： 【详解】解：，得4x+6y+8z=56 则2x+3y+4z=28④ 将④-①，得4z=15，解得z=, 将④-②，得2x=13，解得x= 将④-③，得：3y=10，解得y= ∴原方程组的解为； 【变式4】解方程组： 【详解】解：，得2x-4y+6z=20 则x-2y+3z=10④ 将④-①，得3z=15，解得z=5 将④-②，得x=0 将④-③，得：-2y=-5，解得y= - ∴原方程组的解为； 题型06 用含一个未知数的代数式表示另外两个未知数 【典例1】已知，且，求的值． 【答案】 【分析】本题考查分式的值，解方程组等知识，把看成已知数，求出、，然后代入化简即可，解题的关键是把看成已知数解方程组，属于中考常考题型． 【详解】解：把z看作常数，解关于x、y的方程组 ，得 所以原式 ． 【变式2】已知方程组，求的值． 解：由原方程组，得 ，得．③ 把③代入①，得 ． 所以． 【变式3】数学活动：探究不定方程 小张，小王两位同学在学习方程过程中，发现三元一次方程组虽然解不出x，y，z的具体数值，但可以解出的值．请在以下横线处补全两人的解法． 小张的方法： ，整理可得：____________； ，整理可得：____________， ∴ 小王的方法：：_____________③； ∴__________得：． 【答案】（1）；；；③． 【变式4】已知方程组的解也是方程的解，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了三元一次方程组，掌握代入消元法和加减消元法的解题步骤是解决此类题的关键． 把、、用含有的式子表示出来，然后再代入即可解出的值． 【详解】，得④ ，得， 把分别代入②和③，得，． ∴． 把，，代入得． 解得． 一、单选题 1．下列方程组中，是三元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三元一次方程组的定义，熟练掌握三元一次方程组的定义是解题的关键． 根据三元一次方程组的定义分别进行判断即可． 【详解】解：A、第三个方程中x的次数为2，不符合题意； B、第一个方程为分式方程，不符合题意； C、此方程组为三元一次方程组，符合题意； D、方程组只含有两个未知数，不符合题意． 故选：C． 2．解方程组，最简便的消元方法是（    ） A．先消去x B．先消去y C．先消去z D．先消去常数项 【答案】B 【解析】略 3．解方程组时，要使解法较为简便，应（    ） A．先消去 B．先消去 C．先消去 D．先消去常数 【答案】B 【分析】观察方程组各未知数的系数，消去的计算量比较小， 本题考查了，消元法解方程组，解题的关键是：熟练掌握，消元法解方程组． 【详解】解：， ②③，即可消去，转化成关于、的二元一次方程组， 故选：． 4．已知方程组，则的值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题主要考查三元一次方程组的解，解得关键是明确解三元一次方程组的解答方法． 三个方程相加即可得到的值． 【详解】解：方程组， 三个方程相加得：， ∴， 故选：A． 二、填空题 5．已知方程是关于x，y，z的三元一次方程，则 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的定义，根据一元一次方程的定义得且，进而可求解，熟练掌握一元一次方程的定义：“只含有一个未知数（元），未知数的次数都是，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程”是解题的关键． 【详解】解：依题意得：且， 解得：， 故答案为：． 6．关于的二元一次方程组，若，则 ． 【答案】1 【分析】把m看作已知数表示出方程组的解，代入已知方程计算即可求出m的值． 【详解】解：解方程组 ①-②得， ∵， ∴ 解得． 故答案为：1． 【点睛】本题考查了解含参数的二元一次方程组，运用三元二次方程组的知识，解出m的值是解题的关键． 7．方程组的解为 ． 【答案】 【分析】得到，和式子③组成二元一次方程组，解出，将代入①解出，再将代入②解出即可． 【详解】解：， 得：④， 得：，解得， 将代入①得：，解得， 将代入②得：，解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三元一次方程组的求解，用加减消元法将方程组变成二元一次方程组是解答本题的关键． 8．方程组的解为 ． 【答案】 【分析】根据三元一次方程组的解法求解即可． 【详解】解： 由①得：④， 由③得：⑤， 把④和⑤代入到②得：，解得， 把代入④得：， 把代入⑤得：， ∴方程组的解为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了解三元一次方程组，熟知解三元一次方程组的方法是解题的关键． 9．相传洛书是一个三阶幻方，就是将已知9个数填入的方格中，使每一行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等．在如图的幻方中也有类似的规律，则的值为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了三元一次方程的应用，根据每一行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等，可列出关于的三元一次方程，变形后，即可求出的值，找准等量关系，正确列出三元一次方程是解题的关键． 【详解】根据题意得：， ∴， 故答案为：3． 10．若，则_________； 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质，解三元一次方程组，代数式求值，根据非负数的性质可得，解方程组求出的值即可求解，掌握非负数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 11．已知，，满足，且，则 ． 【答案】 【分析】此题考查三元一次方程组的解法，设，则整理得出，，，，代入求得t，进一步代入求得x的值． 【详解】解：设， 则，，， 代入得： 解得：， ， 故答案为：． 12．若三元一次方程组的解使，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解三元一次方程组，学会采用消元法和代入法解三元一次方程组是解题的关键．先解三元一次方程组，求出，，的值，再代入方程 求解． 【详解】解：， 由得， 由得 ， 解得， 将代入得， 将代入得， 将，，代入得， 解得， 故答案为：． 三、解答题 13．解方程组： 【答案】 【详解】解：①＋②，解得y＝8． 将y＝8代入②和③， 得， 解得， 所以原方程组的解为． 14．解方程组 【答案】 【分析】本题考查了三元一次方程组，熟练掌握解题方法是解题的关键． 【详解】解：， 得，， 得，， 解得， 将代入①得，， 解得， 将代入②得，， 解得， ∴原方程组的解为：． 15．解方程组解三元一次方程组． 【答案】 【分析】本题主要考查了解方程组，解题的关键是熟练掌握解方程组的方法，准确计算． 【详解】解：， 得：， 把代入得：，即， 把代入③得：，即， 得：，解得：， 把代入④得：，解得：， ∴方程组的解为：． 16．解方程组． 【答案】 【分析】本题考查了解三元一次方程组．消去y，与②组成关于x，z的二元一次方程组求解x，z的值，再求出y的值即可． 【详解】 ，得 联立②和④，得 ， 解得 把代入①，得 ∴ 17．在一堂数学课上，刘老师布置了这样一道题目：已知方程组，求的值．针对此问题，乐乐同学认为可以用“整体思想”和“消元、转化”方法求解：用②−①得到③，因为问题是求解整体的值，因此可以在原方程组中“分离”出即可，即，接下来采用“代入消元法”或者“加减消元法”均可解决该问题了． (1)请你替乐乐同学完成接下来的步骤，求解出的值； (2)请你用上述思想方法求解问题：已知，求的值． 【答案】(1)40 (2)1 【分析】本题考查利用“整体思想”和“消元、转化”方法解三元一次方程组，代数式求值，掌握知识点是解题的关键． （1）根据“整体思想”和“消元、转化”方法求解即可； （2）根据“整体思想”和“消元、转化”方法求解即可． 【详解】（1）解： 得，， 将原方程变形成 ， 将③代入④，得，， ． （2）解：， ①+②得：， 将原方程变形成： ， 将③代入④，得 ． 18．感悟思想：有些关于方程组的问题，要求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：已知实数，满足①，②，求和的值． 思考：本题常规思路是将①②联立成方程组，解得，的值再代入要求值的代数式得到答案，有的问题用常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形，整体求得代数式的值．如①②可得；①②可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 体会思想： (1)已知二元一次方程组，则___________； (2)三元一次方程组的解是 ___________． 【答案】(1)5 (2) 【分析】本题考查了解三元一次方程组，解二元一次方程组，熟练掌握解方程中的整体思想是解题的关键． （1）利用解方程中的整体思想，进行计算即可解答； （2）利用解方程中的整体思想，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：， 得：， 解得：， 故答案为：5； （2）解：， 得：， 解得：④， 得：， 得：， 得：， 原方程组的解为： 故答案为：． 1/37 学科网（北京）股份有限公司 $