第1章 三角形的证明及其应用章末复习&中考新趋势（分层作业）-【一本·初中同步训练】2025-2026学年八年级下册数学（北师大版·新教材）

(∠DCB=∠EBC, 在△DBC和△ECB中，BC=CB, ∠DBC=∠ECB, ∴.△DBC≌△ECB(ASA),.BE=CD, ∴等腰三角形两底角的平分线相等， 另一种解题思路：证明△ABE≌△ACD 【反思1】解：还可以得到AD=AE,BD=CE,BF=FC, DF=EF等. (答案不唯一)选择AD=AE进行证明，如下： 由例题可知，△DBC≌△ECB,∴.BD=CE. AB=AC,∴AB-BD=AC-CE,∴AD=AE. 【反思2】证明：证法1：，BE⊥AC,CD⊥AB, .∠AEB=∠ADC=90°. ∠AEB=∠ADC, 在△ABE和△ACD中，∠A=∠A, AB=AC, ∴.△ABE≌△ACD(AAS),.BE=CD 证法2（等面积法）： 1 :CDLAB,BE⊥AC,Sae=ZAB·CD=2AC·BE., ,AB=AC,∴.BE=CD 【反思3】证明：BE⊥AC,CD⊥AB, ∴.∠AEB=∠ADC=90° （∠A=∠A, 在△AEB和△ADC中，3∠AEB=∠ADC, BE=CD, ∴.△AEB≌△ADC(AAS),∴.AB=AC 【反思4】证明：：BF平分∠ABC,∴∠ABF=∠CBF '∠ABF=∠ABE,∴.∠ABF=∠CBF=∠ABE 设∠ABF=∠ABE=∠CBF=Q. AB=AC,∴.∠ABC=∠ACB=2a, ∴.∠BCE+∠CBE=5a=90°，∴.a=18°， ∴.∠ABC=∠BCE=36°，∴.∠BAC=108° 如图，在BC上截取BG=AB,连接 FG,则BG=AB=AC. 易得△ABF≌△GBF(SAS), .∠BGF=∠BAF=108, .∠CGF=72. ∠BCE=36°，.∠CFG=72°，∴CF=CG. .BG+CG=BC,..AC+CF=BC. 【2】aw方2)话号 3 (3)2【解析】如图，过点A作AP平分 ∠CAB交BC于点P,过点P作PH⊥ AB交AB于点H. AP平分∠CAB,PH⊥AB, ∴.CP=PH=2tcm. 解法1（等面积法）：2AC,BC=2AC,PC+2AB· 3 PH,6×8=6×2t+10×2t,解得t=2 解法2（勾股定理）：易证Rt△ACP≌Rt△AHP(HL), ·答茅 .AH=AC=6,.BH=4. CP=PH=2t cm,..BP=(8-2t)cm. 在Rt△BPH中，PH+BH=BP, 3 (21)2十4=(8-2)2，解得t=2 (0258《68k号我6k号 -时，AD的长度最短，AD的最短长度为53cm (7)当t= 章末复习 1.75°2.100°3.110°4.95.366.C7.40°或100° 8.∠A≤60°9.W3 10.解：(1)289 (2)证明：证法1：，AB=AC,.∠B=∠C, ∴.∠A+∠B+∠C=∠A+2∠B=180°. ,DE⊥AB,.∠B=90°-∠BDE, ∴.∠A+2(90°-∠BDE)=180°，∴.∠A=2∠BDE. 证法2：如图，连接AD. AB=AC,D为BC的中点， ∴.AD⊥BC,∠BAC=2∠BAD, ∴.∠ADE+∠BDE=90°. .DE⊥AB,.∠ADE+∠BAD=90°， ∴.∠BDE=∠BAD,.∠BAC=2∠BDE. 11.解：(1)证明：，BD⊥AC,D是边AC的中点， .BD垂直平分AC,∴.AB=CB. EF⊥AB,∠E=30°，∴.∠ABC+∠E=90°， ∴.∠ABC=60°，∴.△ABC是等边三角形 (2)AD=CE.理由略 12.A13.3 14.证明：：AD∥BC,∠A=90°，∠B=180°-∠A=90°， ∴△ADE和△BEC都是直角三角形. ∠1=∠2，∴DE=EC. 在Rt△ADE和R△BEC中，AD=BE, (DE=EC, ∴.Rt△ADE≌Rt△BEC(HL),∴.AE=BC. 15.解：△ABC是直角三角形.理由如下： BC=15,BD=9,CD是△ABC的高， ∴，△BCD是直角三角形， ∴CD=√BC-BD=√152-9=12. AC=20,△ACD是直角三角形， ∴.AD=√AC2-CD=√/202-12=16， ∴.AB=AD+BD=16+9=25 ,AC=20,BC=15,.AC2+BC2=625=AB2, ∴，△ABC是直角三角形. 16.C17.B 18.解：(1)如图，点E即为所求， (2)由(1)可知，BE=PE. 设CE=x,则BE=PE=4一x. 在Rt△CEP中，由勾股定理，得 A PE2=CE2+CP2, 15 即(4-x)2=x+1,解得x=8,CE的长为8 5. 19.A 20.解：(1)130°(2)点P在∠BAC的平分线上.理由略 (3)①证明：BP平分∠ABC,CP平分∠ACB, ∴.∠DBP=∠PBC,∠ECP=∠PCB. DE∥BC,'∠DPB=∠PBC,∠EPC=∠PCB, ∴.∠DBP=∠DPB,∠ECP=∠EPC, .BD=DP,CE=PE,..DE=DP+PE=BD+CE. ②由(2)，知AP平分∠BAC ∠BAC=60°，∴.∠PAD=30°. BP平分∠ABC,PH=4,∴PM=PH=4. 在Rt△APM中，∠AMP=90°，∠PAD=30°，PM=4, ∴.AP=2PM=8. 中考新趋势 1.解：(1)AD是Rt△ABC的“直角等腰线” 理由：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=22.5°， ∴.∠CAB=67.5°..∠CAD=2∠BAD, ∠DAB=号×67.5=2.5，∴∠DAB=∠B, ∴.△ADB是等腰三角形，△ACD是直角三角形， ∴.AD是Rt△ABC的“直角等腰线”. (2)2 2.解：(1)=(2)=后续的解答过程如下： ,△ABC为等边三角形，EF∥BC, ∴.△AEF为等边三角形，.AE=AF=EF,BE=CF. ED=EC,∴.∠D=∠ECD ,'∠DEB=60°-∠D,∠ECF=60°-∠ECD, ∴∠DEB=∠ECF. (ED=EC, 在△DBE和△EFC中，∠DEB=∠ECF, BE=CF, ∴△DBE≌△EFC(SAS),∴DB=EF,∴AE=DB. (3)如图，当点E在AB的延长线上时，作EF∥AC, 则△EFB为等边三角形，∴∠EFB=∠FBE ED=EC,∴∠D=∠BCE,.△DBE≌△CFE(AAS). AB=1,AE=2,∴BE=1. .DB=FC=FB+BC=2,∴.CD=BC十DB=3. 第二章不等式与不等式组 1不等式及其性质 第1课时不等关系 1.B2.B3.B4.3x+10>90 5.Dx+5≥0(2g+3<5(8a+6> (4)(a+b)2≥3 6.D7.一个长方形的长为a,宽为b,周长不超过20（答案 不唯一)8.15<x<20 ·答多 9.解：(1)根据题意，得35m十30(8-m)≥255. (2)根据题意，得400m十320(8-m)≤3000. 第2课时不等式的解集 1A2.c325,320,-1,-2 3 4.c 5.解：(1)如图所示. 543210}23 (2)如图所示. -7-6-5-4-3-2-1012 (3)如图所示 -3-2-i.5-10123 (4)如图所示. -3-2-103123 4 6.D7.c8.m>-5 9.解：该不等式的解集为x≥一3 (1)该不等式有无数个解，如：0,1,2（答案不唯一）. (2)该不等式有3个负整数解，分别为一3，一2，一1. 第3课时不等式的基本性质 1.D2.c3.C 4.(1)>(2)>(3)<(4)>(5)< 1 5.Q<R<P<S6.A7.3除以-2乘-2x≥-2 8.解：(1)两边都减1，得x<一3. 这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示， -5-4-3-2-101 (2)两边都除以4，得x>4. 这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示」 1012345中 (3)两边都乘一3，得x<一6. 这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示， -7-6-5-4-3-2-101 (4)两边都减5x,得3x≥1. 两边都除以3，得x≥3： 这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示 -10112341 3 9.A10.c11.a>-1【变式】(1)a>1(2)2a+1 12.解：(1)两边都减4x,得-6x>4. 两边海降以-6得<一子 这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示， -2-12012 (2)两边都加5x,得2十2x≤3. 6·▣▣ 章末 错题本 44高频考 考点1三角形内角和定理 1.在△ABC中，∠A:∠B:∠C=3:4:5,则 ∠C的度数为 2.(2024·凉山州)如图，在△ABC中，∠BCD=30°， ∠ACB=80°，CD是边AB上的高，AE是∠CAB 的平分线，则∠AEB的度数是 3.如图，在△ABC中，∠ABC,∠ACB的平分线 交于点P,将△ABC沿DE折叠使得点A与点 P重合.若∠1+∠2=80°，则∠BPC的度数是 4.一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个 多边形的对角线有 条 5.(2025·长春)一个正十二面体如图1所示，它的 每个面都是正五边形，其表面展开图如图2所 示，则∠a为 度 图1 图2 考点2等腰三角形 6.【方程思想】如图，在△ABC中，AB=AC,D为 BC上一点，CD=AD,AB=BD,则∠B的度 数为 D A.30 B.40° C.36° D.45° 30数学8年级下册BS版 复习 点精练， 7.已知等腰三角形的一个内角为40°，则这个等 腰三角形的顶角度数为 8.用反证法证明“在△ABC中，若∠A>∠B> ∠C,则∠A>60”,第一步应假设 9.(2025·南充)如图，∠AOB=90°，在射线OB上 取一点C,以点O为圆心，OC的长为半径画 弧；再以点C为圆心，OC的长为半径画弧，两 弧在∠AOB的内部相交于点D,连接CD并延 长，交射线OA于点E.设OC=1,则OE的长 是 EA 10.如图，在△ABC中，AB=AC,D是BC的中 点，过点D作DE⊥AB,垂足为E. (1)若∠A=56°，求∠BDE的度数； (2)【一题多解】求证：∠A=2∠BDE. 11.(2025·兰州期末)如图，在△ABC中，BD是高， D是边AC的中点，点E在边BC的延长线 上，ED的延长线交AB于点F,且EF⊥AB, ∠E=30°. (1)求证：△ABC是等边三角形； (2)请判断线段AD与CE的大小关系，并说 明理由。 考点3直角三角形 12.下列条件不能判定△ABC是直角三角形的是 ( A.∠A:∠B:∠C=3:4:5 B.AC:BC:AB-3:4:5 C.∠A=50°，∠B=40° D.a2=(b十c)(b-c) 13.如图，已知∠AOB=60°，点P ◇ 在OA上，OP=8,点M,N在 边OB上，PM=PN.若MN= 2,则OM= 60° 14.如图，AD∥BC,∠A=90°，E是边AB上的 一点，且AD=BE,∠1=∠2.求证：AE=BC D 15.(2024·大连西岗区月考)如图，在△ABC中，CD 是△ABC的高，AC=20,BC=15,BD=9.判 定△ABC是不是直角三角形，并说明理由. 考点4垂直平分线 16.(2025·达州)如图，在△ABC中，AB=AC=8, BC=5,线段AB的垂直平分线交AB于点 E,交AC于点D,则△BDC的周长为() A.21 B.14 C.13 D.9 17.(2025·淄博张店区期未)如图，在△ABC中，AB 边的垂直平分线l1交BC于点E,AC边的垂 直平分线l2交BC于点F,l1与l2相交于点 D,连接BD,CD.若∠BAC=120°，且△AEF 的周长为43，则△BCD的面积为() A.6 B.43 C.8 D.8√3 第一章三角形的证明及其应用31 18.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4,P 为边AC上一点，且CP=1. (1)请用无刻度的直尺和圆规在边BC上作一 点E,使CE十EP=BC;(保留作图痕迹，不写 作法) (2)在(1)的条件下，求CE的长. P◇ 考点5角平分线 19.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=6,DC= AD,BD平分/ABC.则点D到AB的距 离为 ) C D A.2 B.3 C.4 D.1.5 32数学8年级下册BS版 20.如图，在△ABC中，P为∠ABC,∠ACB的 平分线的交点，连接AP,过点P作PH⊥BC 于点H. (1)若∠ABC=70°，∠ACB=30°，则∠BPC 的度数是 (2)点P是否在∠BAC的平分线上？请说明 理由。 (3)过点P作DE∥BC. ①求证：DE=BD十CE; ②若∠BAC=60°，PH=4,求AP的长. 中考新趋势 1.【新考法·新定义】在直角三角形中，过一个锐2.如图，在等边三角形ABC中，点E在AB上， 角顶点的一条直线将直角三角形分成一个直 点D在CB的延长线上，且ED=EC. 角三角形和一个等腰三角形，则称这条直线是 [特殊情况，探索结论] 该直角三角形的“直角等腰线”. (1)如图1，当E为AB的中点时，线段AE与 (1)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B= DB的大小关系为AE DB.(填“>” 22.5°.若∠CAD=2∠BAD,判断AD是不是 “<”或“=”) Rt△ABC的“直角等腰线”，并说明理由. [特例启发，解答题目] (2)在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=60°， (2)如图2，当E为边AB上任意一点时，线段 BC=6.若AD为Rt△ABC的“直角等腰线”， AE与DB的大小关系为AE DB(填 求点D到AB的距离. “>”“<”或“=”).理由如下：如图2，过点E作 EF∥BC,交AC于点F(请你完成后续的解答 过程) [拓展结论，设计新题] (3)在等边三角形ABC中，点E在直线AB 上，点D在线段CB的延长线上，且ED=EC 若△ABC的边长为1，AE=2,请你画出相应 图形，并求出CD的长. D 图1 图2 第一章三角形的证明及其应用33