专题6.3 向量的数量积（2个知识点+10大题型+2大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年高一数学重难点专题提升精讲精练（人教A版必修第二册）

专题6.3 向量的数量积重难点题型专训 （2个知识点+10大题型+2大拓展训练+自我检测） 题型一 平面向量数量积的定义及辨析 题型二 平面向量数量积的几何意义 题型三 用定义求向量的数量积 题型四 数量积的运算律 题型五 已知数量积求模 题型六 向量夹角的计算 题型七 垂直关系的向量表示 题型八 已知模求数量积 题型九 已知模求参数 题型十 求投影向量 拓展训练一 数量积的相关求值 拓展训练二 已知模求相关值 知识点一： 向量的数量积 1、向量的夹角 （1）定义：已知两个非零向量，，是平面上的任意一点，作，， 则（）叫做向量与的夹角． （2）性质：当时，与同向；当时，与反向． （3）向量垂直：如果与的夹角是，我们说与垂直，记作． 2、向量的数量积的定义 （1）定义：非零向量与，它们的夹角为，数量叫做向量与的数量积(或内积)； （2）记法：向量与的数量积记作，即； 零向量与任一向量的数量积为0； 3、向量在上的投影向量 （1）设，是两个非零向量，，， 考虑如下变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量． （2）在平面内任取一点O，作，，过点M作直线的垂线，垂足为，则就是向量在向量上的投影向量，且． （3）注意：数量积等于的长度||与在的方向上的投影向量的“长度”的乘积，也等于的长度||与在的方向上的投影向量的“长度”的乘积 4、向量数量积的物理背景 如果一个物体在力的作用下产生位移，那么力所做的功就等于力与位移的数量积，即，其中是与的夹角。 【即时训练】 1．（24-25高一下·重庆·期中）在△ABC中，，，，则（    ） A．12 B．6 C． D． 2．（24-25高一下·湖北·期末）在中，，，则中最小角的余弦值为 ． 知识点二： 平面向量数量积的性质与运算律 1、平面向量数量积的性质 设，都是非零向量，是单位向量，θ为与(或)的夹角．则 （1）； （2）； （3）当与同向时，；当与反向时，； 特别地，或； （4）cos θ＝； （5） 2、平面向量数量积满足的运算律 （1）； （3）(λ为实数)； （3）； （4）两个向量，的夹角为锐角⇔且，不共线； 两个向量，的夹角为钝角⇔且，不共线． （5）平面向量数量积运算的常用公式 【即时训练】 1．（2026·四川巴中·一模）若 是夹角 的单位向量， ，则 （ ） A． B．2 C． D． 2．（25-26高三上·贵州·月考）已知向量垂直，且，，则 ． 【经典例题一 平面向量数量积的定义及辨析】 【例1】（24-25高一下·陕西咸阳·月考）在等式①；②；③；④若，且，则；其中正确的命题的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【例2】（24-25高一下·全国·课后作业）在中，已知，求： (1)； (2)在方向上的投影的数量； (3)在方向上的投影的数量． 1．（25-26高一下·上海·课后作业）若、是两个向量，且，则（    ） A．、都是零向量 B．、中至少有一个是零向量 C．、都不是零向量，且 D．、中至少有一个是零向量，或、都不是零向量，且 2．（多选）（24-25高一下·河北·月考）在下列各组向量中，不能作为基底的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·吉林长春·月考）如图，直线与的边分别相交于点．设．则 ． 4．（24-25高一下·黑龙江黑河·期末）已知平面向量，满足：，，与的夹角为. (1)求； (2)设平面向量，，若，的夹角为锐角，求实数的取值范围. 【经典例题二 平面向量数量积的几何意义】 【例1】（24-25高一下·广东清远·期中）已知是圆的弦，且，则（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高一上·上海·课后作业）已知. (1)在方向上的数量投影为4，求； (2)，求在方向上的数量投影； (3)、的夹角为，求在方向上的数量投影. 1．（2025·广东佛山·三模）如图，已知矩形的边长满足，以为圆心的圆与相切于，则（    ） A． B． C．8 D． 2．（多选）（24-25高一下·湖南·期中）向量满足：，，，则向量在向量上的投影向量的模的可能值是（    ） A．1 B． C． D．2 3．（24-25高一下·上海虹口·期中）在边长为的正六边形中，点为其内部或边界上一点，则的取值范围是 ． 4．（2026高二·全国·专题练习）已知，，，是空间不共面的单位向量，且满足.若向量，λ∈R，求在上的投影向量的模的最大值. 【经典例题三 用定义求向量的数量积】 【例1】（25-26高二上·河北邢台·月考）若向量满足，则（    ） A． B． C．1 D．－1 【例2】（24-25高一下·山东菏泽·月考）已知向量与的夹角为，且，． (1)求的值； (2)求的值． 1．（25-26高二上·湖北·月考）已知等边的边长为2，点是平面内任意一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D．0 2．（多选）（24-25高一下·河北·期末）下列关于非零向量的说法正确的是（    ） A．若共线，则 B．若，则共线 C．若，则的夹角为锐角 D．若的夹角为锐角，则 3．（2025高一·全国·专题练习）如图，在中，是的中点，点在边上，，与的交点为，若，，则 ． 4．（24-25高一下·北京海淀·期末）已知向量，，，. (1)求； (2)若与垂直，求实数的值； (3)若（），求的最小值及其相应的值. 【经典例题四 数量积的运算律】 【例1】（25-26高二上·云南昆明·期末）在中，为的中点，则（    ） A．0 B．16 C．40 D．32 【例2】（2025高二·全国·专题练习）已知空间四边形，求证：． 1．（2026·安徽黄山·一模）已知，在上的投影向量是，则（   ） A． B．2 C． D．4 2．（25-26高二上·广西贺州·期末）在平行四边形中，，则（    ） A．3 B． C．6 D． 3．（25-26高三上·湖北武汉·月考）在平行四边形中，，，，若，则的最小值为 . 4．（2025高一·全国·专题练习）已知是非等边外接圆上一点，则当点位于何处时，分别取得最大值和最小值？ 【经典例题五 已知数量积求模】 【例1】（2026高二上·云南·学业考试）若向量，满足，，，则（    ） A．6 B．5 C． D． 【例2】（24-25高一下·安徽·月考）已知. (1)若的夹角为，求; (2)若，求与的夹角θ. 1．（25-26高三上·湖北·期末）已知向量满足在上的投影向量是，则的最小值为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 2．（25-26高三上·安徽合肥·开学考试）已知两个单位向量满足，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．（25-26高三上·北京昌平·期末）在中，，，则 . 4．（24-25高二上·浙江·开学考试）已知单位向量满足． (1)求； (2)当为何值时，与垂直？ 【经典例题六 向量夹角的计算】 【例1】（2025高三·全国·专题练习）向量，，且，则（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26高二上·上海·开学考试）已知平面向量，且．求： (1)的值； (2)向量与夹角的余弦值． 1．（25-26高一上·云南昭通·期末）已知向量，满足，，，则向量，的夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·贵州·月考）已知单位向量，满足，则向量与夹角的大小为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·河北邯郸·期中）已知向量，满足，，的夹角是，则与的夹角是 ． 4．（24-25高一下·海南海口·期末）已知向量满足：，且． (1)求向量与的夹角； (2)设向量，求的最小值． 【经典例题七 垂直关系的向量表示】 【例1】（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知平面向量满足，且，则（   ） A．32 B．16 C．8 D．4 【例2】（24-25高一上·浙江·期末）已知平面向量、满足，，与的夹角为． (1)求； (2)当实数为何值时，． 1．（25-26高三上·江苏常州·期末）已知两个非零向量．若，则锐角（   ） A． B． C． D． 2．（多选）（25-26高二上·辽宁·开学考试）下列关于向量的说法中，正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若同向，则 D．若不共线，则 3．（24-25高一下·上海·期中）已知，，且，则的值为 . 4．（24-25高一下·陕西渭南·期末）已知向量，，若，，与的夹角为． (1)求； (2)当为何值时，向量与向量互相垂直？ 【经典例题八 已知模求数量积】 【例1】（25-26高三上·云南·月考）已知向量满足：，且，则的夹角为（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高一下·内蒙古兴安盟·月考）已知，，.求： (1)； (2). 1．（24-25高三上·福建厦门·期中）已知，，均为单位向量，且，则（    ） A． B． C． D． 2．（多选）（2024高三·全国·专题练习）已知单位向量满足，则（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．（25-26高三·全国·假期作业）向量，，满足，，，则 ． 4．（25-26高二上·四川成都·月考）已知，且 (1)求与的夹角； (2)若，求实数的值. 【经典例题九 已知模求参数】 【例1】（2025·福建·模拟预测）已知向量，夹角为，且，，则（    ） A．3 B． C．4 D．5 【例2】（24-25高二上·上海嘉定·期中）已知，，其中分别是轴、轴正方向同向的单位向量 （1）若，求实数的值; （2）若与的夹角为钝角，求实数的取值范围. 1．（24-25高一下·浙江绍兴·期末）已知，，函数，当时，f（x）有最小值，则在上的投影向量为（    ） A． B． C．－ D．－ 2．（多选）（24-25高一下·浙江·月考）已知平面向量，，则的可能值为（    ） A．3 B．4 C． D． 3．（24-25高三上·浙江绍兴·期末）已知向量，及实数满足，若，则的最大值是 ． 4．（24-25高一下·吉林长春·期末）已知向量，满足，，. (1)求与的夹角； (2)若，求的值. 【经典例题十 求投影向量】 【例1】（24-25高一下·四川绵阳·期中）已知，则在上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高一下·上海·月考）已知向量，，． (1)若，所成角为钝角，求的取值范围； (2)若，求在上的投影向量（结果用坐标表示）． 1．（25-26高三上·辽宁抚顺·月考）已知向量，则向量在向量上的投影向量的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（多选）（24-25高一下·广东潮州·期中）若向量，，则（    ） A． B． C．在上的投影向量为 D．与的夹角为 3．（25-26高一上·江苏常州·期末）已知向量，其中，在方向上的投影向量是，则 ． 4．（24-25高一下·广东佛山·月考）已知向量与的夹角为，且， (1)求； (2)若，求； (3)求向量在向量上的投影向量的模． 【拓展训练一 数量积的相关求值】 【例1】（2026·广东湛江·一模）设为单位向量，且，则（   ） A．1 B． C． D．2 【例2】（24-25高一下·天津滨海新·期末）已知平面向量，的夹角为，且 . (1)求 的值； (2)当时， 求； (3)当时，求λ的值． 1．（2025·四川达州·一模）向量满足，则（ ） A． B．1 C． D． 2．（多选）（24-25高一下·四川攀枝花·期末）设是任意的非零向量，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．（25-26高三上·河南·月考）在平面几何中的“圆幂定理”有一个重要结论，即相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等.如图，已知圆的半径为是圆内的定点，为过点的直径，且，则 . 4．（25-26高一上·湖南邵阳·期末）已知在平面直角坐标系中，为坐标原点，，为上的两个动点，为弦的中点，点的坐标为，. (1)求； (2)若， （i）求； （ii）求的取值范围. 【拓展训练二 已知模求相关值】 【例1】（24-25高三上·新疆喀什·月考）如图，一滑轮组中有两个定滑轮，在从连接点O出发的三根绳的端点处，挂着三个重物1，2，3，它们所受的重力分别为4N，4N，N，以分别表示重物1，2对点O的拉力，则（    ） A．16 B．8 C． D．4 【例2】（24-25高一下·广西桂林·期中）已知，，且与夹角为120°．求： (1)； (2) 1．（2025·安徽·模拟预测）已知单位圆上有两点，，设向量，，若，则实数的值为（   ） A． B． C．1 D．2 2．（多选）（24-25高一下·江苏常州·月考）已知，点在内且，设，其中，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·河南许昌·期末）已知，为平面内不相等的两个单位向量，，且，则 ． 4．（25-26高一下·上海·课后作业）已知、是两个单位向量，且． （1）与能否垂直？请说明理由； （2）若与夹角为60°，求k的值． 1．（25-26高三上·安徽·开学考试）已知均为单位向量，且，则的最大值为（    ） A． B．2 C． D．3 2．（25-26高三上·山西晋城·月考）在菱形中，，点是的中点，点在线段上（包含端点），则的取值范围为（） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·北京房山·期末）已知向量满足与的夹角为，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·陕西咸阳·月考）已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高三上·河北唐山·期末）在中，，，，点在边上（不含端点），延长到，若．且，则线段的长度是（ ） A． B． C． D． 6．（多选）（24-25高一下·四川遂宁·期中）已知是三个向量，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D．若，则 7．（多选）（24-25高一下·陕西渭南·期末）已知向量，则下列说法正确的是（   ） A．或 B． C．命题“若，则”是假命题 D． 8．（多选）（24-25高一下·辽宁丹东·期末）已知向量，，均为单位向量，，则（    ） A． B． C． D． 9．（多选）（24-25高一下·江苏南京·期中）已知向量和满足，，，下列说法中正确的有（ ） A． B． C． D．与的夹角为 10．（多选）（2025高二·全国·专题练习）向量，满足，，，下列说法正确的是（    ） A． B．与的夹角为 C．在上的投影向量的模等于 D． 11．（25-26高三上·上海·开学考试）若单位向量满足，则在方向上的数量投影为 . 12．（2026高三·全国·专题练习）如图，设Ox，Oy是平面内相交成60°角的两条数轴，分别是与x轴，y轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系xOy中的坐标，假设.则 ． 13．（25-26高一上·福建厦门·期末）单位向量 满足，则 14．（24-25高一下·贵州·月考）已知，为单位向量，且，若，则 . 15．（24-25高一下·上海·期中）若非零向量满足，，则 ． 16．（24-25高一下·四川成都·期末）已知向量，的夹角为，且满足，. (1)求向量在向量上的投影数量； (2)若向量与向量共线，求k的值. 17．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，正方形的边长为2，点为边的中点，为边上一点，且，求． 18．（25-26高三上·安徽合肥·月考）已知向量与的夹角为，且，，若，. (1)当时，求实数的值； (2)求的最小值. 19．（24-25高一下·山东济南·月考）已知向量满足，，且的夹角为． (1)求； (2)求在上的投影向量； (3)若向量，求实数的取值． 20．（25-26高三上·山东济宁·期中）已知向量是单位向量，，与同向. (1)求向量； (2)若向量，，求在上的投影向量. 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题6.3 向量的数量积重难点题型专训 （2个知识点+10大题型+2大拓展训练+自我检测） 题型一 平面向量数量积的定义及辨析 题型二 平面向量数量积的几何意义 题型三 用定义求向量的数量积 题型四 数量积的运算律 题型五 已知数量积求模 题型六 向量夹角的计算 题型七 垂直关系的向量表示 题型八 已知模求数量积 题型九 已知模求参数 题型十 求投影向量 拓展训练一 数量积的相关求值 拓展训练二 已知模求相关值 知识点一： 向量的数量积 1、向量的夹角 （1）定义：已知两个非零向量，，是平面上的任意一点，作，， 则（）叫做向量与的夹角． （2）性质：当时，与同向；当时，与反向． （3）向量垂直：如果与的夹角是，我们说与垂直，记作． 2、向量的数量积的定义 （1）定义：非零向量与，它们的夹角为，数量叫做向量与的数量积(或内积)； （2）记法：向量与的数量积记作，即； 零向量与任一向量的数量积为0； 3、向量在上的投影向量 （1）设，是两个非零向量，，， 考虑如下变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量． （2）在平面内任取一点O，作，，过点M作直线的垂线，垂足为，则就是向量在向量上的投影向量，且． （3）注意：数量积等于的长度||与在的方向上的投影向量的“长度”的乘积，也等于的长度||与在的方向上的投影向量的“长度”的乘积 4、向量数量积的物理背景 如果一个物体在力的作用下产生位移，那么力所做的功就等于力与位移的数量积，即，其中是与的夹角。 【即时训练】 1．（24-25高一下·重庆·期中）在△ABC中，，，，则（    ） A．12 B．6 C． D． 【答案】C 【分析】利用向量数量积的定义求解. 【详解】△ABC中，，，，与的夹角为角的补角， 则. 故选：C 2．（24-25高一下·湖北·期末）在中，，，则中最小角的余弦值为 ． 【答案】/ 【分析】根据数量积的定义化简已知式后求解． 【详解】因为，所以， 又，所以，即，因此最小， 且， 故答案为：． 知识点二： 平面向量数量积的性质与运算律 1、平面向量数量积的性质 设，都是非零向量，是单位向量，θ为与(或)的夹角．则 （1）； （2）； （3）当与同向时，；当与反向时，； 特别地，或； （4）cos θ＝； （5） 2、平面向量数量积满足的运算律 （1）； （3）(λ为实数)； （3）； （4）两个向量，的夹角为锐角⇔且，不共线； 两个向量，的夹角为钝角⇔且，不共线． （5）平面向量数量积运算的常用公式 【即时训练】 1．（2026·四川巴中·一模）若 是夹角 的单位向量， ，则 （ ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】结合向量的模及数量积的公式即可求解. 【详解】因为 是夹角 的单位向量， 所以， . 故答案为：C 2．（25-26高三上·贵州·月考）已知向量垂直，且，，则 ． 【答案】 【分析】由题设可得，再根据平面向量数量积的运算律求解即可. 【详解】由题意，，，， 则. 故答案为：. 【经典例题一 平面向量数量积的定义及辨析】 【例1】（24-25高一下·陕西咸阳·月考）在等式①；②；③；④若，且，则；其中正确的命题的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】由零向量、向量数乘、数量积等概念和性质，即可判断正误，进而确定答案. 【详解】零向量与任何向量的数量积都为0，故①错误； 0乘以任何向量都为零向量，故②正确； 向量的加减、数乘满足结合律，而向量数量积不满足结合律，故③错误； 不一定有，如满足条件，结论不成立，故④错误； 故选：A 【例2】（24-25高一下·全国·课后作业）在中，已知，求： (1)； (2)在方向上的投影的数量； (3)在方向上的投影的数量． 【答案】(1) (2) (3)-4 【分析】（1）应用平面向量的数量积公式计算即可； （2）应用投影数量的公式计算即可； （3）应用投影数量的公式计算即可. 【详解】（1）． 为直角三角形，且． ． （2）． （3） 1．（25-26高一下·上海·课后作业）若、是两个向量，且，则（    ） A．、都是零向量 B．、中至少有一个是零向量 C．、都不是零向量，且 D．、中至少有一个是零向量，或、都不是零向量，且 【答案】D 【分析】根据向量数量积的定义分类讨论、中有无零向量，由此可得结果. 【详解】因为， 当、中有零向量时，则，所以，满足； 当、中没有有零向量时，若，则，所以； 综上可知，、中至少有一个是零向量或、都不是零向量且. 故选：D.. 2．（多选）（24-25高一下·河北·月考）在下列各组向量中，不能作为基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据基底的知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】对于A，不共线，可以作为基底； 对于B，方向相反，共线，不能作为基底； 对于C，，共线，不能作为基底； 对于D，，则方向相同，共线，不能作为基底. 故选：BCD 3．（24-25高一下·吉林长春·月考）如图，直线与的边分别相交于点．设．则 ． 【答案】 【分析】根据图形易得，结合数量积可得，根据数量积的定义代入运算整理即可，注意向量夹角的分析理解． 【详解】因为，则， 即， 又因为， ， ， 所以， 即. 故答案为：. 4．（24-25高一下·黑龙江黑河·期末）已知平面向量，满足：，，与的夹角为. (1)求； (2)设平面向量，，若，的夹角为锐角，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用向量数量积的定义求解即可； （2）利用向量夹角为锐角的充要条件是两向量积大于0且这两向量不同向共线，再利用向量积的运算和共线运算即可. 【详解】（1）因为，，与的夹角为， 所以； （2）因为向量与的夹角为锐角， 所以且与不同向共线. 可得：， 将，，代入上式可得：， 整理得：，可得. 若两向量同向共线，则存在实数，使得，即. 所以，解得. 所以当两向量不同向共线时，. 综合以上两个条件，实数的取值范围是. 【经典例题二 平面向量数量积的几何意义】 【例1】（24-25高一下·广东清远·期中）已知是圆的弦，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数量积的几何意义即可求解。 【详解】如图：取弦的中点为, , 故选:D 【例2】（24-25高一上·上海·课后作业）已知. (1)在方向上的数量投影为4，求； (2)，求在方向上的数量投影； (3)、的夹角为，求在方向上的数量投影. 【答案】(1)20 (2) (3) 【分析】（1）由数量积的定义，代入计算，即可求解； （2）由投影数量的定义，代入计算，即可求解； （3）由投影数量的定义，代入计算，即可求解； 【详解】（1）由题意可得，所以. （2）. （3）. 1．（2025·广东佛山·三模）如图，已知矩形的边长满足，以为圆心的圆与相切于，则（    ） A． B． C．8 D． 【答案】A 【分析】由，根据等面积可得，由及向量数量积几何意义求解即可. 【详解】由已知条件可知，，因此． 故． 故选：A 2．（多选）（24-25高一下·湖南·期中）向量满足：，，，则向量在向量上的投影向量的模的可能值是（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】ACD 【分析】根据题意，结合向量在向量上的投影向量的模公式，即可求解. 【详解】由题意，向量满足且， 所以向量在向量上的投影向量的模为. 故选：ACD 3．（24-25高一下·上海虹口·期中）在边长为的正六边形中，点为其内部或边界上一点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用数量积的几何意义去求的取值范围即可解决. 【详解】正六边形中，过点作于，    则，，， ， 由图可知，在方向上的投影的取值范围是， 所以，， 即，故的取值范围为. 故答案为：. 4．（2026高二·全国·专题练习）已知，，，是空间不共面的单位向量，且满足.若向量，λ∈R，求在上的投影向量的模的最大值. 【答案】. 【分析】利用空间向量的数量积运算，向量投影的计算公式得到在上的投影向量的模为，再利用二次函数求最值即可. 【详解】因为，，，是空间不共面的单位向量 ， 设t＝λ，则λ＝t，， ∵求模的最大值，不妨设t＝λ0， 在上的投影向量的模为 设，则， 在上的投影向量的模的最大值为. 【经典例题三 用定义求向量的数量积】 【例1】（25-26高二上·河北邢台·月考）若向量满足，则（    ） A． B． C．1 D．－1 【答案】B 【分析】利用数量积的运算律以及定义即可得出. 【详解】由题意可得，， 则． 故选：B 【例2】（24-25高一下·山东菏泽·月考）已知向量与的夹角为，且，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）根据题意，利用向量的数量积的定义即可求解；（2）根据题意，利用向量的数量积的运算律，直接计算，即可求解； 【详解】（1）因为向量与的夹角为，且，， 则． （2）因为向量与的夹角为，且，，且, 可得 1．（25-26高二上·湖北·月考）已知等边的边长为2，点是平面内任意一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D．0 【答案】B 【分析】记，用平面向量的数量积运算解题． 【详解】设等边的重心为，记， 则有， 从而 ， 又， 可得， 所以，当时，取得最小值. 故选：B. 2．（多选）（24-25高一下·河北·期末）下列关于非零向量的说法正确的是（    ） A．若共线，则 B．若，则共线 C．若，则的夹角为锐角 D．若的夹角为锐角，则 【答案】BD 【分析】由向量共线的意义、数量积的几何意义逐一判断各个选项即可得解. 【详解】对于选项A，当方向相反时，，故选项A错误； 对于选项B，若，则方向相同，即共线，故选项B正确； 对于选项C，若的夹角为锐角或的方向相同，故选项C错误； 对于选项D，若的夹角为锐角，故选项D正确. 故选：BD. 3．（2025高一·全国·专题练习）如图，在中，是的中点，点在边上，，与的交点为，若，，则 ． 【答案】 【分析】根据向量的线性关系及三点共线结合数量积公式及运算律计算求解. 【详解】因为是的中点，所以． 因为，所以． 因为三点共线， 设， 因为三点共线， 则，解得，所以， ， 则． 故答案为：. 4．（24-25高一下·北京海淀·期末）已知向量，，，. (1)求； (2)若与垂直，求实数的值； (3)若（），求的最小值及其相应的值. 【答案】(1)3 (2) (3)，最小值 【分析】（1）由数量积的定义即可求解； （2）由数量积的运算律、向量垂直的定义即可列方程求解； （3）由数量积的运算律将所求转换为的函数即可求解. 【详解】（1）因为，，， 所以. （2）因为与垂直，、， 所以，所以， 所以. （3）． 当时，有最小值. 【经典例题四 数量积的运算律】 【例1】（25-26高二上·云南昆明·期末）在中，为的中点，则（    ） A．0 B．16 C．40 D．32 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律计算得解. 【详解】在中，由，得，则， 由为的中点，得， 所以. 故选：D 【例2】（2025高二·全国·专题练习）已知空间四边形，求证：． 【答案】证明见解析． 【分析】从等式右边向等式左边证明较易，利用向量的加减法法则、向量数量积的运算律和完全平方公式，向进行转化． 【详解】 ， 故得证． 1．（2026·安徽黄山·一模）已知，在上的投影向量是，则（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】根据投影向量计算公式得，再平方后展开代入计算即可. 【详解】由题意得在上的投影向量为， 则，则， 则. 故选：B. 2．（25-26高二上·广西贺州·期末）在平行四边形中，，则（    ） A．3 B． C．6 D． 【答案】D 【分析】用、表示出、，再由数量积的运算律计算可得. 【详解】在平行四边形中，，， 所以 . 故选：D 3．（25-26高三上·湖北武汉·月考）在平行四边形中，，，，若，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】由计算，代入数值计算得到二次函数，利用二次函数的图像求最小值. 【详解】因为，，，， 所以 ， 所以当时，有最小值，所以的最小值为. 故答案为：. 4．（2025高一·全国·专题练习）已知是非等边外接圆上一点，则当点位于何处时，分别取得最大值和最小值？ 【答案】详见解析 【分析】借助外心，用向量表示各条边，并用欧拉线的性质转化即可求解最值． 【详解】 如图，设外接圆半径为是外心，为垂心． ， 为的外心，为垂心，则有， 当为的反向延长线与外接圆的交点时，有最大值， 当为的延长线与外接圆的交点时，有最小值． 【经典例题五 已知数量积求模】 【例1】（2026高二上·云南·学业考试）若向量，满足，，，则（    ） A．6 B．5 C． D． 【答案】C 【分析】根据模长的平方关系结合数量积的运算律求解即可. 【详解】因为，，， 则，所以. 故选：C. 【例2】（24-25高一下·安徽·月考）已知. (1)若的夹角为，求; (2)若，求与的夹角θ. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用向量的数量积的定义可求得，利用可求解. （2）利用，可求得，可求得. 【详解】（1）因为， 所以. （2）因为，所以 ， 所以，又因为，所以. 1．（25-26高三上·湖北·期末）已知向量满足在上的投影向量是，则的最小值为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【分析】利用投影向量求出，利用求出，最后利用向量的模的计算公式即可. 【详解】因为，在上的投影向量是，所以，则， 则， 因为，所以， 则的最小值为. 故选：A 2．（25-26高三上·安徽合肥·开学考试）已知两个单位向量满足，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】由通过平方得到，再通过平方即可求解. 【详解】由，得，所以， 所以． 故选：C． 3．（25-26高三上·北京昌平·期末）在中，，，则 . 【答案】4 【分析】根据三角形的性质，以及余弦定理解出三角形，再根据向量数量积的运算律，求出结果即可. 【详解】因为，，所以， 可知， ， 即. 故答案为：4. 4．（24-25高二上·浙江·开学考试）已知单位向量满足． (1)求； (2)当为何值时，与垂直？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将平方，再开方可得； （2）由题意可得，利用平面向量的数量积运算求出结果. 【详解】（1）因为是单位向量,所以，又， 所以，所以； （2）因为与垂直，所以， 则， 又，， 所以，所以． 【经典例题六 向量夹角的计算】 【例1】（2025高三·全国·专题练习）向量，，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件求出、、的值，再根据向量夹角余弦值公式计算即可. 【详解】解析：因为，所以， 所以，即， 即，所以 又，， 所以， ， ， 所以. 故选：D. 【例2】（25-26高二上·上海·开学考试）已知平面向量，且．求： (1)的值； (2)向量与夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用向量数量积的运算律化简条件等式计算即得； （2）利用两向量的夹角公式计算即得. 【详解】（1）因， 则， 可得； （2）因， ， 设向量与的夹角为， 则. 1．（25-26高一上·云南昭通·期末）已知向量，满足，，，则向量，的夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量夹角的余弦公式求解即可. 【详解】，，，，所以， 故选：A． 2．（25-26高三上·贵州·月考）已知单位向量，满足，则向量与夹角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据向量垂直的性质得到数量积等式，再结合单位向量的模长，利用向量夹角公式求解夹角大小. 【详解】已知单位向量和 满足， 则它们的点积为零,， 解得，由于和是单位向量，设夹角为， 则：， 在范围内，. 故选：D. 3．（25-26高三上·河北邯郸·期中）已知向量，满足，，的夹角是，则与的夹角是 ． 【答案】/ 【分析】根据向量的夹角公式求解，即可得答案. 【详解】由题意得，故， 则， 结合，故与的夹角是． 故答案为： 4．（24-25高一下·海南海口·期末）已知向量满足：，且． (1)求向量与的夹角； (2)设向量，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合条件，利用数量积的运算，得到，再利用夹角公式，即可求解； （2）根据条件，利用数量积的运算得，即可求解. 【详解】（1）因为，又， 所以，得到， 所以，又，则； （2）因为，则， 所以当时，取得最小值，最小值为. 【经典例题七 垂直关系的向量表示】 【例1】（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知平面向量满足，且，则（   ） A．32 B．16 C．8 D．4 【答案】D 【分析】根据平面向量垂直公式可求出，再将问题平方后开根号代入即可. 【详解】；. ；；. . 故选：D. 【例2】（24-25高一上·浙江·期末）已知平面向量、满足，，与的夹角为． (1)求； (2)当实数为何值时，． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用平面向量的数量积的运算性质进行运算即可； （2）根据条件得，利用数量积的运算性质进行运算，化简后解方程即可. 【详解】（1）因为，，与的夹角为． 所以， 所以. （2）因为， 所以， 化为，解得. 1．（25-26高三上·江苏常州·期末）已知两个非零向量．若，则锐角（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量垂直的坐标运算求解即可. 【详解】因为两个非零向量．且， 所以，因为不为0， 所以,则锐角， 故选:A 2．（多选）（25-26高二上·辽宁·开学考试）下列关于向量的说法中，正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若同向，则 D．若不共线，则 【答案】BC 【分析】对于A，易知时不成立；对于B，由垂直的向量表示可得；对于C，由向量的模长的线性运算可得；对于D，易知不共线，但模长可能相等. 【详解】若都是非零向量，，则显然满足已知条件，但是结论不一定成立，故A错误； 当 时，若或 为零向量，根据规定，零向量与任意向量垂直，结论成立； 若和 均为非零向量，则两向量的夹角为，即 ，综上，B正确； 若同向，不妨设，则，故C正确； 因为不管是否共线，，都有可能相等，所以D错误． 故选：BC. 3．（24-25高一下·上海·期中）已知，，且，则的值为 . 【答案】 【分析】由向量垂直及数量积的运算律可得，结合已知求参数值. 【详解】由题设，即. 故答案为： 4．（24-25高一下·陕西渭南·期末）已知向量，，若，，与的夹角为． (1)求； (2)当为何值时，向量与向量互相垂直？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平面向量数量积定义计算结合模长公式求解； （2）应用垂直数量积为0结合数量积运算律计算求参即可. 【详解】（1）， ． （2）当向量与向量互相垂直时，， 即，即，解得． 所以当时，向量与向量互相垂直. 【经典例题八 已知模求数量积】 【例1】（25-26高三上·云南·月考）已知向量满足：，且，则的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先计算，再根据数量积公式，即可求解. 【详解】因为，所以，所以， 所以，所以. 故选：D． 【例2】（24-25高一下·内蒙古兴安盟·月考）已知，，.求： (1)； (2). 【答案】(1)5 (2) 【分析】（1）由两边平方，根据向量数量积的运算性质进行计算即可； （2）根据向量长度与向量数量积的关系进行转化即可. 【详解】（1）， 平方得，即, 则. （2）， 则. 1．（24-25高三上·福建厦门·期中）已知，，均为单位向量，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将原等式转化为，两边取平方后化简计算即得. 【详解】由可得， 两边取平方，， 因，，均为单位向量，则得， 故. 故选：A. 2．（多选）（2024高三·全国·专题练习）已知单位向量满足，则（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AC 【分析】根据向量的线性运算、数量积的运算性质、向量的模长与数量积的关系逐项验证即可得结论. 【详解】单位向量，则， 对于A，因为，所以，所以，A正确； 对于B，若，则，两边同时平方可得，即，解得，B错误； 对于C，若，且，两边同时平方可得，即，又，解得，C正确； 对于D，因为，两边同时平方可得，即，解得且，D错误． 故选：AC. 3．（25-26高三·全国·假期作业）向量，，满足，，，则 ． 【答案】 【分析】应用数量积的运算律结合模长的平方计算求解. 【详解】由，得， 故 ∴． 故答案为：. 4．（25-26高二上·四川成都·月考）已知，且 (1)求与的夹角； (2)若，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件，利用向量数量积的运算，得到，再利用向量的夹角公式，即可求解； （2）根据条件，利用数量积的运算，得，即可求解. 【详解】（1）因为，又， 则，所以，得到， 所以，又，所以， 故与的夹角为. （2）由，得到， 又，，所以， 整理得到，解得，所以实数的值为. 【经典例题九 已知模求参数】 【例1】（2025·福建·模拟预测）已知向量，夹角为，且，，则（    ） A．3 B． C．4 D．5 【答案】D 【分析】将方程两边平方，然后结合数量积的定义可算出答案. 【详解】因为向量，夹角为，且，， 所以，解得， 故选：D 【例2】（24-25高二上·上海嘉定·期中）已知，，其中分别是轴、轴正方向同向的单位向量 （1）若，求实数的值; （2）若与的夹角为钝角，求实数的取值范围. 【答案】（1）或；（2）. 【分析】（1）由模长运算可直接构造方程求得结果； （2）根据向量夹角为钝角可得且与不共线，由此构造不等式组求得结果. 【详解】（1），，解得：或； （2）与的夹角为钝角，且与不共线， ，解得：且，实数的取值范围为. 1．（24-25高一下·浙江绍兴·期末）已知，，函数，当时，f（x）有最小值，则在上的投影向量为（    ） A． B． C．－ D．－ 【答案】C 【分析】根据题意写出的表达式，结合二次函数知识求得，根据投影向量的定义即可求得答案. 【详解】由题意得，, ， 当时，有最小值， 即， 则在上的投影向量为 ， 故选：C 2．（多选）（24-25高一下·浙江·月考）已知平面向量，，则的可能值为（    ） A．3 B．4 C． D． 【答案】AB 【分析】先对平方得到，结合图形可得答案. 【详解】因为，，所以； 设，作出简图， 易知，由图可知，当直线经过点时，有最大值6； 当直线经过点时，有最小值； 所以. 故选：AB. 3．（24-25高三上·浙江绍兴·期末）已知向量，及实数满足，若，则的最大值是 ． 【答案】 【解析】根据，整理为，再两边平方结合，得到，然后利用基本不等式求解. 【详解】因为， 所以， 两边平方得， 因为，即， 所以， 而， 所以， 解得，当且仅当时等号成立， 所以的最大值是 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题关键是由这一信息，将，转化为，再遇模平方，利用基本不等式从而得解. 4．（24-25高一下·吉林长春·期末）已知向量，满足，，. (1)求与的夹角； (2)若，求的值. 【答案】(1)； (2)或． 【分析】（1）由数量积的运算律求得，再根据数量积的定义求得夹角； （2）模的平方转化为数量积运算后求解． 【详解】（1）由已知， ， ，， 又，所以； （2）， 解得或． 【经典例题十 求投影向量】 【例1】（24-25高一下·四川绵阳·期中）已知，则在上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用投影向量的定义求解. 【详解】因为， 所以， ， 所以. 故选：B 【例2】（24-25高一下·上海·月考）已知向量，，． (1)若，所成角为钝角，求的取值范围； (2)若，求在上的投影向量（结果用坐标表示）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，所成角为钝角，则且夹角不能为即可求解； （2）根据可求，再利用投影向量的计算公式求解即可. 【详解】（1），所成角为钝角，， 又时，，此时，所成角为， 所以的取值范围为. （2），， ，， 所以在上的投影向量为. 1．（25-26高三上·辽宁抚顺·月考）已知向量，则向量在向量上的投影向量的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量在向量上的投影向量公式求解. 【详解】，，， 向量在向量上的投影向量为，则其坐标为． 故选：A. 2．（多选）（24-25高一下·广东潮州·期中）若向量，，则（    ） A． B． C．在上的投影向量为 D．与的夹角为 【答案】BC 【分析】用模公式算判断A；用数量积公式算B；根据投影向量公式判断C；利用夹角余弦公式定夹角判断D项. 【详解】对于A，因为，所以，故A错误. 对于B，又，所以，故B正确. 对于C，易得，所以在上的投影向量为，故C正确. 对于D，因为，又，所以，D错误. 故选: BC 3．（25-26高一上·江苏常州·期末）已知向量，其中，在方向上的投影向量是，则 ． 【答案】3 【分析】由投影向量的计算公式即可求解. 【详解】因为在方向上的投影向量是， 即，又， 所以， 所以 故答案为：3 4．（24-25高一下·广东佛山·月考）已知向量与的夹角为，且， (1)求； (2)若，求； (3)求向量在向量上的投影向量的模． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）转化为求平面向量的数量积，对平方再开方可求出结果； （2）根据，以及平面向量数量积的运算律和定义可求出结果. （1）根据题意结合投影向量的模的概念与计算公式即可求解； 【详解】（1）因为， 又与的夹角为，所以． ∴ ； （2）因为，所以， 即， 即，解得. （3）因为，，且与的夹角为， 所以 ； , 则在上的投影向量的模为. 【拓展训练一 数量积的相关求值】 【例1】（2026·广东湛江·一模）设为单位向量，且，则（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】根据向量模的关系得，再计算即可. 【详解】因为为单位向量，所以， 因为，平方得，即， 所以，即. 故选：B． 【例2】（24-25高一下·天津滨海新·期末）已知平面向量，的夹角为，且 . (1)求 的值； (2)当时， 求； (3)当时，求λ的值． 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】（1）由数量积的定义即可求解； （2）当，，两边平方，利用向量数量积求； （3）当时，有，利用向量数量积求的值. 【详解】（1）因为平面向量，的夹角为，且，， 所以； （2）当，， 则， 所以. （3）当时，， 所以. 1．（2025·四川达州·一模）向量满足，则（ ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】先求出，代入即可得出答案. 【详解】因为所以 所以，所以. 故选：D. 2．（多选）（24-25高一下·四川攀枝花·期末）设是任意的非零向量，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BC 【分析】根据数量积的定义与数量积的运算律逐一判断即可. 【详解】对于A选项，时，或，故A错误； 对于B选项，若，则，所以， ，所以，故B正确； 对于C选项，，则，即， 所以，故C正确； 对于D选项，，则与共线同向，故D错误． 故选：BC. 3．（25-26高三上·河南·月考）在平面几何中的“圆幂定理”有一个重要结论，即相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等.如图，已知圆的半径为是圆内的定点，为过点的直径，且，则 . 【答案】12 【分析】由“相交弦定理”得到，再结合，由向量数量积的运算律即可求解. 【详解】由，得， ，由，得， 所以 . 故答案为：12 4．（25-26高一上·湖南邵阳·期末）已知在平面直角坐标系中，为坐标原点，，为上的两个动点，为弦的中点，点的坐标为，. (1)求； (2)若， （i）求； （ii）求的取值范围. 【答案】(1)4 (2)（i）；（ii）. 【分析】（1）由题意可知，再根据向量数量积的定义计算即可； （2）（i）根据圆的性质和向量的垂直关系求解即可； （ii）先求得，再结合圆的性质和行了模的计算公式求解即可． 【详解】（1）解：因为为弦的中点，所以且， 所以 ， 所以； （2）（i）因为，，， 所以，所以. （ii）由（i）知，点在以点为圆心，半径为的圆上， 由， ， 所以 所以． 【拓展训练二 已知模求相关值】 【例1】（24-25高三上·新疆喀什·月考）如图，一滑轮组中有两个定滑轮，在从连接点O出发的三根绳的端点处，挂着三个重物1，2，3，它们所受的重力分别为4N，4N，N，以分别表示重物1，2对点O的拉力，则（    ） A．16 B．8 C． D．4 【答案】B 【分析】根据题意可得，，结合平面向量的数量积求. 【详解】由题意：，. 所以. 故选：B 【例2】（24-25高一下·广西桂林·期中）已知，，且与夹角为120°．求： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）利用向量的数量积的定义与运算法则，结合转化法即可得解. 【详解】（1）因为，，， 所以，， 所以. （2）因为， 所以. 1．（2025·安徽·模拟预测）已知单位圆上有两点，，设向量，，若，则实数的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】由题意，，由得，进而可得. 【详解】由题可得，，， 因为，，且， 所以， ，解得. 故选：B 2．（多选）（24-25高一下·江苏常州·月考）已知，点在内且，设，其中，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】结合向量的数量积，逐一验证，即可. 【详解】解：，故A错误； 根据题意，与的夹角为，所以, 即, 故选：BCD 3．（24-25高一下·河南许昌·期末）已知，为平面内不相等的两个单位向量，，且，则 ． 【答案】/ 【分析】根据已知条件判断出，的夹角，进而计算出. 【详解】依题意，， 由于，所以，同理可得， 由于，不相等，所以，的夹角为， 所以. 故答案为： 4．（25-26高一下·上海·课后作业）已知、是两个单位向量，且． （1）与能否垂直？请说明理由； （2）若与夹角为60°，求k的值． 【答案】（1）不能垂直，理由见解析；（2）． 【分析】（1）将已知条件平方，根据进行化简，由此得到的结果，根据结果不为零说明不能垂直； （2）根据（1）中的化简结果，代入模长和夹角由此得到关于的方程，从而求解出的值. 【详解】（1）∵，∴， ∴， 且由化简可得． ∵，∴．∴与不能垂直． （2）∵与夹角为60°，且， ∴， ∴，解得． 1．（25-26高三上·安徽·开学考试）已知均为单位向量，且，则的最大值为（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】C 【分析】利用数量积的运算律求得，再结合数量积的定义即可求解. 【详解】由题意，则， 设与的夹角为，则， 显然最大值为，此时. 故选：C 2．（25-26高三上·山西晋城·月考）在菱形中，，点是的中点，点在线段上（包含端点），则的取值范围为（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，根据向量的线性运算及数量积可得，结合得到范围即可． 【详解】设，因为四边形是菱形， 所以， 由点是的中点，得， 由题意得，， 所以 ， 因为，所以的取值范围是． 故选：D． 3．（25-26高三上·北京房山·期末）已知向量满足与的夹角为，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数量积的性质，结合二次函数性质求解可得. 【详解】因为与的夹角为，所以， 所以， 由二次函数性质可知，当时，取得最小值， 所以，所以，即的取值范围为. 故选：D 4．（25-26高三上·陕西咸阳·月考）已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】两模长平方后，相减得到，结合垂直关系得到方程，求出. 【详解】因为， 所以， 两式相减得，即. 又，所以，所以，从而. 故选：B. 5．（25-26高三上·河北唐山·期末）在中，，，，点在边上（不含端点），延长到，若．且，则线段的长度是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平面向量数量积的运算性质可求出的值，分析可知为的中点，即可求出的长. 【详解】在中，，，，则， 因为， 则 ， 整理可得，解得或， 当时，则，此时点为的中点， 由题意可知点为线段与的交点，即点与点重合，不符合题意， 当时，，由题意可知，四边形为矩形， 因为为线段与的交点，则为的中点， 故， 故选：B. 6．（多选）（24-25高一下·四川遂宁·期中）已知是三个向量，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D．若，则 【答案】AB 【分析】根据向量的数量积的运算公式，以及向量的数量积的运算律，结合向量数量积的几何意义，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，由数量积的运算公式，可得， 所以，所以A正确； 对于B中，由向量数量积的运算律，可得，所以B正确； 对于C中，，， 所以与不一定相等，所以C错误； 对于D中，由，若向量，此时，而与不一定相等，所以D错误. 故选：AB. 7．（多选）（24-25高一下·陕西渭南·期末）已知向量，则下列说法正确的是（   ） A．或 B． C．命题“若，则”是假命题 D． 【答案】BC 【分析】根据向量的数量积公式和性质逐一判断即可. 【详解】对于A，若，则，可能是，，不一定是或，故A错误； 对于B，若，则，，，反之，若，则，可能是，或或，且零向量和任何向量垂直，故，B正确； 对于C，若，则，可能是，不一定是，故命题“若，则”是假命题，C正确； 对于D，是数量，则表示与共线的向量，是数量，则表示与共线的向量，与不一定共线，则不成立，故D错误. 故选：BC. 8．（多选）（24-25高一下·辽宁丹东·期末）已知向量，，均为单位向量，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由，所以，再平方可得，再逐项验证即可. 【详解】因为，所以， 即， 所以，故A正确； 又，故B错误； 因为，所以，故C正确； 由，所以，故D正确. 故选：ACD. 9．（多选）（24-25高一下·江苏南京·期中）已知向量和满足，，，下列说法中正确的有（ ） A． B． C． D．与的夹角为 【答案】AC 【分析】将已知等式两边平方可判断A；根据垂直向量的数量积为0可判断B；利用性质计算可判断C；由向量夹角公式直接计算可判断D. 【详解】， 将，的代入，可得，故A正确； ，故B错误； ，故，C正确. 设与的夹角为，则， 故，又，故，D错误. 故选：AC. 10．（多选）（2025高二·全国·专题练习）向量，满足，，，下列说法正确的是（    ） A． B．与的夹角为 C．在上的投影向量的模等于 D． 【答案】BCD 【分析】根据向量数量积的运算律结合题干条件即可判断选项A；由平面向量的数量积定义即可判断选项B；根据投影向量的计算公式即可判断选项C；根据向量数量积的运算律计算即可判断选项D. 【详解】∵，，， ∴，∴，故选项A错误； 设的夹角为， 则，∴，∵，∴，故选项B正确； ∵在上的投影向量为，∴在上的投影向量的模等于，故选项C正确； ∵，∴，故选项D正确. 故选：BCD. 11．（25-26高三上·上海·开学考试）若单位向量满足，则在方向上的数量投影为 . 【答案】 【分析】对已知等式进行平方，结合平面向量的数量积运算公式、数量投影定义进行求解即可. 【详解】 ， 则在方向上的数量投影为. 故答案为： 12．（2026高三·全国·专题练习）如图，设Ox，Oy是平面内相交成60°角的两条数轴，分别是与x轴，y轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系xOy中的坐标，假设.则 ． 【答案】 【分析】先根据向量数量积的公式及运算性质求出及，再根据计算即可得解. 【详解】因为， 所以， 所以. 故答案为： 13．（25-26高一上·福建厦门·期末）单位向量 满足，则 【答案】/0.5 【分析】根据向量数量积的运算律计算即得. 【详解】由两边取平方，可得， 因，则. 故答案为：. 14．（24-25高一下·贵州·月考）已知，为单位向量，且，若，则 . 【答案】/ 【分析】根据向量夹角的余弦公式和向量数量积的运算律进行求解即可. 【详解】因，，， 由， 而， 所以， 故答案为：. 15．（24-25高一下·上海·期中）若非零向量满足，，则 ． 【答案】 【分析】首先可得，再将两边平方计算可得. 【详解】因为，所以， 又，所以， 即，即，解得（负值舍去）； 故答案为： 16．（24-25高一下·四川成都·期末）已知向量，的夹角为，且满足，. (1)求向量在向量上的投影数量； (2)若向量与向量共线，求k的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先根据数量积的定义求出，然后求出，最后带入投影数量公式进行计算即可； （2）由共线设，再根据平面向量基本定理列方程求解. 【详解】（1）因为，，且向量与的夹角为， 所以， 所以. 所以向量在向量上的投影数量为 （2）若向量与向量共线，则存在实数，使， 所以，解得. 17．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，正方形的边长为2，点为边的中点，为边上一点，且，求． 【答案】 【分析】根据投影向量定义计算结合已知得出，再应用角互余得出点是靠近点的四等分点，进而得解. 【详解】正方形的边长为2，点为边的中点 在上的投影的数量为． 所以， 所以， 所以，所以， 所以， 所以 ． 18．（25-26高三上·安徽合肥·月考）已知向量与的夹角为，且，，若，. (1)当时，求实数的值； (2)求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，结合向量数量积的定义及运算律即可求解； （2）由，平方得到，通过配方法即可求解. 【详解】（1）因为，所以，即， 所以， 因为向量与的夹角为，且，， 所以， 所以，所以. （2）因为， 所以， 由（1）知，且，， 所以， 则， 故当时，最小为. 19．（24-25高一下·山东济南·月考）已知向量满足，，且的夹角为． (1)求； (2)求在上的投影向量； (3)若向量，求实数的取值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）利用数量积的运算律及数量积的定义计算得解. （2）利用投影向量的定义求解. （3）利用垂直关系的向量表示，数量积的运算律求解. 【详解】（1）由，的夹角为，得， 所以．则． （2）由（1）知，，而 所以在上的投影向量为. （3）由向量与向量垂直，得， 即，则， 整理得，所以. 20．（25-26高三上·山东济宁·期中）已知向量是单位向量，，与同向. (1)求向量； (2)若向量，，求在上的投影向量. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量同向列方程，由此求得. （2）根据向量垂直列方程求得，根据投影向量的知识求得在上的投影向量. 【详解】（1）设向量，. 是单位向量  ，解得， . （2），，解得， . ， ，. 在上的投影向量为. 学科网（北京）股份有限公司 $