7.2.2 平行线的判定（讲练）-2025-2026学年七年级下册数学同步讲练+课时分层检测（人教版2024）

7.2.2 平行线的判定 内容导航 知识点一 平行线的判定 1 知识点二 平行线判定方法的推论 3 题型1 利用同位角相等判定两直线平行 4 题型2 利用内错角相等判定两直线平行 5 题型3 利用同旁内角互补判定两直线平行 7 题型4 利用平行线判定方法的推论判定两直线平行 8 题型5 平行线判定的开放性问题 9 题型6 补全推理过程 11 题型7 平行线判定在生活中的应用 13 题型8 平行线判定的综合运用 15 综合练习 17 知识点一 平行线的判定 判定方法 文字语言 符号语言 基本图形 判定方法1 两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行.简单说成：同位角相等,两直线平行 ∵∠1＝∠2 ∴∥ 判定方法2 两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么这两条直线平行.简单说成：内错角相等,两直线平行 ∵∠2＝∠3 ∴∥ 判定方法3 两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行.简单说成： 同旁内角互补,两直线平行 ∵∠2+∠4=180° ∴∥ 注意:(1)平行线的三种判定方法的共同的前提条件是“两条直线被第三条直线所截”，共同的结论是“两直线平行”； (2)这三种判定方法都是根据角之间的数量关系来判断直线之间的位置关系； (3)除上面的三种方法外，还有以下两种利用位置关系判定两直线平行的方法:1.平行线的定义;2平行线基本事实的推论(平行线的传递性) 符号语言：∵， ∴ 【基础练习1】如图，直线被直线所截．请将下面的说理过程补充完整． (1)（已知）， （   ）． (2)_______________（已知）， （内错角相等，两直线平行）． (3)（已知）， （同旁内角互补，两直线平行）． 【答案】(1)同位角相等，两直线平行 (2)2；3 (3)2；4 【分析】本题主要考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法，是解题的关键． （1）根据同位角相等，两直线平行，进行判定即可； （2）根据内错角相等，两直线平行，进行判定即可； （3）同旁内角互补，两直线平行，进行判定即可． 【详解】（1）证明：（已知）， （同位角相等，两直线平行）． （2）证明：（已知）， （内错角相等，两直线平行）． （3）证明：（已知）， （同旁内角互补，两直线平行）． 【基础练习2】如图，现给出下列条件：①；②；③；④；能判定的条件有 （填序号）；能判定的条件有 （填序号）． 【答案】 ①③④ ② 【分析】本题主要考查平行线的判定，熟练掌握“同位角相等、内错角相等或同旁内角互补，两直线平行”是解题的关键． 【详解】①， ． ②， ． ③， ． ④， ． 综上，能判定的条件有①③④；能判定的条件有②． 故答案为：①③④；②． 知识点二 平行线判定方法的推论 文字语言 图示 符号语言 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 (特别提醒：一定要注意“在同 平面内”这个条件。） ∵， ∴∥ 【基础练习1】如图，分别将一副三角板的一条直角边与直尺边重合，则另两条直角边和满足．理由是 ． 【答案】同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定；两直线垂直于同一直线，可根据同位角相等两直线平行或同旁内角互补两直线平行，进行判断． 【详解】解：∵ ∴ ∴ 故答案为：同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行． 【基础练习2】已知a，b，c在同一平面内的三条直线，若，，则a c． 【答案】 【分析】根据同一平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行即可得出结论． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 题型1 利用同位角相等判定两直线平行 【典例】如图，若，则下面结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定定理，掌握识别同位角的位置关系，以及利用同位角相等，两直线平行判定两直线平行是解题的关键． 先确定与的位置关系，判断它们是哪两条直线被哪条直线所截形成的同位角，再根据同位角相等，两直线平行判定平行的直线． 【详解】解：与是直线被直线所截形成的同位角， ∵ （已知）， ∴ 根据同位角相等，两直线平行，可得． 故选：B． 【变式练习1】如图，借助三角板画直线的操作过程，其数学依据是（   ） A．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B．两直线平行，同位角相等 C．同位角相等，两直线平行 D．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 【答案】C 【分析】本题考查了作图-复杂作图、平行线的判定，解决本题的关键是掌握平行线的判定．根据平行线的判定方法：同位角相等，两直线平行，即可写出这样画图的依据． 【详解】解：根据作图过程可知，画图的依据是：同位角相等，两直线平行， 故选：C． 【变式练习2】如图，当＝ （写出一个角）时，能得到． 【答案】 【分析】本题考查平行线的判定，掌握同位角相等，两直线平行是解题的关键． 要使，需找到与被第三条直线截得的同位角相等的情况，观察图形，是截线，与是同位角，据此确定相等的角． 【详解】解：观察图形，与被所截，与是同位角， 根据同位角相等，两直线平行，当时，能得到． 故答案为：． 题型2 利用内错角相等判定两直线平行 【典例】如图，已知直线a，b被直线c所截，，若要使，则的度数应等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的判定，根据内错角相等，两直线平行即可求解． 【详解】解：与是内错角，且， 要使，则， 故选：A． 【变式练习1】如图，下列条件中，能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键．根据平行线的判定定理判断求解即可． 【详解】解：A．，不能判定，故该选项不正确，不符合题意 B．，不能判定，故该选项不正确，不符合题意； C．，不能判定，故该选项不正确，不符合题意； D．∵， ∴，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 【变式练习2】如图，一条街道的两个拐角和相等，则街道与平行．理由是 ． 【答案】内错角相等，两直线平行 【分析】根据和是内错角可直接得出结论． 【详解】解：， 和是内错角， ． 故答案为：内错角相等，两直线平行． 题型3 利用同旁内角互补判定两直线平行 【典例】如图，点，，分别在，，上，若，则 ；若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的判定，掌握识别同旁内角并利用其互补关系判定平行的方法是解题的关键． 利用同旁内角互补，两直线平行的判定定理，通过已知的角度和为，确定哪两条直线被哪条截线所截，从而判定平行关系． 【详解】解：若：与是直线被直线所截的同旁内角，根据同旁内角互补，两直线平行，可得：． 若：与是直线被直线所截的同旁内角，根据同旁内角互补，两直线平行，可得：． 故答案为：、、、． 【变式练习1】如图，点在的延长线上，，下列条件能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定，根据平行线的判定定理逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，故C选项正确； 而，，均不能判断， 故选：C． 【变式练习2】汽车雨刮器是扫除车窗玻璃上妨碍视线的雨雪和尘土的重要工具，某时刻雨刮器的位置如图①所示，其示意图如图②所示，，此时的依据是（   ） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．同旁内角相等，两直线平行 D．同旁内角互补，两直线平行 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定，理解平行线的判定定理是解答关键． 根据同旁内角互补，两直线平行来求解． 【详解】解：， ， 依据是同旁内角互补，两直线平行． 故选：D． 题型4 利用平行线判定方法的推论判定两直线平行 【典例】如图，亮亮用一把直角尺在纸上画出两条平行的直线和．这样做的道理是（    ） A．平行于同一条直线的两条直线平行 B．垂直于同一条直线的两条直线平行 C．垂线段最短 D．经过直线外一点，有且只有一条直线平行于这条直线 【答案】B 【分析】本题是平行线判定在实质中的应用． 根据垂直于同一条直线的两条直线平行即可作出判断． 【详解】解：亮亮用一把直角尺在纸上画出两条平行的直线和，则、都垂直于同一直线，则，这样做的道理是垂直于同一条直线的两条直线平行． 故选：B． 【变式练习1】如图，工人师傅用角尺画出工件边缘的垂线a和b，得到，理由是（ ） A．平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B．平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行 C．平行于同一条直线的两条直线平行 D．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定关，熟练掌握平面内垂直于同一条直线的两条直线平行是解题的关键． 根据平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，逐项判断即可． 【详解】解：∵， ∴（平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行）， 故选：B ． 【变式练习2】如图，若，则a//b．请你用语言描述这一现象： ． 【答案】同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 【分析】根据平行线的判定可直接进行求解． 【详解】解：若，则a//b，用语言描述这一现象是同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行； 故答案为：同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行． 题型5 平行线判定的开放性问题 【典例】如图，添加一个条件： ，使得． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了平行线的判定定理，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键． 根据平行线的判定定理，即可直接写出条件． 【详解】解：添加的条件是：．理由如下： ∵， ∴（内错角相等，两直线平行）． 故答案是：（答案不唯一）． 【变式练习1】如图所示，在中，点分别是上的点，连接，请添加一个条件 ，使得．（只写一个） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了平行线的判定，根据平行线的三个判定定理添加即可． 【详解】解：添加， 由同位角相等两直线平行，即可得； 故答案为：（答案不唯一）． 【变式练习2】如图，请添加一个符合要求的条件，使得，这个条件可以是 ．（写出一种情况即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了平行线的判定定理，熟练掌握“内错角相等（或同位角相等、同旁内角互补），两直线平行”是解题的关键． 根据平行线的判定定理（同位角相等、内错角相等、同旁内角互补等），添加能判定的角的关系． 【详解】解：添加条件：， ∵ ， ∴ （内错角相等，两直线平行）， 故答案为：（答案不唯一） 易错警示：因不能正确识别截线和被截线，而导致误判两直线平行 要识别一对角是由哪两条直线被第三条直线所截而成的角，要从组成角的两边入手：两个角共线的边所在的直线就是截线，即第三条直线，另外两边所在的直线就是两条被截线，确定了被截线，根据平行线的判定就可判断是哪两条直线平行。 题型6 补全推理过程 【典例】如图，已知，则．请你完成下面的填空： 因为（已知）， 所以（________）， 所以________________（________）． 又因为（________）， 所以（________）， 所以（________）， 所以________________（ ）． 【答案】等量代换；；；同位角相等，两直线平行；对顶角相等；等量代换；等式性质；；；同旁内角互补，两直线平行 【分析】本题主要考查了平行线的性质、对顶角的性质等知识点，灵活运用平行线的性质成为解题的关键． 由已知条件以及等量代换可得，再根据同位角相等、两直线平行即可证得；根据对顶角相等、等量代换、等式的性质可得，最后根据同旁内角互补，两直线平行即可证得． 【详解】解：因为（已知）， 所以（等量代换）， 所以（同位角相等，两直线平行）． 又因为（对顶角相等）， 所以（等量代换）， 所以（等式性质）， 所以（同旁内角互补，两直线平行）． 【变式练习1】如图，平分，．求证：． 填空：   平分， （ ）． ， （ ）． （ ）． 【答案】 角平分线定义 等量代换 内错角相等，两直线平行 【分析】本题主要考查了角平分线的定义、平行线的判定等知识点，掌握“内错角相等，两直线平行”是解题的关键． 由角平分线的定义可得，再结合已知条件运用等量代换可得，最后根据“内错角相等，两直线平行”即可证明结论． 【详解】证明：∵平分（已知）， ∴（角平分线定义）， 又∵（已知）， ∴（等量替换）， ∴（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：；角平分线定义；；等量代换；内错角相等，两直线平行． 【变式练习2】如图，已知，则与平行吗？与平行吗？阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）． 解： （已知） （    ）， ∴（    ） ∥ （    ）， 又 ， （    ）（等式的性质 ）， 同理可得 （    ）， （等量代换）， ∴（    ）∥ （    ）（    ）． 【答案】等量代换；；；；；；；同位角相等，两直线平行 【分析】本题考查平行线的判定定理和垂直的定义，首先利用已知角的度数，通过等量代换得到同位角，依据同位角相等判定与平行；再根据垂直的定义得到直角，计算出和的度数，通过等量代换得到这两个同位角相等，进而判定与平行． 【详解】解：(已知) (等量代换)， (同位角相等，两直线平行)； 又， (等式的性质)； 同理可得； (等量代换)， (同位角相等，两直线平行)， 故答案为：等量代换；；；；；；；同位角相等，两直线平行． 题型7 平行线判定在生活中的应用 【典例】羽毛球是大家最喜欢的球类运动之一，老师在校园东侧空地上为大家设计了一块简易的羽毛球场如图1所示，小明想帮助老师验证一下，边界线和是否平行，如图2所示在下列关于、、、的条件中，可得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定方法，熟练掌握平行线的判定方法是解答本题的关键．平行线的判定方法：①同位角相等，两直线平行；②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行；④平行于同一直线的两条直线互相平行；⑤同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行． 根据平行线的判定定理解答即可． 【详解】解：A．，无法判定，不符合题意； B．，则，符合题意； C．，则，不符合题意； D．，则，不符合题意； 故选：B． 【变式练习1】如图是一条街道的两个拐角，若与均为，则街道与的位置关系是 ． 【答案】 【分析】此题考查了平行线的判定：内错角相等，两直线平行，掌握平行线的判定是解答此题的关键． 根据内错角相等，两直线平行，即可求解． 【详解】解：∵与均为， ∴， ∴． 故答案为： 【变式练习2】如图，台球运动中1号球击中桌边的点，经桌边反弹后击中相邻的另一桌边的点，再次反弹经过点（提示：）． (1)若，求的度数； (2)已知，1号球经过的路线与一定平行吗？请说明理由． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查平角的定义，几何图形中角度计算，平行线的判定等知识，掌握平行线的判定定理是解题的关键． （1）由平角定义，知，结合已知条件计算求解； （2）由平角为可求得，，由直角三角形性质，得，于是，所以． 【详解】（1）解：∵，，， ∴． （2）解：，理由如下： ∵，， ∴． 同理：． ∵， ∴． ∴． 题型8 平行线判定的综合运用 【典例】如图，，与互余． (1)与平行吗？请说明理由； (2)若，试说明：． 【答案】(1)   见解析 (2)见解析 【分析】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定与性质定理是解题的关键． （1）根据垂直的定义及两角互余的定义得到，即可判定； （2）结合（1）得到，再由得到，即可判定． 【详解】（1）．理由如下： ， ． 与互余， ， ， ． （2）解：由（1）知，． ， ， ． 【变式练习1】如图，直线分别交直线，于点M，N．已知，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了对顶角相等，同旁内角互补两直线平行等知识点，解题关键是掌握上述知识． 先利用对顶角相等证明，再证明，从而可根据平行线的判定得出． 【详解】解：∵， ∴， 又， ∴， ∴． 【变式练习2】如图，如果于点于点为的平分线，为的平分线，那么．请写出说理过程． 【答案】过程见详解 【分析】本题主要考查平行线的判定、垂线的定义及角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定、垂线的定义及角平分线的定义是解题的关键；由题意易得，，则有，然后问题可求解． 【详解】证明：∵，（已知）， ∴（垂线的定义）， ∵为的平分线，为的平分线（已知）， ∴（角平分线的定义）， ∴（等量代换）， ∴（同位角相等，两直线平行）． 总结：要说明两条直线平行，优先考虑同位角、内错角或同旁内角的数量关系，要学会从复杂图形中抽象出简单、熟悉的图形，如“F”形中的同位角、“Z”形中的内错角和“U”形中的同旁内角. 判定两直线平行的步骤： 第1步：找出同位角（或内错角或同旁内角）； 第2步：说明这两个同位角相等（或内错角相等或同旁内角互补); 第3步：得出“平行”的结论。 方法技巧： 添加辅助线（直线、射线或线段）是解决几何论证和计算问题的重要手段，它是连接已知与未知的“桥梁”当题目中已有的图形不能够或不容易解决问题时，往往考虑添加辅助线，构造出一些基本的几何图形解决问题。 综合练习 一、单选题 1．如图，将木条，与木条钉在一起，，转动木条，当（　　）时，木条a与b平行． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的判定．根据题意可知，再结合“同位角相等，两直线平行”得出答案． 【详解】解：如图， 木条转动时． 当时，． ∴当时，木条a与b平行． 故选：A． 2．下列图形中，由能得到的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定，根据平行线的判定定理分别进行分析即可，掌握平行线的判定定理是解题的关键． 【详解】解：、和互为同旁内角，同旁内角相等不能得到，故不符合题意； 、若，则，内错角相等；两直线平行，故符合题意； 、若，则，故不符合题意； 、和为同旁内角，同旁内角相等不能得到，故不符合题意； 故选：． 3．如图，在下列四组条件中，能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定，熟知同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行是解题的关键．根据平行线的判定定理逐项分析判断即可． 【详解】解：A、由，可以根据同旁内角互补，两直线平行得到，不能得到，不符合题意； B、由，不能得到，不符合题意； C、由，可以根据同旁内角互补，两直线平行得到，符合题意； D、由不能得到，不符合题意； 故选：C． 4．如图，下列条件中，不能判定直线的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定，直接利用平行线的判定方法分别分析即可得出答案，掌握平行线的判定方法是解题的关键． 根据平行线的判定方法去判定每项的正确与否即可得到答案． 【详解】解：A、∵，∴直线，故此选项不合题意； B、，不能得出直线，故此选项符合题意； C、∵，∴直线，故此选项不合题意； D、∵，∴直线，故此选项不合题意； 故选：B． 5．若，，则与的关系是（ ） A．平行 B．垂直 C．相交 D．以上都不对 【答案】D 【分析】本题考查直线之间的垂直关系，需考虑直线是否在同一平面内． 【详解】解：，， 当直线在同一平面内时，垂直于同一直线的两直线平行，即， 当直线不在同一平面内时，a与c不一定平行， 因此，与的关系是不确定的． 故选：D． 6．下列各图中，能画出的是（   ） A．①② B．①②④ C．③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定定理，根据平行线的判定定理逐项判断即可得出答案，熟练掌握平行线的判定定理是解此题的关键． 【详解】解：根据同旁内角互补，两直线平行，可得①正确； 根据在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行，可得②③正确； 根据内错角相等，两直线平行，可得④正确； 综上所述，能画出的是①②③④， 故选：D． 7．在作业纸上，要过点P作直线 a 的平行线 b，嘉嘉和淇淇给出了下面两种方案，对于方案Ⅰ，ⅠⅠ，下列判断正确的是(    ) 嘉嘉利用直尺和三角尺，作图过程如图1所示 A．Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B．Ⅰ不可行、Ⅱ可行 C．Ⅰ，Ⅱ都可行 D．Ⅰ ，Ⅱ都不可行 【答案】C 【分析】本题考查的是平行线的判定方法，熟练应用判定方法是关键，方案Ⅰ是根据同位角相等判定平行，方案Ⅱ是根据垂直于同一直线的两条直线平行得出即可． 【详解】解：由图知：方案Ⅰ是根据同位角相等，判定； 方案Ⅱ是根据垂直于同一直线的两条直线平行，判定； 故选：C． 8．世界上最早记载潜望镜原理的古书，是公元前二世纪中国的《淮南万毕术》．书中记载了这样的一段话：“取大镜高悬，置水盘于其下，则见四邻矣”．现代潜艇潜望镜是在20世纪初发明的．如图是潜望镜工作原理的示意图，那么它所应用的数学原理是（　　） A．内错角相等，两直线平行 B．同旁内角互补，两直线平行 C．对顶角相等 D．两点确定一条直线 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的判定．熟练掌握内错角相等，两直线平行是解题的关键．根据内错角相等，两直线平行，进行判断即可． 【详解】解：由题意知，所应用的数学原理是内错角相等，两直线平行； 故选：A． 9．如图，直线，，相交于点，连接，添加下列条件能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线的判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于基础题型．利用平行线的判定方法一一判断即可． 【详解】A、由，不是同位角、内错角，不可以判断，故不符合题意； B、由，不是同位角、内错角，不可以判断，故不符合题意； C、由，不是同旁内角，不可以判断，故不符合题意； D、由，根据内错角相等两直线平行，即可判断，故符合题意． 故选：D． 10．在同一平面内有2025条直线，，如果，依此类推，那么与的位置关系是（   ） A．垂直 B．平行 C．垂直或平行 D．重合 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的判断，图形类的规律探索，根据在同一平面内，平行于同一条直线的两直线平行，垂直于同一条直线的两直线平行等，进行判定位置关系，然后推导出一般性规律：4条直线的位置关系为一个循环，然后求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ……， 以此类推可知，从开始，每4条直线为一个循环，与它们的位置关系分别为， ∵， ∴， 故选：B． 二、填空题 11．如图，过直线外一点作已知直线的平行线，依据是 ． 【答案】同位角相等，两直线平行 【分析】本题考查平行线的判定，熟练掌握平行线的判定是解题的关键． 根据作平行线时，三角板的角的度数是不变的，以及角的位置关系，结合平行线的判定方法解答即可． 【详解】解：图中移动的三角板的角度是同位角的关系， 则过直线外一点作已知直线的平行线，依据是同位角相等，两直线平行. 故答案为：同位角相等，两直线平行． 12．如图，，当 度时，． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的判定（同旁内角互补，两直线平行），熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．要使，需利用平行线的判定（同旁内角互补，两直线平行）确定的度数． 【详解】解：当时， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 13．如图，填空： (1)（已知）， ________________（   ）． (2)（已知）， ________________（   ）． (3)，（已知） ________=________（等量代换）． 【答案】(1)；；同位角相等，两直线平行 (2)；；同位角相等，两直线平行 (3)； 【分析】本题主要考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法，是解题的关键． （1）根据同位角相等，两直线平行，进行解答即可； （2）根据同位角相等，两直线平行，进行解答即可； （3）根据，进行解答即可． 【详解】（1）（已知）， ∴（同位角相等，两直线平行）． （2）（已知）， ∴（同位角相等，两直线平行）． （3），（已知） （等量代换）． 14．如图，若要使，则可以添加的一个条件是 ．（只填一个） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查平行线的判定，熟悉平行线判定是解题关键. 【详解】解：当，则（同位角相等，两直线平行）； 当，则（同旁内角互补，两直线平行）； 当，则（同位角相等，两直线平行）； 当，则（内错角相等，两直线平行）； 当，则（同旁内角互补，两直线平行）； 故答案为：或或或或 （答案不唯一）. 15．学习了平行线后，小明想出了过直线外一点画这条直线的平行线的方法，她是通过折一张半透明的纸得到的，如图所示，由操作过程可知小明画平行线的依据可以是 ．（把所有正确的序号填上） ①同位角相等，两直线平行；②两直线平行，内错角相等；③同旁内角互补，两直线平行；④如果两条直线和第三条直线平行，那么这两条直线平行． 【答案】①③ 【分析】本题考查的是轴对称的性质，平行线的判定，理解折叠过程，根据平行线的判定方法即可解答． 【详解】解：由图可知，虚线与其他折痕垂直，根据折后角的关系可得同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行， 所以选①③． 故答案为：①③． 16．在同一平面内，如果，，则a c． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解决本题的关键．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行即可解答． 【详解】解：，， ， 故答案为：． 17．如图，已知直线，与直线相交于点，，于点．若，则 时，． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的判定，掌握同位角相等，两直线平行是解题的关键． 当时，．先通过邻补角的定义得到，然后根据垂直的定义，结合平角的定义得到，即可根据同位角相等，两直线平行，得到，从而得到所加条件是正确的． 【详解】解：当时，． 理由如下：， ， ， 又， ， ， ． 故当时，． 故答案为：． 18．将一块三角板ABC（∠BAC=90°，∠ABC=30°）按如图方式放置，使A，B两点分别落在直线m，n上，对于给出的五个条件：①∠1=25.5°，∠2=55°；②∠1+∠2=90°；③∠2=2∠1；④∠ACB=∠1+∠3；⑤∠ABC=∠2-∠1．能判断直线mn的有 ．（填序号） 【答案】①④⑤ 【分析】根据平行线的判定方法和题目中各个小题中的条件，逐一判断是否可以得到m∥n，从而可以解答本题． 【详解】解：∵∠1=25.5°，∠2=55°，∠ABC=30°， ∴∠ABC+∠1=55.5°=55°=∠2， ∴mn，故①符合题意； ∵∠1+∠2=90°，∠ABC=30°， ∴∠1+∠ABC不一定等于∠2， ∴m和n不一定平行，故②不符合题意； ∵∠2=2∠1，∠ABC=30°， ∴∠1+∠ABC不一定等于∠2， ∴m和n不一定平行，故③不符合题意； 过点C作CEm， ∴∠3=∠4， ∵∠ACB=∠1+∠3，∠ACB=∠4+∠5， ∴∠1=∠5， ∴ECn， ∴mn，故④符合题意； ∵∠ABC=∠2-∠1， ∴∠2=∠ABC+∠1， ∴mn，故⑤符合题意； 故答案为：①④⑤． 三、解答题 19．如图，直线，被直线所截，且．请用两种方法证明． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了对顶角、邻补角的性质以及平行线的判定定理，熟练掌握对顶角相等、邻补角互补的性质，以及“同旁内角互补，两直线平行” “同位角相等，两直线平行”的判定方法是解题的关键． 利用对顶角、邻补角的性质，结合平行线的判定定理（同旁内角互补、同位角相等）来证明． 【详解】解：方法1： ∵， 又∵， ∴， ∴（同旁内角互补，两直线平行）； 方法2： ∵， 又∵， ∴， ∴（同位角相等，两直线平行）． 20．如图，已知，，点D，F是垂足，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查平行线的判定，解答的关键是结合图形分析清楚各角之间的关系． 由，，可得，从而有，可判定． 【详解】证明：∵，， ∴ ， ∵， ∴， ∴． 21．如图，已知，，垂足为点O，是一条线段． (1)过点E作的垂线，垂足为点F，判断与的位置关系，并说明理由． (2)若点E位于点O北偏西，求和的度数． 【答案】(1)画图见解析，，理由见解析 (2)， 【分析】本题考查的是画垂线，平行线的判定，角的和差运算，方向角的含义. （1）先画图，再证明，进一步可得结论. （2）由方向角的含义可得 ，再进一步求解即可. 【详解】（1）解：如图： ， 理由如下：， ， ， ， ， . （2）解：位于点O北偏西， ， ， ， ， . 22．如图，，平分，请说明：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了邻补角，角平分线的定义，平行线的判定，掌握知识点是解题的关键． 根据邻补角求出，再由角平分线的定义可得，结合已知可得，根据同位角相等两直线平行，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴． 23．如下图，已知AC平分，BD平分，，，试说明：，． 【答案】见解析 【分析】此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键． 由，根据同位角相等，两直线平行可得到；由平分，平分，得到，根据同位角相等，两直线平行可得到，由此可得解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． ∵平分，平分， ∴，． 又∵， ∴， ∴． 24．如图， 点O在直线上，平分，平分，是上一点，连结． (1)求证： (2)若，求证： 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查的是平行线的判定，余角和补角及垂线的定义，熟知内错角相等，两直线平行是解题的关键． （1）根据平分，平分可知，，据此可得出结论； （2）由（1）知，故可得出，再由可知，故可得出结论． 【详解】（1）证明： 平分，平分， ，， ， ， ； （2）证明：由（1）知，， ， ， ， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.2.2 平行线的判定 内容导航 知识点一 平行线的判定 1 知识点二 平行线判定方法的推论 2 题型1 利用同位角相等判定两直线平行 3 题型2 利用内错角相等判定两直线平行 3 题型3 利用同旁内角互补判定两直线平行 4 题型4 利用平行线判定方法的推论判定两直线平行 5 题型5 平行线判定的开放性问题 5 题型6 补全推理过程 6 题型7 平行线判定在生活中的应用 7 题型8 平行线判定的综合运用 8 综合练习 9 知识点一 平行线的判定 判定方法 文字语言 符号语言 基本图形 判定方法1 两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行.简单说成：同位角相等,两直线平行 ∵∠1＝∠2 ∴∥ 判定方法2 两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么这两条直线平行.简单说成：内错角相等,两直线平行 ∵∠2＝∠3 ∴∥ 判定方法3 两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行.简单说成： 同旁内角互补,两直线平行 ∵∠2+∠4=180° ∴∥ 注意:(1)平行线的三种判定方法的共同的前提条件是“两条直线被第三条直线所截”，共同的结论是“两直线平行”； (2)这三种判定方法都是根据角之间的数量关系来判断直线之间的位置关系； (3)除上面的三种方法外，还有以下两种利用位置关系判定两直线平行的方法:1.平行线的定义;2平行线基本事实的推论(平行线的传递性) 符号语言：∵， ∴ 【基础练习1】如图，直线被直线所截．请将下面的说理过程补充完整． (1)（已知）， （   ）． (2)_______________（已知）， （内错角相等，两直线平行）． (3)（已知）， （同旁内角互补，两直线平行）． 【基础练习2】如图，现给出下列条件：①；②；③；④；能判定的条件有 （填序号）；能判定的条件有 （填序号）． 知识点二 平行线判定方法的推论 文字语言 图示 符号语言 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 (特别提醒：一定要注意“在同 平面内”这个条件。） ∵， ∴∥ 【基础练习1】如图，分别将一副三角板的一条直角边与直尺边重合，则另两条直角边和满足．理由是 ． 【基础练习2】已知a，b，c在同一平面内的三条直线，若，，则a c． 题型1 利用同位角相等判定两直线平行 【典例】如图，若，则下面结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式练习1】如图，借助三角板画直线的操作过程，其数学依据是（   ） A．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B．两直线平行，同位角相等 C．同位角相等，两直线平行 D．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 【变式练习2】如图，当＝ （写出一个角）时，能得到． 题型2 利用内错角相等判定两直线平行 【典例】如图，已知直线a，b被直线c所截，，若要使，则的度数应等于（   ） A． B． C． D． 【变式练习1】如图，下列条件中，能判定的是（   ） A． B． C． D． 【变式练习2】如图，一条街道的两个拐角和相等，则街道与平行．理由是 ． 题型3 利用同旁内角互补判定两直线平行 【典例】如图，点，，分别在，，上，若，则 ；若，则 ． 【变式练习1】如图，点在的延长线上，，下列条件能判定的是（   ） A． B． C． D． 【变式练习2】汽车雨刮器是扫除车窗玻璃上妨碍视线的雨雪和尘土的重要工具，某时刻雨刮器的位置如图①所示，其示意图如图②所示，，此时的依据是（   ） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．同旁内角相等，两直线平行 D．同旁内角互补，两直线平行 题型4 利用平行线判定方法的推论判定两直线平行 【典例】如图，亮亮用一把直角尺在纸上画出两条平行的直线和．这样做的道理是（    ） A．平行于同一条直线的两条直线平行 B．垂直于同一条直线的两条直线平行 C．垂线段最短 D．经过直线外一点，有且只有一条直线平行于这条直线 【变式练习1】如图，工人师傅用角尺画出工件边缘的垂线a和b，得到，理由是（ ） A．平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B．平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行 C．平行于同一条直线的两条直线平行 D．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 【变式练习2】如图，若，则a//b．请你用语言描述这一现象： ． 题型5 平行线判定的开放性问题 【典例】如图，添加一个条件： ，使得． 【变式练习1】如图所示，在中，点分别是上的点，连接，请添加一个条件 ，使得．（只写一个） 【变式练习2】如图，请添加一个符合要求的条件，使得，这个条件可以是 ．（写出一种情况即可） 易错警示：因不能正确识别截线和被截线，而导致误判两直线平行 要识别一对角是由哪两条直线被第三条直线所截而成的角，要从组成角的两边入手：两个角共线的边所在的直线就是截线，即第三条直线，另外两边所在的直线就是两条被截线，确定了被截线，根据平行线的判定就可判断是哪两条直线平行。 题型6 补全推理过程 【典例】如图，已知，则．请你完成下面的填空： 因为（已知）， 所以（________）， 所以________________（________）． 又因为（________）， 所以（________）， 所以（________）， 所以________________（ ）． 【变式练习1】如图，平分，．求证：． 填空：   平分， （ ）． ， （ ）． （ ）． 【变式练习2】如图，已知，则与平行吗？与平行吗？阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）． 解： （已知） （    ）， ∴（    ） ∥ （    ）， 又 ， （    ）（等式的性质 ）， 同理可得 （    ）， （等量代换）， ∴（    ）∥ （    ）（    ）． 题型7 平行线判定在生活中的应用 【典例】羽毛球是大家最喜欢的球类运动之一，老师在校园东侧空地上为大家设计了一块简易的羽毛球场如图1所示，小明想帮助老师验证一下，边界线和是否平行，如图2所示在下列关于、、、的条件中，可得到的是（    ） A． B． C． D． 【变式练习1】如图是一条街道的两个拐角，若与均为，则街道与的位置关系是 ． 【变式练习2】如图，台球运动中1号球击中桌边的点，经桌边反弹后击中相邻的另一桌边的点，再次反弹经过点（提示：）． (1)若，求的度数； (2)已知，1号球经过的路线与一定平行吗？请说明理由． 题型8 平行线判定的综合运用 【典例】如图，，与互余． (1)与平行吗？请说明理由； (2)若，试说明：． 【变式练习1】如图，直线分别交直线，于点M，N．已知，．求证：． 【变式练习2】如图，如果于点于点为的平分线，为的平分线，那么．请写出说理过程． 总结：要说明两条直线平行，优先考虑同位角、内错角或同旁内角的数量关系，要学会从复杂图形中抽象出简单、熟悉的图形，如“F”形中的同位角、“Z”形中的内错角和“U”形中的同旁内角. 判定两直线平行的步骤： 第1步：找出同位角（或内错角或同旁内角）； 第2步：说明这两个同位角相等（或内错角相等或同旁内角互补); 第3步：得出“平行”的结论。 方法技巧： 添加辅助线（直线、射线或线段）是解决几何论证和计算问题的重要手段，它是连接已知与未知的“桥梁”当题目中已有的图形不能够或不容易解决问题时，往往考虑添加辅助线，构造出一些基本的几何图形解决问题。 综合练习 一、单选题 1．如图，将木条，与木条钉在一起，，转动木条，当（　　）时，木条a与b平行． A． B． C． D． 2．下列图形中，由能得到的是（ ） A． B． C． D． 3．如图，在下列四组条件中，能判定的是（    ） A． B． C． D． 4．如图，下列条件中，不能判定直线的是（    ） A． B． C． D． 5．若，，则与的关系是（ ） A．平行 B．垂直 C．相交 D．以上都不对 6．下列各图中，能画出的是（   ） A．①② B．①②④ C．③④ D．①②③④ 7．在作业纸上，要过点P作直线 a 的平行线 b，嘉嘉和淇淇给出了下面两种方案，对于方案Ⅰ，ⅠⅠ，下列判断正确的是(    ) 嘉嘉利用直尺和三角尺，作图过程如图1所示 A．Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B．Ⅰ不可行、Ⅱ可行 C．Ⅰ，Ⅱ都可行 D．Ⅰ ，Ⅱ都不可行 8．世界上最早记载潜望镜原理的古书，是公元前二世纪中国的《淮南万毕术》．书中记载了这样的一段话：“取大镜高悬，置水盘于其下，则见四邻矣”．现代潜艇潜望镜是在20世纪初发明的．如图是潜望镜工作原理的示意图，那么它所应用的数学原理是（　　） A．内错角相等，两直线平行 B．同旁内角互补，两直线平行 C．对顶角相等 D．两点确定一条直线 9．如图，直线，，相交于点，连接，添加下列条件能判定的是（   ） A． B． C． D． 10．在同一平面内有2025条直线，，如果，依此类推，那么与的位置关系是（   ） A．垂直 B．平行 C．垂直或平行 D．重合 二、填空题 11．如图，过直线外一点作已知直线的平行线，依据是 ． 12．如图，，当 度时，． 13．如图，填空： (1)（已知）， ________________（   ）． (2)（已知）， ________________（   ）． (3)，（已知） ________=________（等量代换）． 14．如图，若要使，则可以添加的一个条件是 ．（只填一个） 15．学习了平行线后，小明想出了过直线外一点画这条直线的平行线的方法，她是通过折一张半透明的纸得到的，如图所示，由操作过程可知小明画平行线的依据可以是 ．（把所有正确的序号填上） ①同位角相等，两直线平行；②两直线平行，内错角相等；③同旁内角互补，两直线平行；④如果两条直线和第三条直线平行，那么这两条直线平行． 16．在同一平面内，如果，，则a c． 17．如图，已知直线，与直线相交于点，，于点．若，则 时，． 18．将一块三角板ABC（∠BAC=90°，∠ABC=30°）按如图方式放置，使A，B两点分别落在直线m，n上，对于给出的五个条件：①∠1=25.5°，∠2=55°；②∠1+∠2=90°；③∠2=2∠1；④∠ACB=∠1+∠3；⑤∠ABC=∠2-∠1．能判断直线mn的有 ．（填序号） 三、解答题 19．如图，直线，被直线所截，且．请用两种方法证明． 20．如图，已知，，点D，F是垂足，．求证：． 21．如图，已知，，垂足为点O，是一条线段． (1)过点E作的垂线，垂足为点F，判断与的位置关系，并说明理由． (2)若点E位于点O北偏西，求和的度数． 22．如图，，平分，请说明：． 23．如下图，已知AC平分，BD平分，，，试说明：，． 24．如图， 点O在直线上，平分，平分，是上一点，连结． (1)求证： (2)若，求证： 学科网（北京）股份有限公司 $