6.3平面向量基本定理及坐标表示讲义（知识梳理+题型突破）-2025-2026学年高一数学人教A版必修第二册

本讲义聚焦平面向量基本定理及坐标表示核心知识点，系统梳理基底（含正交基底）概念、向量正交分解及坐标表示，衔接加减、数乘、数量积的坐标运算规律，构建从定理理解到坐标化应用的递进式学习支架。 资料以模块式设计（典例精讲+变式训练）为特色，提炼基底拆分、坐标运算等核心技巧，辅以易错提醒，培养数学思维（逻辑推理）与数学语言（坐标表达）。如典例1基底表示向量结合变式巩固，课中助力教师分层教学，课后帮助学生查漏补缺，提升应用意识。

6.3 平面向量基本定理及坐标表示 基础知识梳理 平面向量基本定理 核心定理 如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数，，使得： 相关概念 基底：把叫做这一平面内所有向量的一组基底（基底不唯一，不共线是核心条件）； 正交基底：若基底中的两个向量互相垂直，则称这组基底为正交基底。 平面向量的正交分解及坐标表示 正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解。 坐标表示：在平面直角坐标系中，取与轴、轴方向相同的单位向量，作为基底，对于平面内任意一点，设，则把有序数对叫做向量的坐标，记作： 其中叫做向量在轴上的坐标，叫做向量在轴上的坐标。 平面向量加、减运算的坐标表示 设，，则： 加法： 减法： 坐标与点的关系：若，，则（终点减起点）。 平面向量数乘运算的坐标表示 设，，则： 共线向量的坐标表示：。 平面向量数量积的坐标表示 设，，则： 数量积公式： 模长公式：；若，，则 夹角公式： 垂直公式： 典例精讲 模块一：平面向量基本定理（基底应用） 典例1（基底表示向量） 题目：在平行四边形中，为的中点，若，，用基底表示和。 【解析】利用向量加法的三角形法则，结合线段中点的数乘性质拆分： 求：，因是中点，， 故。 求：（或）。 【答案】，。 变式1在中，为的中点，为的中点，若，，用基底表示。 【解析】先求：是中点，； 再求：是中点，。 【答案】。 典例2（基底唯一性求参数） 题目：已知是平面内的一组基底，若向量，，且，求和的值。 【解析】根据平面向量基本定理的唯一性，对应基底的系数相等： 由，得， 列方程组：，解得。 【答案】，。 变式2已知，不共线，若，求，的值。 【解析】根据基底系数唯一性列方程组： ， 将第一个方程代入第二个：， 代入得。 【答案】，。 模块二：向量的坐标表示与加减、数乘运算 典例3（坐标运算基础） 题目：已知点，，，求： (1) 和的坐标； (2) 的坐标。 【解析】（1）利用“终点减起点”求向量坐标： ， 。 （2）按数乘、减法的坐标法则计算： ， ， 。 【答案】(1) ，；(2) 。 变式3已知，，求和的值。 【解析】求的坐标： ，。 求： ， 。 【答案】，。 典例4（共线向量的坐标求参） 题目：已知向量，，若，求实数的值。 【解析】直接代入共线向量的坐标条件： ， 整理得， 因式分解，解得或。 【答案】或。 变式4已知点，，，若，求的值。 【解析】求向量坐标：，； 代入共线条件：。 【答案】。 模块三：向量数量积的坐标运算 典例5（数量积与垂直、模长） 题目：已知向量，。 (1) 求证：； (2) 求的值。 【解析】（1）证明：代入垂直坐标条件， ，故。 （2）求模长：先求的坐标，再用模长公式； ，， 。 【答案】(1) 证明见解析；(2) 。 变式5已知向量，，求证：，并求。 【解析】证明垂直：，故； 求模长：，， 。 【答案】证明见解析，。 典例6（夹角的坐标计算） 题目：已知向量，，且与的夹角为锐角，求实数的取值范围。 【解析】核心易错点：夹角为锐角且与不共线。 由列不等式： 。 排除共线情况： 若，则（此时夹角为，非锐角）。 综合得的取值范围：且。 【答案】且。 变式6已知向量，，若与的夹角为钝角，求实数的取值范围。 【解析】夹角为钝角且与不共线。 由得； 排除共线：若，则（与无交集，无需额外排除）； 补充：若夹角为，则，即，得（正数，舍去），故只需满足。 【答案】。 【核心技巧】 （1）基底应用技巧 拆分原则：“首尾相接，化未知为已知”，结合中点、分点的数乘性质，将目标向量拆分为基底的线性组合。 唯一性应用：遇到基底等式，直接令“对应系数相等”列方程组求解参数。 （2）坐标运算技巧 向量坐标口诀：“点坐标减点坐标，终点减起点”；数乘坐标“系数乘分量，符号跟着走”。 共线/垂直快速判断： · 共线：交叉相乘差为0（）； · 垂直：对应相乘和为0（）。 模长与夹角：“遇模平方，遇夹角用数量积”，优先转化为坐标运算，避免几何分析的复杂。 （3）重难拓展技巧 夹角为锐角/钝角：必须排除共线情况（锐角排除同向，钝角排除反向）。 坐标法解几何问题：将点、向量坐标化，把几何关系转化为代数运算，降低思维难度。 【易错提醒】 基底条件遗漏：认为任意两个向量都能作为基底，忽略“不共线”的核心要求（零向量不能作为基底）。 向量坐标方向错误：计算时，误算为“起点减终点”（正确：）。 共线与垂直条件混淆：将共线条件记为，垂直条件记为，完全颠倒。 夹角问题的极端情况：夹角为锐角时，只考虑，忽略夹角为的共线情况；夹角为钝角时，忽略夹角为的情况。 数量积坐标公式错误：误将计算为，忘记数量积的结果是实数。 题型一、平面向量基本定理（基底判定+向量线性分解） 1．下列各组向量中，可以作为基底的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据基底的定义依次判断各项对应向量是否能作为基底即可. 【详解】由于基底是一对不共线的非零向量构成， A：为零向量，不符； B：由，即向量共线，不符； C：由，即向量共线，不符； D：，是一对不共线的非零向量，符合. 故选：D 2．在下列各组向量中，可以作为基底的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据平面向量基本定理，两个不共线的向量可以作为基底，由此对各项中的向量加以分析，可得正确答案． 【详解】对于A，，，由于，所以与共线，它们不可以作为基底； 对于B，，，根据零向量与平面内任意向量共线，可知与不可以作为基底； 对于C，，，根据，可知与不共线，它们可以作为基底； 对于D，，，由于，所以与共线，它们不可以作为基底． 故选：C． 3．在梯形ABCD中，，与交于点O，记，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用梯形相似比，可得，再用向量的减法运算，可得，再化简代换即可得解. 【详解】 由梯形ABCD中，，可得， 即，则， 因为，，所以， 故选：B. 4．如图，平行四边形中，与交于点，为的中点，为的重心，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】在平行四边形中，因为为的重心，所以， 则，且， 所以：. 故选：A. 5．中，点在边上，，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，可得，再利用向量线性运算求解即得. 【详解】在中，点在边上，由，得， 则，即，而，， 所以． 故选：B 6．如图，已知，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平面向量线性运算法则计算可得. 【详解】因为，， 所以，， 所以, 又，， 所以. 故选：A. 7．如图，在中，，P是线段BD上一点，若，则实数m的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【解析】∵，∴， 又，∴， ∵B，P，D三点共线，∴，∴. 故选：A. 8．在三角形中，点在平面内，且满足，条件，条件，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【分析】由向量的线性运算法则可得，从而可判断充分性成立；令得，可判断必要性不成立. 【详解】若，由向量的线性运算法则， 可得， 因为，所以，，所以，所以是的充分条件； 若，令得，代入，得， 由三点共线充要条件可知点，此时不成立，所以不是的必要条件. 故选：A 9．如图所示，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线于不同的两点，若，则的值为（    ）    A．2 B．3 C． D．5 【答案】A 【解析】因为点是的中点， 所以， 又因为 所以， 因为三点共线， 所以， 所以. 故选：A 10．如图，在中，，P是上一点，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用线段比例转化向量，再统一向量基底，最后根据“三点共线时，向量分解的系数和为1”的性质求解即可. 【详解】， ， ， ， ， 是线段上一点， 三点共线， ， 解得. 故选A. 11．“勾3股4弦5”是勾股定理的一个特例根据记载，西周时期的数学家商高曾经和周公讨论过这一问题，比毕达哥拉斯发现勾股定理早了500多年，如图，在矩形中，满足“勾3股4弦5”，且，为线段上一点，.若，则的值为(    ). A． B． C． D．1 【答案】C 【解析】建系如图，因为，，则，，，设， 则，，因为， 所以，解得， 由，得， 所以，解得，所以. 故选：. 12．如图，在中，点，，分别在边，，上，且，，交于点.已知.    (1)若是所在平面内任意一点，试用，表示； (2)若，，求的值. 【解析】（1）证明：因为所以， 所以，整理得； （2）设， 则 ， 又 ， 由平面向量基本定理得所以，解得 13．如图，、、分别是三边、、上的点，且满足，设，．    (1)用、表示； (2)已知点是的重心，用、表示． 【解析】（1）因为，，， 所以，， 所以， （2）由已知， 连接，其中点为线段的中点，点为线段的中点， 由已知，与的交点为重心， 由重心性质可得，故 所以， 又， 所以.    题型二、平面向量的坐标表示 1．(25-26高三上·湖南名校联考联合体·)平面向量，，且，则（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】B 【分析】根据向量减法的坐标运算可得. 【详解】因为，，所以，所以，解得. 故选：B. 2．已知向量在射线上，且起点为坐标原点，又，分别取与轴，轴正方向相同的两个单位向量，作为基底，则向量的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用基底表示向量即可得出坐标. 【详解】由题意，． 故选：A. 3．如图，设与轴、轴方向相同的两个单位向量分别为，取作为基底，若，则向量的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由向量的坐标表示即可求解. 【详解】由题意得，． 故选：A． 题型三、平面向量线性运算的坐标表示 1．已知，则的中点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量共线的坐标表示代入计算即可求得结果. 【详解】设的中点坐标是， 由三点共线可知，即，解得； 所以中点坐标为. 故选：B 2．已知向量，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量减法的坐标表示计算求解即可. 【详解】因为向量，， 所以， 故选：C 3．已知，，若，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得是线段的中点，根据中点坐标公式求解即可. 【详解】因为，所以是线段的中点， 所以点C的坐标为，即， 故点的坐标为. 故选:A. 4．(25-26高三上·北京第三十一中学·)已知向量，．若实数与向量满足，则可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量的坐标运算求解. 【详解】因为， 所以， 所以. 故选：B. 5．(25-26高三上·陕西宝鸡·模拟)已知点，向量，，，则P点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量线性运算的坐标表示求出即可. 【详解】向量，，，可得：, 则, 因为点，则P点坐标为 故选：A 题型四、平面向量共线的坐标表示 1．已知向量．若为实数，且，则（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】根据平面向量运算的坐标表示和向量共线的坐标公式计算即可. 【详解】因为向量， 所以. 因为，所以，解得. 故选：D. 2．(25-26高一上·辽宁沈阳东北育才学校·期末)已知向量，，若，则（   ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】利用向量平行的坐标表示即可求解. 【详解】由题意若，则，解得，故C正确. 故选：C. 3．(25-26高二上·贵州县中新学校计划项目·期中)已知向量，若三点共线，则（    ） A． B．49 C．21 D． 【答案】D 【分析】根据共线向量的坐标表示公式计算即得. 【详解】由，可得， 因三点共线，则与共线， 故有，解得. 故选：D. 4．已知平面向量，，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，， 所以，， 因为，所以，解得. 故选：C. 5．已知的顶点，，，则顶点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由平行四边形可得进而即得． 【详解】因为，，，由平行四边形可得， 设，则， 所以，即的坐标为. 故选：B. 6．已知平面向量，，，若，，三点共线，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为A，B, C三点共线，所以与共线，因为平面向量，，， 故可得， 整理可得， 化为关于的一元二次方程为，因为存在实数解， 故，即， 解得或， 即或， 故选：. 题型五、平面向量的模与单位向量 1．已知，，则与方向相同的单位向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】， ， , 的单位向量为，故C正确． 故选：C． 2．已知，向量，则（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【解析】由题意知向量， 则， 故选：A. 3．已知向量，，在正方形网格中的位置如图所示，则 . 【答案】/ 【解析】以的起点为坐标原点，小正方形的边长为1个单位长度建立直角坐标系，如图： 则，，， 所以，， ，. 所以. 故答案为：. 4．已知平面上单位向量垂直，为任意单位向量，且存在，使得向量与向量垂直，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】令，，，， 于是，． 由向量与向量垂直，得到． ， 当，时，取到最小值． 题型六、平面向量的数量积与投影向量 1．已知向量 ，，若 满足 且 ，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设 ，， 由 ，可得， 由 得， 所以， 联立得 解方程组可得， 所以. 故选： 2．已知向量满足，则在方向上投影向量的坐标为 ．. 【答案】 【解析】，在方向上投影向量的坐标为． 故答案为：. 3．（2024·云南昆明·高一校考阶段练习）设x，，向量，，，且，，则向量与的夹角大小为 ． 【答案】 【解析】由题意得，解得， 故，， 则， 因为，所以. 故答案为： 题型七、平面向量综合及其应用（几何+函数+创新） 1．（多选）已知空间向量，，则（   ） A． B． C．在上的投影向量为 D．向量是与平行的一个单位向量 【答案】ABD 【分析】由空间向量垂直和平行的坐标运算判断AD，由空间向量基坐标运算判断B，由投影向量的概念判断C. 【解析】对于A，因为，，所以，A正确； 对于B，， 故，B正确； 对于C，，在上的投影向量即为，C错误； 对于D，因为，所以，且， 故向量是与平行的一个单位向量，D正确. 故选：ABD. 2．(多选)在单位圆上的扇形OAB中，∠AOB＝60°，C为弧AB上的一个动点，若，则的取值可能是（    ） A．－1 B．1 C． D． 【答案】BD 【解析】不妨设，以O为原点，OB所在直线为x轴建立平面直角坐标系. 由题，，令，则，. 因，则的取值可能是1或. 故选：BD    3．在平面四边形中，，点M在边（含端点）上运动，设，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算求解. 【详解】如图，以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系， 设则，， 所以， 设，则， 所以，所以， 因为，所以， 即的取值范围是， 故选：C. 4．已知直角△ABC中，，，为边的中点，是边上的动点，则的最小值为（   ） A．5 B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以以为原点， 所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，    则，设，， 则，得到， 所以， 当且仅当，即时，， 所以. 故选：. 5．已知四边形是平行四边形，且，，. (1)求点的坐标； (2)求平行四边形的面积. 【解析】（1）设点D的坐标为． 由题意得，． 因为，所以，解得， 所以点D的坐标为． （2）由，， 则，，， 则， 所以， 则平行四边形的面积为 . 6．已知向量，，记函数. (1)求函数的对称中心； (2)将函数图象上的所有点的纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，若，求的值. 【解析】（1）因为 令，解得， 所以函数的对称中心为； （2）因为将函数图象上的所有点的纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，所以； 又因为，所以，所以， 所以 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.3 平面向量基本定理及坐标表示 基础知识梳理 平面向量基本定理 核心定理 如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数，，使得： 相关概念 基底：把叫做这一平面内所有向量的一组基底（基底不唯一，不共线是核心条件）； 正交基底：若基底中的两个向量互相垂直，则称这组基底为正交基底。 平面向量的正交分解及坐标表示 正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解。 坐标表示：在平面直角坐标系中，取与轴、轴方向相同的单位向量，作为基底，对于平面内任意一点，设，则把有序数对叫做向量的坐标，记作： 其中叫做向量在轴上的坐标，叫做向量在轴上的坐标。 平面向量加、减运算的坐标表示 设，，则： 加法： 减法： 坐标与点的关系：若，，则（终点减起点）。 平面向量数乘运算的坐标表示 设，，则： 共线向量的坐标表示：。 平面向量数量积的坐标表示 设，，则： 数量积公式： 模长公式：；若，，则 夹角公式： 垂直公式： 典例精讲 模块一：平面向量基本定理（基底应用） 典例1（基底表示向量） 题目：在平行四边形中，为的中点，若，，用基底表示和。 变式1在中，为的中点，为的中点，若，，用基底表示。 典例2（基底唯一性求参数） 题目：已知是平面内的一组基底，若向量，，且，求和的值。 变式2已知，不共线，若，求，的值。 模块二：向量的坐标表示与加减、数乘运算 典例3（坐标运算基础） 题目：已知点，，，求： (1) 和的坐标； (2) 的坐标。 变式3已知，，求和的值。 典例4（共线向量的坐标求参） 题目：已知向量，，若，求实数的值。 变式4已知点，，，若，求的值。 模块三：向量数量积的坐标运算 典例5（数量积与垂直、模长） 题目：已知向量，。 (1) 求证：； (2) 求的值。 变式5已知向量，，求证：，并求。 典例6（夹角的坐标计算） 题目：已知向量，，且与的夹角为锐角，求实数的取值范围。 变式6已知向量，，若与的夹角为钝角，求实数的取值范围。 【核心技巧】 （1）基底应用技巧 拆分原则：“首尾相接，化未知为已知”，结合中点、分点的数乘性质，将目标向量拆分为基底的线性组合。 唯一性应用：遇到基底等式，直接令“对应系数相等”列方程组求解参数。 （2）坐标运算技巧 向量坐标口诀：“点坐标减点坐标，终点减起点”；数乘坐标“系数乘分量，符号跟着走”。 共线/垂直快速判断： · 共线：交叉相乘差为0（）； · 垂直：对应相乘和为0（）。 模长与夹角：“遇模平方，遇夹角用数量积”，优先转化为坐标运算，避免几何分析的复杂。 （3）重难拓展技巧 夹角为锐角/钝角：必须排除共线情况（锐角排除同向，钝角排除反向）。 坐标法解几何问题：将点、向量坐标化，把几何关系转化为代数运算，降低思维难度。 【易错提醒】 基底条件遗漏：认为任意两个向量都能作为基底，忽略“不共线”的核心要求（零向量不能作为基底）。 向量坐标方向错误：计算时，误算为“起点减终点”（正确：）。 共线与垂直条件混淆：将共线条件记为，垂直条件记为，完全颠倒。 夹角问题的极端情况：夹角为锐角时，只考虑，忽略夹角为的共线情况；夹角为钝角时，忽略夹角为的情况。 数量积坐标公式错误：误将计算为，忘记数量积的结果是实数。 题型一、平面向量基本定理（基底判定+向量线性分解） 1．下列各组向量中，可以作为基底的是（   ） A．， B．， C．， D．， 2．在下列各组向量中，可以作为基底的是（   ） A．， B．， C．， D．， 3．在梯形ABCD中，，与交于点O，记，，则（    ） A． B． C． D． 4．如图，平行四边形中，与交于点，为的中点，为的重心，则（    ） A． B． C． D． 5．中，点在边上，，若，，则（   ） A． B． C． D． 6．如图，已知，，，，则（    ） A． B． C． D． 7．如图，在中，，P是线段BD上一点，若，则实数m的值为（    ）    A． B． C． D． 8．在三角形中，点在平面内，且满足，条件，条件，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 9．如图所示，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线于不同的两点，若，则的值为（    ）    A．2 B．3 C． D．5 10．如图，在中，，P是上一点，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 11．“勾3股4弦5”是勾股定理的一个特例根据记载，西周时期的数学家商高曾经和周公讨论过这一问题，比毕达哥拉斯发现勾股定理早了500多年，如图，在矩形中，满足“勾3股4弦5”，且，为线段上一点，.若，则的值为(    ). A． B． C． D．1 12．如图，在中，点，，分别在边，，上，且，，交于点.已知.    (1)若是所在平面内任意一点，试用，表示； (2)若，，求的值. 13．如图，、、分别是三边、、上的点，且满足，设，．    (1)用、表示； (2)已知点是的重心，用、表示． 题型二、平面向量的坐标表示 1．(25-26高三上·湖南名校联考联合体·)平面向量，，且，则（    ） A． B．2 C． D．3 2．已知向量在射线上，且起点为坐标原点，又，分别取与轴，轴正方向相同的两个单位向量，作为基底，则向量的坐标为（   ） A． B． C． D． 3．如图，设与轴、轴方向相同的两个单位向量分别为，取作为基底，若，则向量的坐标为（    ）    A． B． C． D． 题型三、平面向量线性运算的坐标表示 1．已知，则的中点坐标是（    ） A． B． C． D． 2．已知向量，，则（    ） A． B． C． D． 3．已知，，若，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 4．(25-26高三上·北京第三十一中学·)已知向量，．若实数与向量满足，则可以是（    ） A． B． C． D． 5．(25-26高三上·陕西宝鸡·模拟)已知点，向量，，，则P点坐标为（   ） A． B． C． D． 题型四、平面向量共线的坐标表示 1．已知向量．若为实数，且，则（   ） A．1 B．2 C． D． 2．(25-26高一上·辽宁沈阳东北育才学校·期末)已知向量，，若，则（   ） A． B．3 C． D． 3．(25-26高二上·贵州县中新学校计划项目·期中)已知向量，若三点共线，则（    ） A． B．49 C．21 D． 4．已知平面向量，，且，则（   ） A． B． C． D． 5．已知的顶点，，，则顶点的坐标为（    ） A． B． C． D． 6．已知平面向量，，，若，，三点共线，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型五、平面向量的模与单位向量 1．已知，，则与方向相同的单位向量是（    ） A． B． C． D． 2．已知，向量，则（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 3．已知向量，，在正方形网格中的位置如图所示，则 . 4．已知平面上单位向量垂直，为任意单位向量，且存在，使得向量与向量垂直，则的最小值为 ． 题型六、平面向量的数量积与投影向量 1．已知向量 ，，若 满足 且 ，则 （    ） A． B． C． D． 2．已知向量满足，则在方向上投影向量的坐标为 ．. 3．（2024·云南昆明·高一校考阶段练习）设x，，向量，，，且，，则向量与的夹角大小为 ． 题型七、平面向量综合及其应用（几何+函数+创新） 1．（多选）已知空间向量，，则（   ） A． B． C．在上的投影向量为 D．向量是与平行的一个单位向量 2．(多选)在单位圆上的扇形OAB中，∠AOB＝60°，C为弧AB上的一个动点，若，则的取值可能是（    ） A．－1 B．1 C． D． 3．在平面四边形中，，点M在边（含端点）上运动，设，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．已知直角△ABC中，，，为边的中点，是边上的动点，则的最小值为（   ） A．5 B． C． D． 5．已知四边形是平行四边形，且，，. (1)求点的坐标； (2)求平行四边形的面积. 6．已知向量，，记函数. (1)求函数的对称中心； (2)将函数图象上的所有点的纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，若，求的值. 学科网（北京）股份有限公司 $