第4讲 整式的除法（3个核心知识点+4个高频考点+5个重点题型专练） 2025-2026学年北师大版七年级下册数学同步核心训

第一章 整式的乘除（同步核心训） §1.7 整式的除法（解析） 北师大版七年级下册·整式的除法·思维导图 重点题型专练（共5个） 1. 整式乘除混合运算题 2. 化简求值题 3. 与几何面积结合 4. 与定义新运算结合 5. 综合拓展应用题 高频考点（共4个） 1. 单项式除以单项式的基础计算 2. 多项式除以单项式的运算 3. 整式的混合运算 4. 利用整式除法求代数式的值 核心知识点（共3个） 1. 单项式除以单项式 2. 多项式除以单项式 3. 整式的混合运算 知识 1 单项式除以单项式 法则 步骤 举例 单项式除以单项式 单项式相除，把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式 （1）系数相除，定符号 （2）同底数幂相除 （3）被除式中的其余字母连同它的指数不变 ˙敲黑板˙ （1） 运算中的单项式的系数包括它前面的符号 （2） 不要遗漏只在被除式中出现的字母 （3） 有乘方，先算乘方，再做除法，顺序不能乱 知识 2 多项式除以单项式 多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加. 如：(ma+mb+mc)÷m=ma÷m+mb÷m+mc÷m=a+b+c. ˙敲黑板˙ （1） 多项式的每一项都要除以单项式，不能漏掉任何一项 （2） 每一项都要带着符号相除，符号出错是最常见失分点 （3） 系数分别做除法，计算要准确，避免约分错误 知识 3 整式的混合运算 1. 含有整式的加减、乘除及乘方的多种运算叫做整式的混合运算. 2. 注意运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号时，先算括号里的.去括号时，先去小括号，再去中括号，最后去大括号. 【高频考点1——单项式除以单项式的基础运算】 【核心考点1·例题精讲 单项式除以单项式的基础运算】 例1、（25-26八年级上·福建泉州·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查单项式除以单项式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键； 根据整式的除法法则，系数相除，同底数幂相除． 【详解】解；原式 ． 故答案为：． 【同步跟进·核心考点专训】 1．（25-26八年级上·广东惠州·月考）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查单项式除以单项式，熟练掌握单项式除以单项式是解题的关键；根据整式的除法法则，将系数和相同字母的幂分别相除，然后问题可求解． 【详解】解：原式． 故答案为． 2．（2026·陕西·一模）计算：（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查单项式除以单项式，根据单项式除以单项式的运算法则进行计算即可． 【详解】解：， 故选：B． 3．（25-26八年级上·甘肃天水·期末）的运算结果是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了单项式除以单项式，根据单项式除以单项式的法则：系数相除，同底数幂的指数相减，保留独有因式，即可求解． 【详解】解： ， 故选：D． 【核心考点2·例题精讲 含乘方运算的单项式除以单项式】 例1、（25-26七年级·上海·期末） ． 【答案】 【分析】本题主要考查了积的乘方运算，单项式除以单项式的运算，根据题意只需要计算出的结果即可得到答案． 【详解】解： ， 故答案为：． 【同步跟进·核心考点专训】 1．（25-26八年级上·陕西延安·月考）计算结果正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查积的乘方运算，单项式除以单项式的运算，掌握积的乘方与单项式除以单项式的运算法则是解题关键． 先计算立方运算，再根据除法将原式转化为分数形式，利用指数运算法则简化． 【详解】解：∵， ∴， 系数化简：， 化简：， 化简：， ∴结果为． 故选：． 2．（25-26八年级上·山东临沂·期末节选）计算： 【答案】(1) 【分析】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则和乘法公式是解答此题的关键．先计算积的乘方，再计算乘除即可. 【详解】解：原式 . 3．（25-26八年级上·福建泉州·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算，先计算积的乘方，再按单项式除以单项式，单项式乘以单项式进行计算． 【详解】解：原式 【核心考点3·例题精讲 利用单项式除以单项式求字母的值】 例1、（25-26八年级上·河南周口·期末）如果，则 ． 【答案】5 【分析】本题考查了积的乘方，单项式除以单项式，根据指数运算法则，先计算分母的平方，再将除法转化为分数形式，分别比较x和y的指数得出方程，求解a和b的值即可 【详解】解： 化简得：， 简化得： 两边除以2： ，， 解得：，解得 ， 故答案为：5． 【同步跟进·核心考点专训】 1．（25-26七年级下·全国·周测）已知，则的值为 ． 【答案】1 【分析】根据单项式除以单项式的运算法则，系数与同底数幂分别相除，再通过指数对应相等，求出和的值，最后计算． 【详解】解：由已知等式， ，且该式等于 ∴． 由于右边不含， ∴，即：． 解得：． 代入得：． ∴． 解得：． ∴． 故答案为：． 2．（25-26七年级·上海浦东新·月考）如果，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式除以单项式，积的乘方，有理数乘方，先根据积的乘方运算，单项式除以单项式法则得到，，从而求出，的值，最后代入求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 3．若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了积的乘方，单项式除以单项式，利用幂的乘方和同底数幂的除法法则，将等式两边化为同底数形式，通过指数相等建立方程求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， 解得：，， ∴． 故答案为：3． 【高频考点2——多项式除以单项式的运算】 【核心考点1·例题精讲 多项式除以单项式的基础运算】 例1、（25-26八年级上·北京密云·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查多项式除以单项式，掌握相关知识是解决问题的关键．根据多项式除以单项式的运算法则，用多项式的每一项除以单项式． 【详解】解： ． 故答案为：． 【同步跟进·核心考点专训】 1．（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·期末） ． 【答案】/ 【分析】本题考查整式的除法运算，掌握好整式乘除的运算法则是关键． 根据多项式除以单项式的运算法则进行计算即可． 【详解】解：． 2．（25-26八年级上·福建泉州·期末）当时， ． 【答案】 【分析】本题考查多项式除以单项式法则，利用分配律将除法运算分配到括号内的每一项，再根据指数法则简化分式． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 3．（25-26八年级上·福建厦门·月考）计算： （） ； （） ． 【答案】 【分析】（）根据多项式除以单项式的运算法则计算即可求解； （）根据多项式除以单项式的运算法则计算即可求解； 本题考查了多项式除以单项式的运算，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：（）原式， 故答案为：； （）原式， 故答案为：． 【核心考点2·例题精讲 多项式除以单项式的应用】 例1、（25-26八年级上·广西玉林·期末）科技小组的小明和小红在进行整式运算探究活动，两人各写一个整式，若把小明写的整式当作除式，小红写的整式当作被除式，规定商必须是，若小红写的整式是，则小明应写的整式是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查多项式除以单项式的整式运算，根据除法各部分关系“除式=被除式÷商”，利用多项式除以单项式的法则计算即可 【详解】解：小明应写的整式为 ∴答案选：B 【同步跟进·核心考点专训】 1．（25-26八年级上·湖南衡阳·期末）已知长方形的面积为，如果它的一边长为，则它的另一边长为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了多项式除以单项式，根据长方形面积公式，另一边长等于面积除以已知边长，通过多项式除以单项式计算即可. 【详解】解：长方形的面积为，一边长为， 另一边长为． 故选： D． 2．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）小辰与小辉在做游戏时，两人各报一个整式，若将小辰报的整式作为除式，小辉报的整式作为被除式，要求商必须为．若小辉报的整式是，则小辰应报的整式是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查整式的除法，熟练掌握整式除法运算法则，正确列出代数式是解答的关键． 根据被除式、除式和商的关系列出代数式，再利用多项式除以单项式计算即可． 【详解】解：根据题意，小辰报的整式为 故选：D． 3．（24-25七年级下·山东枣庄·月考）如图是一个运算程序的示意图，若输入的为整式，输出的为整式，则代数式的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了本题考查了程序流程图，多项式除以单项式的运算，正确理解程序流程图的意思是解题的关键． 由程序流程图可得，由，得到，再由多项式除以单项式运算法则求解即可． 【详解】解：由题意得，， 故选：B． 【高频考点3——整式的混合运算】 【核心考点1·例题精讲 整式的混合运算】 例1、化简：． 【答案】 【分析】本题考查了整式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先通过完全平方公式和平方差公式计算括号内的，然后通过多项式除以单项式法则进行计算即可． 【详解】解： ． 【同步跟进·核心考点专训】 1．（25-26八年级上·河南许昌·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了整式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键， （）根据积的乘方，幂的乘方，同底数幂的乘法及负整数指数幂的运算法则进行计算即可； （）先通过单项式乘多项式法则和完全平方公式化简括号内的整式，再进行整式除法运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 2．（25-26八年级上·广东湛江·期末）计算：． 【答案】2a2 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，解题关键是熟练掌握多项式除以单项式法则、单项式除以单项式法则和平方差公式． 根据平方差公式和多项式除以单项式法则计算乘除，最后合并同类项即可． 【详解】解： ． 3．（25-26八年级上·云南昭通·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的混合运算， 先根据整式的乘除法计算，再根据整式的加减法计算即可． 【详解】解：原式 ． 【核心考点2·例题精讲 整式的混合运算过程探究】 例1、（25-26八年级上·山西吕梁·月考）阅读下面这位同学的计算过程，并完成任务 先化简，再求值： ，其中，． 解：原式第一步 第二步 ．第三步 当，时，原式．第四步 任务一： ①第一步运算中用到的乘法公式为________（用含字母，的式子表示） ②以上步骤第________步出现了错误，错误的具体原因是________________________________. 任务二：请写出正确的解答过程． 任务三：请根据平时的学习经验，就整式化简注意事项给同学们提出一条建议． 【答案】任务一：①；②一 ，的展开式在去括号时符号错误；任务二：过程见解析；任务三：见解析． 【分析】本题考查了整式的混合运算，解题的关键是掌握整式的混合运算法则，平方差公式和完全平方公式． 任务一：①根据完全平方公式即可得出答案；②根据去括号法则即可得出答案； 任务二：根据整式的混合运算顺序解答即可； 任务三：在使用乘法公式展开化简时要注意前面为负号时，展开后要记得先加括号 【详解】解：任务一：①第一步运算中用到的乘法公式为； ②以上步骤第一步出现了错误，错误的具体原因是：的展开式在去括号时符号错误； 故答案为：一 ；的展开式在去括号时符号错误； 任务二： ． 当，时，原式． 任务三：在使用乘法公式展开化简时要注意前面为负号时，展开后要记得先加括号（答案不唯一）． 【同步跟进·核心考点专训】 1．（24-25七年级下·甘肃兰州·期末）阅读下面张轩同学的计算过程，并完成任务． 先化简，再求值：，其中， 解：原式………………第一步 ……………………………第二步 …………………………………………………第三步 ……………………………………………………………第四步 当，时，原式……………………第五步 任务： (1)以上步骤第______步出现了错误，错误的原因是____________； (2)请写出正确的解答过程． 【答案】(1)一，错用完全平方公式 (2)， 【分析】本来是主要考查整式的混合运算与化简求值，解答的关键是掌握乘法公式及整式混合运算的运算顺序和计算法则． （1）根据完全平方公式分析作答； （2）根据整式的混合运算的运算顺序和计算法则进行计算，然后代入求值即可求解． 【详解】（1）解：以上步骤第一步出现了错误，错误的原因是错用完全平方公式， 故答案为：一，错用完全平方公式； （2）解：原式 当，时，原式． 2．（25-26八年级上·河南南阳·期中）阅读下面这位同学的解答过程，并完成任务． 先化简，再求值：，其中，． 解：原式  第一步   第二步   第三步 当，时，原式  第四步 任务： (1)第一步运用到了乘法公式：____________________________； (2)以上步骤从第_____步开始出现了错误，错误的原因是___________________________________； (3)请你写出正确的解答过程． 【答案】(1)完全平方公式 (2)一，去负括号时括号内的第二项没有变号 (3)见解析 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，完全平方公式，单项式乘以多项式，多项式除以单项式，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）根据题意可得第一步运用了完全平方公式； （2）第一步去负括号时括号内的第二项没有变号； （3）先根据完全平方公式和单项式乘以多项式去小括号，然后合并同类项，接着计算多项式除以单项式化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，第一步运用了完全平方公式； 故答案为：完全平方公式； （2）解：观察解题过程可知，第一步开始出现错误，错误原因是去负括号时括号内的第二项没有变号； 故答案为：一，去负括号时括号内的第二项没有变号； （3）解： ， 当，时，原式． 3．（24-25七年级下·山西晋中·期末）下面是小明的运算步骤，请你认真阅读并完成相应的任务． 先化简，再求值：，其中，． 解：原式　　　⋯⋯第一步　　 　　　　　　　　　⋯⋯第二步 　　　　　　　　　　　　　　　　　　⋯⋯第三步 ． 任务： (1)运算从第________步开始出错，这一步出现错误的原因是________； (2)请写出正确的化简步骤，并求值． 【答案】(1)一，完全平方公式用错 (2)，20 【分析】本题考查整式化简求值，解题的关键是掌握整式相关的运算法则． （1）观察解答过程可得答案； （2）先算括号内的，再算除法，化简后将x，y的值代入计算即可． 【详解】（1）解：运算从第一步开始出错，出现错误的原因是完全平方公式用错； 故答案为：一，完全平方公式用错； （2）解： ∴原式． 【高频考点4——利用整式的除法求代数式的值】 例1、（25-26八年级上·重庆大足·期末）已知，，，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的乘除运算与幂的运算法则，熟练掌握积的乘方、单项式乘单项式及单项式除以单项式的运算法则是解题的关键． 先将 、、 代入表达式 ，再根据幂的运算法则和整式的乘除法则逐步计算． 【详解】解： ． 【同步跟进·核心考点专训】 1．（25-26七年级下·全国·周测）【问题情境】观察下列给出的一列单项式：，，，，，…．任选两个连续的单项式，用后面的单项式除以前面的单项式组成一个算式． 【初步观察】（1）观察规律，并补全下列等式： ①； ②； ③； ④____________； … 【拓展延伸】（2）若第2024个单项式记为，第2025个单项式记为，求的值． 【答案】（1） （2） 【分析】本题考查了单项式除以单项式，单项式乘单项式，找出规律，正确理解式子的符号、次数与式子的序号之间的关系是解题的关键． （1）通过观察规律，即可补全等式； （2）根据（1）的规律可知，第个单项式为，由此可确定第个单项式和第个单项式，然后代入进行计算即可． 【详解】解：（1）通过观察可以发现，任选两个连续的单项式，用后面的单项式除以前面的单项式，计算的结果为定值， 故． （2）由（1）可知，第个单项式为， ，， ． 2．（25-26八年级上·山西长治·期中）张老师在黑板上布置了一道题： 已知，求代数式的值，小白和小红展开了下面的讨论，你赞同谁的观点？并说明理由． 【答案】我认为小红说的对，理由见解析 【分析】本题考查整式的混合运算，熟练掌握整式的运算法则是解题的关键．根据整式的混合运算法则进行计算，化简后根据结果，进行判断即可． 【详解】解：我认为小红说的对， 理由： 化简后的结果不含x， 小红说的对，当时，原式． 3．（24-25七年级下·河南周口·期末）已知，．（） (1)化简A和B； (2)若变量x，y满足，求出y与x之间的关系式； (3)在（2）的条件下，求的值． 【答案】(1)；； (2)； (3)13 【分析】本题考查整式的混合运算—化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）A根据完全平方公式和平方差公式展开，然后合并同类项即可；B根据多项式除以单项式和单项式乘多项式将题目中的式子展开，然后合并同类项即可； （2）根据（1）中的结果和，可以得到y与x之间的关系式； （3）先将所求式子化简，再将（2）中的结果代入计算即可． 【详解】（1）解： ； ； （2）解：∵，，， ∴， 化简，得：； （3）解： ， 由（2）知：， ∴原式． 【重点题型专练1——整式乘除混合运算题】 例1、（25-26八年级上·陕西安康·期末）化简：． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式混合运算，解题的关键是熟练掌握完全平方公式． 根据完全平方公式和多项式除以单项式运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 【核心题型·变式通关练】 1．（25-26八年级上·天津和平·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的乘除法，掌握其运算法则是解题的关键． （1）运用平方差、完全平方公式化简，再合并同类项即可； （2）先计算括号，再计算除法即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 2．（25-26八年级上·广东珠海·期末）计算： 【答案】 【分析】本题考查整式的乘法和除法．熟悉多项式除以单项式的运算：将多项式的每一项分别除以单项式，再把结果相加，平方差公式的应用，整式的混合运算法则，是解题的关键． 按照“先乘除、后加减”的顺序，结合平方差公式的应用，去括号、合并同类项，依次进行计算． 【详解】解：， ， ， ． 故答案为：． 3．（25-26八年级上·重庆开州·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了整式的混合运算． （1）首先计算同底数幂的乘法，积的乘方和幂的乘方，然后合并即可； （2）首先计算单项式乘以多项式，平方差公式，再计算多项式除以单项式的法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【重点题型专练2——化简求值题】 例1、（24-25七年级下·河南郑州·期末）先化简，再求值． ，其中． 【答案】， 【分析】本题考查整式的混合运算，化简求值，先根据整式的运算法则，乘法公式进行化简，再将代入化简后的整式中进行计算即可． 【详解】解： ； 当时， ∴原式． 【核心题型·变式通关练】 1．（25-26八年级上·贵州黔西南·月考）先化简，再求值：，其中，． 【答案】；10 【分析】本题考查了整式的化简求值，先根据整式的运算法则把所给代数式化简，再把，，代入计算即可． 【详解】解： ， 当，时， 原式． 2．（25-26八年级上·湖北襄阳·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的混合运算，关键是熟练应用运算规则进行运算； 先根据完全平方公式，平方差公式，多项式乘以单项式，多项式除以单项式的运算法则进行化简，再将，代入计算即可． 【详解】解： 当时， 上式． 3．先化简，再求值：，其中，满足． 【答案】； 【分析】本题考查完全平方公式的运用，平方数的非负性以及整式的混合计算，熟练掌握各知识点是解题的关键． 由，进行变形得，求出、的值，再对原式进行化简，最后代入求值即可． 【详解】解：∵， ， ∴，， 解得，， 将，代入， 原式 . 【重点题型专练3——与几何面积结合】 例1、（23-24七年级下·河南郑州·月考）如图，某新建高铁站广场前有一块长为米，宽为米的长方形空地，计划在中间留一个长方形喷泉（图中阴影部分），喷泉四周留有宽度均为b米的人行通道． (1)请用代数式表示高铁站广场的面积并化简； (2)请用代数式表示喷泉的面积并化简； (3)喷泉建成后，需给人行通道铺上地砖方便旅客通行，若每块地砖的面积是平方米，则刚好铺满不留缝隙，求需要这样的地砖多少块． 【答案】(1) (2) (3)需要这样的地砖块． 【分析】本题考查列代数式，多项式乘多项式及多项式除以单项式的应用，熟练列式是解本题的关键； （1）直接利用长方形的面积公式计算即可； （2）先表示喷泉的长与宽，再结合长方形的面积公式，可以用代数式表示出喷泉的面积； （3）根据（1）（2）中的结果，计算道路的面积再除以每一块地砖的面积，可以解答本题； 【详解】（1）解：高铁站广场的面积为： ； （2）由图可得，喷泉面积为： ； （3） （块）， 答：需要这样的地砖块． 【核心题型·变式通关练】 1．（25-26八年级上·江苏南通·期中）如图，现有一张长方形纸板，在它的四角各切去一个同样大小的正方形，然后将四周突出部分折起，制成一个高为的长方体形状的无盖纸盒．如果该长方体纸盒的容积为，底面的一边的长为． (1)求的长； (2)求原长方形的面积． 【答案】(1) (2)原长方形的面积为． 【分析】本题考查整式的混合运算，理解题意并列出正确的算式是解题的关键． （1）根据题意列式为，将其计算即可； （2）结合（1）中所求结果及已知条件，分别表示出，，然后相乘即可． 【详解】（1）解：长方体纸盒的容积为，底边，高为， 则， 即的长为； （2）解：，， 则 ， 即原长方形的面积为． 2．（24-25七年级下·陕西咸阳·月考）解决问题 (1)已知A、均为单项式，多项式与单项式的商为，请分别求出单项式； (2)某小区为了便民购物，计划在小区外一块长方形空地上建一座大型超市，已知长方形空地的面积为，长为，求这块长方形空地的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的运算的应用，熟练掌握整式的运算法则是解题的关键． （1）根据题意得，则由，求解即可． （2）根据块长方形空地的宽为，然后根据长方形周长公式，列式计算即可． 【详解】（1）解：由题意，得 ∴ ∵， ∴，； （2）解：长方形空地的宽为 ， ∴这块长方形空地的周长 ． 3．（22-23七年级下·辽宁沈阳·月考）如图，南昌校园内有一块长为米，宽为米的长方形地块，在对角线位置上有四个边长为米的小正方形石板，校方计划将4个石板以外的部分进行绿化． (1)用含有a、b的式子表示绿化的总面积（结果写成最简形式）； (2)校方找来阳光绿化团队完成此项绿化任务，已知该队每小时可绿化平方米，每小时收费200元，则校方应该支付绿化队多少费用？（用含a、b的代数式表示） 【答案】(1)绿化的总面积是 (2)校方应该支付绿化队元 【分析】（1）用矩形的面积减去四个小正方形的面积，即可得解； （2）用绿化总时间，进行求解即可． 【详解】（1）解： ， 答：绿化的总面积是． （2）元， 答：校方应该支付绿化队元． 【点睛】本题考查整数的混合运算的应用．熟练掌握整式的运算法则，是解题的关键． 【重点题型专练4——与定义新运算结合】 例1、（25-26八年级上·广东东莞·期末）可依照计算如图： 因此． 阅读上述材料后仿照计算． 【答案】 【分析】本题考查除法运算，理解题干中提供的运算方法是解题关键 按照题干所提供的方法进行计算即可． 【详解】解：如图， 故． 【核心题型·变式通关练】 1．规定一种运算，如．按照这种运算规定，请解答下列问题： (1)计算的值； (2)已知，求的值； (3)化简并求值：，其中，． 【答案】(1)8 (2) (3) 【分析】本题考查了新定义运算，平方差公式，单项式除以单项式，解一元一次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，进行列式计算，即可作答． （2）理解题意，列出方程，再运用解一元一次方程的方法进行解题，即可作答． （3）先运用新定义运算，则，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴ ∴ ∴； （3）解：依题意 ， 则， ∵，， ∴． 2．（25-26八年级上·重庆·期中）两个多项式相除，可以先把这两个多项式都按照同一字母降幂排列，然后再仿照两个多位数相除的计算方法用竖式进行计算．例如，仿照计算如下： 因此．阅读完上述材料后，解决下列问题： (1)计算，商式是______，余式是______； (2)试判断能否被整除，说明理由（请用材料的竖式解答）； (3)利用上述方法解决：若多项式能被整除，求的值． 【答案】(1)，1 (2)能被整除，理由见解析 (3) 【分析】本题考查整式的混合运算，理解题中求解方法是解答的关键． （1）仿照题干求解方法求解即可； （2）根据题干求解方法，得到余式为0可得结论； （3）根据题干求解方法和余式为0得到对应系数关系，，进而求得a、b值，代值求解即可． 【详解】（1）解：（1）的商式是，余式是1； 故答案为：，1； （2）解：能被整除，理由如下： （3）解：， 若多项式能被整除，如图， 所以，， 解得，， ∴． 3．如图是一个整式运算程序： (1)输入整式，，此时整式是_______； (2)已知运算程序中含． ①若输入整式，则输出的结果为_______； ②若输入整式，，输出的结果中不含的一次项，求的值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】此题考查了同底数幂的乘法，完全平方公式和多项式除以单项式，整式的运算的无关型问题，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）理由同底数幂的乘法法则求解即可； （2）①根据完全平方公式和多项式除以单项式法则求解即可； ②根据题意列出算式化简，然后根据输出的结果中不含的一次项得到，然后求解即可． 【详解】（1）∵，， ∴； （2）①∵ ∴ ∴； ②∵，， ∴ ∵输出的结果中不含的一次项， ∴ ∴． 【重点题型专练5——综合拓展应用题】 例1、（21-22八年级下·山东枣庄·月考）先阅读下列材料，然后解题： 材料：因为，所以，即能被整除．所以是的一个因式，且当时，． (1)类比思考，所以，即能被______整除，所以______是的一个因式，且当x＝______时，； (2)拓展探究：根据以上材料，已知多项式能被整除，试求m的值． 【答案】(1)或；或；−2或−3； (2)m＝−5． 【分析】（1）根据材料结合整式的乘除运算可直接得出答案； （2）根据整式除法的运算法则结合材料可知，当时，，即可求出m的值． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴能被或整除， ∴或是的一个因式，且当x＝－2或－3时，； 故答案为：或；或；−2或−3； （2）∵多项式能被整除， ∴是的一个因式， ∴当时，，即， ∴m＝−5． 【核心题型·变式通关练】 1．（24-25七年级下·北京顺义·期中）学习完整式除法运算之后，小明对多项式除以多项式进行了自主探究，他知道：两类对象在某些方面的相同或相似，得出它们在其他方面也可能相同或相似的推理方法叫类比法，于是他将多项式除以多项式类比多位数的除法进行了探究，如图1： 小华同学根据小明的探究设计了多项式除以多项式的计算步骤的流程图，如下： 说明：   当时， (1)根据小明的探究过程，小华的计算流程图中①处应填______； (2)多项式除以多项式，所得的商式为______； (3)已知能被整除，则______； (4)如图2，有1张A卡片，9张B卡片，8张C卡片，能否将这18片拼成一个与原来总面积相等且一边长为的长方形？若能，求出另一边长；若不能，请说明理由． 【答案】(1)当余式的次数低于除式的次数 (2) (3)3 (4)能，另一边长为 【分析】本题考查了利用竖式计算整式的除法，解题关键是注意同类项的对应，理解被除式除式商式余式． （1）结合列竖式计算整数的除法即可得到结论； （2）列竖式进行计算即可得到答案； （3）列竖式计算，根据整除的意义，利用对应项的系数对应倍数即可得到答案； （4）根据题意，得到18张卡片的总面积为，列竖式计算，根据能被整除，即可得到答案． 【详解】（1）解：余式的次数满足：当余式的次数低于除式的次数， 故答案为：当余式的次数低于除式的次数； （2）解：列竖式如下： 多项式除以多项式，所得的商式为， 故答案为：； （3）解：列竖式如下： 能被整除， ， 解得：， 故答案为：； （4）解：能，理由如下： 根据题意，卡片的面积是，卡片的面积是，卡片的面积是， 张卡片，9张卡片，8张卡片的总面积为， 列竖式如下： 余式为， 能被整除，商式为， 可以拼成与原来总面积相等且一边长为的长方形，另一边长为． 2．（2025七年级下·浙江·专题练习）如图，长方形甲的面积为，它的长为，正方形乙的周长与长方形甲的周长相等． (1)求长方形甲的宽． (2)试探究：图乙的面积与图甲的面积的差（即）是一个常数，求出这个常数． 【答案】(1)长为2a，宽为 (2)16 【分析】本题考查了列代数式及整式加减的应用，熟练掌握正方形和长方形的周长及面积公式是解题的关键． （1）根据正方形的周长及长方形的周长公式即可得出答案； （2）先分别表示出面积再相减化简即可得出答案 【详解】（1）解∶ ∵长方形甲的面积为，它的长为， ∴长方形甲的宽； （2）解：∵甲的周长为，长方形甲和正方形乙的周长相等， ∴正方形乙边长为， ∴， ∴． 3．（24-25七年级下·河南周口·月考）阅读下列材料：利用完全平方公式，把多项式变形为的形式，然后运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等方面都有广泛的应用．例如利用配方法求的最小值． 解：， 因为不论取何值，， 所以当时，的值最小． 所以的最小值为． 根据上述材料，解答下列问题： 【理解探究】 （1）以上解答过程中，主要体现的数学思想是（　　） A．统计思想    B．数形结合思想    C．转化思想    D．方程思想 【类比应用】 （2）仿照上述方法，将变形为的形式，并求出最小值； 【拓展升华】 （3）王大爷家有甲、乙两块长方形菜地，已知甲菜地的长为，宽为，乙菜地的长为，宽为，试比较这两块菜地的面积和的大小，并说明理由． 【答案】（1）C；（2）1；（3），理由见解析 【分析】本题主要考查完全平方式的应用及整式乘法的应用，根据式子进行变换化成完全平方式是解题的关键． （1）根据材料即可解答； （2）利用材料中方法求最小值即可； （3）先表示出甲、乙两块长方形菜地的面积，再作差，对式子进行配方化成完全平方式，求出最大值即可． 【详解】（1）以上解答过程中，主要体现的数学思想是转化思想， 故选：C； （2）解：， 因为不论取何值，， 所以当时，的值最小． 所以的最小值为1； （3）解：，理由如下： 根据题意：甲块长方形菜地的面积为：； 乙长方形菜地的面积为：； 因为 ； 因为不论取何值，， 所以， 所以． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 整式的乘除（同步核心训） §1.7 整式的除法（讲义） 北师大版七年级下册·整式的除法·思维导图 重点题型专练（共5个） 1. 整式乘除混合运算题 2. 化简求值题 3. 与几何面积结合 4. 与定义新运算结合 5. 综合拓展应用题 高频考点（共4个） 1. 单项式除以单项式的基础计算 2. 多项式除以单项式的运算 3. 整式的混合运算 4. 利用整式除法求代数式的值 核心知识点（共3个） 1. 单项式除以单项式 2. 多项式除以单项式 3. 整式的混合运算 知识 1 单项式除以单项式 法则 步骤 举例 单项式除以单项式 单项式相除，把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式 （1）系数相除，定符号 （2）同底数幂相除 （3）被除式中的其余字母连同它的指数不变 ˙敲黑板˙ （1） 运算中的单项式的系数包括它前面的符号 （2） 不要遗漏只在被除式中出现的字母 （3） 有乘方，先算乘方，再做除法，顺序不能乱 知识 2 多项式除以单项式 多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加. 如：(ma+mb+mc)÷m=ma÷m+mb÷m+mc÷m=a+b+c. ˙敲黑板˙ （1） 多项式的每一项都要除以单项式，不能漏掉任何一项 （2） 每一项都要带着符号相除，符号出错是最常见失分点 （3） 系数分别做除法，计算要准确，避免约分错误 知识 3 整式的混合运算 1. 含有整式的加减、乘除及乘方的多种运算叫做整式的混合运算. 2. 注意运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号时，先算括号里的.去括号时，先去小括号，再去中括号，最后去大括号. 【高频考点1——单项式除以单项式的基础运算】 【核心考点1·例题精讲 单项式除以单项式的基础运算】 例1、（25-26八年级上·福建泉州·期末）计算： ． 【同步跟进·核心考点专训】 1．（25-26八年级上·广东惠州·月考）计算： ． 2．（2026·陕西·一模）计算：（ ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·甘肃天水·期末）的运算结果是（ ） A． B． C． D． 【核心考点2·例题精讲 含乘方运算的单项式除以单项式】 例1、（25-26七年级·上海·期末） ． 【同步跟进·核心考点专训】 1．（25-26八年级上·陕西延安·月考）计算结果正确的是（ ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·山东临沂·期末节选）计算： 3．（25-26八年级上·福建泉州·期末）计算：． 【核心考点3·例题精讲 利用单项式除以单项式求字母的值】 例1、（25-26八年级上·河南周口·期末）如果，则 ． 【同步跟进·核心考点专训】 1．（25-26七年级下·全国·周测）已知，则的值为 ． 2．（25-26七年级·上海浦东新·月考）如果，那么 ． 3．若，则的值为 ． 【高频考点2——多项式除以单项式的运算】 【核心考点1·例题精讲 多项式除以单项式的基础运算】 例1、（25-26八年级上·北京密云·期末）计算： ． 【同步跟进·核心考点专训】 1．（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·期末） ． 2．（25-26八年级上·福建泉州·期末）当时， ． 3．（25-26八年级上·福建厦门·月考）计算： （） ； （） ． 【核心考点2·例题精讲 多项式除以单项式的应用】 例1、（25-26八年级上·广西玉林·期末）科技小组的小明和小红在进行整式运算探究活动，两人各写一个整式，若把小明写的整式当作除式，小红写的整式当作被除式，规定商必须是，若小红写的整式是，则小明应写的整式是（ ） A． B． C． D． 【同步跟进·核心考点专训】 1．（25-26八年级上·湖南衡阳·期末）已知长方形的面积为，如果它的一边长为，则它的另一边长为（ ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）小辰与小辉在做游戏时，两人各报一个整式，若将小辰报的整式作为除式，小辉报的整式作为被除式，要求商必须为．若小辉报的整式是，则小辰应报的整式是（ ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·山东枣庄·月考）如图是一个运算程序的示意图，若输入的为整式，输出的为整式，则代数式的值为（ ） A． B． C． D． 【高频考点3——整式的混合运算】 【核心考点1·例题精讲 整式的混合运算】 例1、化简：． 【同步跟进·核心考点专训】 1．（25-26八年级上·河南许昌·期末）计算： (1)； (2)． 2．（25-26八年级上·广东湛江·期末）计算：． 3．（25-26八年级上·云南昭通·期末）计算：． 【核心考点2·例题精讲 整式的混合运算过程探究】 例1、（25-26八年级上·山西吕梁·月考）阅读下面这位同学的计算过程，并完成任务 先化简，再求值： ，其中，． 解：原式第一步 第二步 ．第三步 当，时，原式．第四步 任务一： ①第一步运算中用到的乘法公式为________（用含字母，的式子表示） ②以上步骤第________步出现了错误，错误的具体原因是________________________________. 任务二：请写出正确的解答过程． 任务三：请根据平时的学习经验，就整式化简注意事项给同学们提出一条建议． 【同步跟进·核心考点专训】 1．（24-25七年级下·甘肃兰州·期末）阅读下面张轩同学的计算过程，并完成任务． 先化简，再求值：，其中， 解：原式………………第一步 ……………………………第二步 …………………………………………………第三步 ……………………………………………………………第四步 当，时，原式……………………第五步 任务： (1)以上步骤第______步出现了错误，错误的原因是____________； (2)请写出正确的解答过程． 2．（25-26八年级上·河南南阳·期中）阅读下面这位同学的解答过程，并完成任务． 先化简，再求值：，其中，． 解：原式  第一步   第二步   第三步 当，时，原式  第四步 任务： (1)第一步运用到了乘法公式：____________________________； (2)以上步骤从第_____步开始出现了错误，错误的原因是___________________________________； (3)请你写出正确的解答过程． 3．（24-25七年级下·山西晋中·期末）下面是小明的运算步骤，请你认真阅读并完成相应的任务． 先化简，再求值：，其中，． 解：原式　　　⋯⋯第一步　　 　　　　　　　　　⋯⋯第二步 　　　　　　　　　　　　　　　　　　⋯⋯第三步 ． 任务： (1)运算从第________步开始出错，这一步出现错误的原因是________； (2)请写出正确的化简步骤，并求值． 【高频考点4——利用整式的除法求代数式的值】 例1、（25-26八年级上·重庆大足·期末）已知，，，求的值． 【同步跟进·核心考点专训】 1．（25-26七年级下·全国·周测）【问题情境】观察下列给出的一列单项式：，，，，，…．任选两个连续的单项式，用后面的单项式除以前面的单项式组成一个算式． 【初步观察】（1）观察规律，并补全下列等式： ①； ②； ③； ④____________； … 【拓展延伸】（2）若第2024个单项式记为，第2025个单项式记为，求的值． 2．（25-26八年级上·山西长治·期中）张老师在黑板上布置了一道题： 已知，求代数式的值，小白和小红展开了下面的讨论，你赞同谁的观点？并说明理由． 3．（24-25七年级下·河南周口·期末）已知，．（） (1)化简A和B； (2)若变量x，y满足，求出y与x之间的关系式； (3)在（2）的条件下，求的值． 【重点题型专练1——整式乘除混合运算题】 例1、（25-26八年级上·陕西安康·期末）化简：． 【核心题型·变式通关练】 1．（25-26八年级上·天津和平·期末）计算： (1)； (2)． 2．（25-26八年级上·广东珠海·期末）计算： 3．（25-26八年级上·重庆开州·期末）计算： (1)； (2)． 【重点题型专练2——化简求值题】 例1、（24-25七年级下·河南郑州·期末）先化简，再求值． ，其中． 【核心题型·变式通关练】 1．（25-26八年级上·贵州黔西南·月考）先化简，再求值：，其中，． 2．（25-26八年级上·湖北襄阳·期末）先化简，再求值：，其中，． 3．先化简，再求值：，其中，满足． 【重点题型专练3——与几何面积结合】 例1、（23-24七年级下·河南郑州·月考）如图，某新建高铁站广场前有一块长为米，宽为米的长方形空地，计划在中间留一个长方形喷泉（图中阴影部分），喷泉四周留有宽度均为b米的人行通道． (1)请用代数式表示高铁站广场的面积并化简； (2)请用代数式表示喷泉的面积并化简； (3)喷泉建成后，需给人行通道铺上地砖方便旅客通行，若每块地砖的面积是平方米，则刚好铺满不留缝隙，求需要这样的地砖多少块． 【核心题型·变式通关练】 1．（25-26八年级上·江苏南通·期中）如图，现有一张长方形纸板，在它的四角各切去一个同样大小的正方形，然后将四周突出部分折起，制成一个高为的长方体形状的无盖纸盒．如果该长方体纸盒的容积为，底面的一边的长为． (1)求的长； (2)求原长方形的面积． 2．（24-25七年级下·陕西咸阳·月考）解决问题 (1)已知A、均为单项式，多项式与单项式的商为，请分别求出单项式； (2)某小区为了便民购物，计划在小区外一块长方形空地上建一座大型超市，已知长方形空地的面积为，长为，求这块长方形空地的周长． 3．（22-23七年级下·辽宁沈阳·月考）如图，南昌校园内有一块长为米，宽为米的长方形地块，在对角线位置上有四个边长为米的小正方形石板，校方计划将4个石板以外的部分进行绿化． (1)用含有a、b的式子表示绿化的总面积（结果写成最简形式）； (2)校方找来阳光绿化团队完成此项绿化任务，已知该队每小时可绿化平方米，每小时收费200元，则校方应该支付绿化队多少费用？（用含a、b的代数式表示） 【重点题型专练4——与定义新运算结合】 例1、（25-26八年级上·广东东莞·期末）可依照计算如图： 因此． 阅读上述材料后仿照计算． 【核心题型·变式通关练】 1．规定一种运算，如．按照这种运算规定，请解答下列问题： (1)计算的值； (2)已知，求的值； (3)化简并求值：，其中，． 2．（25-26八年级上·重庆·期中）两个多项式相除，可以先把这两个多项式都按照同一字母降幂排列，然后再仿照两个多位数相除的计算方法用竖式进行计算．例如，仿照计算如下： 因此．阅读完上述材料后，解决下列问题： (1)计算，商式是______，余式是______； (2)试判断能否被整除，说明理由（请用材料的竖式解答）； (3)利用上述方法解决：若多项式能被整除，求的值． 3．如图是一个整式运算程序： (1)输入整式，，此时整式是_______； (2)已知运算程序中含． ①若输入整式，则输出的结果为_______； ②若输入整式，，输出的结果中不含的一次项，求的值． 【重点题型专练5——综合拓展应用题】 例1、（21-22八年级下·山东枣庄·月考）先阅读下列材料，然后解题： 材料：因为，所以，即能被整除．所以是的一个因式，且当时，． (1)类比思考，所以，即能被______整除，所以______是的一个因式，且当x＝______时，； (2)拓展探究：根据以上材料，已知多项式能被整除，试求m的值． 【核心题型·变式通关练】 1．（24-25七年级下·北京顺义·期中）学习完整式除法运算之后，小明对多项式除以多项式进行了自主探究，他知道：两类对象在某些方面的相同或相似，得出它们在其他方面也可能相同或相似的推理方法叫类比法，于是他将多项式除以多项式类比多位数的除法进行了探究，如图1： 小华同学根据小明的探究设计了多项式除以多项式的计算步骤的流程图，如下： 说明：   当时， (1)根据小明的探究过程，小华的计算流程图中①处应填______； (2)多项式除以多项式，所得的商式为______； (3)已知能被整除，则______； (4)如图2，有1张A卡片，9张B卡片，8张C卡片，能否将这18片拼成一个与原来总面积相等且一边长为的长方形？若能，求出另一边长；若不能，请说明理由． 2．（2025七年级下·浙江·专题练习）如图，长方形甲的面积为，它的长为，正方形乙的周长与长方形甲的周长相等． (1)求长方形甲的宽． (2)试探究：图乙的面积与图甲的面积的差（即）是一个常数，求出这个常数． 3．（24-25七年级下·河南周口·月考）阅读下列材料：利用完全平方公式，把多项式变形为的形式，然后运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等方面都有广泛的应用．例如利用配方法求的最小值． 解：， 因为不论取何值，， 所以当时，的值最小． 所以的最小值为． 根据上述材料，解答下列问题： 【理解探究】 （1）以上解答过程中，主要体现的数学思想是（　　） A．统计思想    B．数形结合思想    C．转化思想    D．方程思想 【类比应用】 （2）仿照上述方法，将变形为的形式，并求出最小值； 【拓展升华】 （3）王大爷家有甲、乙两块长方形菜地，已知甲菜地的长为，宽为，乙菜地的长为，宽为，试比较这两块菜地的面积和的大小，并说明理由． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $