专题6.1 平面向量的概念重难点题型专训（2个知识点+5大题型+1大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年高一下学期数学重难点专题提升精讲精练（人教A版必修第二册）

该高中数学讲义以“2个知识点+5大题型+拓展训练+自我检测”框架系统构建平面向量概念知识体系，通过知识点梳理（向量概念、共线平行）、即时训练及经典例题，清晰呈现模、零向量、单位向量等重难点的内在逻辑与联系。 讲义亮点在于分层练习设计，从基础概念辨析（如单位向量性质判断）到几何表示应用（方格纸作图），结合赛车位移等情境题培养数学眼光与思维，自我检测助力学生自主评估，教师可据此实施精准分层教学，提升不同层次学生的理解与应用能力。

专题6.1 平面向量的概念重难点题型专训 （2个知识点+5大题型+1大拓展训练+自我检测） 题型一 平面向量的概念与表示 题型二 向量的模 题型三 零向量与单位向量 题型四 相等向量 题型五 平行向量(共线向量) 拓展训练一 向量的几何表示 知识点一： 向量的有关概念 1、向量的模：向量的大小叫向量的模(就是用来表示向量的有向线段的长度). 注：（1）向量的模． （2）向量不能比较大小，但是实数，可以比较大小． 2、零向量：长度为零的向量叫零向量.记作，它的方向是任意的． 3、单位向量：长度等于1个单位的向量. 注：（1）在画单位向量时，长度1可以根据需要任意设定； （2）将一个向量除以它的模，得到的向量就是一个单位向量，并且它的方向与该向量相同． 4、相等向量：长度相等且方向相同的向量. 注：在平面内，相等的向量有无数多个，它们的方向相同且长度相等． 【即时训练】 1．（24-25高一下·全国·课后作业）给出下列命题:①和的模相等；②方向不同的两个向量一定不平行；③；④.其中正确命题的个数是 A．0 B．1 C．2 D．3 2．（24-25高一上·湖北荆州·月考）下列结论正确的序号是 . ①若，都是单位向量，则； ②物理学中作用力与反作用力是一对共线向量； ③方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量是共线向量； ④直角坐标平面上的x轴，y轴都是向量. 知识点二： 向量的共线或平行 方向相同或相反的非零向量，叫共线向量(共线向量又称为平行向量).规定：与任一向量共线. 注：1、零向量的方向是任意的，注意0（向量）与0的含义与书写区别. 2、平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系. 3、共线向量与相等向量的关系：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等的向量． 【即时训练】 1．（24-25高一下·四川成都·月考）下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若、是单位向量，则 C． D．若非零向量与是共线向量，则A、B、C、D四点共线 2．（2025高二·全国·专题练习）下列命题是真命题的是 . (填序号) ①若A，B，C，D在一条直线上，则与是共线向量； ②若A，B，C，D不在一条直线上，则与不是共线向量； ③向量与是共线向量，则A，B，C，D四点必在一条直线上； ④向量与是共线向量，则A，B，C三点必在一条直线上. 【经典例题一 平面向量的概念与表示】 【例1】（24-25高二上·上海浦东新·月考）在等式①; ②；③；④；⑤若，则；正确的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【例2】（24-25高一·全国·随堂练习）用有向线段表示下列物体运动的速度． (1)向正东方向匀速行驶的汽车在2h内的位移是60km（用的比例尺）； (2)做自由落体运动的物体在1s末的速度（用1cm的长度表示速度2m/s）． 1．（24-25高一·江苏·课后作业）下列说法错误的是（    ） A．向量与向量长度相等 B．单位向量都相等 C．向量的模可以比较大小 D．任一非零向量都可以平行移动 2．（多选）（25-26高二·全国·课后作业）下列说法中正确的是（    ） A．单位向量都相等 B．任一向量与它的相反向量不相等 C．四边形是平行四边形的充要条件 D．模为0是一个向量的方向是任意的充要条件 3．（24-25高一·全国·课后作业）给出下列命题:①共线向量一定在同一条直线上;②若A,B,C,D是不共线的四点,则是四边形为平行四边形的充要条件;③的充要条件是且.其中正确命题的序号是 . 4．（25-26高一·全国·随堂练习）选择适当的比例尺，用有向线段表示下列向量． (1)终点A在起点O正东方向3m处； (2)终点B在起点O正西方向3m处； (3)终点C在起点O东北方向4m处； (4)终点D在起点O西南方向2m处． 【经典例题二 向量的模】 【例1】（24-25高三上·重庆·月考）已知向量，，则 A． B． C． D． 【例2】（24-25高一下·全国·课后作业）在方格纸（每个小方格的边长为1）中，画出下列向量． (1)，点在点的正东方向； (2)，点在点的北偏东方向； (3)求出的值． 1．（2026高三·全国·专题练习）已知单位向量､､，满足.若常数､､的取值集合为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 2．（多选）（24-25高一上·辽宁·期末）下列命题正确的是（    ） A．数轴上零向量的坐标为0 B．若与都是单位向量，则的最小值为0 C．若，则 D．若，则线段的中点坐标为 3．（2025·浙江·高考真题）已知是空间单位向量，，若空间向量满足，且对于任意，，则 ， ， ． 4．（25-26高一·全国·课后作业）如图所示的方格纸是由若干个边长为1的小正方形拼在一起组成的，方格纸中有两个定点A，B，点C为小正方形的顶点，且． (1)画出所有满足条件的向量； (2)求的最大值与最小值． 【经典例题三 零向量与单位向量】 【例1】（24-25高一下·广东汕尾·月考）已知向量，是单位向量，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26高一·全国·课后作业）一位模型赛车手遥控一辆赛车沿正东方向行进1米，逆时针方向转变α度，继续按直线向前行进1米，再逆时针方向转变α度，按直线向前行进1米，按此方法继续操作下去. （1）按1∶100比例作图说明当α=45°时，操作几次时赛车的位移为零； （2）按此法操作使赛车能回到出发点，α应满足什么条件？ 1．（24-25高一下·山东菏泽·月考）下列说法错误的是（    ） A．任一非零向量都可以平行移动 B．是单位向量，则 C． D．若，则 2．（多选）（2025高三·全国·专题练习）下列命题中，正确的是（   ） A．若与都是单位向量，则 B．直角坐标平面上的轴、轴都是向量 C．若用有向线段表示的向量与不相等，则点与不重合 D．海拔、温度、角度都不是向量 3．（24-25高二上·上海浦东新·期中）向量，则的单位向量是 . 4．（24-25高二上·上海虹口·期末）已知平面直角坐标系中有三点、、，其中为坐标原点. （1）求与同向的单位向量的坐标； （2）若点是线段（包括端点）上的动点，求的取值范围. 【经典例题四 相等向量】 【例1】（2026高三·全国·专题练习）如图，在矩形ABCD中，，M，N分别为边AB，CD的中点，在以A，B，C，D，M，N为起点和终点的所有有向线段表示的向量中，相等的向量共有（    ） A．12对 B．18对 C．20对 D．24对 【例2】（24-25高一·上海·课堂例题）中国象棋中的“马”走“日”．如图是一个棋盘，当“马”自点A走“一步”后的落点可以为点、或，表示该“马”走“一步”的向量为、或，它们是相等的向量吗？在图中分别用向量表示当“马”在点B处各走“一步”的情形．    1．（2025高二·全国·竞赛）设是单位向量，，则四边形是（    ）． A．梯形 B．无特殊限制的菱形 C．正方形 D．无特殊限制的矩形 2．（多选）（24-25高一下·陕西咸阳·月考）关于向量，下列说法正确的是（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．（24-25高一上·上海·课后作业）已知，，若，则 ， . 4．（24-25高一·江苏·课后作业）在如图的方格纸上，已知向量，每个小正方形的边长为1.      (1)试以B为终点画一个向量，使； (2)在图中画一个以A为起点的向量，使，并说出向量的终点的轨迹是什么？ 【经典例题五 平行向量(共线向量)】 【例1】（24-25高一下·广西河池·期末）下列向量的概念错误的是（   ） A．长度为0的向量是零向量，零向量的方向是任意的 B．零向量和任何向量都是共线向量 C．相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等 D．，，则 【例2】（25-26高一·全国·课前预习）如图，设O是▱ABCD对角线的交点，则 (1)与的模相等的向量有多少个？ (2)与的模相等，方向相反的向量有哪些？ (3)写出与共线的向量． 1．（2025·广东·模拟预测）若平面向量，，满足，则的最大值是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（多选）（24-25高一下·河北保定·月考）下列命题中的假命题是（    ） A．若为非零向量，则与同向 B．设，为实数，若，则与共线 C．若则 D．的充要条件是且∥ 3．（2025高一·全国·专题练习）给出下列命题： ①若 ，则； ②若单位向量的起点相同，则终点相同； ③起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量； ④向量与是共线向量，则A，B，C，D四点必在同一直线上． 其中正确命题的序号是 ． 4．（25-26高一下·四川凉山·月考）如图所示，4×3的矩形(每个小方格都是单位正方形)，在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中，试问： （1）与相等的向量共有几个； （2）与方向相同且模为的向量共有几个； 【拓展训练一 向量的几何表示】 【例1】（24-25高一下·全国·课后作业），为非零向量，且，则（    ） A．，同向 B．，反向 C． D．，无论什么关系均可 【例2】（24-25高一下·全国·课后作业）在如图的方格纸中，小方格的边长为1，画出下列向量． (1)，点A在点O的正西方向； (2)，点B在点O的北偏西方向； (3)根据（1）（2），作出向量并求出的值． 1．（24-25高一·全国·假期作业）下列说法正确的个数为（    ） ①面积、压强、速度、位移这些物理量都是向量 ②零向量没有方向 ③向量的模一定是正数 ④非零向量的单位向量是唯一的 A．0 B．1 C．2 D．3 2．（多选）（25-26高一下·全国·课后作业）下列命题中正确的是 A．单位向量的模都相等 B．长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量 C．若与满足，且与同向,则 D．两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同 3．（2025·安徽淮北·二模）已知向量，则 ． 4．（24-25高二上·上海闵行·期末）已知 (1)求的单位向量 (2)若与的夹角为锐角,求实数的取值范围． 1．（24-25高一下·内蒙古·单元测试）下列命题中正确的个数是 （    ） （1）若为单位向量，且，则； （2）若且，则； （3）； （4）若平面内有四点A、B、C、D，则必有. A．0 B．1 C．2 D．3 2．（24-25高一下·陕西咸阳·期中）已知是两个单位向量，则下列等式一定成立的是 A． B． C． D． 3．（24-25高一下·湖北荆州·月考）下列说法正确的是（ ） A．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等 B．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同 C．若，，则 D．向量与向量的长度相等 4．（24-25高一下·全国·课后作业）下列说法正确的是（    ） A．向量与向量的长度相等 B．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同 C．若，，则 D．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等 5．（24-25高一下·江苏宿迁·开学考试）设为非零向量，若，则的最大值与最小值的差为（    ） A． B． C． D． 6．(多选)（25-26高一·全国·课后作业）给出下列命题，其中不正确的是（    ） A．两个具有公共终点的向量一定是共线向量 B．两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小 C．若 (为实数)．则必为零 D．已知为实数，若，则与共线 7．（多选）（24-25高一下·山东青岛·期中）设为非零向量，下列有关向量的描述正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（多选）（25-26高一下·全国·课后作业）下列叙述中错误的是（    ） A．若，则 B．若，则与的方向相同或相反 C．若，，则 D．对任一向量，是一个单位向量 9．（多选）（25-26高一上·全国·期末）下列说法不正确的有（    ） A．向量就是所在的直线平行于所在的直线 B．相等的非零向量是长度相等，方向相同的向量 C．零向量与任一向量平行 D．共线向量是在一条直线上的向量 10．（多选）（24-25高一下·广东东莞·月考）关于非零向量，，下列命题中正确的是（    ） A．若，则. B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 11．（24-25高一·全国·课后作业）如图，在中，点D､E､F分别是边BC､CA､AB的中点，在以A､B､C､D､E､F为端点的向量中，与向量的模相等的向量的个数是 . 12．（25-26高一下·全国·课后作业）在静水中船的速度为，水流的速度为，如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，则经过，该船的实际航程是 . 13．（2025高三·全国·专题练习）把所有单位向量的起点平移到一点,则其终点构成的图形是 . 14．（25-26高一·全国·课后作业）如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，在分别以正六边形的顶点和中心为始点和终点的向量中，与向量相等的向量有 个.    15．（2025高三·全国·专题练习）给出下列命题： ①若向量，，则； ②若平面上所有单位向量的起点移到同一个点，则其终点在同一个圆上； ③在菱形中，一定有. 其中是真命题的为 .（填序号） 16．（2025高一·全国·专题练习）某人从A点出发向东走了5米到达B点，然后改变方向沿东北方向走了 米到达C点，到达C点后又改变方向向西走了10米到达D点． （1）作出向量，，； （2）求 的模． 17．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，四边形是边长为3的正方形，把各边三等分后，共有16个交点，从中选取两个交点作为向量的起点和终点，与向量同向且长度为的向量有几个？（在图中标出相应字母，写出这些向量） 18．（25-26高一·湖南·课后作业）如图，O是正六边形ABCDEF的中心，且，，．在以A，B，C，D，E，F，O这七个点中任意两点为起点和终点的向量中，问： （1）与相等的向量有哪些？ （2）的相反向量有哪些？ （3）与共线的向量有哪些？ 19．（24-25高一·全国·课后作业）如图，和是在各边的三等分点处相交的两个全等的正三角形，设的边长为a，写出图中给出的长度为的所有向量中， （1）与向量相等的向量； （2）与向量共线的向量； （3）与向量平行的向量. 20．（2025高一·全国·专题练习）已知O是正方形ABCD对角线的交点，在以O，A，B，C，D这5点中任意一点为起点，另一点为终点的所有向量中，写出： （1）与相等的向量； （2）与长度相等的向量； （3）与共线的向量. 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题6.1 平面向量的概念重难点题型专训 （2个知识点+5大题型+1大拓展训练+自我检测） 题型一 平面向量的概念与表示 题型二 向量的模 题型三 零向量与单位向量 题型四 相等向量 题型五 平行向量(共线向量) 拓展训练一 向量的几何表示 知识点一： 向量的有关概念 1、向量的模：向量的大小叫向量的模(就是用来表示向量的有向线段的长度). 注：（1）向量的模． （2）向量不能比较大小，但是实数，可以比较大小． 2、零向量：长度为零的向量叫零向量.记作，它的方向是任意的． 3、单位向量：长度等于1个单位的向量. 注：（1）在画单位向量时，长度1可以根据需要任意设定； （2）将一个向量除以它的模，得到的向量就是一个单位向量，并且它的方向与该向量相同． 4、相等向量：长度相等且方向相同的向量. 注：在平面内，相等的向量有无数多个，它们的方向相同且长度相等． 【即时训练】 1．（24-25高一下·全国·课后作业）给出下列命题:①和的模相等；②方向不同的两个向量一定不平行；③；④.其中正确命题的个数是 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解析】根据平面向量的基本概念，对每一个命题进行分析、判断即可． 【详解】与是方向相反､模相等的两个向量，故①正确； 方向相同和相反的两个向量平行，方向不同包括反向共线，故②错误； 是一个向量，而0为数量，所以，故③错误； 向量不能比较大小，故④错误. 故选：B 【点睛】本题考查向量的概念和共线向量的定义，考查判断能力和推理能力，属于基础题． 2．（24-25高一上·湖北荆州·月考）下列结论正确的序号是 . ①若，都是单位向量，则； ②物理学中作用力与反作用力是一对共线向量； ③方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量是共线向量； ④直角坐标平面上的x轴，y轴都是向量. 【答案】②③ 【解析】根据题意，对题目中的命题进行分析、判断正误即可． 【详解】解：对于①，，都是单位向量，则不一定有，①错误； 对于②，物理学中的作用力与反作用力大小相等，方向相反， 是一对共线向量，②正确； 对于③，如图所示， 方向为南偏西的向量与北偏东的向量在一条直线上， 是共线向量，③正确； 对于④，直角坐标平面上的轴、轴只有方向，没有大小， 不是向量，④错误； 综上，正确的命题序号是②③． 故答案为：②③． 知识点二： 向量的共线或平行 方向相同或相反的非零向量，叫共线向量(共线向量又称为平行向量).规定：与任一向量共线. 注：1、零向量的方向是任意的，注意0（向量）与0的含义与书写区别. 2、平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系. 3、共线向量与相等向量的关系：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等的向量． 【即时训练】 1．（24-25高一下·四川成都·月考）下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若、是单位向量，则 C． D．若非零向量与是共线向量，则A、B、C、D四点共线 【答案】C 【分析】根据向量的相关概念，即可判断选项. 【详解】A.向量不能比较大小，故A错误； B. 若、是单位向量，则，故B错误； C.向量与是相反向量，方向相反，模相等，故C正确； D. 若非零向量与是共线向量，则向量与方向相同或相反，根据向量可以平移，则无法说明四点共线，故D错误. 故选：C 2．（2025高二·全国·专题练习）下列命题是真命题的是 . (填序号) ①若A，B，C，D在一条直线上，则与是共线向量； ②若A，B，C，D不在一条直线上，则与不是共线向量； ③向量与是共线向量，则A，B，C，D四点必在一条直线上； ④向量与是共线向量，则A，B，C三点必在一条直线上. 【答案】①④ 【分析】向量为自由向量，共线向量所在的直线不一定重合，也可能平行. 【详解】①为真命题，A，B，C，D在一条直线上，向量的方向相同或相反，因此与是共线向量； ②为假命题，A，B，C，D不在一条直线上，则的方向不确定，不能判断与是否为共线向量； ③为假命题，因为两个向量所在的直线可能没有公共点，所以四点不一定在一条直线上； ④为真命题，因为两个向量所在的直线有公共点A，且与是共线向量，所以三点共线. 故答案为：①④ 【经典例题一 平面向量的概念与表示】 【例1】（24-25高二上·上海浦东新·月考）在等式①; ②；③；④；⑤若，则；正确的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【解析】由零向量、向量数乘、点乘等概念和性质，即可判断正误，进而确定答案. 【详解】零向量与任何向量的数量积都为0，错误； 0乘以任何向量都为零向量，正确； 向量的加减、数乘满足结合律，而向量点乘不满足结合律，错误； 向量模的平方等于向量的平方，正确； 不一定有，故错误； 故选：C 【例2】（24-25高一·全国·随堂练习）用有向线段表示下列物体运动的速度． (1)向正东方向匀速行驶的汽车在2h内的位移是60km（用的比例尺）； (2)做自由落体运动的物体在1s末的速度（用1cm的长度表示速度2m/s）． 【答案】(1)答案见解析． (2)答案见解析． 【分析】（1）以为起点，向右作长度是3cm的有向线段； （2）以为起点，向下作长度为的有向线段． 【详解】（1）， 以为起点，向右作有向线段，它的长度是3cm，    （2），时，， 以为起点，向下作有向线段，长度为：    1．（24-25高一·江苏·课后作业）下列说法错误的是（    ） A．向量与向量长度相等 B．单位向量都相等 C．向量的模可以比较大小 D．任一非零向量都可以平行移动 【答案】B 【分析】A.由相反向量判断；B.由单位向量判断；C.由向量的长度是数量判断；D.由相等向量判断. 【详解】A.和长度相等，方向相反，故正确； B.单位向量长度都为1，但方向不确定，故错误； C.向量的长度可以比较大小，即模长可以比较大小，故正确； D.向量只与长度和方向有关，与位置无关，故任一非零向量都可以平行移动，故正确. 故选：B. 2．（多选）（25-26高二·全国·课后作业）下列说法中正确的是（    ） A．单位向量都相等 B．任一向量与它的相反向量不相等 C．四边形是平行四边形的充要条件 D．模为0是一个向量的方向是任意的充要条件 【答案】CD 【分析】A.由单位向量的定义判断；B.由零向量的定义判断；C.由相等向量的定义判断； D.由零向量的定义判断. 【详解】A.单位向量的模均相等且为1，但方向并不一定相同，故错误； B.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的，故错误； C. 若四边形是平行四边形，则一组对边平行且相等，有， 若，则，则四边形是平行四边形，故正确； D.由零向量的规定，知正确． 故选：CD 3．（24-25高一·全国·课后作业）给出下列命题:①共线向量一定在同一条直线上;②若A,B,C,D是不共线的四点,则是四边形为平行四边形的充要条件;③的充要条件是且.其中正确命题的序号是 . 【答案】② 【解析】根据向量的基本概念与性质判定即可. 【详解】①不正确,共线向量不一定在同一条直线上,也可能在两条平行直线上; ②正确  ∵,∴且, 又A,B,C,D是不共线的四点, ∴四边形为平行四边形. 反之,若四边形为平行四边形,则且,∴; ③不正确,当且方向相反时,,但不能得到,故且不是的充要条件,而是必要不充分条件. 故答案为：② 4．（25-26高一·全国·随堂练习）选择适当的比例尺，用有向线段表示下列向量． (1)终点A在起点O正东方向3m处； (2)终点B在起点O正西方向3m处； (3)终点C在起点O东北方向4m处； (4)终点D在起点O西南方向2m处． 【答案】(1)答案见解析； (2)答案见解析； (3)答案见解析； (4)答案见解析． 【分析】（1）从向东作长度为3m的有向线段； （2）从向西作长度为3m的有向线段； （3）从点起向北偏东方向作长度为4m的有向线段； （4）从点起向南偏西方向作长度为2m的有向线段． 【详解】（1）从向东作长度为3m的有向线段：    （2）从向西作长度为3m的有向线段：    （3）从点起向北偏东方向作长度为4m的有向线段：    （4）从点起向南偏西方向作长度为2m的有向线段：    【经典例题二 向量的模】 【例1】（24-25高三上·重庆·月考）已知向量，，则 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，表示出，从而解得，利用向量模的公式，即可得到答案 【详解】设，所以，则，解得 所以，故 故答案选D 【例2】（24-25高一下·全国·课后作业）在方格纸（每个小方格的边长为1）中，画出下列向量． (1)，点在点的正东方向； (2)，点在点的北偏东方向； (3)求出的值． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)． 【分析】（1）根据要求画出点的位置即可； （2）根据要求画出点的位置即可； （3）向量由点指向点，画出图形即可求出． 【详解】（1）所求向量如图所示： （2）所求向量如图所示： （3）由图知，是等腰直角三角形，所以． 1．（2026高三·全国·专题练习）已知单位向量､､，满足.若常数､､的取值集合为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由条件，化简为，再根据条件判断和的取值，再根据，求的最大值. 【详解】由条件得， 和的取值只有三种可能，分别为､､， 但二者不可能同时一个取，另一个取， ∴的化简结果只有四种形式：､､､， 而，故所有可能取值只有或两种结果， ∴的最大值为. 故选：B 2．（多选）（24-25高一上·辽宁·期末）下列命题正确的是（    ） A．数轴上零向量的坐标为0 B．若与都是单位向量，则的最小值为0 C．若，则 D．若，则线段的中点坐标为 【答案】ABD 【分析】根据题意可直接判断A正确；当与方向相反时，可知B正确；利用两点间的距离公式计算可知C错误；利用中点坐标公式进行计算可知D正确. 【详解】数轴上零向量的坐标为正确. 若与都是单位向量，当方向相反时， 的最小值为正确. 若，则，错误. 若，则线段的中点坐标为，正确. 故选：ABD. 3．（2025·浙江·高考真题）已知是空间单位向量，，若空间向量满足，且对于任意，，则 ， ， ． 【答案】，，. 【详解】， 由于，所以， 问题等价于当且仅当时取到最小值， . 则，解得. 4．（25-26高一·全国·课后作业）如图所示的方格纸是由若干个边长为1的小正方形拼在一起组成的，方格纸中有两个定点A，B，点C为小正方形的顶点，且． (1)画出所有满足条件的向量； (2)求的最大值与最小值． 【答案】(1)答案见解析 (2)最大值为，最小值为． 【分析】根据向量的模的定义和勾股定理来确定点C 的位置，从而画出符合要求的向量，再通过观察图形计算的最大值和最小值. 【详解】（1）画出所有满足条件的向量，即（，2，…，8），如图所示． （2）由（1）所画的图知，当点C位于点或的位置时，取得最小值； 当点C位于点或的位置时，取得最大值， 故的最大值为，最小值为． 【经典例题三 零向量与单位向量】 【例1】（24-25高一下·广东汕尾·月考）已知向量，是单位向量，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据单位向量的概念进行分析即可. 【详解】单位向量的模长都为，方向不一定相同，所以正确， 故选：C． 【例2】（25-26高一·全国·课后作业）一位模型赛车手遥控一辆赛车沿正东方向行进1米，逆时针方向转变α度，继续按直线向前行进1米，再逆时针方向转变α度，按直线向前行进1米，按此方法继续操作下去. （1）按1∶100比例作图说明当α=45°时，操作几次时赛车的位移为零； （2）按此法操作使赛车能回到出发点，α应满足什么条件？ 【答案】见解析. 【详解】试题分析： （1）根据要求画出图形，由作出的图形可得操作的次数．（2）赛车若能回到出发点，则必须满足赛车经过多次方向转变后的位移为零．根据多边形的内角和定理求解可得结论． 试题解析： （1）如图所示，操作8次后，赛车的位移为零； （2）要使赛车能回到出发点，只需赛车的位移为零． 按（1）的方式作图，则所作图形是内角为的正多边形， 由多边形的内角和定理可得 ， 解得，且． 故α应满足的条件为，且． 1．（24-25高一下·山东菏泽·月考）下列说法错误的是（    ） A．任一非零向量都可以平行移动 B．是单位向量，则 C． D．若，则 【答案】D 【分析】根据题意，由向量的定义以及相关概念对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】因为非零向量是自由向量，可以自由平移移动，故A正确； 由单位向量对于可知，，故B正确； 因为，所以，故C正确； 因为两个向量不能比较大小，故D错误； 故选：D 2．（多选）（2025高三·全国·专题练习）下列命题中，正确的是（   ） A．若与都是单位向量，则 B．直角坐标平面上的轴、轴都是向量 C．若用有向线段表示的向量与不相等，则点与不重合 D．海拔、温度、角度都不是向量 【答案】CD 【分析】由向量的有关概念判断可得. 【详解】选项A，由于单位向量长度相等，但是方向不确定，故A错误； 选项B，由于只有方向，没有大小，故轴，轴不是向量，故B错误； 选项C，由于向量起点相同，但长度不相等，所以终点不同，C正确； 选项D，海拔、温度、角度只有大小，没有方向，故不是向量，D正确． 故选：CD 3．（24-25高二上·上海浦东新·期中）向量，则的单位向量是 . 【答案】 【分析】根据非零向量的单位向量的表示：，即可求解出对应的单位向量：先求模长，再写出坐标表示. 【详解】因为，所以， 所以的单位向量为：. 故答案为：. 4．（24-25高二上·上海虹口·期末）已知平面直角坐标系中有三点、、，其中为坐标原点. （1）求与同向的单位向量的坐标； （2）若点是线段（包括端点）上的动点，求的取值范围. 【答案】（1）（2） 【分析】（1）由与同向的单位向量为，直接求解，即可 （2）由题意可知线段的方程为，则设，从而，求解关于的二次函数的值域即可. 【详解】（1） （2）平面直角坐标系中点、 线段的方程为，即 设，. 则， 则上式为关于的开口向上，对称轴为的二次函数. 当时取得最小值 当时取得最大值 所以 【经典例题四 相等向量】 【例1】（2026高三·全国·专题练习）如图，在矩形ABCD中，，M，N分别为边AB，CD的中点，在以A，B，C，D，M，N为起点和终点的所有有向线段表示的向量中，相等的向量共有（    ） A．12对 B．18对 C．20对 D．24对 【答案】D 【分析】根据相等向量的定义，结合矩形的性质进行求解即可. 【详解】在矩形ABCD中，，点M，N分别为AB和CD的中点， 所以AMND和MNCB为边长相等的正方形，如图所示： 由题意得：，则，有3对；， 则，有6对； ，有1对；，有1对；，有1对； 共有：对，又上述成对向量的方向相反的向量也有12对， 综上，相等的非零向量共有24对. 故选：D 【例2】（24-25高一·上海·课堂例题）中国象棋中的“马”走“日”．如图是一个棋盘，当“马”自点A走“一步”后的落点可以为点、或，表示该“马”走“一步”的向量为、或，它们是相等的向量吗？在图中分别用向量表示当“马”在点B处各走“一步”的情形．    【答案】，，，这三个向量不相等，马在点走一步的向量为：． 【分析】根据相等向量的定义即可判断，，这三个向量是否相等，根据马走日的走法即可找出马在点走一步的向量． 【详解】解：，，，这三个向量的方向不同，不相等， 如图，马在点走一步的向量为：．    1．（2025高二·全国·竞赛）设是单位向量，，则四边形是（    ）． A．梯形 B．无特殊限制的菱形 C．正方形 D．无特殊限制的矩形 【答案】B 【分析】由向量相等得到平行四边形，再由向量模相等得到菱形即可. 【详解】因为是单位向量，所以，， 所以，即一组对边平行且相等， 所以四边形为平行四边形，故A选项错误； 又因为，所以四边形为菱形，故D答案错误； 再由题意中未给出垂直条件也未给出向量间的夹角，所以C选项错误； 所以四边形为无特殊限制的菱形. 故选：B. 2．（多选）（24-25高一下·陕西咸阳·月考）关于向量，下列说法正确的是（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AB 【分析】依据向量加法的三角形法则可判断A，依据向量的概念可判断BC，依据平行向量的概念可判断D. 【详解】，当且仅当方向相同或中至少有一个零向量时等号成立，A正确； 当时，，B正确； 若和无法比较大小，C错误； 当时，与可能不共线，D错误. 故选：AB. 3．（24-25高一上·上海·课后作业）已知，，若，则 ， . 【答案】 3 1 【分析】根据向量相等求参. 【详解】因为, 所以, 所以. 故答案为：3；1. 4．（24-25高一·江苏·课后作业）在如图的方格纸上，已知向量，每个小正方形的边长为1.      (1)试以B为终点画一个向量，使； (2)在图中画一个以A为起点的向量，使，并说出向量的终点的轨迹是什么？ 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析, 终点的轨迹是以A为圆心，半径为的圆 【分析】（1）根据相等向量的定义可得向量； （2）根据向量的模长公式的几何知识可得轨迹. 【详解】（1）根据相等向量的定义，所作向量与向量平行，且长度相等． 图如下所示：    （2）由平面几何知识可知所有这样的向量的终点的轨迹是以为圆心，半径为的圆．    【经典例题五 平行向量(共线向量)】 【例1】（24-25高一下·广西河池·期末）下列向量的概念错误的是（   ） A．长度为0的向量是零向量，零向量的方向是任意的 B．零向量和任何向量都是共线向量 C．相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等 D．，，则 【答案】D 【分析】根据零向量，相等向量，共线向量的定义即可求解. 【详解】对于A, 零向量的长度为0，且方向是任意的，故A正确， 对于B，规定零向量与任意向量共线，故B正确， 对于C，相等向量的模长和方向都相同，故相等向量一定是共线向量，但共线向量是方向相同或者相反的两个向量，模长不一定相等，故共线向量不一定相等，C正确， 对于D，当为零向量时，此时不一定能得到，故D错误， 故选：D 【例2】（25-26高一·全国·课前预习）如图，设O是▱ABCD对角线的交点，则 (1)与的模相等的向量有多少个？ (2)与的模相等，方向相反的向量有哪些？ (3)写出与共线的向量． 【答案】(1)三个 (2)， (3)，， 【分析】（1）（2）（3）根据平行四边形的性质、共线向量、向量的模的定义判断即可； 【详解】（1）解：在平行四边形中，为对角线的交点，所以，且，所以与的模相等的向量有，，三个向量． （2）解：与的模相等且方向相反的向量为，. （3）解：与共线的向量有，，. 1．（2025·广东·模拟预测）若平面向量，，满足，则的最大值是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】求解即可. 【详解】， 当与同向时取等号， 故选：B 2．（多选）（24-25高一下·河北保定·月考）下列命题中的假命题是（    ） A．若为非零向量，则与同向 B．设，为实数，若，则与共线 C．若则 D．的充要条件是且∥ 【答案】BCD 【分析】由单位向量可得A正确；举反例可得B错误；举反例可得C错误；当两向量互为相反向量时可得D错误. 【详解】对于A，若为非零向量，表示方向相同的单位向量，所以与同向，故A正确； 对于B，若，则与不一定共线，故B错误； 对于C，若，则不一定共线；故C错误； 对于D ，当两向量互为相反向量时也满足且∥，但，故D错误； 故选：BCD 3．（2025高一·全国·专题练习）给出下列命题： ①若 ，则； ②若单位向量的起点相同，则终点相同； ③起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量； ④向量与是共线向量，则A，B，C，D四点必在同一直线上． 其中正确命题的序号是 ． 【答案】③ 【解析】①考虑的情况；②根据单位向量的定义判断.③根据相等向量的定义判断.④共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，所在直线可能平行也可能重合. 【详解】①错误．若，则①不成立； ②错误．起点相同的单位向量，终点未必相同； ③正确．对于一个向量只要不改变其大小和方向，是可以任意移动的； ④错误．共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量与必须在同一直线上． 故答案为：③ 4．（25-26高一下·四川凉山·月考）如图所示，4×3的矩形(每个小方格都是单位正方形)，在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中，试问： （1）与相等的向量共有几个； （2）与方向相同且模为的向量共有几个； 【答案】（1）5；（2）2. 【分析】根据共线向量和相等向量的定义、以及模的计算和对正方形的对角线即可. 【详解】解：由题可知，每个小方格都是单位正方形， 每个小正方形的对角线的长度为且都与平行， 则， （1）由于相等向量是指方向和大小都相等的两个向量， 则与相等的向量共有5个，如图1； （2）与方向相同且模为的向量共有2个，如图2. 【拓展训练一 向量的几何表示】 【例1】（24-25高一下·全国·课后作业），为非零向量，且，则（    ） A．，同向 B．，反向 C． D．，无论什么关系均可 【答案】A 【解析】分别讨论与不共线,与同向,与反向且的情况,进而得到结果 【详解】当两个非零向量与不共线时,的方向与,的方向都不相同,且；当向量与同向时,的方向与,的方向都相同,且； 当向量与反向且时,的方向与的方向相同（与的方向相反）,且, 故选:A 【例2】（24-25高一下·全国·课后作业）在如图的方格纸中，小方格的边长为1，画出下列向量． (1)，点A在点O的正西方向； (2)，点B在点O的北偏西方向； (3)根据（1）（2），作出向量并求出的值． 【答案】(1)图象见解析 (2)图象见解析 (3)图象见解析， 【分析】（1）根据要求画出点的位置即可； （2）根据要求画出点的位置即可； （3）向量由点指向点，画出图形即可求出． 【详解】（1）因为，点A在点O的正西方向，故向量如图所示． （2）因为，点B在点O的北偏西方向，故向量如图所示． （3）向量如图所示，． 1．（24-25高一·全国·假期作业）下列说法正确的个数为（    ） ①面积、压强、速度、位移这些物理量都是向量 ②零向量没有方向 ③向量的模一定是正数 ④非零向量的单位向量是唯一的 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】根据向量的定义和性质，逐项判断正误即可. 【详解】①错误，只有速度，位移是向量． ②错误，零向量有方向，它的方向是任意的． ③错误， ④错误，非零向量的单位向量有两个，一个与同向，一个与反向． 故选：A. 2．（多选）（25-26高一下·全国·课后作业）下列命题中正确的是 A．单位向量的模都相等 B．长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量 C．若与满足，且与同向,则 D．两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同 【答案】AD 【解析】利用向量的基本概念，判断各个选项是否正确，从而得出结论. 【详解】单位向量的模均为1，故A正确； 向量共线包括同向和反向，故B不正确； 向量是矢量，不能比较大小，故C不正确； 根据相等向量的概念知，D正确. 故选：AD 3．（2025·安徽淮北·二模）已知向量，则 ． 【答案】 【分析】由题意利用平行四边形的性质和向量模的运算法则计算可得的值. 【详解】由平面向量的运算法则结合平行四边形的性质可得： ， 且：， 故：，解得：. 故答案为． 4．（24-25高二上·上海闵行·期末）已知 (1)求的单位向量 (2)若与的夹角为锐角,求实数的取值范围． 【答案】(1) ；(2) 且 【分析】(1)先计算，再根据得到答案. (2)先计算，，再计算,排除向量同向的情况得到答案. 【详解】(1) ，则，的单位向量 (2) ， ，夹角为锐角 则，解得： 且与不同向，即，解得： 综上所述：且 1．（24-25高一下·内蒙古·单元测试）下列命题中正确的个数是 （    ） （1）若为单位向量，且，则； （2）若且，则； （3）； （4）若平面内有四点A、B、C、D，则必有. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据向量大小与方向确定命题(1)(2)(3)真假.根据向量加法判断（4）真假. 【详解】若为单位向量，且，则；(1)错， 若，则但不一定成立；（2）错， 因为，所以（3）错， 因为,所以（4）对， 选B. 【点睛】向量有关概念的5个关键点 (1)向量：方向、长度． (2)非零共线向量：方向相同或相反． (3)单位向量：长度是一个单位长度． (4)零向量：方向没有限制，长度是0. (5)相等相量：方向相同且长度相等． 2．（24-25高一下·陕西咸阳·期中）已知是两个单位向量，则下列等式一定成立的是 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】取夹角为，计算排除，得到答案. 【详解】取夹角为，则，，排除，易知. 故选：. 3．（24-25高一下·湖北荆州·月考）下列说法正确的是（ ） A．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等 B．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同 C．若，，则 D．向量与向量的长度相等 【答案】D 【分析】本题可根据单位向量、平行向量、相等向量等向量的基本概念，对每个选项逐一进行分析判断. 【详解】单位向量是指模等于的向量.若两个单位向量平行，它们的方向可能相同或相反.当方向相反时，这两个单位向量并不相等.所以A选项错误. 两个有共同起点且长度相等的向量，它们的方向不一定相同.向量由大小和方向共同决定，方向不同时，终点也不同.比如，以原点为起点，长度都为的向量，一个沿轴正方向，一个沿轴正方向，它们的终点显然不同.所以B选项错误. 当时，对于任意向量和，都有且，但与不一定平行.因为零向量与任意向量都平行.所以C选项错误. 向量与向量是方向相反的向量，但它们的长度是相等的，因为向量的长度只与向量的大小有关，与方向无关.所以D选项正确. 故选：D. 4．（24-25高一下·全国·课后作业）下列说法正确的是（    ） A．向量与向量的长度相等 B．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同 C．若，，则 D．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等 【答案】A 【分析】利用向量模的性质判断A，利用向量的终点性质判断B，举反例判断C，D即可. 【详解】因为，所以向量与向量的长度相等，故A正确， 对于两个有共同起点，且长度相等的向量， 它们的方向不一定相同，终点也不一定相同，故B错误， 当时，与可能不共线，故C错误 两个单位向量平行也可能反向，则不相等，故D错误． 故选：A． 5．（24-25高一下·江苏宿迁·开学考试）设为非零向量，若，则的最大值与最小值的差为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的性质分别求出的最大值与最小值，最后计算它们的差值即可. 【详解】因为、、为非零向量，所以、、分别是与、、同向的单位向量，即. 当、、这三个单位向量方向相同时，取得最大值.此时. 当三个单位向量两两夹角为时，根据平行四边形法则知道，所以的最小值为. 的最大值为，最小值为，它们的差为. 故选：D. 6．(多选)（25-26高一·全国·课后作业）给出下列命题，其中不正确的是（    ） A．两个具有公共终点的向量一定是共线向量 B．两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小 C．若 (为实数)．则必为零 D．已知为实数，若，则与共线 【答案】ACD 【分析】由共线向量以及向量的概念即可判断正误. 【详解】对于A，两个具有公共终点的向量一定是共线向量，方向不确定，故错误； 对于B，两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小，故正确； 对于C，若 (为实数)．则必为零.可能不为零，若向量，；故错误 对于D，已知为实数，若，则与共线，当其中一个为零向量时不成立，故错误； 故选：ACD 7．（多选）（24-25高一下·山东青岛·期中）设为非零向量，下列有关向量的描述正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】首先理解表示与向量同方向的单位向量，然后分别判断选项. 【详解】表示与向量同方向的单位向量，所以正确，正确，所以AB正确，当不是单位向量时，不正确， ，所以D正确. 故选：ABD 8．（多选）（25-26高一下·全国·课后作业）下列叙述中错误的是（    ） A．若，则 B．若，则与的方向相同或相反 C．若，，则 D．对任一向量，是一个单位向量 【答案】ABCD 【分析】对于A，根据向量的概念判断，对于BCD，举例判断. 【详解】因为是既有大小又有方向的量，所以向量不能比较大小，故A错误； 由于零向量与任意向量共线，且零向量的方向是任意的，故B错误； 对于C，若为零向量，则与可能不是共线向量，故C错误； 对于D，当时，无意义，故D错误． 故选：ABCD 9．（多选）（25-26高一上·全国·期末）下列说法不正确的有（    ） A．向量就是所在的直线平行于所在的直线 B．相等的非零向量是长度相等，方向相同的向量 C．零向量与任一向量平行 D．共线向量是在一条直线上的向量 【答案】AD 【分析】利用向量的平行向量（共线向量）、相等向量、零向量与单位向量相关定义，逐项判断即可. 【详解】对于A：向量与平行，包含所在的直线与所在的直线平行和重合两种情况，故A错误； 对于B：若两个向量长度相等，方向相同，则称两个向量为相等向量，则相等的非零向量是长度相等，方向相同的向量，故B正确； 对于C：零向量与任一向量平行，故C正确； 对于D：共线向量可以是在一条直线上的向量，也可以是所在直线互相平行的向量，故D错误. 故选：AD. 10．（多选）（24-25高一下·广东东莞·月考）关于非零向量，，下列命题中正确的是（    ） A．若，则. B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】BCD 【分析】对于A根据向量的定义即可判断，对于B根据共线向量的定义即可判断，对于C由向量共线的性质即可判断，对于D由即可判断. 【详解】对于A：若，只能得到与的模相等，但是方向有可能不相同，故A错误； 对于B：若，则与是相反向量，则，故B正确； 对于C：若，，且，则，故C正确； 对于D：若，，则，即，故D正确. 故选：BCD. 11．（24-25高一·全国·课后作业）如图，在中，点D､E､F分别是边BC､CA､AB的中点，在以A､B､C､D､E､F为端点的向量中，与向量的模相等的向量的个数是 . 【答案】5 【分析】由向量的概念，结合几何图形写出与模相等的向量，即知个数. 【详解】由图知：与向量的模相等的向量有， ∴共有5个. 故答案为：5. 12．（25-26高一下·全国·课后作业）在静水中船的速度为，水流的速度为，如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，则经过，该船的实际航程是 . 【答案】 【分析】根据实际航线是垂直于河岸，作出图形，求得实际速度后可得结论． 【详解】如图，是水流方向，是垂直于河岸的方向，是船的实际航线，因此是船在静水中的航行方向，， ，则， ，故该船行驶的航程为. 故答案为：． 13．（2025高三·全国·专题练习）把所有单位向量的起点平移到一点,则其终点构成的图形是 . 【答案】以O为圆心的单位圆 【分析】设终点为，则，得到答案. 【详解】设终点为，则，则终点构成的图形是以为圆心的单位圆. 故答案为：以为圆心的单位圆. 14．（25-26高一·全国·课后作业）如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，在分别以正六边形的顶点和中心为始点和终点的向量中，与向量相等的向量有 个.    【答案】3 【分析】根据相等向量的定义及正六边形的性质即可求解. 【详解】根据正六边形的性质和相等向量的定义知，与向量相等的向量有，，，共3个. 故答案为：3 15．（2025高三·全国·专题练习）给出下列命题： ①若向量，，则； ②若平面上所有单位向量的起点移到同一个点，则其终点在同一个圆上； ③在菱形中，一定有. 其中是真命题的为 .（填序号） 【答案】②③ 【分析】根据平行向量的概念可判断①；根据单位向量的概念可判断②；根据相等向量的概念可判断③. 【详解】若，则向量不一定与向量平行，故①不正确； 单位向量的长度为1，当所有单位向量的起点在同一点时， 终点都在以为圆心，1为半径的圆上，故②正确； 在菱形中，，与方向相同，故，故③正确. 故答案为：②③. 16．（2025高一·全国·专题练习）某人从A点出发向东走了5米到达B点，然后改变方向沿东北方向走了 米到达C点，到达C点后又改变方向向西走了10米到达D点． （1）作出向量，，； （2）求 的模． 【答案】（1）见解析；（2）米 【分析】（1）利用方位根据向量的定义作出向量. （2）根据（1）作出的平面图形，利用平面几何知识求解. 【详解】（1）作出向量，，；如图所示： （2）由题意得，D在B的正北方向， 则△BCD是直角三角形，其中∠BDC＝90°，BC＝10 米，CD＝10米， 所以BD＝10米．△ABD是直角三角形，其中∠ABD＝90°，AB＝5米，BD＝10米， 所以AD＝＝(米)， 所以|米. 【点睛】本题主要考查平面向量的画法和向量模的求法，还考查了方位问题和平面几何知识，属于基础题. 17．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，四边形是边长为3的正方形，把各边三等分后，共有16个交点，从中选取两个交点作为向量的起点和终点，与向量同向且长度为的向量有几个？（在图中标出相应字母，写出这些向量） 【答案】4个． 【分析】利用平面向量的定义结合给定条件求解即可. 【详解】如图，我们标注一些点， 由图得与向量同向且长度为的向量有，共4个． 18．（25-26高一·湖南·课后作业）如图，O是正六边形ABCDEF的中心，且，，．在以A，B，C，D，E，F，O这七个点中任意两点为起点和终点的向量中，问： （1）与相等的向量有哪些？ （2）的相反向量有哪些？ （3）与共线的向量有哪些？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据相等向量、相反向量、平行向量的概念结合图形进行分析求解. 【详解】（1）与长度相同，方向相同的向量有：； （2）与长度相同，方向相反的向量有：； （3）与方向相同或相反的向量有：. 19．（24-25高一·全国·课后作业）如图，和是在各边的三等分点处相交的两个全等的正三角形，设的边长为a，写出图中给出的长度为的所有向量中， （1）与向量相等的向量； （2）与向量共线的向量； （3）与向量平行的向量. 【答案】（1），；（2），，，，；（3），，，，. 【分析】（1）利用相等向量定义可得解； （2）利用共线向量定义可得解； （3）利用平行向量定义可得解. 【详解】（1）与向量相等的向量，即与向量大小相等，方向相同的向量，有，； （2）与向量共线的向量，即与向量方向相同或相反的向量，有，，，，； （3）与向量平行的向量，即与向量方向相同或相反的向量，有，，，，. 20．（2025高一·全国·专题练习）已知O是正方形ABCD对角线的交点，在以O，A，B，C，D这5点中任意一点为起点，另一点为终点的所有向量中，写出： （1）与相等的向量； （2）与长度相等的向量； （3）与共线的向量. 【答案】（1）；（2），，，，，，；（3） 【解析】（1）由BCAD，BC＝AD，可得答案； （2）由O是正方形ABCD对角线的交点知OB＝OD＝OA＝OC，可得答案； （3）由BCAD，BC＝AD，可得出与共线的向量. 【详解】画出图形，如图所示． （1）易知BCAD，BC＝AD，所以与相等的向量为. （2）由O是正方形ABCD对角线的交点知OB＝OD＝OA＝OC， 所以与长度相等的向量为，，，，，，. （3）与共线的向量为，，. 【点睛】本题考查向量的相等向量，共线向量，注意共线向量的定义，向量的方向，属于基础题. 学科网（北京）股份有限公司 $