解三角形中的中线、角平分线、高线问题专项训练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

解三角形中的中线问题、角平分线问题、高线问题专项训练 解三角形中的中线问题、角平分线问题、高线问题专项训练 考点目录 解三角形中的中线问题 解三角形中的角平分线问题 解三角形中的高线问题 考点一 解三角形中的中线问题 例1.（2425商一下北京月考)在61BC中，4= c=3,b=1 (I)求BC和sinB: (2)求BC边上的中线AD的长. 例2.(24-25高一下吉林长春月考》已知△18C 的内角4BC a,b,c 的对边分别为，且满足 2a-c=2bcosC (I)求B的大小： (2)若a=2,AD是△ABC的中线，求AD的最小值. 解三角形中的中线问题、角平分线问题、高线问题专项训练 b 例3.(24-25高一下黑龙江齐齐哈尔月考)已知△4BC的内角A,B,C的对边分别为ah,c,且2c-ac0sB. (I)求角A的大小： ②)若a=26,BC边上的中线4D的长为3，求△MBC的面积 变式1.(2025安徽合肥三模)在△1C中，角4B,C的对边分别为a,6C,且满足V5 BasinC+sC=b+c. (1)求角A; 2已知△1BC面积为105，BC为7，求BC边上中线4D长. 2 解三角形中的中线问题、角平分线问题、高线问题专项训练 变式2，(2025天津河西模拟测)如图，在△1BC中，已知B=2,1C=5∠B1C=60,8C,1C边上的两条中线 AM,BN相交于点P. N (1)求中线AM的长： (2)求∠MPN的余弦值： (3)求△ABP面积. 变式3.(24-25高一下安徽六安月考》在△18C中，角 A,B,C a,b,c 所对的边分别是“，满足 c+3asin B-b-acos B=0 (I)求角A; 2若a=2,边BC上的中线4D=V万，求△4BC的周长. 解三角形中的中线问题、角平分线问题、高线问题专项训练 考点二 解三角形中的角平分线问题 例1.(24-25高-下四川成都期末)已知，6‘分别为△1BC a,b,c A,B,C 的三个内角 的对边，若D为<B1C 的内角 平分线，且cD-3,a-径.1a+dism4-mC=b-sm8. (I)求A的大小： (2)求角平分线AD的长度： (3)求△ABC的面积. 例2.(24-25高-下上海期末)在ABC中，角4、B、C的对边分别为a、6、C,且10simB,S}=7-cos2A 2 (1)求角A的大小： (2)若b=2,C=1,∠BAC的角平分线交BC于M,求线段AM的长. 解三角形中的中线问题、角平分线问题、高线问题专项训练 例3.(24-25高一下云南文山期中)）在△4BC。 A,B,C a,b,c b=4 c=3 中，角的对边分别为，且 (1)2c)cosA-acosB=0 ,求a的值： (2)若△ABC为锐角三角形. (i)求a的取值范围； (ⅱ)若AD是∠BAC的角平分线，求AD的取值范围. 变式1.(24-25高-下广东深圳期中)已知△1BC中，aC A,B,C 中，分别为内角 的对边，且 2asin A=(2b+c)sin B+(2c+b)sin C (1)求角A的大小： 2设点D为BC上一点，D是△1BC b=3,c=6 的角平分线，且 =6,求D的长度. 解三角形中的中线问题、角平分线问题、高线问题专项训练 3(sinA-sinB)3c-2b 变式2.(24-25高一下·安徽芜湖期中)已知△ABC的内角A,B,C的对边为a,b,c,且 sinC a+b. (1)求sinA: (②若ABC的面积为5： (i)已知E为BC的中点，求△ABC底边BC上中线AE长的最小值： (i)求内角A的角平分线AD长的最大值. 变式3.(24-25高三上福建福州期中)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,设 (sin B+sin C)=sin2 4+sin Bsin C (I)求A: (2)若AD为∠BAC的角平分线，且AD=1,求4b+C的最小值. 6 解三角形中的中线问题、角平分线问题、高线问题专项训练 考点三 解三角形中的高线问题 例1.(25-26高二上广东汕头期末)已知△ABC中，A&C的对边分别为a么c,且△ABC的面积S=￥b (1)求C; a=2,b=5 (2)若 b=5,且为钝角，求△MBC边B上的高 例2.(24-25高一下湖北武汉月考)设△4BC A,B,C 的内角 所对的边分别是 公c,且向 m=(a,b）与 元=(-V5cosA,sinB)共线， (I)求A: 2若a=5,b=3,求8C边上的高 > 解三角形中的中线问题、角平分线问题、高线问题专项训练 例3.C2425备下江芬维江月考)在ac中，角么aC的对边分别是c·且后-1"日o4 2sin A (I)求角B的大小： ②若b=25,D为4C边上的-点，BD=3,且，求△1BC的面积 (从下面①，②两个条件中任选一个，补充在上面的横线上并作答)· ①BD是∠B的平分线； ②D为线段AC的中点. ③)若△ABC为锐角三角形，6=5求AC边上的高取值范围 变式1.(2425高一下天津月考)已知在△1BC中，a+c2-V5ac=b,=2 (1)求∠B的大小 (2)若AB边上的高等于1，求△ABC的面积 8 解三角形中的中线问题、角平分线问题、高线问题专项训练 变式2.(2025山东青岛模拟预测)设三角形ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、C且 sin(B+C)=23sin2 4 · (1)求角A的大小： 32i (②)若b=3,BC边上的高为7，求三角形4BC的周长. 变式3。(2425高-下广西来宾月考)已知△1BC A,B,C a,b,c, △中，角 所对的边分别为 =(2cosC,acosB+bcos),c-1) (1)求角C: ②活0=5.a+b=25,求△4BC边4B上的高4 9解三角形中的中线问题、角平分线问题、高线问题专项训练 解三角形中的中线问题、角平分线问题、高线问题专项训练 考点目录 解三角形中的中线问题 解三角形中的角平分线问题 解三角形中的高线问题 考点一 解三角形中的中线问题 例1.（2425商一下北京月考)在6BC中，4= c=3,b=1 (I)求BC和sinB: (2)求BC边上的中线AD的长. 21 【答案】()万；14 3 (2)2 112+32-BC2 【详解】(1)在△ABC中，由余弦定理得22×3×1， 万1 解得BC=V万（负根舍去），由正弦定理得2 3 sin B 解得sinB= 14, v21 故BC的值为V7,sinB的值为14. (2)由向量中线定理得D=B+4C, 所以a西-+4d+2×a*c 所以0=9+1+2x3x1 1 113 4 2224， 放ADs3 √3 2,即AD的值为2· 例2.(2425高一下吉林长春月考)已知△18C a,b,c 内角 A B,C ”的对边分别为，且满足 2a-c=2bcosC 解三角形中的中线问题、角平分线问题、高线问题专项训练 (I)求B的大小： (2)若a=2,AD是△ABC的中线，求AD的最小值. 【答案】0)8=胃 3 (2)2 【详解】(1)由正弦定理得2a-c=2 bcosC→2sinA-sinC=2 sin BcosC, sin A=sin(B+C)=sin BcosC+cos Bsin C 2sin B cosC+2cos Bsin C-sin C=2sin BcosC, 即2 cos Bsin C-sinC=0, 又Ce0,网，故sinC≠0， 故2osB=1 .cos=) 2, 又Be0网，放8-： (2)因为a=2,AD为△ABC的中线， 所以BD=1, 又B=R 3’ AD 1 在 中，由正弦定理得AD= BD ,即sinsin∠BAD, △ABD sin B sin∠BAD 3 5 AD= 故 2sin∠BAD, 故当 ∠BAD= 2时，D= 5 2sin∠BAD取得最小值，最小值为 AD= 2· 解三角形中的中线问题、角平分线问题、高线问题专项训练 B D 例3.(24-25高一下·黑龙江齐齐哈尔·月考)已知△4BC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2 =c-acosB (1)求角A的大小： (2若0=2√6，B 边上的中线AD的长为3，求△ABC的面积。 【答案】0子： 3v3 (2)2. sinB 详解】D=c-cosB,由正弦定理可 sinC-sinAcosB 2 又”A+B+C=元sinC=sim(A+B)=sin4cosB+cosA4sinB sinB cosAsinB 2 又sm8≠0cos47,又4e1aa4-5 (2)1D为BC边上的中线，2D=丽+C ..44D'=AB'+AC'+24B.AC,:.36=b2+e2+be 由余弦定理可得=+c-2co1,即2 24=b2+c2-bc .be=6S.c=bcsind=x6x 2 2 221 变式1.(2025安徽合肥三模)在△1BC中，角4B,C的对边分别为，b,C,且满足V5ainC+C=b+e (1)求角A: 3 解三角形中的中线问题、角平分线问题、高线问题专项训练 (2)已知△AB 面积为10W5,BC为7，求8C边上中线4D长 【答案】()3 129 (2)2 【详解】(1)因为N3 sasinC+-acsC=b+c 由正弦定理边化角得V5 SsinsinC+-sinAcosc=sinB+sinC 利用三角形内角和定理可得 sinB=sin(4+C)=sinAcosC+cosAsinC 3sinAsinC=sinCeos4+sinc 因为s咖C>0所以5m4m4,即(4-君引号 因为A∈(0，，所以A= 3 (2)由Se-cin4=105得e=400 由BC2=b2+c2-2 bceosA得49=b+c-bc=(b+d'-3c② 由①②得b+c=13 由0=G+C'→0-c+,2ms4-b+-c-12四 4 4, 得Ds29 2 变式2.(2025天津河西模拟预测)如图，在△18C中，已知 B=2,AC=5∠BAC=60,BC,4C边上的两条中线 AM,BN相交于点P. 解三角形中的中线问题、角平分线问题、高线问题专项训练 (I)求中线AM的长； (2)求∠MPN的余弦值： (3)求△ABP面积. √39 【答案】(1)2 4V91 (2)91 53 (3)6 【详解】(1)因为M为BC的中点，AM=)B+)4C, -丽+40=6+2GC+4C到-4+25+2x2x5xc60 4 AM=39 · 2)因为丽-C- m}C-西-C-c+*25-2x5x04= 4 BNEV2 2, cos∠MPW=cos(AM,BW)= AM.BN B+40日4c-西 4v91 AM BN AM BN 91 (3)P为中线的交点，P为△ABC重心， 4P214M IBPIBNI. 2 ∠MPv∈O,，,sin∠MPN=-cos'∠MPN=V页 √91， 解三角形中的中线问题、角平分线问题、高线问题专项训练 S.API BPIsin∠MPw的 6 变式3.(2425高-下安徽六安月考》在△1BC中，角 A,B, 所对的边分别是，6C,满足 c+asin B-b-acos B=0 (1)求角A: ②活“=2，边8C上的中线4D=V万，求△1BC的周长 π 【答案】(1)3 10+219 (2) 【详解】(1)在△1BC中，因为+V53 asinB-h-acosB=0 由正弦定理得sinC+v5 sin AsinB-sinB--sin coB=0 又因为sinC=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B, cos Asin B+3sin Asin B-sin B=0 因为Be0,,可得inB>0,所以1-cos4=V5sin4, 即1-cos4°=3sin24=31-cosA,化简得2cos2A-c0sA-1=0, 因为4e0对可得1<0o4<1:解得ms4=- 2π 所以A= 3； （2)由边BC的中线40=万，可得6+AC=2 可得4+AC+2B.AC=4AD, 即c2+6+2 ccos25=28,即行+d-c=28 3 在△AB 中，由余弦定理0=+c2-2 pbecos4 6 解三角形中的中线问题、角平分线问题、高线问题专项训练 可得b2+c2+bc=76, 联立方程组，可得+c=52c=24,所以6*g5=6+心+2次=10m 所以b+c=10,bc=24, 所以△1BC的周长为10+2丽 个 解三角形中的中线问题、角平分线问题、高线问题专项训练 考点二 解三角形中的角平分线问题 例1.(24-25高一下四川成都期末)已知4,6C分别为△1BC a,b,c 的对边，若D为<B1C A,B,C 三个内角 内角 平分线，且CD3,B-径.1a+esn4-血C=h-n8. (I)求A的大小： (2)求角平分线AD的长度： (3)求△ABC的面积. 【答案】0)号 22 日23+ (a+c)(sin A-sin C)=(b-c)sin B 【详解】(1)因为 所以(a+c)(a-c)=(b-c)b,即b2+c2-a2=bc, 所以cos4=62+c2-a2=bc-1 2bc 2bc2' A∈(0，) 因为 所以A文 3； (2)因为∠BAC= 3,AD为∠BAC的内角平分线， 所以∠BAD=∠CAD= 6 因为∠B1C-行，8-段 12 所以C=4, 在△CAD中，由正弦定理得， 3=AD CD AD,即sin ， sin∠CAD sin C sin 6 4 解三角形中的中线问题、角平分线问题、高线问题专项训练 解得，AD=3V2 所以角平分线D的长度为32】 (3)由2)知，∠ADC=7π 12’ 在△CAD中，由正弦定理得， CD 3=MC 4C即sin sin7元 sin∠CAD sin∠ADC 6 12 36+2 解得，AC 2 在△ABC中，由正弦定理得， AC4B 4G_AB,即sin5 sin B sinC 2 sin 解得MB=3V2 所以.C-sim2BC-×3 (36+32x5_93+5) 224 9 所以△ABC的面积为4B+V⑤) 例2.(24-25高一下上海·期末)在△A8C中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,且10(si B+C)2-7-cos24. (1)求角A的大小： (2)若b=2,c=1,∠BAC的角平分线交BC于M,求线段AM的长. 【答案】 2V5 (2)3 【详解】（1)由10in生S=7-cos21,得0-coNB+O1=7-eos2A 2 又在△ABC中，B+C=π-A, 9 解三角形中的中线问题、角平分线问题、高线问题专项训练 则1+o0=8-2o2人，整程相2os4+5oas有-3-0 而Ae@,cosA<1,解得cosA 2,所以A=双 3· (2)在△ABC中，由AM是∠BMC的角平分线，得∠BMM=∠MAC= 6, 由saam+Saac=5ac得2 e.sin+b:AMs交-bcsn5 62 62 3, 即MMw+2M号-1：2 2 2,所以M=2组 3. B M 例3.(24-25高-下云南文山期中)在△18C A,B,C a,b,cb=4 c=3 ，角 的对边分别为，且 (2c)cosA-acos B-0 求a的值： (2)若△ABC为锐角三角形. (1)求a的取值范围： (ⅱ)若AD是∠BAC的角平分线，求AD的取值范围. 【答案】()a=⑤ 12V26N14 ②(i)a∈万，5：(ii)4De 7,7 (2c-b)cos A-acosB=0 【详解】(1)因为 (2sin C-sin B)cos A-sin Acos B=0 由正弦定理得 2sin C cos A-(sin Bcos A+cos Bsin A)=0 2sin Ccos A-sin(4+B)=0 :.2sin Ccos A=sin C, ⊙