7.3.5已知三角函数值求角（教学课件，含交互动画）高一数学人教B版必修第三册

7.3.5 已知三角函数值求角 第七章 三角函数 学 习 目 标 1 2 3 掌握根据给定的三角函数值求解角的基本方法，包括利用单位圆（三角函数线）和三角函数的图像. 理解并会使用反三角函数符号表示在特定主值区间内唯一确定的角. 在求解三角方程和不等式的过程中，锻炼逻辑推理的严谨性和数学运算的准确性. 新课导入 在前面的课程中，我们已经系统学习了三角函数。尤其是一些特殊角的三角函数值，大家是否还记忆犹新？让我们快速回顾一下. 1 1 3 新课导入 以上都是‘已知角，求三角函数值’，这是我们非常熟悉的正向思维。今天，我们要来研究它的逆问题——已知三角函数值求角. 如果已知 ，那么角 是多少？ 看来，仅仅一个 ，对应的角 似乎不止一个。 那么，到底有多少个？如何能把它们全部、无遗漏地表示出来？ 下面我们一起进入本节课的学习，解决以上问题. 通过前面所学知识，我们发现 新知探究 探究一：利用三角函数线求角 尝试与发现 （2）如果已知 ，你能求出 的取值范围吗？ （1）如果已知 ，你能求出满足条件的角 吗？ ①首先先在单位圆中画出正弦值为的角 的几何意义：正弦线方向朝上，长度为 ②观察图像：角的终边有两条，分别为和，对应的角为和 ③利用三角函数的周期性，可得（1）中的解： 新知探究 对于问题（2） 继续结合三角函数线，当角的终边在内部时，正弦线长度大于 进而得到取值范围： ， 方法小结 利用三角函数线求角的基本步骤： 画单位圆 →作三角函数线 →找终边位置 →结合周期性写角的集合 典例分析 例1 已知 ，求 。 可知角 的终边可能是 ，也可能是 【分析】利用单位圆上的余弦线，直观判断 θ 的终边位置，再结合周期性写出所有解. 解:由 可知，角 对应的余弦线方向朝左，且长度为 。 作示意图，如图所示。 即 又因为 ， 所以 典例分析 同样可以通过余弦函数的图像得到不等式的解集 其解集为 典例分析 已知 ，，求 . 例1 解:由 可知， 对应的正切线的方向朝下，而且长度为 . 作示意图，如图所示. 可知角 的终边可能是 ，也可能是 ． 【分析】先利用特殊角记忆 tanx=−1的基本解；再利用正切函数的周期性写出通解. 又因为 所以 又由 可知 或 典例分析 因此 由图还可得到不等式的解集 其解集为 注：例 2 同样可以通过正切函数的图像——正切曲线求解. 知识小结 已知三角函数值求角 ①整体代换，化繁为简（若为复合角） ②定象限，找特角（根据三角函数值的正负，确定角 θ 所在的象限） ③写通解，扩范围（利用三角函数的周期性，在特角的基础上加上周期的整数倍，得到所有解的通式） ④回代求解，得结果（若为复合函数） 即时训练 1.已知 ，且 ，则 （ ） B. C. D. 【分析】利用余弦线或余弦曲线得出特殊角，再根据周期性得到通解. 解：特殊角的余弦值： 余弦函数在第二象限 () 为负值，故满足条件的角在第二象限。 根据诱导公式： 即： 又因为 ，所以唯一符合条件的解是： B 新知探究 探究二：用信息技术求角 由探究一可知，即使给出的三角函数值是特殊值，求对应的角也并不容易。但可以借助计算器或者计算软件快速得出结果. 例如，很多科学计算器用 表示满足条件的 值 如图所示： 此时，要在区间 内求出满足 的 ，只要输入 即可. 一、利用计算机求解 新知探究 二、在Excel中求角 在 Excel 中，用 表示满足条件的 值。 如图所示，在 Excel 的任意一个单元格输入 “=ASIN(0.5)”，就能得到 的小数形式。 二、在GeoGebra 中求角 用和表示满足条件的 值. 前者得到的是弧度值，后者得到的是角度值. ① ② 新知探究 探究三：反三角函数符号的表示 我们知道三角函数是周期函数，一个函数值对应无数个角，那能否用一个符号表示某个特定区间内的唯一角呢？ 事实上，在数学中，任意给定一个，当且时，通常记作 类似地，满足，有 满足，有 知识小结 反三角函数的定义及工具用角 ①：，，满足 ②：，，满足 ③：，，满足 即时训练 2.求出以下各式的值. （1）； （2）； （3）； （4）. 解：（1）； （2）； （3）； （4） 【分析】掌握反三角函数的关键是牢记定义域与主值区间，再结合特殊角的三角函数值就能快速解答即可. 巩固提升 重点题型一：已知特殊角的三角函数值，求所有角 1.已知，求 的取值集合. 【分析】 ，所以角 x 位于第二或第三象限，在确定角的终边之后再根据周期性得到解. 解： 在 内的解为： 或 余弦函数的周期为 的取值集合为： 巩固提升 【分析】正切函数的周期为π,且的基本解是：,其中 . 【，且 则= 2.已知 ，且 ，则 的大小是（ ） B. C. D. B 重点题型二：在给定区间内，求满足条件的角 巩固提升 重点题型三：利用反三角函数符号表示角 3.设，则的值可表示为（ ） 【分析】对于：，，其满足 . C A． B． C． D． 【解析】∵，且 ∴. 巩固提升 重点题型四：解简单的三角不等式 4.求满足不等式的的集合. 【分析】先将原不等式进行移项、化简，再确定特殊角与区间，最后再推广到全体实数即可. 解：由得. 如图所示：在直角坐标系中，作出单位圆 如图在单位圆中，在范围内余弦线为的角度有：，. 所以满足条件的角的范围是： 课堂总结 一起来看看这节课我们学到了些什么？ 点击此处，进入本节课的课堂总结 要点回顾 感谢聆听! 课堂小结 已知三角函数值求角 人教B版 · 必修第三册 1 知识点回顾 2 易错点警示 3 解题技巧 Designed for Mathematics 知识点回顾 📌 核心定义 已知三角函数值求角，实质是解方程 sin x = a, cos x = a, tan x = a。 对于 sin x = a，当 |a| ≤ 1 时，在区间 [-π2, π2] 上符合条件的角记为 arcsin a。 📐 通解公式 (以正弦为例) 方程 sin x = a (|a| ≤ 1) 的解集为： { x | x = kπ + (-1)k arcsin a, k ∈ Z } 注：也可以写成并集形式： { x | x = arcsin a + 2kπ } ∪ { x | x = π - arcsin a + 2kπ } 🛠️ 常用辅助工具 利用 单位圆中的三角函数线 直观寻找角的终边位置。 利用 三角函数图像 (正弦曲线、余弦曲线) 确定交点横坐标。 易错点警示 ⚠️ 忽略定义域 在解 sin x = a 或 cos x = a 时，必须先检查是否满足： |a| ≤ 1 例如：sin x = 2 是无解的，不要盲目计算。 🚫 遗漏解的个数 在特定区间 [0, 2π] 内，若 |a| < 1 (且 a ≠ 0)，方程通常有： 2 个解 切记不要只写出一个锐角，而漏掉钝角或第三、四象限的角。 🔄 反三角函数范围混淆 arcsin x 的范围是 [-π2, π2] arccos x 的范围是 [0, π] 不要写出 arccos(12) = -π3 这样的错误结果。 📝 书写规范 写通解时，最后必须注明： k ∈ Z 这是扣分高频点。 解题技巧 💡 通用解题三步法 1 求锐角 先不管符号，求出 |a| 对应的锐角 α → 2 定象限 根据 a 的正负号，确定角所在的象限 → 3 写集合 结合周期性 2kπ 写出最终解集 📐 数形结合模型 遇到复杂或带参数的问题（如 sin x = m），画出 y = sin x 的图像和直线 y = m，观察交点个数和位置，直观且不易出错。 🔄 诱导公式转化 当遇到负值求角时（如 sin x = -12），利用公式 sin(-α) = -sin α 或 sin(π+α) = -sin α，将问题转化为第一象限角的变换。 $