专题6.2 向量的加减法、数乘运算（3个知识点+10大题型+3大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年高一数学重难点专题提升精讲精练（人教A版必修第二册）

专题6.2 向量的加减法、数乘运算重难点题型专训 （3个知识点+10大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 向量加法的法则 题型二 向量加法的运算律 题型三 向量加法法则的几何应用 题型四 向量减法的法则 题型五 向量减法的运算律 题型六 向量减法法则的几何应用 题型七 向量数乘的有关计算 题型八 平面向量的混合运算 题型九 向量的线性运算的几何应用 题型十 三角形的心的向量表示 拓展训练一 向量的加法运算 拓展训练二 向量的减法运算 拓展训练三 向量的数乘运算 知识点一： 向量的加法 1、定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法。 2、三角形法则：已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作＝a，＝b，再作向量， 向量叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋＝ 3、平行四边形法则：已知不共线的两个向量a，b，在平面内任取一点O， 以同一点O为起点的两个已知向量a，b为邻边作▱OACB，对角线就是a与b的和 【规定】零向量与任一向量a的和都有a＋0＝0＋a＝. 【注意】（1）在使用向量加法的三角形法则时，要注意“首尾相接”，即第一个向量的终点与第二个向量的起点重合，则以第一个向量的起点为起点，并以第二个向量的终点为终点的向量即两向量的和； （2）平行四边形法则的应用前提是“共起点”，即两个向量是从同一点出发的不共线向量． 4、向量加法的运算律 结合律：a＋b＝b＋a 交换律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 【即时训练】 1．（25-26高三上·湖北随州·期末）在梯形中，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量的加法运算求解. 【详解】在梯形中，，， 所以． 故选：D.    2．（24-25高二上·山东潍坊·开学考试）化简： ． 【答案】 【分析】利用向量的线性运算求解即可. 【详解】. 故答案为： 知识点二： 向量的减法运算 1、相反向量：与a长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作－a. （1）规定：零向量的相反向量仍是仍是零向量； （2）－(－a)＝a； （3）a＋(－a)＝(－a)＋a＝0； （4）若a与b互为相反向量，则a＝－b，b＝－a，a＋b＝0. 【注意】相反向量与相等向量一样，从“长度”和“方向”两方面定义，相反向量必为平行向量． 2、向量的减法 （1）定义：a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量. （2）几何意义：以O为起点，作向量＝a，＝b，则 ＝a－b， 如图所示，即a－b可表示从向量b的终点指向向量a的终点的向量． 【注意】在用三角形法则作向量减法时，只要记住“连接向量终点，箭头指向被减向量”即可． 【即时训练】 1．（24-25高一下·四川成都·期末）在中，已知，记，则（    ） A．3 B．2 C．1 D．4 【答案】C 【分析】根据向量减法运算，再求模. 【详解】. 故选：C 2．（25-26高一上·上海黄浦·月考）在菱形中，若，则 ． 【答案】1 【分析】根据向量减法的运算法则，结合菱形的几何性质可求得正确答案. 【详解】因为四边形为菱形，所以， 又因为，所以是等边三角形，即. 所以. 故答案为：1 知识点三： 向量的数乘运算 1、定义：规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作：λa，它的长度与方向规定如下：①|λa|＝|λ||a|； ②当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反． 2、运算律：设λ，μ为任意实数，则有： ①λ(μ a)＝(λμ)a； ②(λ＋μ)a＝λa＋μ a； ③λ(a＋b)＝λa＋λb； 特别地，有(－λ)a＝λ(－a)＝－(λa)； λ(a－b)＝λa－λb. 3、线性运算:向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，向量线性运算的结果仍是向量． 对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a＋μ2b)＝λμ1a±λμ2b. 【即时训练】 1．（24-25高一下·辽宁抚顺·开学考试）已知点在线段上，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，画出草图，可明确两向量的关系. 【详解】因为点在线段上，且. 根据题意，可得图形： 可设，则，， 且与方向相反，所以. 故选：C 2．（2024·北京顺义·二模）若非零向量满足，且，则能使得成立的一组可以是 ， 【答案】 （答案不唯一） （答案不唯一） 【分析】根据数乘定义可判断，结合即可求解. 【详解】因为，即， 所以，且，即， 又，即， 所以满足，且的向量都满足条件， 故可取. 故答案为：；（答案不唯一）. 【经典例题一 向量加法的法则】 【例1】（24-25高一下·广东揭阳·月考）对于任意一个四边形，下列式子不能化简为的有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由平面向量的加法法则，逐项判断即可. 【详解】在A中，； 在B中，； 在C中，； 在D中，． 故选：C. 【例2】（24-25高一下·全国·课堂例题）如图（1）（2），已知向量，，，求作向量和． 【答案】答案见解析 【分析】根据向量加法的平行四边形法则及共线向量的加法法则即可得解. 【详解】（1）作法：在平面内任意取一点，作，，则，如图所示． （2）在平面内任意取一点，作，，，则，如图所示． 1．（24-25高三上·吉林长春·期末）在平行四边形中，已知，分别为，的中点，直线，交于，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，用表示出，根据共线定理推论求出，然后可得. 【详解】 设， 则， 又， 所以， 因为三点共线，所以，解得， 所以. 故选：B 2．（多选）（24-25高一下·全国·课后作业）（多选）已知向量，皆为非零向量，下列说法正确的是（   ） A．若与反向，且，则与同向 B．若与反向，且，则与同向 C．若与同向，则与同向 D．若与同向，则与同向 【答案】ACD 【分析】利用共线向量的定义和加法运算判断. 【详解】与反向，且，则与同向，故选项A正确，选项B错误； 与同向，则与同向，也与同向．故选项C，D正确； 故选：ACD． 3．（2025·全国·三模）设为平行四边形对角线的交点，为平行四边形所在平面内任意一点，，则 ． 【答案】4 【详解】 ，，故答案为. 4．（24-25高一下·吉林延边·期中）如图所示，在中，与相交于点. (1)用和分别表示和； (2)若，求实数和的值. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由平面向量的数乘与加法，可得答案； （2）根据平面向量共线定理的推论，由（1）代入，得到方程，可得答案. 【详解】（1）由，可得. （2）（2）设，将 代入，则有， 即，解得， 故，即. 【经典例题二 向量加法的运算律】 【例1】（25-26高一·江苏·课后作业）已知是非零向量，则，，，，中，与向量相等的向量的个数为（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【分析】根据向量的加法运算律判断 【详解】因为向量的加法满足交换律和结合律， 所以，，，，都等于， 故选：A 【例2】（24-25高一·全国·课后作业）化简下列各式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】(1)利用向量加法的结合律，将已知式子变形为，从而可化简得出答案. (2) 利用向量加法的结合律，将已知式子变形为，从而可化简得出答案 【详解】（1） （2） 1．（25-26高一·全国·课后作业）若非零向量满足，则(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量加法的性质即可判断：. 【详解】因为， ∴. 因为为非零向量， 所以， . 同理知无法判断之间的大小关系. 故选：C. 2．（多选）（24-25高一下·全国·单元测试）下列结论中正确的是（    ） A． B．对任一向量， C．对于任意向量， D．对于任意向量， 【答案】BC 【分析】根据向量的概念，零向量的特殊性以及向量的运算律，即可判断选项. 【详解】对A，，故A不正确； 对B，根据零向量的方向是不确定的，则其和任何向量共线B正确； 对C，根据向量加法交换律，C正确； 对D，时，，D不正确. 故选：BC. 3．（2025·江苏南京·二模）如图，在平面四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为线段AO的中点.若（），则 ． 【答案】 【详解】试题分析：所以，则； 考点：1.平面向量的运算；2.平面向量基本定理； 4．（2026高一·全国·课后作业）求证：三角形的三条中线构成的向量首尾相连正好构成一个三角形． 【答案】证明见解析 【分析】根据题意，证明三个向量的和为即可 【详解】证明：要证明三个向量首尾相连构成三角形，只要证明三个向量的和为即可． 如图所示，设△的三边对应的向量为，，，那么， 设、、分别为三边，，的中点， 所以，中线对应的向量分别为，，， 所以，， 所以，即三角形的三条中线构成的向量首尾相连正好构成一个三角形． 【经典例题三 向量加法法则的几何应用】 【例1】（2025高一·全国·专题练习）已知是两个非零向量，则与的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量加法的三角形法则，结合向量的模长即可判断. 【详解】因为是两个非零向量，且方向相同时，， 当不共线或反向共线时，， 所以是两个非零向量，则，当且仅当a与b共线同向时等号成立. 故选：D. 【例2】（24-25高一下·全国·课后作业）甲、乙、丙、丁四名射手按下列路线组织传球：甲机器人按北偏东的方向将球传给机器人乙，然后机器人乙按南偏东的方向将球传给机器人丙，机器人丙再按西南方向传给机器人丁，利用向量加法求出球的位移向量，并确定此向量模的大小． 【答案】答案见解析 【分析】作出示意图，用、、、分别表示甲、乙、丙、丁四名射手的位置，可知球的最终位移为，分析、的形状，可求得的值，即可得出结论. 【详解】根据题意画出示意图如图，用、、、分别表示甲、乙、丙、丁四名射手的位置， 则球的位移为，故球的最终位移为， 依题意知为正三角形，故． 又因为，，所以， 所以为等腰直角三角形，所以． 1．（24-25高一下·河北沧州·月考）若向量，满足，且向量与向量的夹角为，则的最小值是（   ） A．2 B． C．3 D．4 【答案】A 【分析】设，，利用向量的加法的三角形法则得到，从而将的最小值问题转化为△中的最小值问题，再借助三角函数求解即可. 【详解】如图，设，，则，. 过作，垂足为， 则， 即的最小值是2. 故选：A. 2．（多选）（25-26高一·全国·课后作业）（多选）已知，向量与的夹角为30°，则以向量，为邻边的平行四边形的一条对角线的长度可能是（    ） A．10 B． C．2 D．22 【答案】BC 【分析】设，过点作于点，得到，过点作于点，得到，进而求得的长. 【详解】设．则, 过点作于点，则，所以，可得， 过点作于点，则, 又由，所以，即. 故选：BC. 3．（24-25高一下·山东济宁·月考）已知，，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据向量模的性质以及向量方向的不同情况来确定的取值范围. 【详解】当和方向相同时，根据向量模的性质可知. 已知，，将其代入可得，即的最大值为. 当和方向相反时，根据向量模的性质可知. 已知，，将其代入可得，即的最小值为. 由上述计算可知的最小值为，最大值为，所以的取值范围是[2,6]. 故答案为：[2,6]. 4．（24-25高一·全国·课前预习）一架救援直升飞机从地沿北偏东60°方向飞行了40 km到达地，再由地沿正北方向飞行40 km到达地，求此时直升飞机与地的相对位置. 【答案】直升飞机位于地北偏东30°方向，且距离地km处 【分析】根据向量加法的三角形法则及勾股定理即可求解. 【详解】如图所示， 设，分别是直升飞机的位移，则表示两次位移的合位移，即. 在中，. 在中，，， 即此时直升飞机位于地北偏东30°方向，且距离地km处. 【经典例题四 向量减法的法则】 【例1】（24-25高一下·广东东莞·月考）已知向量满足，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可知：，结合向量减法运算分析求解. 【详解】因为， 可知，当且仅当反向时，等号成立； ，当且仅当同向时，等号成立； 所以的取值范围为. 故选：D. 【例2】（24-25高一下·辽宁抚顺·开学考试）已知，，，，求与的面积.    【答案】，面积为 【分析】 先得到△ABC是边长为2正三角形，求出，再求出其他各边长，求出三角形面积. 【详解】 因为，， 所以△ABC是边长为2正三角形，， 根据题意可知四边形为菱形，所以OC⊥AB. 设AB与OC的交点为M，则，    故，，所以. 的面积 1．（25-26高三上·河北·期末）如图，在中，，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的减法运算法则即可求解. 【详解】因为，所以，所以. 故选：C. 2．（多选）（24-25高一下·全国·课后作业）（多选）下列式子中正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据向量减法的三角形法则，判定AB；根据相反向量概念判定C；根据向量加法的多边形法则判定D. 【详解】根据向量减法的三角形法则，A正确；B正确； 因为与是一对相反向量，相反向量的和为零向量，所以C不正确； 根据向量加法的多边形法则，D正确． 故选：ABD. 3．（24-25高一下·上海·课后作业）已知，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用，将的模与联系起来，即可得到的范围. 【详解】 ， ， ， 即 . 故答案为： 4．（24-25高一上·上海·课后作业）在中，，，则下列哪几个等式是成立的？ （1）； （2）； （3）； （4）. 【答案】（1）（2）（3）成立，（4）不成立. 【分析】根据平面向量加、减法的三角形法则和平行四边形法则即可判断. 【详解】如图，分别作，的平行线，交于点， 因为在中，，， 所以四边形是正方形， （1）因为，， 所以，， 因为， 所以， 故等式（1）成立； （2）因为，， 所以，， 因为， 所以， 故等式（2）成立； （3）因为，， 所以，， 因为， 所以， 故等式（3）成立； （4）因为，，， 所以，，， 因为， 所以， 所以， 故等式（4）不成立； 综上，等式（1）、（2）、（3）成立，等式（4）成立.    【经典例题五 向量减法的运算律】 【例1】（24-25高一下·福建龙岩·期末）下列结果不是零向量的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，利用向量的线性运算法则，逐项计算，即可求解. 【详解】对于A中，由，所以A不符合题意； 对于B中，由，所以B符合题意； 对于C中，由，所以C不符合题意； 对于D中，由，所以D不符合题意. 故选：B. 【例2】（24-25高一下·全国·课后作业）如图所示，在矩形中，，，设，，，求.    【答案】 【分析】求出的值，利用平面向量的线性运算化简向量，即可求得的值. 【详解】解：在矩形中，，， 则， 因为，，， 则， 因此，. 1．（24-25高一上·北京丰台·期末）已知O，A，B是平面内的三个点，直线AB上有一点C，满足，则= A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知可得，代入已知式子化简可得． 【详解】由向量的运算法则可得 ， 代入已知式子 可得 可得： ， 可得： ． 故选A． 【点睛】本题考查平面向量的减法运算，属基础题． 2．（多选）（24-25高一下·广东佛山·月考）已知，为非零向量，则下列命题中正确的是（   ） A．若，则与方向相同 B．若，则与方向相反 C．若，则与有相等的模 D．若，则与方向相同 【答案】ABD 【分析】根据向量共线的特征进行求解. 【详解】根据平面向量的平行四边形或三角形法则， 当与不共线时，根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边， 有. 当与同向时有，反之也成立； 当与反向时有，，反之也成立. 故选:ABD. 3．（24-25高一下·上海·期中）化简 ． 【答案】 【分析】利用平面向量的减法运算求解. 【详解】解：， 故答案为： 4．（25-26高一·全国·课前预习）化简下列各式： (1)(＋)＋()； (2)； (3)； (4)； (5) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】根据平面向量线性运算法则及运算律计算可得. 【详解】（1）法一：原式； 法二：原式； （2）法一：原式 法二：原式 （3）方法一：； 方法二：； （4） （5） 【经典例题六 向量减法法则的几何应用】 【例1】（24-25高一下·全国·课后作业）在四边形中，，则一定有（    ） A．四边形是矩形 B．四边形是菱形 C．四边形是梯形 D．四边形是平行四边形 【答案】D 【分析】由得到且，根据平行四边形的判定得到四边形是平行四边形. 【详解】因为，所以，即且， 所以四边形的一组对边平行且相等，所以四边形是平行四边形， 故选：D． 【例2】（2024高一下·全国·专题练习）如图所示，已知正方形ABCD的边长为1，，，，试求：.    【答案】2 【分析】利用相等向量转化，再求，再求模. 【详解】作，连结，则，    而， 所以，且， 所以. 1．（24-25高一下·江苏南通·期中）已知平面向量，的夹角为（为常数），，，的最小值为3，则（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】根据向量减法的几何意义，作出图形即可求解． 【详解】的几何意义如图所示， 因为的最小值为3， 所以在中，，所以， 所以， 因为与的夹角有两种情况，即或， 所以或， 故选：D． 2．（多选）（25-26高一下·全国·课后作业）已知三角形为等腰直角三角形，且，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据三角形的形状，结合向量加，减运算法则，即可判断选项. 【详解】由条件可知，且， 以为邻边的四边形是正方形，对角线相等， 根据向量加，减法则可知，故A正确； ，，所以，故B正确； ，，所以，故C正确； ，，， 由条件可知， 即，故D错误. 故选：ABC 3．（24-25高一下·全国·课后作业）若，且，则与所在直线的夹角是 . 【答案】 【分析】设,则,,由可得,则是等边三角形,进而求解即可 【详解】设,以为邻边作平行四边形,如图所示,则,, ∵,∴,∴是等边三角形,∴, 在菱形中,对角线平分,∴与所在直线的夹角为 故答案为: 4．（25-26高一·上海·假期作业）如图，已知向量、、，作出下列向量：    (1)和； (2)和． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 【分析】（1）（2）根据向量的加减法法则即可作图． 【详解】（1）如图所示，在平面内任取一点，作，则；    如图所示，在平面内任取一点，作，则， 作，则．    （2）如图所示，在平面内任取一点，作，则； 作，，则；    如图所示，在平面内任取一点，作，则； 作，则．    【经典例题七 向量数乘的有关计算】 【例1】（2025·河北衡水·模拟预测）已知非零向量，满足，则（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】变形给定等式可得共线，再利用数乘向量的意义求解即得. 【详解】由，得，则共线， 因此，整理得，而为非零向量， 所以. 故选：B 【例2】（24-25高一下·河南周口·月考）如图，点是中BC边的中点，. (1)若点是的重心，试用表示; (2)若点是的重心，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角形中线的性质和重心的性质求解； （2）根据三角形重心的性质结合题意求解即可》 【详解】（1）因为点是中BC边的中点，点是的重心， 所以. （2）因为点是的重心且是BC边的中点，所以， 又，所以， 所以. 1．（2026高一·全国·课后作业）已知关于的方程，则（ ） A． B． C． D．无解 【答案】B 【分析】根据向量的运算化简可得. 【详解】∵，∴，∴，∴， 故选：B. 2．（多选）（24-25高一下·江苏南通·期中）已知向量为非零向量，是非零实数，则下列说法错误的是（    ）. A．与方向相反 B．与方向相同 C． D． 【答案】ACD 【分析】由向量数乘概念可判断各选项正误. 【详解】对于A，当时，与方向相同，故A错误； 对于B，当时，，则与方向相同，故B正确； 对于C，当且，即时， ，故C错误； 对于D，表示的模，为实数，表示一个向量，两者不相等，故D错误. 故选：ACD 3．（24-25高一下·安徽淮北·月考）已知平面上不共线的四点O，A，B，C，若，则 ， ． 【答案】 2 2 【分析】先化简为，再利用向量的减法法则化简即得解. 【详解】∵，∴， ∴，∴，∴． 故答案为：2，2. 4．（2025高一·全国·专题练习）如图，已知凸六边形的6个顶点是和的各边的交点，且.求证：.    【答案】证明见解析 【分析】先假设，，，，根据数乘运算的几何意义和向量回路的应用求证即可. 【详解】设，，，， 因为， 又因为， 所以， 即， 所以，即. 【经典例题八 平面向量的混合运算】 【例1】（2026高三·全国·专题练习）（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的线性运算求得正确答案. 【详解】 . 故选：C 【例2】（24-25高一下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据平面向量的数乘运算及线性运算计算即可. 【详解】（1）原式． （2）原式． （3）原式． 1．（25-26高三上·江苏苏州·开学考试）在平行四边形ABCD中，点E在线段AC上，且，点F为线段AD的中点，记，则（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过向量的线性运算化简向量即可求解. 【详解】，所以，， 所以. 故选：A. 2．（2025·山东·模拟预测）在正六边形中，，若，则（    ） A． B．3 C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的线性运算法则和运算律求解即可. 【详解】 ， 所以，所以. 故选：D. 3．（24-25高一下·上海虹口·期中）在△中，为边上一点，且满足，设，则 【答案】1 【分析】依题意可得，进而可得结果. 【详解】依题意可得，所以，因此，所以. 故答案为：.    4．（2025高一·全国·竞赛）如图，在中，，点是上一点，且满足：，以点为圆心，的长为半径作圆交于点，交于点．若，，求的值． 【答案】 【分析】根据题意，设，根据直角三角形和圆的性质可由求出的值，再分析得点为中点，从而求解. 【详解】设，则，， 又， 所以， 又， 所以， 所以， 所以． 【经典例题九 向量的线性运算的几何应用】 【例1】（24-25高一下·甘肃定西·期末）在正方形中，为的中点，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平面向量的线性运算求得正确答案. 【详解】依题意， . 故选：B 【例2】（24-25高一·江苏·课后作业）如图，在边长为a的正方形ABCD中，E，F分别为边BC，CD中点，设，，试用表示向量，. 【答案】， 【分析】根据平面向量的数乘运算，即可得到答案； 【详解】因为， 所以，， 解得. 1．（24-25高一下·河南·月考）已知的面积为1，为所在平面内一点，且，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，得到，结合图像即可求解. 【详解】由，可得 设，则， ，又为中点，为四等分点， 所以， , 所以的面积为， 故选：D 2．（24-25高一下·天津和平·期中）若非零向量，满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】按照向量，共线和不共线两种情况分类讨论，共线时利用向量模的关系得，不共线时，利用三角形的性质判断向量模的大小关系，即可得解. 【详解】若向量，共线，则由于，是非零向量，且，则必有， 代入可知只有A、C满足； 若向量，不共线，注意到向量模的几何意义，故可以构造如图所示的三角形， 使其满足；令，，则， 所以且， 又，所以，所以， 综上，. 故选：A 3．（24-25高一下·陕西咸阳·月考）已知为内切圆的圆心，且，则 . 【答案】/ 【分析】取的中点，则，代入等式可证三点共线.设 ，由直角三角形的性质以及三角形相似可求出各边长，从而求出比例关系. 【详解】如图，设的中点，圆与分别相切于点，由为的中点，知. 又，所以，即.则三点共线. 因为为的内切圆的圆心，所以. 不妨设，则. 在中，. 由，知，即，解得，且， 又，所以. 故答案为： 4．（2025高一·全国·专题练习）已知点是内一点，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】这个公式俗称三角形中的“向量奔驰定理”，可利用定比分点公式得到证明. 【详解】如图，延长，交线段于点．    因为三点共线， 所以 ， 所以， 所以． 【经典例题十 三角形的心的向量表示】 【例1】（24-25高三上·湖北襄阳·期中）点为的重心(三边中线的交点).设，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合三角形重心的性质和向量的线性运算性质即可计算求解. 【详解】如图， 点为的重心， ， . 故选：B． 【例2】（25-26高一·全国·课堂例题）如图，中，AB边的中点为P，重心为G．在外任取一点O，作向量，，，，．    (1)试用，表示． (2)试用，，表示． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平面向量线性运算的性质进行求解即可； （2）根据平面向量线性运算的性质，结合三角形重心的性质进行求解即可. 【详解】（1） ． （2） ．    1．（2025高三·全国·专题练习）点O是△ABC内一点，满足条件，延长BO交AC于点D，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】依题意可得，令，，则，则是的重心，根据三角形重心的性质以及相似的性质得到面积之比； 【详解】解：∵，所以，令，，∴，∴是的重心，如图，延长交于点，则.过点作，交于点， ∴，∴. 故选：B. 【点睛】本题考查平面向量的线性运算，三角形的重心的性质，考查转化与化归思想，属于中档题. 2．（24-25高三·山东济宁·月考）已知是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则的轨迹一定通过的（ ） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 【答案】A 【分析】根据题意结合向量的线性运算以及三角形的性质分析判断 【详解】由题意，当时，如图 可知：点在边上的中线所在直线上，∴动点的轨迹一定通过的重心， 故选：A． 3．（2025高三·全国·专题练习）在中，I为的内心，若，则 . 【答案】 【分析】根据内心的性质和向量关系可得到三角形三边的比值，然后根据勾股定理的逆定理可知三角形为直角三角形，从而得出的值. 【详解】根据题意，画出图形为： 因为是的内心，所以根据内心的性质和向量关系可知， 若，则，分别为三角形三边的长度. 因为，所以， 根据勾股定理的逆定理，则. 故答案为：90°. 4．（25-26高一·全国·课后作业）已知平面上一定点O，不共线的三点A，B，C，动点P满足，，求证：P的轨迹一定通过的内心. 【答案】证明见解析 【分析】结合的几何性质、向量运算、几何图形进行分析，判断出在的角平分线上，由此证得结论成立. 【详解】证明：如图所示，因为，均为单位向量，且两向量方向分别与，同向.由向量加法的几何意义知对应一个平行四边形的对角线. 又因为， 所以是菱形. 所以在的平分线上. 因为， 所以. 所以点P在的平分线上，即P的轨迹必过的内心. 【拓展训练一 向量的加法运算】 【例1】（24-25高三上·浙江·期末）如图是一个机器人手臂的示意图.该手臂分为三段，分别可用向量代表.若用向量代表整条手臂，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得，进而依次讨论即可得答案. 【详解】解：根据题意得，所以， 所以由于各向量间的夹角未知，故，均不一定成立， 故C选项正确，A，B，D选项错误； 所以C 【例2】（24-25高一·全国·课前预习）在静水中船的速度为，水流的速度为，若船沿垂直于水流的方向航行，求船实际行进的方向的正切值(相当于与河岸的夹角). 【答案】 【分析】根据向量加法的平行四边形法则及正切函数的定义即可求解. 【详解】如图所示， 表示船速，表示水速，以、为邻边作，则表示船实际航行的方向. 所以 在中，. 所以船实际行进的方向的正切值为. 1．（24-25高一下·安徽合肥·月考）设为两个非零向量，的夹角，已知对任意实数，的最小值为1，则（    ） A．若确定，则唯一确定 B．若确定，则唯一确定 C．若确定，则唯一确定 D．若确定，则唯一确定 【答案】A 【分析】画图，利用点与直线上的点的距离大小关系，以及向量的加减法性质判定即可. 【详解】如图，记、、，则， 则当时，取得最小值1， 若确定，则唯一，不确定， 若确定，可能有两解（图中或）， 若确定，则不确定，从而也不确定.    故选：A 2．（多选）（24-25高一下·安徽池州·月考）如图所示，为的外心，为垂心，其中，则下列说法成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】作直径，连接、，则可得四边形是平行四边形，有，然后利用向量的加法法则可求出，从而得，进而逐个分析判断即可 【详解】作直径，连接、， 则，，，，． ，，故四边形是平行四边形． ，又， ． ∵， 对于A，，所以A正确， 对于B，，所以B正确， 对于C，，所以C错误， 对于D，，所以D正确， 故选：ABD 3．（25-26高二·全国·课后作业）已知，，为边的中点，则 . 【答案】 【分析】根据向量加法的平行四边法则可得. 【详解】因为，， 以，为邻边作平行四边形， 所以 故答案为： 4．（25-26高一·全国·课后作业）在静水中船的速度是，水流的速度是.如果船从岸边出发，沿垂直于水流的航线到达对岸，那么船行进方向应指向何处？实际航速为多少？ 【答案】船的航行方向与水流方向成，船的实际航速为 【分析】如图所示，表示水流的速度，表示船实际航行的速度，表示船行驶的速度，在中，可得,从而得，，即可得答案. 【详解】解：设表示水流的速度，表示船实际航行的速度，表示船行驶的速度， 则四边形为平行四边形. 所以，， 因为，于是， 所以，， 故船的航行方向与水流方向成，船的实际航速为. 【拓展训练二 向量的减法运算】 【例1】（24-25高一下·黑龙江大庆·期末）在中，对于任意的实数k都满足，则角B的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】转化为，可得即为边上的高，设为，再利用三角函数定义可得答案. 【详解】对于任意的实数k都满足， 即，可得即为边上的高，设为， 所以， 可得，因为， 则角B的最小值是. 故选：A.        【例2】（24-25高一·上海·课堂例题）已知四边形ABCD和点O在同一平面上，设向量，，，，且．求证：ABCD是平行四边形． 【答案】证明见解析 【分析】根据得出，进而得出，然后即可得出ABCD是平行四边形. 【详解】因为， 所以， 因为向量，，，， 所以， 即， 所以，且， 所以四边形ABCD是平行四边形. 1．（24-25高一下·全国·课后作业）在四边形中，，，则四边形一定是（   ） A．矩形 B．菱形 C．梯形 D．正方形 【答案】A 【分析】根据向量减法的三角形法则计算，得到四边形一定是平行四边形．再得，判定即可. 【详解】如图所示，由向量减法的三角形法则， 得，得，， 所以四边形一定是平行四边形． 又，得， 所以平行四边形一定是矩形． 故选：A. 2．（多选）（24-25高一下·江苏常州·月考）下列能化简为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据向量的线性运算依次判断即可. 【详解】对于A，，正确； 对于B，，正确； 对于C，，正确； 对于D，，不正确. 故选：ABC. 3．（24-25高三上·北京·期中）已知、为平面内两个不共线的向量，给出以下个论断： ①；②；③，；④.请以其中两个为条件，另一个为结论，写出一个正确命题： . 【答案】③④① 【解析】画图，若，则，由，，结合勾股定理可得出，由此可得出结论. 【详解】如下图所示： 若，则，由，， 由勾股定理可得，所以，. 故答案为：③④①. 4．（25-26高一·全国·课后作业）已知是等腰直角三角形，，是斜边的中点，，．求证： （1）； （2）. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）作出图形，求出向量，然后利用图形中边长的等量关系来证明； （2）求出向量，然后利用图形中边长的等量关系来证明. 【详解】如下图，由于为等腰直角三角形，可知. 由是斜边的中点，得.      （1）在中，，于是，由，得； （2）在中，，， 从而由，得. 【拓展训练三 向量的数乘运算】 【例1】（2025高三·全国·专题练习）A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，则点P的轨迹一定经过的（   ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】B 【分析】根据是以为始点，向量与为邻边的菱形的对角线对应的向量，可知点轨迹，据此可求解. 【详解】 令， 则是以为始点，向量与为邻边的菱形的对角线对应的向量， 即在的平分线上， ，共线， 故点P的轨迹一定通过△ABC的内心， 故选：B 【例2】（2025高三·全国·专题练习）在中，是不同于三角形顶点的一点，若，证明：点的轨迹过内心． 【答案】证明见解析 【分析】根据给定的向量等式，可得，结合两个单位向量的和组成的菱形的性质，即可判断点在的角平分线上即可. 【详解】由可得：， 如图，设,,则， 作,则四边形为菱形，故平分, 又， 即点在的角平分线上，故点的轨迹过内心． 1．（25-26高三上·河北·期中）为规划社区花园，工人师傅以花园中心为原点建立平面直角坐标系.已知向量表示“从点向正东走3米”，向量表示“从点向正北走4米”.已知一株花卉的位置用向量可表示为，则从点到这株花卉的位置可以（   ） A．先向正东走4米，再向正北走3米 B．先向正东走6米，再向正南走2米 C．先向正西走2米，再向正北走3米 D．先向正西走4米，再向正南走6米 【答案】B 【分析】根据向量的运算性质，结合实际意义，即可判断选项. 【详解】因为向量表示“从点向正东走3米”，所以表示“从点向正东走6米”， ， 因为向量表示“从点向正北走4米”，所以向量表示“从点向正南走2米”， 故从点到这株花卉的位置可以先向正东走6米，再向正南走2米. 故选：B 2．(多选)（24-25高一下·甘肃张掖·月考）下列说法正确的是（    ） A．若点为线段AB的中点，则对平面内的任意点O，必有 B．是互不重合的三点，若与共线，则三点在同一条直线上 C．若是等边三角形，则 D．若G是的重心，则点G满足条件 【答案】AB 【分析】根据向量的线性运算可判断A，根据平面向量共线的知识可判断B，由向量夹角的概念可判断C，由重心的性质可判断D. 【详解】因为点为线段AB的中点， 所以，故A正确； 与共线，则有=，故一定有三点在同一条直线上，B正确； 若是等边三角形，则，故C错误； 若G是的重心，则点G满足条件，故D错误； 故选：AB. 3．（24-25高三上·黑龙江·期末）已知点是内部一点，并且满足，的面积为，的面积为，则 . 【答案】 【分析】将化为，再构造向量和，得出比例关系，最后求解 【详解】因为，所以， 分别取，的中点，，则，. 所以，即，，三点共线且.如图所示，    则，由于为中点，所以，所以. 故答案为： 4．（2025高一·全国·专题练习）已知分别为的垂心、重心、外心，求证：三点共线（，，三点连线称为“欧拉线”）． 【答案】证明见解析 【分析】抓住各心的几何特征，在图形上进行合理的构造，利用证明三点共线． 【详解】如图，作直径，连结，有，，，，， 故，，即四边形是平行四边形， 故． 由是的重心得， 所以，即三点共线． 1．（24-25高三上·山东德州·月考）已知在梯形中，，，点P在线段BC上，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合图形，由向量的加法法则计算即可； 【详解】因为， ， 所以， 故选：A. 2．（24-25高一下·江西上饶·月考）如图，在正六边形中，（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接、、交于点，分析可知，再利用平面向量加法的三角形法则可得答案. 【详解】连接、、交于点，如下图所示： 由正六边形的几何性质可知、、、、、均为等边三角形， 因为，故四边形为菱形， 同理可知，四边形也为菱形，所以，故， 故， 故选：A. 3．（24-25高一下·广东佛山·月考）在平行四边形中，对角线，给出以下结论： ①；    ②； ③；        ④ 其中正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用平面向量的加减法法则，可逐一判断结论. 【详解】由题意，，故①正确；，故②正确； ,故③正确；，故④错误. 所以正确结论的个数是3. 故选：C. 4．（24-25高一下·贵州六盘水·月考）如图，已知为平行四边形内一点，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平面向量的线性运算可得结果. 【详解】∵ ， ∴. 故选：A. 5．（25-26高二上·黑龙江绥化·开学考试）在所在的平面上有一点，满足，则与的面积之比是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令是的中点，利用平面向量的线性运算，可得，从而有∥，即得，进而可求出三角形面积之比. 【详解】由得, 即, 令是的中点，则, 所以 所以∥， 所以, 即    故答案为：D. 6．（多选）（24-25高一下·全国·课后作业）下列说法错误的有（    ） A．如果非零向量与的方向相同或相反，那么的方向必与或的方向相同 B．若向量，方向相反，且，则向量的方向与向量的方向相反 C．若，则，，一定为一个三角形的三个顶点 D．若，均为非零向量，则 【答案】BCD 【分析】由共线向量的概念即可判断A选项；因为向量，方向相反，且，所以的方向与向量的方向相同，据此可以判断B选项；当三点共线时，成立，据此可以判断C；当，反向时，，据此可以判断D. 【详解】对于A，因为向量与的方向相同或相反，所以的方向必与或的方向相同，A正确； 对于B，因为，的方向相反，且，可知的方向与的方向相同，B错误； 对于C，当，，三点共线时，也满足，C错误； 对于D，当，反向时，，等式不成立，D错误． 故选：BCD. 7．（多选）（24-25高一下·广东佛山·月考）若平行四边形的对角线与相交于点O，则下列结论正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】作出图形，根据平行四边形的性质和平面向量的线性运算即可求解. 【详解】作出图形，如图所示： 因为四边形为平行四边形，所以，故选项A错误； 因为四边形为平行四边形，所以为的中点，则，故选项B正确； 因为四边形为平行四边形，所以，故选项C正确； 因为四边形为平行四边形，所以，故选项D正确； 故选：BCD. 8．（多选）（2025高三·全国·专题练习）（多选）下列各式中结果为零向量的为（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】利用平面向量的线性运算逐项判断即可. 【详解】对于选项A：，故选项A错误； 对于选项B：，故选项B错误； 对于选项C：，故选项C正确； 对于选项D：，故选项D正确， 故选：CD． 9．(多选)（24-25高一下·山东济南·月考）已知为的重心，为的中点，则下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据向量的加、减法几何意义求解即可. 【详解】如图所示：，分别为，的中点， 对选项A，，所以，故A正确. 对选项B，因为，， 所以，故B正确； 对选项C，， 故C错误， 对选项D，， 故D正确. 故选：ABD 10．（多选）（24-25高三上·海南儋州·开学考试）已知M为的重心（三角形三条中线的交点），D为BC的中点，则下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】利用三角形重心定理，结合向量线性运算，逐项分析判断作答. 【详解】如图，为的重心，D为BC的中点， 因三角形重心到三顶点的距离不一定相等，A不正确； ，则，B正确； ，C正确. ，D不正确； 故选：BC 11．（24-25高二上·辽宁大连·期末）已知G是正方形ABCD的中心，点P为正方形ABCD所在平面外一点，若，则实数 . 【答案】4 【分析】先由G为正方形的中心，可知G为、的中点，再利用向量的加法，进而可求出结果. 【详解】因为G为正方形的中心，所以G为正方形、的中点， 又点为正方形所在平面外一点， 利用向量的加法法则知，， 因此，即. 故答案为：4 12．（24-25高一下·广东佛山·月考）如图，，点P在由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的区域（含边界）运动，且，则y的最大值是 ． 【答案】/1.5 【分析】利用向量加法的几何意义直接求解. 【详解】由题意：,点P在由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的区域（含边界）运动，且，由向量加法的平行四边形法则,OP为平行四边形的对角线,该四边形应是以OB和OA的反向延长线为两邻边. 当时,要使P点落在指定区域内,即P点应落在线段DE上(含端点D,E). 因为,所以. 因为，所以. 所以. 所以y的取值范围是. 所以y的最大值是. 故答案为：. 13．（24-25高二上·浙江·开学考试）已知非零向量满足，，则的最大值为 . 【答案】/ 【分析】设，根据题意 是三角形的重心，且可得，推出，设，根据勾股定理可得，可得，利用二次函数求最值即可. 【详解】设，如图， 则，是的重心. 由于，延长交于点，则，. 设，则，， ， ，当时，等号成立， 即的最大值为. 故答案为： 14．（24-25高一下·广东东莞·月考）如图，在中，，若，则 ． 【答案】 【分析】利用平面向量的线性运算求出，得，即得解. 【详解】解： 又，. ∴． 故答案为：． 15．（24-25高二上·上海杨浦·期末）设是正实数，三角形所在平面上的另三点、、满足：，，，若三角形与三角形的面积相等，则的值为 . 【答案】 【解析】设的重心为点，可知与关于点对称，利用重心的向量性质可求得实数的值. 【详解】设的重心为点，则，， 由于和的面积相等，则与关于点对称， 则，，解得. 故答案为：. 16．（24-25高二·全国·课后作业）已知向量，，，求作和. 【答案】详见解析 【分析】根据向量加减法的三角形法则作图即可. 【详解】由向量加法的三角形法则作图： 由向量三角形加减法则作图： 17．（24-25高一·上海·课堂例题）如图，已知向量、、，作出下列向量； (1)，，； (2)和． 【答案】(1)答案见详解 (2)答案见详解 【分析】根据向量加法的平行四边形法则及几何意义作图即可. 【详解】（1）根据向量加法的平行四边形法则可得，，分别如下图： （2）根据向量加法的平行四边形法则可得和分别如下图： 18．（25-26高一·全国·课后作业）如图，在▱ABCD中，若， (1)当满足什么条件时， ? (2)当满足什么条件时，? 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，得到▱ABCD为菱形求解； （2）由，得到▱ABCD为矩形求解. 【详解】（1）解：如图：， 当时，▱ABCD为菱形，对角线相互垂直， 所以，即； （2）当时，▱ABCD为矩形，对角线长度相等， 所以，即. 19．（24-25高一下·安徽蚌埠·期中）若点为的重心. （1）化简：； （2）求证：. 【答案】(1)；(2)证明见解析. 【分析】(1)延长AG交BC于D，由重心定理可得，在中用表示出即可得解； (2)利用(1)的结论，借助向量的线性运算即可得解. 【详解】(1)延长AG交BC于D，如图，    因点为的重心，则D是BC边中点，并且有，即， 又是的中线，则有，于是得, 所以； (2)由(1)知：，取所在平面内任意一点O， 则有，即，亦即， 所以. 20．（2025高一·全国·专题练习）如图，已知，分别是，上的动点，且满足，求证：在三点运动过程中，的重心不动． 【答案】证明见解析 【分析】证法1：由条件与向量的线性运算证明的重心同时也是的重心； 证法2：设是的重心，利用向量的线性运算把用表示出来，可得到，可以证明是的重心. 【详解】证法1：因为， 所以． 又因为，所以． 设是的重心，可得， 两式相减可得，所以也是的重心． 证法2：因为， 设是的重心，且，所以， 同理可得，， 所以， 即也是的重心． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题6.2 向量的加减法、数乘运算重难点题型专训 （3个知识点+10大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 向量加法的法则 题型二 向量加法的运算律 题型三 向量加法法则的几何应用 题型四 向量减法的法则 题型五 向量减法的运算律 题型六 向量减法法则的几何应用 题型七 向量数乘的有关计算 题型八 平面向量的混合运算 题型九 向量的线性运算的几何应用 题型十 三角形的心的向量表示 拓展训练一 向量的加法运算 拓展训练二 向量的减法运算 拓展训练三 向量的数乘运算 知识点一： 向量的加法 1、定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法。 2、三角形法则：已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作＝a，＝b，再作向量， 向量叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋＝ 3、平行四边形法则：已知不共线的两个向量a，b，在平面内任取一点O， 以同一点O为起点的两个已知向量a，b为邻边作▱OACB，对角线就是a与b的和 【规定】零向量与任一向量a的和都有a＋0＝0＋a＝. 【注意】（1）在使用向量加法的三角形法则时，要注意“首尾相接”，即第一个向量的终点与第二个向量的起点重合，则以第一个向量的起点为起点，并以第二个向量的终点为终点的向量即两向量的和； （2）平行四边形法则的应用前提是“共起点”，即两个向量是从同一点出发的不共线向量． 4、向量加法的运算律 结合律：a＋b＝b＋a 交换律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 【即时训练】 1．（25-26高三上·湖北随州·期末）在梯形中，，，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·山东潍坊·开学考试）化简： ． 知识点二： 向量的减法运算 1、相反向量：与a长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作－a. （1）规定：零向量的相反向量仍是仍是零向量； （2）－(－a)＝a； （3）a＋(－a)＝(－a)＋a＝0； （4）若a与b互为相反向量，则a＝－b，b＝－a，a＋b＝0. 【注意】相反向量与相等向量一样，从“长度”和“方向”两方面定义，相反向量必为平行向量． 2、向量的减法 （1）定义：a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量. （2）几何意义：以O为起点，作向量＝a，＝b，则 ＝a－b， 如图所示，即a－b可表示从向量b的终点指向向量a的终点的向量． 【注意】在用三角形法则作向量减法时，只要记住“连接向量终点，箭头指向被减向量”即可． 【即时训练】 1．（24-25高一下·四川成都·期末）在中，已知，记，则（    ） A．3 B．2 C．1 D．4 2．（25-26高一上·上海黄浦·月考）在菱形中，若，则 ． 知识点三： 向量的数乘运算 1、定义：规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作：λa，它的长度与方向规定如下：①|λa|＝|λ||a|； ②当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反． 2、运算律：设λ，μ为任意实数，则有： ①λ(μ a)＝(λμ)a； ②(λ＋μ)a＝λa＋μ a； ③λ(a＋b)＝λa＋λb； 特别地，有(－λ)a＝λ(－a)＝－(λa)； λ(a－b)＝λa－λb. 3、线性运算:向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，向量线性运算的结果仍是向量． 对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a＋μ2b)＝λμ1a±λμ2b. 【即时训练】 1．（24-25高一下·辽宁抚顺·开学考试）已知点在线段上，且，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024·北京顺义·二模）若非零向量满足，且，则能使得成立的一组可以是 ， 【经典例题一 向量加法的法则】 【例1】（24-25高一下·广东揭阳·月考）对于任意一个四边形，下列式子不能化简为的有（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高一下·全国·课堂例题）如图（1）（2），已知向量，，，求作向量和． 1．（24-25高三上·吉林长春·期末）在平行四边形中，已知，分别为，的中点，直线，交于，若，则（    ） A． B． C． D． 2．（多选）（24-25高一下·全国·课后作业）（多选）已知向量，皆为非零向量，下列说法正确的是（   ） A．若与反向，且，则与同向 B．若与反向，且，则与同向 C．若与同向，则与同向 D．若与同向，则与同向 3．（2025·全国·三模）设为平行四边形对角线的交点，为平行四边形所在平面内任意一点，，则 ． 4．（24-25高一下·吉林延边·期中）如图所示，在中，与相交于点. (1)用和分别表示和； (2)若，求实数和的值. 【经典例题二 向量加法的运算律】 【例1】（25-26高一·江苏·课后作业）已知是非零向量，则，，，，中，与向量相等的向量的个数为（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 【例2】（24-25高一·全国·课后作业）化简下列各式： (1) (2) 1．（25-26高一·全国·课后作业）若非零向量满足，则(    ) A． B． C． D． 2．（多选）（24-25高一下·全国·单元测试）下列结论中正确的是（    ） A． B．对任一向量， C．对于任意向量， D．对于任意向量， 3．（2025·江苏南京·二模）如图，在平面四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为线段AO的中点.若（），则 ． 4．（2026高一·全国·课后作业）求证：三角形的三条中线构成的向量首尾相连正好构成一个三角形． 【经典例题三 向量加法法则的几何应用】 【例1】（2025高一·全国·专题练习）已知是两个非零向量，则与的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【例2】（24-25高一下·全国·课后作业）甲、乙、丙、丁四名射手按下列路线组织传球：甲机器人按北偏东的方向将球传给机器人乙，然后机器人乙按南偏东的方向将球传给机器人丙，机器人丙再按西南方向传给机器人丁，利用向量加法求出球的位移向量，并确定此向量模的大小． 1．（24-25高一下·河北沧州·月考）若向量，满足，且向量与向量的夹角为，则的最小值是（   ） A．2 B． C．3 D．4 2．（多选）（25-26高一·全国·课后作业）（多选）已知，向量与的夹角为30°，则以向量，为邻边的平行四边形的一条对角线的长度可能是（    ） A．10 B． C．2 D．22 3．（24-25高一下·山东济宁·月考）已知，，则的取值范围为 . 4．（24-25高一·全国·课前预习）一架救援直升飞机从地沿北偏东60°方向飞行了40 km到达地，再由地沿正北方向飞行40 km到达地，求此时直升飞机与地的相对位置. 【经典例题四 向量减法的法则】 【例1】（24-25高一下·广东东莞·月考）已知向量满足，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高一下·辽宁抚顺·开学考试）已知，，，，求与的面积.    1．（25-26高三上·河北·期末）如图，在中，，则（   ）    A． B． C． D． 2．（多选）（24-25高一下·全国·课后作业）（多选）下列式子中正确的有（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·上海·课后作业）已知，则的取值范围是 . 4．（24-25高一上·上海·课后作业）在中，，，则下列哪几个等式是成立的？ （1）； （2）； （3）； （4）. 【经典例题五 向量减法的运算律】 【例1】（24-25高一下·福建龙岩·期末）下列结果不是零向量的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高一下·全国·课后作业）如图所示，在矩形中，，，设，，，求.    1．（24-25高一上·北京丰台·期末）已知O，A，B是平面内的三个点，直线AB上有一点C，满足，则= A． B． C． D． 2．（多选）（24-25高一下·广东佛山·月考）已知，为非零向量，则下列命题中正确的是（   ） A．若，则与方向相同 B．若，则与方向相反 C．若，则与有相等的模 D．若，则与方向相同 3．（24-25高一下·上海·期中）化简 ． 4．（25-26高一·全国·课前预习）化简下列各式： (1)(＋)＋()； (2)； (3)； (4)； (5) 【经典例题六 向量减法法则的几何应用】 【例1】（24-25高一下·全国·课后作业）在四边形中，，则一定有（    ） A．四边形是矩形 B．四边形是菱形 C．四边形是梯形 D．四边形是平行四边形 【例2】（2024高一下·全国·专题练习）如图所示，已知正方形ABCD的边长为1，，，，试求：.    1．（24-25高一下·江苏南通·期中）已知平面向量，的夹角为（为常数），，，的最小值为3，则（   ） A． B．或 C． D．或 2．（多选）（25-26高一下·全国·课后作业）已知三角形为等腰直角三角形，且，则有（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·全国·课后作业）若，且，则与所在直线的夹角是 . 4．（25-26高一·上海·假期作业）如图，已知向量、、，作出下列向量：    (1)和； (2)和． 【经典例题七 向量数乘的有关计算】 【例1】（2025·河北衡水·模拟预测）已知非零向量，满足，则（    ） A． B． C．2 D．4 【例2】（24-25高一下·河南周口·月考）如图，点是中BC边的中点，. (1)若点是的重心，试用表示; (2)若点是的重心，求. 1．（2026高一·全国·课后作业）已知关于的方程，则（ ） A． B． C． D．无解 2．（多选）（24-25高一下·江苏南通·期中）已知向量为非零向量，是非零实数，则下列说法错误的是（    ）. A．与方向相反 B．与方向相同 C． D． 3．（24-25高一下·安徽淮北·月考）已知平面上不共线的四点O，A，B，C，若，则 ， ． 4．（2025高一·全国·专题练习）如图，已知凸六边形的6个顶点是和的各边的交点，且.求证：.    【经典例题八 平面向量的混合运算】 【例1】（2026高三·全国·专题练习）（　　） A． B． C． D． 【例2】（24-25高一下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 1．（25-26高三上·江苏苏州·开学考试）在平行四边形ABCD中，点E在线段AC上，且，点F为线段AD的中点，记，则（      ） A． B． C． D． 2．（2025·山东·模拟预测）在正六边形中，，若，则（    ） A． B．3 C． D． 3．（24-25高一下·上海虹口·期中）在△中，为边上一点，且满足，设，则 4．（2025高一·全国·竞赛）如图，在中，，点是上一点，且满足：，以点为圆心，的长为半径作圆交于点，交于点．若，，求的值． 【经典例题九 向量的线性运算的几何应用】 【例1】（24-25高一下·甘肃定西·期末）在正方形中，为的中点，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高一·江苏·课后作业）如图，在边长为a的正方形ABCD中，E，F分别为边BC，CD中点，设，，试用表示向量，. 1．（24-25高一下·河南·月考）已知的面积为1，为所在平面内一点，且，则的面积为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·天津和平·期中）若非零向量，满足，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·陕西咸阳·月考）已知为内切圆的圆心，且，则 . 4．（2025高一·全国·专题练习）已知点是内一点，求证：． 【经典例题十 三角形的心的向量表示】 【例1】（24-25高三上·湖北襄阳·期中）点为的重心(三边中线的交点).设，，则等于（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26高一·全国·课堂例题）如图，中，AB边的中点为P，重心为G．在外任取一点O，作向量，，，，．    (1)试用，表示． (2)试用，，表示． 1．（2025高三·全国·专题练习）点O是△ABC内一点，满足条件，延长BO交AC于点D，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三·山东济宁·月考）已知是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则的轨迹一定通过的（ ） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 3．（2025高三·全国·专题练习）在中，I为的内心，若，则 . 4．（25-26高一·全国·课后作业）已知平面上一定点O，不共线的三点A，B，C，动点P满足，，求证：P的轨迹一定通过的内心. 【拓展训练一 向量的加法运算】 【例1】（24-25高三上·浙江·期末）如图是一个机器人手臂的示意图.该手臂分为三段，分别可用向量代表.若用向量代表整条手臂，则（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高一·全国·课前预习）在静水中船的速度为，水流的速度为，若船沿垂直于水流的方向航行，求船实际行进的方向的正切值(相当于与河岸的夹角). 1．（24-25高一下·安徽合肥·月考）设为两个非零向量，的夹角，已知对任意实数，的最小值为1，则（    ） A．若确定，则唯一确定 B．若确定，则唯一确定 C．若确定，则唯一确定 D．若确定，则唯一确定 2．（多选）（24-25高一下·安徽池州·月考）如图所示，为的外心，为垂心，其中，则下列说法成立的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二·全国·课后作业）已知，，为边的中点，则 . 4．（25-26高一·全国·课后作业）在静水中船的速度是，水流的速度是.如果船从岸边出发，沿垂直于水流的航线到达对岸，那么船行进方向应指向何处？实际航速为多少？ 【拓展训练二 向量的减法运算】 【例1】（24-25高一下·黑龙江大庆·期末）在中，对于任意的实数k都满足，则角B的最小值是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高一·上海·课堂例题）已知四边形ABCD和点O在同一平面上，设向量，，，，且．求证：ABCD是平行四边形． 1．（24-25高一下·全国·课后作业）在四边形中，，，则四边形一定是（   ） A．矩形 B．菱形 C．梯形 D．正方形 2．（多选）（24-25高一下·江苏常州·月考）下列能化简为的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·北京·期中）已知、为平面内两个不共线的向量，给出以下个论断： ①；②；③，；④.请以其中两个为条件，另一个为结论，写出一个正确命题： . 4．（25-26高一·全国·课后作业）已知是等腰直角三角形，，是斜边的中点，，．求证： （1）； （2）. 【拓展训练三 向量的数乘运算】 【例1】（2025高三·全国·专题练习）A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，则点P的轨迹一定经过的（   ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【例2】（2025高三·全国·专题练习）在中，是不同于三角形顶点的一点，若，证明：点的轨迹过内心． 1．（25-26高三上·河北·期中）为规划社区花园，工人师傅以花园中心为原点建立平面直角坐标系.已知向量表示“从点向正东走3米”，向量表示“从点向正北走4米”.已知一株花卉的位置用向量可表示为，则从点到这株花卉的位置可以（   ） A．先向正东走4米，再向正北走3米 B．先向正东走6米，再向正南走2米 C．先向正西走2米，再向正北走3米 D．先向正西走4米，再向正南走6米 2．(多选)（24-25高一下·甘肃张掖·月考）下列说法正确的是（    ） A．若点为线段AB的中点，则对平面内的任意点O，必有 B．是互不重合的三点，若与共线，则三点在同一条直线上 C．若是等边三角形，则 D．若G是的重心，则点G满足条件 3．（24-25高三上·黑龙江·期末）已知点是内部一点，并且满足，的面积为，的面积为，则 . 4．（2025高一·全国·专题练习）已知分别为的垂心、重心、外心，求证：三点共线（，，三点连线称为“欧拉线”）． 1．（24-25高三上·山东德州·月考）已知在梯形中，，，点P在线段BC上，且，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·江西上饶·月考）如图，在正六边形中，（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·广东佛山·月考）在平行四边形中，对角线，给出以下结论： ①；    ②； ③；        ④ 其中正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（24-25高一下·贵州六盘水·月考）如图，已知为平行四边形内一点，，则等于（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·黑龙江绥化·开学考试）在所在的平面上有一点，满足，则与的面积之比是（    ） A． B． C． D． 6．（多选）（24-25高一下·全国·课后作业）下列说法错误的有（    ） A．如果非零向量与的方向相同或相反，那么的方向必与或的方向相同 B．若向量，方向相反，且，则向量的方向与向量的方向相反 C．若，则，，一定为一个三角形的三个顶点 D．若，均为非零向量，则 7．（多选）（24-25高一下·广东佛山·月考）若平行四边形的对角线与相交于点O，则下列结论正确的是（    ）． A． B． C． D． 8．（多选）（2025高三·全国·专题练习）（多选）下列各式中结果为零向量的为（   ） A． B． C． D． 9．(多选)（24-25高一下·山东济南·月考）已知为的重心，为的中点，则下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 10．（多选）（24-25高三上·海南儋州·开学考试）已知M为的重心（三角形三条中线的交点），D为BC的中点，则下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 11．（24-25高二上·辽宁大连·期末）已知G是正方形ABCD的中心，点P为正方形ABCD所在平面外一点，若，则实数 . 12．（24-25高一下·广东佛山·月考）如图，，点P在由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的区域（含边界）运动，且，则y的最大值是 ． 13．（24-25高二上·浙江·开学考试）已知非零向量满足，，则的最大值为 . 14．（24-25高一下·广东东莞·月考）如图，在中，，若，则 ． 15．（24-25高二上·上海杨浦·期末）设是正实数，三角形所在平面上的另三点、、满足：，，，若三角形与三角形的面积相等，则的值为 . 16．（24-25高二·全国·课后作业）已知向量，，，求作和. 17．（24-25高一·上海·课堂例题）如图，已知向量、、，作出下列向量； (1)，，； (2)和． 18．（25-26高一·全国·课后作业）如图，在▱ABCD中，若， (1)当满足什么条件时， ? (2)当满足什么条件时，? 19．（24-25高一下·安徽蚌埠·期中）若点为的重心. （1）化简：； （2）求证：. 20．（2025高一·全国·专题练习）如图，已知，分别是，上的动点，且满足，求证：在三点运动过程中，的重心不动． 学科网（北京）股份有限公司 $