专题03 平面向量结合三角形“四心”问题及奔驰定理（压轴题5大类型专项训练）高一数学人教A版必修第二册

专题03 平面向量结合三角形“四心”问题及奔驰定理 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 典例详解 1 类型一、重心问题 1 类型二、外心问题 4 类型三、内心问题 8 类型四、垂心问题 12 类型五、奔驰定理 16 压轴专练 28 类型一、重心问题 1、定义：三角形三条中线的交点为三角形的重心，重心为中线的三等分点； 2、重心的性质：①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1． ②重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等． 在平面向量的应用：（1）设点是△所在平面内的一点，则当点是△的重心时，有或（其中为平面内任意一点）； （2）在向量的坐标表示中，若、、、分别是三角形的重心和三个顶点，且分别为、 、，，则有. 1．（24-25高一下·安徽马鞍山·月考）已知点O在所在平面内，满足，则点M是的（   ） A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心 【答案】D 【分析】由已知可得，为的中点，进而可得结论. 【详解】设为的中点，因为， 所以， 所以所在直线经过的中点， 同理可得分别与边的中线共线， 所以点M是的重心. 故选：D. 2．已知点G为的重心，若，则（   ） A．0 B．1 C． D．3 【答案】B 【分析】根据重心性质以及平面向量不共线，解出参数即可求得结果. 【详解】如下图所示，延长交于点， 易知为的中点，且 又， 因为，且不共线，所以可知； 因此. 故选：B 3．如图，平行四边形中，与交于点，为的中点，为的重心，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行四边形、三角形重心等性质结合平面向量的线性运算即可得所求. 【详解】在平行四边形中，因为为的重心，所以， 则，且， 所以：. 故选：A. 4．已知是平面上一定点，是平面上不共线的三点，动点满足，则点的轨迹一定通过的（    ）． A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】C 【分析】利用向量的线性运算，结合向量共线及三角形重心性质即可判断. 【详解】由，得， 设边的中点为，则， 所以，因此三点共线， 所以点的轨迹一定通过的重心. 故选：C. 5．（2025高一·全国·专题练习）已知是的重心，，，，则 ． 【答案】 【分析】根据三角形重心的性质得到和的表达式，然后通过向量的数量积运算，将展开并进行化简，最终求出结果. 【详解】是的重心，，， 又，，， . 故答案为：. 6．已知是的重心，过点作一条直线与边，分别交于点，（点，与所在边的端点均不重合），设，，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】取中点，根据题意，利用向量的线性运算可得，由三点共线可得，再利用基本不等式即可求解. 【详解】如图： 取中点，则，， ， 三点共线，，即， ， 当且仅当时，取等号. 故答案为：. 类型二、外心问题 1、定义：三角形三边的垂直平分线的交点为三角形的外心，外心到三个顶点的距离相等； 2、外心的性质：①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点． ②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部． ③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个． 3、外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆． 在平面向量的应用：若点是△的外心，则 或 ； 1．（24-25高一下·安徽·月考）在中，，点是外心，点是的中点，则为（    ） A．4 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可将向量数量积转化到向量上去，再代入数据即可计算得出结论. 【详解】因为点是外心，点是的中点， 所以，点是各边垂直平分线的交点， 则 . 故选：B. 2．（24-25高一下·湖北武汉·月考）已知点是的外心，，，，若，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】根据为的外心，可得出，而同理可求出，这样在两边分别乘以进行数量积的运算，可得出关于，的二元一次方程组，解出即可． 【详解】 ，，，且， ，，， ， ，整理得，． 故选：C 3．（24-25高一下·江苏无锡·月考）在△ABC中，设，那么动点M的轨迹必通过△ABC的（   ） A．垂心 B．内心 C．外心 D．重心 【答案】C 【分析】设的中点是，根据题意化简可得，即可确定的轨迹. 【详解】设的中点是， ， 即，所以， 所以动点在线段的中垂线上，故动点的轨迹必通过的外心， 故选：C. 4．（24-25高一下·全国·课后作业）已知O是所在平面上的一点，若，则点O是的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】A 【分析】根据向量数量积的运算律，即可得，结合外心定义即可求解. 【详解】由已知得， 所以，所以， 所以点O是的外心， 故选:A． 5．（24-25高一下·河北保定·月考）已知的三边为4，6，8，其外心为O，则的值为 【答案】 【分析】利用外心的特点，取的中点，得出，利用向量运算计算，同理得出，进而可得答案. 【详解】取的中点，则，即； 所以， 同理可得， 所以. 故答案为： 6．（2025高一·全国·专题练习）在中，已知，，分别是的重心和外心，则 ． 【答案】2 【分析】记的中点为，根据重心和外心的性质得到，，从而利用向量数量积公式得到答案. 【详解】因为是的重心，所以． 记的中点为，则． 因为是的外心，所以，即． 于是 . 故答案为：2 类型三、内心问题 1、定义：三角形三个角的角平分线的交点为三角形的内心 2、内心的性质：①三角形的内心到三角形三边的距离相等 ②三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角． 3、内切圆 与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形 在平面向量的应用：若点是△的内心，则有 1．在中，，，，则直线通过的（    ） A．垂心 B．外心 C．重心 D．内心 【答案】D 【分析】根据向量的加法的几何意义，结合菱形的对角线为相应角的平分线，得到在的角平分线上，从而作出判定. 【详解】因为,∴， 设,则， 又， ∴在的角平分线上， 由于三角形中,     故三角形的边上的中线，高线，中垂线都不与的角平分线重合， 故经过三角形的内心，而不经过外心，重心，垂心， 故选D. 2．（24-25高一下·河南南阳·期中）在中，若，，则点的轨迹必经过的（   ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 【答案】A 【分析】根据平面向量加法及数乘的几何意义作出图形，即可得出判断． 【详解】因为是与同向的单位向量，是与同向的单位向量， 如图，设，， 则可化为：，且， 以，为邻边作平行四边形， 则，且平行四边形为菱形，所以平分， 所以， 又为公共端点，所以，，三点共线，所以在的平分线上， 则点的轨迹必经过的内心， 故选：A． 3．设 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， 是 所在平面上的一点， ，则点 是 的（    ） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 【答案】C 【分析】条件可转化为 ， ，结合数量积的定义证明 ， ，由此确定的位置. 【详解】因为 ， 所以 ， ， 即 ， ， 所以 ， ． 所以，， 又， 所以 ， ， 所以 在 的平分线上， 也在 的平分线上， 所以点 是 的内心． 故选：C． 4．（2024高一下·全国·专题练习）已知点O是的内心，，，则 . 【答案】 【分析】由角平分线定理得到，再由向量共线的性质得到，最后由向量的线性运算得到结果. 【详解】连接并延长交于点，连接，因为O是的内心，所以为的平分线， 所以根据角平分线定理可得，所以， 因为三点共线，所以设， 则，因为， 所以. 故答案为： 5．（24-25高一下·辽宁葫芦岛·月考）已知边长为的等边三角形的内心为，，则 ， ． 【答案】 【分析】利用转化法可得向量数量积，根据外接圆性质可知，再根据两角差的正切公式可得解. 【详解】 记的中点为，连接，如图所示， 则， 同理 则； 依题意可得， 则； 故答案为：，. 类型四、垂心 1、定义：三角形三边上的高或其延长线的交点为三角形的垂心； 在平面向量的应用：若是△的垂心，则或 1．（23-24高一下·福建福州·期中）在中，，若点为的垂心，且满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平面向量基本定理结合三角形垂心的性质、平面向量三点共线的充要条件计算即可. 【详解】由题意可知是以A为顶角的等腰三角形， 如图所示：，，则， 设， 则， ， 所以， 在直角三角形中，. 故选：B 【点睛】思路点睛：由三角形为等腰三角形，及垂心的性质，结合平面向量基本定理、三点共线的线性关系确定一腰上垂足的位置解三角形即可. 2．（2025高一·全国·专题练习）已知为所在平面内一点，若，则点是的（    ）． A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】D 【分析】先转化为共起点的向量，对其两边点乘对边向量，提取公因式，再由数量积的值进行判定． 【详解】原式变形为， ， 所以，同理，． 所以是的垂心， 故选：D． 3．（2025高一·全国·专题练习）已知为所在平面内一点，动点满足：，其中，则动点的轨迹一定通过的（    ）． A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】D 【分析】根据已知结合数量积运算律计算数量积为0即可判断选项. 【详解】，， 由正弦定理得，则 令， 因为， 所以 所以， 等式两边点乘得， 所以点的轨迹一定过的垂心， 故选：D． 4．（23-24高一下·黑龙江·期中）数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中提出以下定理：三角形的重心、垂心和外心共线，这条线称为三角形的欧拉线.已知点分别为的重心，垂心，外心，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合题意利用点分别为的垂心，外心得到，并得到，借助相似及重心性质可得，结合向量关系表示即可. 【详解】因为为的外心，为的中点,所以, 因为为的垂心,所以, 所以, 易得 所以，所以. 因为为的重心，所以. 所以, 所以. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题的解题关键在于利用重心，垂心，外心的性质得到，利用对应边成比例得到，进而求得向量关系. 5．已知在中，，点为的垂心，则= ． 【答案】18 【分析】延长交于点，根据及垂心的性质得到为的中点，，再根据数量积的运算性质即可得答案 【详解】延长交于点， 因为，点为的垂心， 所以为的中点，， 所以 ， 故答案为：18 6．△中，，，上的高，且垂足在线段上，为△的垂心且（），则 ． 【答案】. 【分析】根据题意，求出，，得到，进而可得，再由三点共线，得到存在实数，使得，进而可求出结果. 【详解】由题意，因为， ，，上的高， 所以，， 所以 ，即，即， 因为为△的垂心，所以三点共线， 因此存在实数，使得， 所以， 又， 所以. 故答案为 【点睛】本题主要考查平面向量的应用，熟记平面向量的基本定理即可，属于常考题型. 类型五、奔驰定理 1、奔驰定理：O是△ABC内一点，且，则 2、奔驰定理推论：O是△ABC所在平面内一点，且，则： ① ② 由于这个定理对应的图像和奔驰定理的图标很相似，我们把它称为奔驰定理. 3、奔驰定理的证明 奔驰定理：是内一点，且，则 已知是内的一点，的面积分别为，，，求证： 法一证明：延长与边相交于点则 法二证明：延长OA到OA1，OB到OB1,OC到OC1使得，O为△A1B1C1的重心. 4、三角形四心与奔驰定理的关系及证明 ①是的重心：． 证明：由重心分三角形面积相等及奔驰定理易得 ②是的内心： 证明：，，（为内切圆的半径），所以 ，再由奔驰定理可得 ③是的外心：． 证明：，由同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得，所以（为外接圆的半径），同理可得，，所以，再由奔驰定理可得 ④是的垂心： 证明：如图为的垂心，则有，，所以，所以，同理可得，所以，再由奔驰定理可得 1．（23-24高一下·河北·期中）平面向量中有一个非常优美的结论：已知O为内的一点，，，的面积分别为，，，则．因其几何表示酷似奔驰的标志，所以称为“奔驰定理”．已知O为的内心，三个角对应的边分别为a，b，c，已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三边，先求出角B的余弦值,再由内心可得到，进而由“奔驰定理”得到，在对向量进行线性运算即可. 【详解】因为，，， 所以， 因为O为的内心，设，由题意， 则， 同理可得 所以根据“奔驰定理”有， 所以， 即， 所以， ． 故选：A． 2．奔驰定理：已知点O是内的一点，若的面积分别记为，则．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．如图，已知O是的垂心，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】延长交于点P，则利用垂心的性质结合三角形面积的求法可得，再利用和可得，不妨设，利用可求出的值，从而可求出的值. 【详解】延长交于点P， 是的垂心，， ． 同理可得，． 又， ． 又， ． 不妨设，其中． ， ，解得． 当时，此时，则A，B，C都是钝角，不合题意，舍掉． 故，则，故C为锐角， ∴，解得， 故选：B． 【点睛】关键点点睛：此题考查向量的线性运算，考查三角函数恒等变换公式的应用，解题的关键是利用垂心的性质得，再结合已知条件得，设，再利用两角和的正切公式可得，从而可求得结果，考查计算能力和转化思想，属于较难题. 3．（2024高一下·上海·专题练习）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知是内一点，的面积分别为，且．以下命题错误的是（    ） A．若，则为的重心 B．若为的内心，则 C．若，为的外心，则 D．若为的垂心，，则 【答案】C 【分析】取的中点D，连接，结合奔驰定理可得到，进而即可判断A；设内切圆半径为，从而可用表示出，再结合奔驰定理即可判断B；设的外接圆半径为，由圆心角和圆周角的关系可得，从而可用表示出，进而即可判断C；延长交于点D，延长交于点F，延长交于点E，根据题意结合奔驰定理可得到，，从而可设，则，所以， 进而即可求，从而即可判断D． 【详解】对于A：取的中点D，连接， 由，则， 所以， 所以A，M，D三点共线，且， 设E，F分别为AB，AC的中点，同理可得，，所以为的重心，故A正确； 对于B：由为的内心，则可设内切圆半径为， 则有， 所以， 即，故B正确； 对于C：由为的外心，则可设的外接圆半径为， 又， 则有， 所以， ， ， 所以，故C错误； 对于D：如图，延长交于点D，延长交于点F，延长交于点E， 由为的垂心，，则， 又，则，， 设，则， 所以，即， 所以，所以，故D正确． 故选：C． 【点睛】关键点睛：解答D选项的关键是通过做辅助线（延长交于点D，延长交于点F，延长交于点E，），根据题意，结合奔驰定理得到，，从而可设，则，由，得，进而即可求． 4．（24-25高一下·广东·月考）（多选题）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的标志很相似，所以形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知O是内一点，，，的面积分别为，，，则.设O是内一点，的三个内角分别为A，B，C，，，的面积分别为，，，若，则以下命题正确的有（   ）    A． B．O有可能是的重心 C．若O为的外心，则 D．若O为的内心，则为直角三角形 【答案】ACD 【分析】由奔驰定理可判断A，利用重心结论可判断B，由外心可知，即可判断C，由内心可知，满足勾股定理，从而可判断D. 【详解】对于A，由奔驰定理得， 因为，，不共线，所以，故A正确； 对于B，若O是的重心，，因为， 所以，即O，B，C共线，故B错误； 对于C，当O为的外心时，， 所以，即，故C正确； 对于D，当O为的内心时，（r为内切圆半径）， 所以，所以，故D正确. 故选：ACD. 5．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”（Mercedes-Benz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理）．“奔驰定理”的内容如下：如图，已知是内一点，，，的面积分别为，，，则．若是锐角内的一点，，，是的三个内角，且点满足，则下列说法正确的是 （填序号）    ①是的垂心；②； ③；④ 【答案】①③④ 【分析】将移项，并结合平面向量的减法和数量积的运算法则，可得，同理推出，，即可判断①；根据①可知，，，再由三角形内角和定理即可判断②；延长交于点，结合诱导公式与余弦函数的定义，可证，进而求解③；利用三角形面积公式和奔驰定理即可证明④. 【详解】因为，所以， 所以，所以， 同理可得，，，所以为的垂心，故①正确； 因为，，所以，， 所以， 又， 所以，又， 所以，故②不正确； 由②知，， 延长交于点，    所以 ， 同理可得， 所以， 所以，故③正确； 由，， 则 ， 同理， 所以， 又， 则，故④正确. 故答案为：①③④. 6．（23-24高一下·湖南·期中）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰车的标志而来，是平面向量中一个非常优美的结论，奔驰定理与三角形的四心（重心､内心､外心､垂心）有着美丽的邂逅.它的具体内容是：如图，若是内一点，的面积分别为，则有.已知为的内心，且，若，则的最大值为 . 【答案】 【分析】利用为的内心，再结合奔驰定理可得，再由已知条件转化可得，利用平面向量基本定理可知，从而得到，再由，可得，利用均值不等式可得，最后可得. 【详解】因为的内心到该三角形三边的距离相等，则， 由可得，所以， 又， 则，所以， 两式相加可得，化简可得， 又，由余弦定理可得， 由基本不等式可得， 所以，当且仅当时等号成立， 所以. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用奔驰定理得到，再结合余弦定理和基本不等式即可得到，最后即可得到的最大值. 1．（2025高一·全国·专题练习）在中，G为的重心，记，，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用三角形重心的性质，结合向量线性运算求解判断. 【详解】连接并延长交于，由为的重心， 得为的中点，， 所以. 故选：A 2．（25-26高一上·河北邢台·月考）设平面内有，且表示这个平面内的点，集合，则属于的点是的（   ） A．重心 B．内心 C．外心 D．垂心 【答案】C 【分析】由题意得，结合三角形外心的概念即可得解. 【详解】因为，，所以，则为外接圆的圆心，即为的外心. 故选：C. 3．（23-24高一下·河南·月考）是所在平面内一定点，是平面内一动点，若，，则点为的（ ）. A．重心 B．内心 C．垂心 D．外心 【答案】C 【分析】根据向量的四则运算结合垂直关系可知，，即可得结果. 【详解】因为，可知， 又因为，可知， 所以点为的垂心. 故选：C. 4．（24-25高一下·浙江温州·期中）已知三角形的重心为，内角A，，的对边分别为，，若，则三角形的形状是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】D 【分析】由题可得，结合重心性质及平面向量基本定理可得答案. 【详解】因，则. 又，由平面向量基本定理可得： . 则，，故三角形是等腰直角三角形. 故选：D 5．（24-25高一下·云南玉溪·月考）在中，设，，那么动点的轨迹一定通过的（    ） A．重心 B．内心 C．垂心 D．外心 【答案】A 【分析】用向量的线性运算，结合中线向量和共线向量性质即可作答. 【详解】因为，， 则 若设中的的中点为，有， 则. 所以在三角形的中线上，因此动点的轨迹必通过的重心． 故选：A． 6．（24-25高一下·山东青岛·期中）记的外心为点，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由三角形的外心可得，再由结合数量积的定义以及运算律代入计算，即可得到结果. 【详解】由条件可得， 又点为的外心，所以， 且， 所以， 且，即， 即， 所以. 故选：D 7．已知所在的平面上的动点满足，则直线一定经过的（    ） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 【答案】C 【分析】由题意可得，平行四边形法则知表示的向量在三角形角的平分线上，从而即可得答案. 【详解】解：因为 ， 根据平行四边形法则知表示的向量在三角形角的平分线上， 而向量与共线， 点的轨迹过的内心. 故选：． 8．（2025高一·全国·专题练习）已知，为平面内任意一点，动点满足，则点的轨迹一定经过（    ） A．的内心 B．的垂心 C．的重心 D．的外心 【答案】C 【分析】取中点为，根据向量的线性运算，以及共线定理，即可判断. 【详解】先设的中点为，则，      又因为， 而， 由三点共线的充要条件知三点共线， 则点的轨迹一定经过的重心. 故选：C． 9．已知，为三角形所在平面上的一点，且点满足，则为三角形的（    ）． A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】B 【分析】由题可得，可得点在的角平分线上，同理点在的角平分线上，可得为的内心. 【详解】因为， ， ， 所以点在的角平分线上. 同理可得：点在的角平分线上. 所以点为的内心. 故选：B 10．（24-25高一下·四川凉山·期末）若点是的外心，，则（    ） A．1 B．-1 C．3 D．-3 【答案】D 【分析】取的中点，连接，由外心的性质可知，即，利用向量的运算法则将 转化为即可得解. 【详解】 取的中点，连接， 因为点是的外心，所以，所以. 因为 ， 因为，所以. 故选：D 11．已知三个不共线的向量，，满足，则O为的（   ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 【答案】A 【分析】利用向量的线性运算判断出分别在的角平分线上，即可得出结论. 【详解】 如图，取，则，且分别与同向， ， 又，所以， 而是以为底的等腰三角形，因此在的角平分线上， 同理分别在的角平分线上， 所以O为的内心. 故选：A 12．（24-25高一下·贵州贵阳·月考）已知点在所在平面内，满足，并且，则点依次是的（    ） A．垂心，重心，外心 B．内心，重心，外心 C．垂心，外心，重心 D．内心，外心，重心 【答案】C 【分析】根据向量垂直可得点是的垂心；根据点到三个顶点的距离相等可得点是的外心；根据中线的性质可得点是的重心. 【详解】∵， ∴，即， ∴，同理可得，，，故点是的垂心. ∵， ∴点到三个顶点的距离相等，故点是的外心.    设分别为线段的中点， ∵， ∴，故三点共线， ∴点在边的中线上，同理得点在边的中线上，点在边的中线上， 即点是三边中线的交点，故点是的重心. 综上得，依次是的垂心，外心，重心. 故选：C. 13．（23-24高一下·山东·期中）设是的垂心，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，由垂心的向量表达式可得，结合条件即可分别求得，结合向量的夹角公式代入计算，即可得到结果. 【详解】因为是的垂心，所以，即， 同理可得，即， 所以， 设， 因为，所以， 所以，同理可得， 所以. 故选：C 14．如图，已知是的垂心，且，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】延长，，分别交边，，于点，，，利用同底的两个三角形面积比推得，从而得解. 【详解】是的垂心，延长，，分别交边，，于点，，，如图， 则，，，，， 因此，， 同理， 于是得， 又 由“奔驰定理”有 即，所以， 故选：A 15．若的三边为a，b，c，有，则是的（ ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】B 【分析】在，上分别取点，，使得，，以，为邻边作平行四边形，即可得到四边形是菱形，再根据平面向量线性运算法则及共线定理得到，，三点共线，即可得到在的平分线上，同理说明可得在其它两角的平分线上，即可判断. 【详解】在，上分别取点，，使得，，则． 以，为邻边作平行四边形，如图，    则四边形是菱形，且． 为的平分线．  ， ，      即， ． ，，三点共线，即在的平分线上， 同理可得在其它两角的平分线上， 是的内心． 故选：B． 16．（24-25高一下·湖南常德·月考）（多选题）著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线被称为三角形的欧拉线，该定理被称为欧拉线定理．已知的外心为，重心为，垂心为，为中点，且，，则下列各式正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】利用三角形的外心、重心、垂心的性质，结合平面向量的线性运算法则以及平面向量的数量积的定义及运算律逐项分析即可. 【详解】由是的重心可得， 所以，故A项错误； 过的外心分别作， 的垂线，垂足为，，如图(1)，易知，分别是，的中点，则 ，故B项正确； 因为是的重心，所以有，故， 由欧拉线定理可得，故C项正确： 如图(2)，由于，所以，故D错误． 故选:BC. 17．（24-25高一下·山东济宁·期中）（多选题）已知为所在平面内的一点，则下列结论正确的是（   ） A．，则为内心 B．若，则为等腰三角形 C．若，则为的外心 D．若，则点的轨迹经过的重心 【答案】BD 【分析】利用重心向量公式判断A；利用数量积运算律及定义求解判断B；利用数量积的运算律及垂直关系的向量表示判断C；设的中点为，再根据正弦定理结合平面向量共线定理即可判断D. 【详解】对于A，由，得为重心，A错误； 对于B，由，得， 则，整理得，又 于是，为等腰三角形，B正确； 对于C，由，得，则， 由，同理得，则为的垂心，C错误； 对于D，令的中点为，则，由正弦定理得， 令，则， 因此，点的轨迹经过的重心，D正确. 故选：BD 18．（25-26高一上·云南昆明·期末）（多选题）中，，点满足，设，则（    ） A．若为的重心，则 B．若为的内心，则 C．若为的垂心，则 D．若为的外心，则 【答案】ABC 【分析】以中点为原点，为轴建立平面直角坐标系，求出三角形各种心的坐标，然后代入坐标列方程求出即可得解. 【详解】如图以中点为原点，为轴建立平面直角坐标系， 则，，，，， 对于A，若为的重心，则，，即， 所以， 若，则，解得， 此时，A说法正确； 对于B，若为的内心，由点到，的距离相等可知在上， 设内切圆的半径为，则， 即，解得，所以，， 若，则，解得， 此时，B说法正确； 对于C，若为的垂心，由可知在上， 设，则，解得， 所以，， 若，则，解得， 此时，C说法正确； 对于D，若为的外心，由可知在上， 设，则，即，解得， 所以，， 若，则，解得， 此时，D说法错误； 故选：ABC 19．（多选题）在中，角均不为直角，角的对边分别为，是一动点，则下列命题正确的是（ ） A． B．若，则过的垂心 C．若，则过的重心 D．若，则过的外心 【答案】AB 【分析】利用余弦定理结合向量数量积的定义计算可判断A；利用向量数量积的运算律计算得，可说明，即可判断B；假设过的重心，可设，根据平面向量基本定理计算化简可得，此式不一定成立，由此可判断C；将原式变形为，可得过的内心，即可判断D. 【详解】对于A，根据余弦定理，，则，故A正确； 对于B，， ，即，则过的垂心，故B正确； 对于C，假设过的重心，则与边上的中线共线，可设， ， ， 则，即， 由正弦定理可得，即时，过的重心，故此式不一定成立， 所以不一定过的重心，故C错误； 对于D，， 其中表示角的平分线所在向量，所以过的内心，故D错误. 故选：AB. 20．（24-25高一下·重庆万州·期中）（多选题）奔驰定理：已知是内一点，的面积分别为，则.设是内一点，的三个内角分别为，若，且为的垂心，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据垂心性质判断AB，结合垂心性质及数量积的定义可得，结合已知根据奔驰定理得，根据面积公式可得，设，由及两角和的正切公式列方程求得，即可得解. 【详解】因为为的垂心，所以，A正确，B错误. 由上知， 同理，. 因为，所以， 所以，同理，， 所以. 因为，所以. 设， 因为，所以， 所以，解得，所以，C正确，D错误. 故选：AC 21．（多选题）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车，（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”，奔驰定理：已知O是△ABC内一点，△BOC，△AOC，△AOB的面积分别为，，，且．设O是△ABC内的一点，∠BAC，∠ABC，∠ACB分别是的△ABC三个内角，以下命题正确的有（    ） A．若，则 B．若，，，则 C．若O为△ABC的内心，，则 D．若O为△ABC的垂心，，则 【答案】ACD 【分析】对A，由奔驰定理即可判断； 对B，由面积公式求出，结合奔驰定理即可求； 对C，由奔驰定理，结合内心性质可得，即可得； 对D，由垂心性质及向量数量积的垂直表示可得， 结合奔驰定理结合三角形面积公式，可得， 如图所示分别为垂足，可设，，即可由几何关系列式解出，最后由正切求出余弦值，则由可求 【详解】对A，由奔驰定理可得，，又不共线，故，A对； 对B，，由得，故，B错； 对C，若O为△ABC的内心，，则，又（为内切圆半径），三边满足勾股定律，故，C对； 对D，若O为△ABC的垂心，则，， 又， 同理，∴， ∵，则， 且 如图，分别为垂足， 设，，则， 又，故， 由，解得， 由，故，D对. 故选：ACD 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 平面向量结合三角形“四心”问题及奔驰定理 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 典例详解 1 类型一、重心问题 1 类型二、外心问题 2 类型三、内心问题 3 类型四、垂心问题 4 类型五、奔驰定理 5 压轴专练 10 类型一、重心问题 1、定义：三角形三条中线的交点为三角形的重心，重心为中线的三等分点； 2、重心的性质：①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1． ②重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等． 在平面向量的应用：（1）设点是△所在平面内的一点，则当点是△的重心时，有或（其中为平面内任意一点）； （2）在向量的坐标表示中，若、、、分别是三角形的重心和三个顶点，且分别为、 、，，则有. 1．（24-25高一下·安徽马鞍山·月考）已知点O在所在平面内，满足，则点M是的（   ） A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心 2．已知点G为的重心，若，则（   ） A．0 B．1 C． D．3 3．如图，平行四边形中，与交于点，为的中点，为的重心，则（    ） A． B． C． D． 4．已知是平面上一定点，是平面上不共线的三点，动点满足，则点的轨迹一定通过的（    ）． A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 5．（2025高一·全国·专题练习）已知是的重心，，，，则 ． 6．已知是的重心，过点作一条直线与边，分别交于点，（点，与所在边的端点均不重合），设，，则的最小值是 ． 类型二、外心问题 1、定义：三角形三边的垂直平分线的交点为三角形的外心，外心到三个顶点的距离相等； 2、外心的性质：①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点． ②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部． ③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个． 3、外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆． 在平面向量的应用：若点是△的外心，则 或 ； 1．（24-25高一下·安徽·月考）在中，，点是外心，点是的中点，则为（    ） A．4 B． C． D． 2．（24-25高一下·湖北武汉·月考）已知点是的外心，，，，若，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 3．（24-25高一下·江苏无锡·月考）在△ABC中，设，那么动点M的轨迹必通过△ABC的（   ） A．垂心 B．内心 C．外心 D．重心 4．（24-25高一下·全国·课后作业）已知O是所在平面上的一点，若，则点O是的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 5．（24-25高一下·河北保定·月考）已知的三边为4，6，8，其外心为O，则的值为 6．（2025高一·全国·专题练习）在中，已知，，分别是的重心和外心，则 ． 类型三、内心问题 1、定义：三角形三个角的角平分线的交点为三角形的内心 2、内心的性质：①三角形的内心到三角形三边的距离相等 ②三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角． 3、内切圆 与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形 在平面向量的应用：若点是△的内心，则有 1．在中，，，，则直线通过的（    ） A．垂心 B．外心 C．重心 D．内心 2．（24-25高一下·河南南阳·期中）在中，若，，则点的轨迹必经过的（   ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 3．设 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， 是 所在平面上的一点， ，则点 是 的（    ） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 4．（2024高一下·全国·专题练习）已知点O是的内心，，，则 . 5．（24-25高一下·辽宁葫芦岛·月考）已知边长为的等边三角形的内心为，，则 ， ． 类型四、垂心 1、定义：三角形三边上的高或其延长线的交点为三角形的垂心； 在平面向量的应用：若是△的垂心，则或 1．（23-24高一下·福建福州·期中）在中，，若点为的垂心，且满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（2025高一·全国·专题练习）已知为所在平面内一点，若，则点是的（    ）． A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 3．（2025高一·全国·专题练习）已知为所在平面内一点，动点满足：，其中，则动点的轨迹一定通过的（    ）． A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 4．（23-24高一下·黑龙江·期中）数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中提出以下定理：三角形的重心、垂心和外心共线，这条线称为三角形的欧拉线.已知点分别为的重心，垂心，外心，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 5．已知在中，，点为的垂心，则= ． 6．△中，，，上的高，且垂足在线段上，为△的垂心且（），则 ． 类型五、奔驰定理 1、奔驰定理：O是△ABC内一点，且，则 2、奔驰定理推论：O是△ABC所在平面内一点，且，则： ① ② 由于这个定理对应的图像和奔驰定理的图标很相似，我们把它称为奔驰定理. 3、奔驰定理的证明 奔驰定理：是内一点，且，则 已知是内的一点，的面积分别为，，，求证： 法一证明：延长与边相交于点则 法二证明：延长OA到OA1，OB到OB1,OC到OC1使得，O为△A1B1C1的重心. 4、三角形四心与奔驰定理的关系及证明 ①是的重心：． 证明：由重心分三角形面积相等及奔驰定理易得 ②是的内心： 证明：，，（为内切圆的半径），所以 ，再由奔驰定理可得 ③是的外心：． 证明：，由同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得，所以（为外接圆的半径），同理可得，，所以，再由奔驰定理可得 ④是的垂心： 证明：如图为的垂心，则有，，所以，所以，同理可得，所以，再由奔驰定理可得 1．（23-24高一下·河北·期中）平面向量中有一个非常优美的结论：已知O为内的一点，，，的面积分别为，，，则．因其几何表示酷似奔驰的标志，所以称为“奔驰定理”．已知O为的内心，三个角对应的边分别为a，b，c，已知，，，则（    ） A． B． C． D． 2．奔驰定理：已知点O是内的一点，若的面积分别记为，则．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．如图，已知O是的垂心，且，则（    ） A． B． C． D． 3．（2024高一下·上海·专题练习）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知是内一点，的面积分别为，且．以下命题错误的是（    ） A．若，则为的重心 B．若为的内心，则 C．若，为的外心，则 D．若为的垂心，，则 4．（24-25高一下·广东·月考）（多选题）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的标志很相似，所以形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知O是内一点，，，的面积分别为，，，则.设O是内一点，的三个内角分别为A，B，C，，，的面积分别为，，，若，则以下命题正确的有（   ）    A． B．O有可能是的重心 C．若O为的外心，则 D．若O为的内心，则为直角三角形 5．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”（Mercedes-Benz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理）．“奔驰定理”的内容如下：如图，已知是内一点，，，的面积分别为，，，则．若是锐角内的一点，，，是的三个内角，且点满足，则下列说法正确的是 （填序号）    ①是的垂心；②； ③；④ 6．（23-24高一下·湖南·期中）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰车的标志而来，是平面向量中一个非常优美的结论，奔驰定理与三角形的四心（重心､内心､外心､垂心）有着美丽的邂逅.它的具体内容是：如图，若是内一点，的面积分别为，则有.已知为的内心，且，若，则的最大值为 . 1．（2025高一·全国·专题练习）在中，G为的重心，记，，则=（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·河北邢台·月考）设平面内有，且表示这个平面内的点，集合，则属于的点是的（   ） A．重心 B．内心 C．外心 D．垂心 3．（23-24高一下·河南·月考）是所在平面内一定点，是平面内一动点，若，，则点为的（ ）. A．重心 B．内心 C．垂心 D．外心 4．（24-25高一下·浙江温州·期中）已知三角形的重心为，内角A，，的对边分别为，，若，则三角形的形状是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 5．（24-25高一下·云南玉溪·月考）在中，设，，那么动点的轨迹一定通过的（    ） A．重心 B．内心 C．垂心 D．外心 6．（24-25高一下·山东青岛·期中）记的外心为点，，若，则（    ） A． B． C． D． 7．已知所在的平面上的动点满足，则直线一定经过的（    ） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 8．（2025高一·全国·专题练习）已知，为平面内任意一点，动点满足，则点的轨迹一定经过（    ） A．的内心 B．的垂心 C．的重心 D．的外心 9．已知，为三角形所在平面上的一点，且点满足，则为三角形的（    ）． A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 10．（24-25高一下·四川凉山·期末）若点是的外心，，则（    ） A．1 B．-1 C．3 D．-3 11．已知三个不共线的向量，，满足，则O为的（   ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 12．（24-25高一下·贵州贵阳·月考）已知点在所在平面内，满足，并且，则点依次是的（    ） A．垂心，重心，外心 B．内心，重心，外心 C．垂心，外心，重心 D．内心，外心，重心 13．（23-24高一下·山东·期中）设是的垂心，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 14．如图，已知是的垂心，且，则等于（    ） A． B． C． D． 15．若的三边为a，b，c，有，则是的（ ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 16．（24-25高一下·湖南常德·月考）（多选题）著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线被称为三角形的欧拉线，该定理被称为欧拉线定理．已知的外心为，重心为，垂心为，为中点，且，，则下列各式正确的有（    ） A． B． C． D． 17．（24-25高一下·山东济宁·期中）（多选题）已知为所在平面内的一点，则下列结论正确的是（   ） A．，则为内心 B．若，则为等腰三角形 C．若，则为的外心 D．若，则点的轨迹经过的重心 18．（25-26高一上·云南昆明·期末）（多选题）中，，点满足，设，则（    ） A．若为的重心，则 B．若为的内心，则 C．若为的垂心，则 D．若为的外心，则 19．（多选题）在中，角均不为直角，角的对边分别为，是一动点，则下列命题正确的是（ ） A． B．若，则过的垂心 C．若，则过的重心 D．若，则过的外心 20．（24-25高一下·重庆万州·期中）（多选题）奔驰定理：已知是内一点，的面积分别为，则.设是内一点，的三个内角分别为，若，且为的垂心，则（    ） A． B． C． D． 21．（多选题）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车，（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”，奔驰定理：已知O是△ABC内一点，△BOC，△AOC，△AOB的面积分别为，，，且．设O是△ABC内的一点，∠BAC，∠ABC，∠ACB分别是的△ABC三个内角，以下命题正确的有（    ） A．若，则 B．若，，，则 C．若O为△ABC的内心，，则 D．若O为△ABC的垂心，，则 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $