8.2.1矩形（第2课时 矩形的判定与平行线间距离）（课件）-【满分全攻略备课系列】2025-2026学年苏科版数学八年级下册

八年级苏科版数学下册 第八章 四边形 8.2.1矩形 第二课时 矩形的判定与平行线间距离 布置作业 3 学习目标 1 5 课堂小结 习题巩固 4 知识详解 2 6 布置作业 典例分析 学习目标 1.探索并证明矩形的判定定理，并能运用它们进行证明和计算，提升推理能力． 2.理解两条平行线之间的距离的概念，能度量两条平行线之间的距离． 矩形的四个角都是直角，对角线相等，反过来，一个四边形满足哪些条件就一定是矩形呢? 四个角都是直角的四边形是矩形吗? 如图，在四边形ABCD中， ∠A=∠B=∠C=∠D=90°， 可得∠A+∠B=180°,∠B+∠C=180°， 于是AD//BC，AB//DC，而∠A=90°， 所以四边形ABCD是矩形. B A D C 于是，我们得到矩形的判定定理1: 三个角是直角的四边形是矩形 如图，在四边形ABCD中， 如果∠A=∠B=∠C=90°， 那么四边形ABCD是矩形. B A D C 问题 对角线相等的平行四边形一定是矩形吗? 观察下图可以发现，在对角线相等时，平行四边形看上去像是矩形. 如图，在□ ABCD中，AC=DB. 由AB=DC，BC=CB,AC=DB,可得△ABC≌△DCB， 于是∠ABC= ∠ DCB. 又因为AB//CD，所以∠ ABC+ ∠ DCB=180°, 所以 ∠ ABC= 90°.所以□ ABCD是矩形 A D B C 新课讲解 于是，我们得到矩形的判定定理2: 对角线相等的平行四边形是矩形 如图，在口ABCD中， 如果AC=BD， 那么四边形ABCD是矩形. A B C D 教材P76 例题 例2 如图，在△ABC中，△ACB=90°，D是边AB的中点，DE，DF分别是△BDC，△ADC的角平分线.求证:四边形DECF是矩形. 证明:∵∠ACB=90°,D是AB的中点， ∴CD= AB=DA=DB. ∵DF平分∠ADC, ∴DF⊥AC, 即∠DFC=90°. 同理可得∠DEC=90°. ∴四边形DECF是矩形(矩形的判定定理1). E F D C A B 1.如图，在中， ，平分 .四边形 是平行四边形，交于 点，连接.求证：四边形 是矩形. 证明：，平分， ， . 四边形是平行四边形，， ， ， 四边形 是平行四边形. ， ， 四边形 是矩形. 变式训练 2.如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且O是AC，BD的中点，点E在四边形ABCD外，且∠AEC＝∠BED＝90°． 求证：四边形ABCD是矩形． B A D C O E 证明：连接OE． ∵ O是AC，BD的中点， ∴ AO＝CO， BO＝DO， ∴ 四边形ABCD是平行四边形． 在Rt△AEC中，∵ O是AC的中点，∴ EO＝AC． 在Rt△BED中，∵ O是BD的中点，∴ EO＝BD． ∴ AC＝BD． ∴ ▱ABCD是矩形（矩形的判定定理2）． 变式训练 讨论 如图，// ，A，D是上的任意两点，AB⊥ ,DC⊥ ，垂足分别为B，C.线段AB，DC相等吗?为什么? A C B D l2 l1 解:AB=CD. 理由:∵AB⊥ ,DC⊥ ∴ AB∥DC． 又 ∵ l1∥l2，∴ 四边形ABCD为矩形． ∴ AB＝DC． A C B D l2 l1 符号语言： ∵ 直线l1∥l2，A，D是直线上l1任意两点， AB⊥l2，DC⊥l2 ，垂足分别为B、C． ∴ AB＝DC． 两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离叫作两条平行线之间的距离 3.如图，AD∥BC，AC与BD相交于O点，面积相等的两个三角形是______________________________________________． A C B D O S△ABC＝S△DBC S△AOB＝S△DOC S△ABD＝S△ACD 4.在同一平面内，设，，是三条互相平行的直线，已知直线与 之间的距离 为，直线与之间的距离为，则直线与之间的距离为______ . 5或3 【解析】当直线在直线,之间时，,,是三条互相平行的直线，直线， 之间的距离为，直线，之间的距离为， 直线， 之间的距离为 当直线不在直线，之间时，，， 是三条互相平行的直线， 直线，之间的距离为，直线，之间的距离为， 直线， 之间的距 离为综上所述，直线与之间的距离为或 . 变式训练 教材P77 练习 课内练习 1.如图，AB与直线l平行.当点C在l上移动时，△ABC的面积是否为定值?为什么? C B A l 解：△ABC的面积为定值． 理由如下： 设AB与直线l之间的距离为h，易知h为定值． ∵△ABC的面积＝AB×h，AB和h均为定值， ∴△ABC的面积为定值． 2.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F，G，H分别在OA，OB，OC，OD上，AE=BF=CG=DH.连接EF，FG，GH，HE. 求证:四形EFGH是矩形. 证明:四边形ABCD是矩形， ∴OA=OB=0C=OD, ∵AE=BF=CG=DH ∴OE=OF=OG=OH ∴OE＋OG＝OF＋OH，即EG＝FH． ∴ 四边形EFGH是矩形（矩形的判定定理2）． 基础巩固题 知识点1 矩形的判定定理1 1.如图，在中， ，，，是 边上的一点，作 ，，垂足分别为,，连接,则 长度的最小值是( ) C A.2 B.2.2 C.2.4 D.2.5 知识点2 矩形的判定定理2 2.【2025江苏南京调研】如图，在中,, 相交于点 ，，当___时，四边形 是矩形． 6 【解析】 四边形是平行四边形， 当 时，四边形是矩形， ， 即当 时，四边形 是矩形.故答案为6． 17 知识点3 两条平行线之间的距离 3.【2025河南南阳质检】如图，关于平行线之间的三个阴影 图形的面积，下列说法正确的是( ) D A.平行四边形的面积最大 B.三角形的面积最大 C.梯形的面积最大 D.三个阴影图形的面积都相等 【解析】设两平行线间的距离为.由题图可知，平行四边形的面积为 ，三角形 的面积为，梯形的面积为 ，故三个阴影图形的面积都 相等.故选D. 18 能力提升题 4.如图，AB∥DC，ED∥BC，AE∥BD，那么图中与△ABD面积相等的三角形有________个. 3 5.如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，点P是对角线AC上一个动点(点P与点A，C不重合)，过点P分别作PE⊥AD于点E，PF⊥CD于点F，连接EF，则EF的最小值为________. 20 6.如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，AD∥BC，∠ADC＝∠ABC，OA＝OB. (1)求证：四边形ABCD是矩形； 证明：∵AD∥BC，∴∠ABC＋∠BAD＝180°， 又∵∠ABC＝∠ADC，∴∠ADC＋∠BAD＝180°， ∴AB∥DC，∴四边形ABCD是平行四边形． ∴OA＝OC＝AC，OB＝OD＝ BD. 又∵OA＝OB，∴AC＝BD.∴四边形ABCD是矩形． (2)若P是AD边上任意一点，PE⊥BD，PF⊥AC，E，F分别是垂足，AD＝12，AB＝5， 求PE＋PF的值. 解：连接OP.∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°. ∵AD＝12，AB＝5，∴BD＝＝ ＝13. ∴OB＝OD＝OA＝. 易得S△AOD＝ S矩形ABCD＝ ×12×5＝15，∴S△AOP＋S△POD＝15. ∴ × ×FP＋ × ×EP＝15.∴PE＋PF＝ . 21 (5－2t)cm或(2t－5)cm 7.如图，在矩形ABCD中，AB＝3 cm，BC＝4 cm，E，F是对角线AC上的两个动点，分别从A，C同时出发相向而行，速度均为1 cm/s，运动时间为t s，0≤t≤5. (1)EF的长为__________________ (用含t的代数式表示)； (2)若G，H分别是AB，DC的中点，求证：四边形EGFH是平行四边形； 证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AB∥CD.∴∠GAF＝∠HCE. ∵G，H分别是AB，DC的中点，∴AG＝BG＝AB，CH＝DH＝ CD.∴AG＝CH.易知AE＝CF，∴AF＝CE.在△AFG与△CEH中，AG=CH，∠GAF=∠HCE，AF=CE∴△AFG≌△CEH.∴GF＝HE.易知△AEG≌△CFH，∴GE＝HF.∴四边形EGFH是平行四边形． 解：当t为0.5或4.5时，四边形EGFH为矩形．点拨：连接GH，由(2)可知四边形EGFH是平行四边形．∵G，H分别是矩形ABCD的边AB，DC的中点，∴易得四边形BCHG为矩形，∴GH＝BC＝4 cm.∴当EF＝GH＝4 cm时，四边形EGFH是矩形，分两种情况：①当0≤t≤2.5时，易得5－2t＝4，解得t＝0.5.②当2.5<t≤5时，易得2t－5＝4，解得t＝4.5. 综上，当t为0.5或4.5时，四边形EGFH为矩形． (3)在(2)的条件下，请直接写出当t为何值时，四边形EGFH为矩形． 22 矩形的判定 定义：有一个角是直角的平行四边形叫作矩形 矩形的判定定理1：三个角是直角的四边形是矩形 矩形的判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形 两条平行线之间的距离 课堂小结 教科书第77页练习 第1，2题 布置作业 点拨：如图，连接DP.∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B＝∠ADC＝90°，又∵AB＝4，BC＝3，∴AC＝5. ∵PE⊥AD于点E，PF⊥DC于点F，∠ADC＝90°， ∴四边形DEPF是矩形，∴EF＝DP，由垂线段最短可得当DP⊥AC时，线段DP的值最小，此时S△ADC＝DC·AD＝AC·DP，即×4×3＝×5·DP，解得DP＝，即EF的最小值为. $