精品解析：河北南皮县第四中学等校2025-2026学年第一学期八年级期末检测数学试卷

2025-2026学年第一学期八年级期末结课教学质量检测 数学（冀教版） （时间：120分钟，满分：120分） 卷Ⅰ（选择题，共36分） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 要使得代数式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 2. 下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 用反证法证明“三角形的三个外角中至少有两个钝角”时，假设正确的是（ ） A. 假设三个外角都是钝角 B. 假设三个外角中至少有一个钝角 C. 假设三个外角中至多有两个钝角 D. 假设三个外角中至多有一个钝角 4. 以下五个数：，，，，，无理数的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 如图，用尺规作已知角平分线，其根据是构造两个三角形全等，它所用到的判别方法是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，，的垂直平分线交于点，连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，将绕点顺时针旋转一定的角度得到，点的对应点恰好落在边上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，，交延长线于点，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 10. 根据下列已知条件，能够画出唯一的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 11. 已知关于x的方程解为正数，则k的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 12. 如图，在中，，，点D为中点，直角绕点D旋转，，分别与边，交于E，F两点，下列结论：①是等腰直角三角形；②；③；④，其中正确结论是（ ） A. ①②④ B. ②③④ C. ①②③ D. ①②③④ 卷Ⅱ（非选择题，共84分） 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 如图，在中，垂直平分，在中，垂直平分，若，，则的长为______． 14. 若，则______． 15. 有一只喜鹊在一棵高的小树上觅食，它的巢筑在距离该树的一棵大树上，大树高，且巢离树顶部．当它听到巢中幼鸟的叫声，立即赶过去，如果它飞行的速度为，那它至少需要时间___才能赶回巢中． 16. 如图，在中，，，分别是，边上的高，在上取一点D，使，在射线上取一点G，使，连接，，若，，则________． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 若a、b、c均为实数，且，c是的整数部分． （1）则a的值为_______；b的值为________；c的值为________； （2）求的平方根． 18. 如图，在中，，点E在延长线上，于点P，交于点F，，求的长度． 19. 高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，物品从离地面为h米的高处自由落下，落到地面的时间为，经过实验，发现（不考虑阻力的影响）． （1）求物体从的高空落到地面的时间（结果保留根号）； （2）已知从高空坠落的物体所带能量（单位：）物体质量高度（），一串质量为的钥匙经过落在地上，这串钥匙在下落过程中所带能量有多大？ 20. 如图，在上，，，，是的中点． （1）求证：； （2），，求的度数． 21. 如图，四边形是一块实践基地，已知，米，米，点E在边上，连接，米． （1）求四边形的面积； （2）若将的周长平分，求的长． 22. 如图，点为线段上一点，，，，，平分． （1）证明：． （2）若，求的度数． 23. 宇树人形机器人亮相2025年春节联欢晚会后爆火，并带动整个人形机器人行业的畅销．某公司推出了A、B两款人形机器人． （1）已知该公司生产7件A款人形机器人和生产8件B款人形机器人的成本相同；每件A款人形机器人的成本比每件B款人形机器人的成本多2万元．该公司生产的A款人形机器人和B款人形机器人每件的成本各是多少万元？ （2）如果该公司把这两种人形机器人在网上进行预约销售，并且每件B款人形机器人的售价比每件A款人形机器人的售价少，根据网上预约的情况，该公司售出的这两款人形机器人的销售额都为800万元时，B款人形机器人比A款人形机器人多售出10件．则该公司确定的每件A款人形机器人在网上的售价是多少万元？ 24. 已知在中，，，点D是边上的一点（不与点B，C重合），连接． （1）如图，过点A作，且，连接，求证：； （2）如图，点D，F都在线段上，且． ①求证：； ②若，，求的周长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期八年级期末结课教学质量检测 数学（冀教版） （时间：120分钟，满分：120分） 卷Ⅰ（选择题，共36分） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 要使得代数式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，不等式组的解法，熟记分式及二次根式有意义的条件是解本题的关键．由分式及二次根式有意义的条件可得，再解不等式组即可． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴， 解得且． 故选：D． 2. 下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的识别．根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解，把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意； D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意， 故选：C． 3. 用反证法证明“三角形的三个外角中至少有两个钝角”时，假设正确的是（ ） A. 假设三个外角都是钝角 B. 假设三个外角中至少有一个钝角 C. 假设三个外角中至多有两个钝角 D. 假设三个外角中至多有一个钝角 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了反证法，掌握原命题的否定与原命题的关系是解题的关键．“至少有两个”的反面为“至多有一个”，据此即可解答． 【详解】解：∵至少有两个”的反面为“至多有一个”，而反证法的假设即原命题的否定． ∴应假设：三角形三个外角中至多有一个钝角． 故选：D． 4. 以下五个数：，，，，，无理数的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根，无理数的定义，先化简算术平方根，根据无理数的定义（无限不循环小数），逐一判断每个数是否为无理数，即可作答． 【详解】解：，8不是无理数， ，，都不是无理数， 都是无理数， 即无理数的个数是2， 故选：B 5. 如图，用尺规作已知角平分线，其根据是构造两个三角形全等，它所用到的判别方法是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的性质和判定，尺规作角平分线，，根据证明，即可推出本题的答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴，即是角的平分线， 故选：D． 6. 如图，在中，，，的垂直平分线交于点，连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，根据等腰三角形的性质可得，根据线段垂直平分线的性质可得，再根据三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵的垂直平分线交于点， ∴， ∴， ∴. 故选：A． 7. 满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的逆定理和三角形内角和定理．根据勾股定理的逆定理和三角形的内角和定理逐项判断即可． 【详解】解：A、整理得由勾股定理逆定理，是直角三角形，且，该选项不符合题意； B、由题意最大角为，不是直角三角形，该选项符合题意； C、，又， ，，是直角三角形，该选项不符合题意； D、设，，，则，， ，是直角三角形，且，该选项不符合题意； 故选：B． 8. 如图，将绕点顺时针旋转一定的角度得到，点的对应点恰好落在边上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识点，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．由旋转的性质和等腰三角形的性质可得，则可得，由三角形内角和定理，及对顶角相等可得出的度数． 【详解】解：将绕点顺时针旋转一定的角度得到， ，，． ． ． ，，， ． 故选：A． 9. 如图，在中，，，交延长线于点，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，直角三角形所对直角边等于斜边一半，根据，得到，从而得到，结合即可得到答案； 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 10. 根据下列已知条件，能够画出唯一的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形全等的判定方法．根据全等三角形的判定方法（）及三角形构成条件逐一分析选项即可． 【详解】选项A：已知．此为“边边角”（），但不能唯一确定三角形（除非是直角），可能存在两种不同形状的三角形，故排除． 选项B：已知．计算三边和：，不满足三角形三边关系，无法构成三角形，故排除． 选项C：已知．此为“角边角”（），因两角及夹边唯一确定三角形，且第三个角可通过内角和确定，符合全等条件，故可唯一确定． 选项D：已知三个角（）．此为“角角角”（），无法确定边长，无法画出唯一的三角形，故排除． 故选：C． 11. 已知关于x的方程解为正数，则k的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查分式方程的解及解的取值范围，解题的关键是先将分式方程化为整式方程求解，再结合分式有意义的条件（分母不为0）和解的正负性确定参数范围． 先将分式方程化为同分母形式，转化为整式方程求解关于的表达式，再根据＂解为正数＂和＂分母不为0＂列不等式，最终确定的取值范围． 【详解】解：∵方程， 又∵， ∴， ∴原方程化为． 左边合并：， 两边同时乘以得：， 解得． 由，得，即． 又∵解为正数，∴，即，． 综上，且． 故选：D． 12. 如图，在中，，，点D为中点，直角绕点D旋转，，分别与边，交于E，F两点，下列结论：①是等腰直角三角形；②；③；④，其中正确结论是（ ） A. ①②④ B. ②③④ C. ①②③ D. ①②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、同角的余角相等的性质；熟练掌握等腰直角三角形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键． 根据等腰直角三角形的性质可得，根据同角的余角相等求出，然后利用“角边角”证明和全等，判断出③正确；根据全等三角形对应边相等可得、，从而得到是等腰直角三角形，判断出①正确；再求出，判断出②正确；根据，利用三角形的任意两边之和大于第三边可得，判断出④错误． 【详解】解：∵，， ∴是等腰直角三角形， ∵点为中点， ∴，，， ∴， ∵是直角， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴，故③正确； ∴、， ∴是等腰直角三角形，故①正确； ∵，， ∴，故②正确； ∵，， ∴，故④错误； 综上所述，正确的结论有①②③． 故选：C． 卷Ⅱ（非选择题，共84分） 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 如图，在中，垂直平分，在中，垂直平分，若，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了垂直平分线的性质，勾股定理．根据垂直平分线的性质得到，，，进而利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵垂直平分，， ∴， ∵垂直平分， ∴，， ∴的长为． 故答案为：． 14. 若，则______． 【答案】4 【解析】 【分析】先利用异分母的分式加减法可得，再对原式变形后将整体代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴原式． 15. 有一只喜鹊在一棵高的小树上觅食，它的巢筑在距离该树的一棵大树上，大树高，且巢离树顶部．当它听到巢中幼鸟的叫声，立即赶过去，如果它飞行的速度为，那它至少需要时间___才能赶回巢中． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，过A作于E．则，利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图，由题意知，． 过A作于E．则， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴它至少需要才能赶回巢中． 故答案为：． 16. 如图，在中，，，分别是，边上的高，在上取一点D，使，在射线上取一点G，使，连接，，若，，则________． 【答案】58 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的三线合一、三角形全等的判定与性质等知识，熟练掌握等腰三角形的三线合一是解题关键．先根据等腰三角形的三线合一可得，再求出，，然后证出，根据全等三角形的性质可得，然后根据求解即可得． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：58． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 若a、b、c均为实数，且，c是的整数部分． （1）则a的值为_______；b的值为________；c的值为________； （2）求的平方根． 【答案】（1），3，6 （2） 【解析】 【分析】本题考查了平方根，无理数大小估算，算术平方根和偶次幂的非负性，熟练掌握相关概念及运算是解题的关键． （1）根据非负数的性质可得，从而求出a，b的值，再利用无理数大小估算求出c的值； （2）把a，b，c的值代入，再根据平方根的定义解答即可． 【小问1详解】 解：，，， ， ； ， ，即， 的整数部分是6， ， 故答案为：，3，6． 【小问2详解】 解：由（1）知，， ， 的平方根为：． 18. 如图，在中，，点E在延长线上，于点P，交于点F，，求的长度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等边对等角，由题意得，根据，，推出，进而得，推出，即可求解； 【详解】解：， ， ， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ． 19. 高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，物品从离地面为h米的高处自由落下，落到地面的时间为，经过实验，发现（不考虑阻力的影响）． （1）求物体从的高空落到地面的时间（结果保留根号）； （2）已知从高空坠落的物体所带能量（单位：）物体质量高度（），一串质量为的钥匙经过落在地上，这串钥匙在下落过程中所带能量有多大？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的应用． （1）根据公式，代入计算即可； （2）先根据根，求得高度，再根据公式物体质量高度（），计算能量即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴这串钥匙在下落过程中所带能量有． 20. 如图，在上，，，，是的中点． （1）求证：； （2），，求的度数． 【答案】（1） 证明：在和中， ， ∴， ∴， ∵F是的中点， ∴． （2） 【解析】 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识，证明是解题的关键． （1）由、，，根据全等三角形的判定定理证明，得，即可根据等腰三角形的“三线合一”证明； （2）由，，得，则，，根据“等边对等角”及三角形的内角和定理得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的度数是． 21. 如图，四边形是一块实践基地，已知，米，米，点E在边上，连接，米． （1）求四边形的面积； （2）若将的周长平分，求的长． 【答案】（1）246平方米 （2）6米 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键： （1）勾股定理求出的长，再利用勾股定理求出的长，分割法求出四边形的面积即可； （2）设米，进而求出的长，再利用勾股定理进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵，米，米， ∴米， ∴米， ∴四边形的面积（平方米）； 【小问2详解】 解：设米，则：米， ∵将的周长平分， ∴， ∴米， 在中，由勾股定理，得：， 解得； 故米． 22. 如图，点为线段上一点，，，，，平分． （1）证明：． （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）先证明，再由证明； （2）先证明是等边三角形，得，再证明，得，设，则，再求出，进而由角平分线的定义得，然后由直角三角形的性质得，进而列出方程，求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴是等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， 答：的度数为． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、角平分线的定义、直角三角形的性质以及三角形的外角性质等知识，本题综合性强，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 23. 宇树人形机器人亮相2025年春节联欢晚会后爆火，并带动整个人形机器人行业的畅销．某公司推出了A、B两款人形机器人． （1）已知该公司生产7件A款人形机器人和生产8件B款人形机器人的成本相同；每件A款人形机器人的成本比每件B款人形机器人的成本多2万元．该公司生产的A款人形机器人和B款人形机器人每件的成本各是多少万元？ （2）如果该公司把这两种人形机器人在网上进行预约销售，并且每件B款人形机器人的售价比每件A款人形机器人的售价少，根据网上预约的情况，该公司售出的这两款人形机器人的销售额都为800万元时，B款人形机器人比A款人形机器人多售出10件．则该公司确定的每件A款人形机器人在网上的售价是多少万元？ 【答案】（1）16万元，14万元 （2）20万元 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，分式方程的应用，正确掌握方程的应用是解题的关键． （1）设款机器人每件成本为万元，则款机器人每件成本为万元，根据题意列出方程，解方程即可． （2）设款机器人每件销售价格为万元，则款机器人每件销售价格为万元，根据题意列出方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：设款机器人每件成本为万元，则款机器人每件成本为万元， 根据题意，得， 解得：， ， 答：款机器人每件成本为16万元，款机器人每件成本为14万元． 【小问2详解】 解：设款机器人每件销售价格为万元，则款机器人每件销售价格为万元， 根据题意，得， 解得：． 答：该公司确定的每件款人形机器人在网上的售价是20万元． 24. 已知在中，，，点D是边上的一点（不与点B，C重合），连接． （1）如图，过点A作，且，连接，求证：； （2）如图，点D，F都在线段上，且． ①求证：； ②若，，求的周长． 【答案】（1） 证明：∵ ， ∴ ， ∴ ，即． 在和中，， ∴ ， ∴ ，． ∵ ， ∴ ， ∴ ，即， ∴ ； （2）①证明：如图1，过点A作，且，连接． ∵ ， ∴ ， ∴ ． 又∵ ，， ∴ ， ∴ ． 由（1）知，，， ∴ ， ∴ ； ② 【解析】 【分析】本题考查勾股定理、等腰直角三角形、三角形全等的判定与性质，解题的关键是全等三角形的判定定理的应用． （1）证明即可得到； （2）①将线段绕点逆时针方向旋转得到线段，连接，证明，可得，从而可证明结论； ②过作于，然后根据勾股定理分别求出三边即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略 ②解：如图2，过点A作于点H． ∵ ，，， ∴ ， ∴ ． ∵ ，，， ∴ ， ∴ ， ∴ ，． 在中，， 在中，， ∴ 的周长为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $