精品解析：河北故城县武官寨镇中学等校2025-2026学年八年级上学期期末数学试题

2025-2026学年度八年级上学期期末数学 上册全部 注意事项：共8页，总分120分，作答时间120分钟． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列代数式是分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查分式的定义，掌握形如（、是整式，且中含有字母）的式子叫做分式是解题的关键．根据分式的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、的分母是常数，不含字母，不是分式； B、的分母是常数，不含字母，不是分式； C、的分母是含字母的整式，符合分式定义，是分式； D、的分母是常数，不含字母，不是分式． 故选：C． 2. 小朋友荡秋千的侧面示意图如图所示，秋千旋转了，小朋友的位置从点运动到了点，连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 由题意得，，由等腰三角形性质可得，然后通过三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：由题意得，，， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 3. 透明导电薄膜是手机、平板电脑等设备实现触控功能的核心材料之一，它的厚度大约是0.000000064米，该数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数，表示时关键是要正确确定的值以及的值． 【详解】解：， 故选：C． 4. 木雕是中国传统民间工艺的重要分支，其历史可追溯至新石器时代．如图，这是工匠雕刻的木雕作品，蝴蝶的左右两侧关于直线对称，点在直线上，点和点为对称点，点和点为对称点，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称的性质、角的和与差，根据轴对称可知，，因为，，，即可求出的度数． 【详解】解：由轴对称可知，， ，，， ， ． 故选：D． 5. 代数式可以表示为（ ） A. （15个相加） B. （15个相乘） C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了乘方运算的概念，同底数幂的除法，合并同类项等知识，熟练掌握乘方的定义是解题的关键．根据合并同类项法则、同底数幂的除法、运算的概念，逐项分析即可． 【详解】解：A、（15个相加）可以表示，不能表示，故该项不正确，不符合题意； B、（15个相乘）可以表示，故该项正确，符合题意； C、，不能表示，故该项不正确，不符合题意； D、，不能表示，故该项不正确，不符合题意； 故选：B． 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查整式的乘法运算与分式的运算，需根据单项式乘单项式、单项式乘多项式、分式除法、分式加法的运算法则逐一计算判断选项正误． 【详解】解：∵单项式乘单项式法则为系数相乘，同底数幂相乘， ∴，故A错误； ∵单项式乘多项式用乘法分配律展开， ∴，故B正确； ∵分式除法法则为除以一个分式等于乘以它的倒数， ∴，故C错误； ∵异分母分式相加需先通分，再将分子相加， ∴，故D错误． 故选：B． 7. 下列命题的逆命题是真命题的是（ ） A. 全等三角形的对应角相等 B. 对顶角相等 C. 等边三角形的三个内角都等于 D. 如果两个有理数相等，那么它们的平方相等 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查命题与逆命题的概念，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，准确写出逆命题是解题关键． 先写出各选项命题的逆命题，再依据全等三角形、对顶角、等边三角形的判定及有理数的性质，判断逆命题的真假，进而选出正确选项． 【详解】解：选项：原命题的逆命题为对应角相等的三角形是全等三角形， ∵对应角相等的三角形可能是相似三角形，不一定全等， ∴该逆命题是假命题； 选项：原命题的逆命题为相等的角是对顶角， ∵相等的角可能是同位角、内错角等，不一定是对顶角， ∴该逆命题是假命题； 选项：原命题的逆命题为如果一个三角形的三个内角都等于，那么它是等边三角形， ∵三个内角都相等的三角形是等边三角形， ∴该逆命题是真命题； 选项：原命题的逆命题为如果两个有理数的平方相等，那么这两个有理数相等， ∵互为相反数的两个有理数平方相等，但本身不相等， ∴该逆命题是假命题． 综上，逆命题为真命题的是选项． 故选：． 8. 将分式中的，的值同时扩大为原来的倍，则分式的值（    ） A. 扩大为原来的倍 B. 扩大为原来的倍 C. 不变 D. 扩大为原来的倍 【答案】B 【解析】 【分析】将分式中的，的值同时扩大为原来的倍，进行计算后，再与原分式进行比较得出答案． 【详解】解：将分式中的，的值同时扩大为原来的倍，原分式可变为， 因此分式的值较原来扩大了倍， 故选：B． 【点睛】本题考查分式的基本性质，掌握分式的基本性质是正确判断的前提． 9. 如图，这是设计师绘制的一组智能通道闸机的截面图，点，，，在同一直线上，，，，若，则的长为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质和所对的直角边等于斜边的一半，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 先得出的长，再证明，得出，根据，得出的长度，最后运用所对的直角边等于斜边的一半即可求解出的长． 【详解】解：∵， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． 故选：A． 10. 如图，，是射线上的定点，是射线上的动点，要使为等腰三角形，则满足条件的点共有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，熟练掌握等腰三角形的定义是解此题的关键．分两种情况：当为底时，当为腰时，分别画出图形，即可得出答案． 【详解】解：如图， 当为底时，为等腰三角形， 当为腰时，，，均是以为腰的等腰三角形， 满足条件的点共有个． 故选：C． 11. 嘉琪是一个密码设计爱好者，一次他将一把钥匙藏好后设计了如图所示的纸条，由纸条可知钥匙（ ） 密码及对应的明文： 3在；书架上； 里面；花瓶的； 后面；衣柜的． 提示：因式分解的结果即钥匙所在位置． A. 在衣柜的花瓶里面 B. 在衣柜的后面 C. 在书架上花瓶的里面 D. 在书架上花瓶的后面 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查因式分解的应用，先对给定多项式用提公因式法和平方差公式进行彻底因式分解，再将每个因式对应题目给出的明文，组合后得到钥匙位置． 【详解】解： ， 对应明文： 在；书架上；花瓶的；后面， ∴组合后钥匙位置为：在书架上花瓶的后面． 故选：D． 12. 如图，在四边形中，平分，，点在边上，，若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，过点作于点，由角平分线的性质可得，证明，则有，同理可得，然后通过即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴，同理可得， ∴， 即， ∴， 故选：． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 若分式的值为，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式的值为的条件，掌握分式值为的两个条件是解题关键． 若分式的值为，则分子为且分母不为． 【详解】解：分式的值为，则分子且分母，故，且． 故答案为：． 14. 如图，在等腰中，底边，若的周长为，请写出一个符合条件的的整数值：___________． 【答案】17（答案不唯一，写出13~17中任何一个整数即可） 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的定义，三角形的三边关系，由，设腰长，可知，根据三角形三边关系，两边之和大于第三边：，可得的取值范围，进而可得周长的取值范围，即可求解． 【详解】解：已知等腰，，且，设腰长， 可得：， 根据三角形三边关系，两边之和大于第三边：，即，得， ∴， 则，周长，可得， 即，因此，周长的整数值可以是 13、14、15、16、17 中的任意一个， 故答案为：17（答案不唯一，写出13~17中任何一个整数即可）． 15. 定义新运算：．例：．若为完全平方公式，且，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，完全平方公式，掌握相应的运算法则是解题的关键．根据新运算定义，计算得到表达式，令其等于完全平方公式，通过比较系数求解． 【详解】解：由定义，，， 则 ， ∵为完全平方公式， ∴， ∵， ∴， 解得． 故答案为：． 16. 如图，在中，，将沿直线翻折，使点落在边上的点处，若，则的度数为___________（用含的式子表示）． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了折叠的性质、平行线的性质、三角形内角和定理、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．首先根据折叠的性质可得，，结合可得，再根据平行线的性质及等腰三角形的性质得出，由三角形内角和定理可得，进而计算的度数即可． 【详解】解：∵将沿直线翻折，使点落在边上的点处， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴． 故答案为： 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 嘉琪化简的过程如下： 原式第一步 第二步 ．第三步 （1）嘉琪的解答过程从第___________步开始出现错误． （2）写出此题的正确解答过程． （3）当时，求原式的值． 【答案】（1）一 （2） 解： ； （3） 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，掌握相应的运算法则、公式及运算顺序是解题的关键． （1）根据分式的加减运算法则即可解答； （2）先计算小括号内分式的加法，再计算分式的除法，结果化为最简分式； （3）将代入（2）中的结果进行计算即可． 【小问1详解】 解：嘉琪的解答过程从第一步小括号内的计算开始出现错误， 故答案为：一； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：当时，原式． 18. （1）计算：． （2）解分式方程：． 【答案】（）；（）． 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，解分式方程，熟练掌握相关知识是解题的关键． （）分别计算有理数乘方，负整数指数幂，零指数幂，最后合并即可； （）两边同时乘以，化为一元一次方程，然后解方程并检验即可． 【详解】（）解： ； （）解： ， ， ， 经检验，是分式方程的解， ∴原方程的解为． 19. 如图，在中，，为边上的一点，为的中点，为的中点，过点作交于点，过点作交于点． （1）求的度数． （2）如图，连接，若，求证：． 【答案】（1） （2） 证明：∵， ， ， ， ∴平分， ， ， ． 【解析】 【分析】（）由线段垂直平分线的性质可得，即得，同理可得，即得到，再根据平角的定义即可求解； （）由平行线的性质得，即得，再根据角平分线的性质即可求证； 本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质等，熟练掌握知识点是解题的关键． 【小问1详解】 解： 为的中点，， ∴垂直平分， ， ， 同理可得， ∵， ∴， ∴， ； 【小问2详解】 略 20. 已知，，． （1）求的值； （2）求的值； （3）直接写出，，之间的数量关系． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的有关运算，解题关键是熟练掌握同底数幂相乘法则和幂的乘方法则． （1）利用幂的乘方的逆运算，整理得，然后计算即可； （2）利用同底数幂相乘的逆运算，整理得，然后计算即可； （3）根据（1）、（2）的计算结果进行判断即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 ∵由（1）、（2）得，， ∴， ∴． 21. 我省是小麦种植大省，某地为保证农户冬小麦种植工作平稳完成，当地政府组织农户对720亩小麦田统一播种，原计划租用一台中型播种机完成播种任务，但是因天气原因需提前3天完成，政府最终租用一台大型播种机播种，这台大型播种机的播种效率为中型播种机播种效率的1.5倍，且刚好按时完成． （1）大型播种机一天可播种多少亩小麦田？ （2）当地政府计划对本区域内另一处2400亩小麦田也进行统一播种，若使用同款大型播种机，计划在6天内完成播种．问政府至少需要租用多少台大型播种机同时播种才能按时完成这2400亩小麦田的播种任务？ 【答案】（1）大型播种机一天可播种120亩小麦田 （2）政府至少需要租4台大型播种机同时播种才能按时完成这2400亩小麦田的播种任务 【解析】 【分析】本题考查了列分式方程和不等式解决实际问题，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）设中型播种机一天播种亩小麦田，则大型播种机一天播种亩小麦田，根据题意列分式方程，并求解检验即可； （2）设政府需要租台大型播种机同时播种才能按时完成这2400亩小麦田的播种任务，根据题意列不等式，求解即可． 【小问1详解】 （1）解：设中型播种机一天播种亩小麦田，则大型播种机一天播种亩小麦田． 依题意得， 解得， 经检验，是原方程的解， ． 答：大型播种机一天可播种120亩小麦田． 【小问2详解】 解：设政府需要租台大型播种机同时播种才能按时完成这2400亩小麦田的播种任务． 依题意得 解得． 为整数， 的最小值为4． 答：政府至少需要租4台大型播种机同时播种才能按时完成这2400亩小麦田的播种任务． 22. 如图，在中，，为外一点，连接，，为上一点，连接交于点，，． （1）求证：； （2）若，求度数． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，三角形的外角性质，等角对等边等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据等角对等边得出，然后证明，最后通过“”证明全等即可； （）由全等三角形性质可得，再通过平行线的性质得出，最后通过三角形内角和定理即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 23. 综合与实践 聪明的嘉嘉发现某广场的地砖图案是由多个圆套在一起的，从外向里由黑色瓷砖铺设的圆环和白色瓷砖铺设的圆环交替构成．根据这一现象嘉嘉画出了如图所示的图形，已知最外面的圆的半径为，向里依次为，嘉嘉想利用所学的数学知识计算这个图形中所有黑色圆环面积的和． 回归课本： （1）此问题的解决需利用平方差公式：___________． 问题解决： （2）求黑色圆环面积的和．（计算结果保留） 问题拓展： （3）运用上述公式计算：． 【答案】（1）；（2）黑色圆环面积的和为；（3） 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，解题的关键是熟练掌握平方差公式． （1）根据平方差公式直接求解； （2）由题意得，黑色圆环面积的和为，再进行因式分解求解即可； （3）利用平方差公式因式分解求解即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解： ． 答：黑色圆环面积的和为． （3）解： ． 24. 如图，在中，，，垂足为，为线段上一动点，连接，在的下方作等边，连接． （1）求证：． （2）若，的面积为，求的长． （3）如图，连接，当的周长最小时，直接写出和之间的数量关系． 【答案】（1） 证明：， ， 是等边三角形． ，是等边三角形， ，，． ， ， ． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先证明是等边三角形，由等边三角形的性质可得，，．进而证明，从而可证得． （2）过点作于点，根据全等的性质可得的面积为，根据三角形的面积公式可求得的长，由，得到，再根据含直角三角形的性质即可得解． （3）作点关于的对称点，连接，，，则，当、、三点共线时，的值最小，最小值为的长，此时的周长最小，由全等的性质可得，由轴对称的性质可得的度数，进而可得、的度数，最后根据含直角三角形的性质即可得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，过点作于点． 的面积为，， 的面积为， ，即， ． ， ， ． 【小问3详解】 解：． 如图，作点关于的对称点，连接，，， 则， 当、、三点共线时，的值最小，最小值为的长，此时的周长最小． ，， ， ， ． ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，含30度的直角三角形的性质，两点之间线段最短，作出合理的辅助线，灵活应用相关性质定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度八年级上学期期末数学 上册全部 注意事项：共8页，总分120分，作答时间120分钟． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列代数式是分式的是（ ） A. B. C. D. 2. 小朋友荡秋千的侧面示意图如图所示，秋千旋转了，小朋友的位置从点运动到了点，连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 3. 透明导电薄膜是手机、平板电脑等设备实现触控功能的核心材料之一，它的厚度大约是0.000000064米，该数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 木雕是中国传统民间工艺的重要分支，其历史可追溯至新石器时代．如图，这是工匠雕刻的木雕作品，蝴蝶的左右两侧关于直线对称，点在直线上，点和点为对称点，点和点为对称点，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 代数式可以表示为（ ） A. （15个相加） B. （15个相乘） C. D. 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 下列命题的逆命题是真命题的是（ ） A. 全等三角形的对应角相等 B. 对顶角相等 C. 等边三角形的三个内角都等于 D. 如果两个有理数相等，那么它们的平方相等 8. 将分式中的，的值同时扩大为原来的倍，则分式的值（    ） A. 扩大为原来的倍 B. 扩大为原来的倍 C. 不变 D. 扩大为原来的倍 9. 如图，这是设计师绘制的一组智能通道闸机的截面图，点，，，在同一直线上，，，，若，则的长为（ ）． A. B. C. D. 10. 如图，，是射线上的定点，是射线上的动点，要使为等腰三角形，则满足条件的点共有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 11. 嘉琪是一个密码设计爱好者，一次他将一把钥匙藏好后设计了如图所示的纸条，由纸条可知钥匙（ ） 密码及对应的明文： 3在；书架上； 里面；花瓶的； 后面；衣柜的． 提示：因式分解的结果即钥匙所在位置． A. 在衣柜的花瓶里面 B. 在衣柜的后面 C. 在书架上花瓶的里面 D. 在书架上花瓶的后面 12. 如图，在四边形中，平分，，点在边上，，若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 若分式的值为，则的值为___________． 14. 如图，在等腰中，底边，若的周长为，请写出一个符合条件的的整数值：___________． 15. 定义新运算：．例：．若为完全平方公式，且，则的值为___________． 16. 如图，在中，，将沿直线翻折，使点落在边上的点处，若，则的度数为___________（用含的式子表示）． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 嘉琪化简的过程如下： 原式第一步 第二步 ．第三步 （1）嘉琪的解答过程从第___________步开始出现错误． （2）写出此题的正确解答过程． （3）当时，求原式的值． 18. （1）计算：． （2）解分式方程：． 19. 如图，在中，，为边上的一点，为的中点，为的中点，过点作交于点，过点作交于点． （1）求的度数． （2）如图，连接，若，求证：． 20. 已知，，． （1）求的值； （2）求的值； （3）直接写出，，之间的数量关系． 21. 我省是小麦种植大省，某地为保证农户冬小麦种植工作平稳完成，当地政府组织农户对720亩小麦田统一播种，原计划租用一台中型播种机完成播种任务，但是因天气原因需提前3天完成，政府最终租用一台大型播种机播种，这台大型播种机的播种效率为中型播种机播种效率的1.5倍，且刚好按时完成． （1）大型播种机一天可播种多少亩小麦田？ （2）当地政府计划对本区域内另一处2400亩小麦田也进行统一播种，若使用同款大型播种机，计划在6天内完成播种．问政府至少需要租用多少台大型播种机同时播种才能按时完成这2400亩小麦田的播种任务？ 22. 如图，在中，，为外一点，连接，，为上一点，连接交于点，，． （1）求证：； （2）若，求度数． 23. 综合与实践 聪明的嘉嘉发现某广场的地砖图案是由多个圆套在一起的，从外向里由黑色瓷砖铺设的圆环和白色瓷砖铺设的圆环交替构成．根据这一现象嘉嘉画出了如图所示的图形，已知最外面的圆的半径为，向里依次为，嘉嘉想利用所学的数学知识计算这个图形中所有黑色圆环面积的和． 回归课本： （1）此问题的解决需利用平方差公式：___________． 问题解决： （2）求黑色圆环面积的和．（计算结果保留） 问题拓展： （3）运用上述公式计算：． 24. 如图，在中，，，垂足为，为线段上一动点，连接，在的下方作等边，连接． （1）求证：． （2）若，的面积为，求的长． （3）如图，连接，当的周长最小时，直接写出和之间的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $