专题9.4 向量坐标表示与运算（1个知识点+10大题型+2大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年高一数学重难点专题提升精讲精练（苏教版必修第二册）

专题9.4 向量坐标表示与运算重难点题型专训 （1个知识点+10大题型+2大拓展训练+自我检测） 题型一 平面向量线性运算的坐标表示 题型二 由向量线性运算结果求参数 题型三 向量坐标的线性运算解决几何问题 题型四 利用坐标求向量的模 题型五 由向量线性运算解决最值和范围问题 题型六 利用坐标求向量的模 题型七 由坐标判断向量是否共线 题型八 由向量共线(平行)求参数 题型九 由坐标解决三点共线问题 题型十 由坐标解决线段平行和长度问题 拓展训练一 向量线性运算的相关求值 拓展训练二 由坐标解决相关问题 知识点一： 平面向量的坐标运算 1、已知，则，． 结论：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差． 2、若，则； 结论：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标。 3、设非零向量，则，即，或． 知识点诠释： 若，则不能表示成因为分母有可能为0． 4、三点共线的判断方法 判断三点是否共线，先求每两点对应的向量，然后再按两向量共线进行判定，即已知 ，， 若则A，B，C三点共线． 【即时训练】 1．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期末）已知O为坐标原点，若不重合的三点，，共线，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·江苏徐州·月考）若三点（）共线，则 . 【经典例题一 平面向量线性运算的坐标表示】 【例1】（2025高一下·江苏南京·专题练习）已知点，，且，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高一下·陕西榆林·月考）已知向量，，向量满足． (1)求向量； (2)若，求实数的值． 1．（2026·陕西宝鸡·一模）已知点，向量，，，则P点坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·江苏盐城·月考）在平行四边形中，为对角线，若，，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·甘肃张掖·期中）在中，，点满足，点使得，直线与相交于点，则的坐标为 ． 4．（25-26高一下·全国·课后作业）已知点，设，且. （1）求； （2）求满足的实数m，n的值； （3）求向量的坐标. 【经典例题二 由向量线性运算结果求参数】 【例1】（25-26高一·全国·课后作业）已知向量，， 若（）， 则的值为（    ） A．3 B． C． D．1 【例2】（2024高一下·全国·专题练习）已知点、，，若，试求为何值时， (1)点在第一、三象限的角平分线上； (2)点在第三象限内． 1．（24-25高一下·四川成都·期末）已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点．已知平面内点，把点绕点沿顺时针方向旋转后得到点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三·江西·月考）已知向量，满足，，，则（    ） A．－1 B．0 C．1 D．2 3．（24-25高一下·云南昭通·期中）已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点．已知平面内点，点，把点绕点沿逆时针方向旋转后得到点，则点的坐标为 ． 4．（24-25高一下·上海长宁·期末）已知平面内给定三个向量． (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围． 【经典例题三 向量坐标的线性运算解决几何问题】 【例1】（24-25高一下·广东东莞·月考）已知，，且，点在线段的延长线上，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【例2】（2025高三·全国·专题练习）已知O(0，0)，A(1，2)，B(4，5)及，试问： （1）t为何值时，P在x轴上？在y轴上？在第三象限？ （2）四边形OABP能否成为平行四边形，若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由. 1．（24-25高一下·江苏徐州·月考）在直角中，是直角，的内切圆交于点，点是图中阴影区域内的一点（不包含边界）.若，则的值可以是（    ）    A．1 B．2.5 C．4 D．5.5 2．（多选）（24-25高一上·辽宁沈阳·期末）已知点，，，则以，，为顶点的平行四边形的第四个顶点的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·全国·课后作业）已知平行四边形中，，则点的坐标为 . 4．（24-25高一下·河南·月考）设是线段上的一点，点． (1)当是线段的中点时，求点的坐标； (2)当时，求点的坐标； (3)当时，求点的坐标． 【经典例题四 利用坐标求向量的模】 【例1】（24-25高一下·江苏苏州·期末）已知，，点在线段的延长线上，且，则点的坐标为（    ） A． B． C． D．或 【例2】（24-25高二上·上海浦东新·月考）已知，，，点分的比为，点在线段上，且，求点的坐标. 1．（24-25高三上·广东揭阳·期中）已知点，向量，，点是线段的三等分点，则点的坐标是（    ） A． B． C．或 D．或 2．（多选）（24-25高一下·广东东莞·期中）已知点，向量，，点P是线段AB的三等分点，则点P的坐标可以是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·上海嘉定·开学考试）已知，点在线段延长线上，且，则点的坐标为 ． 4．（25-26高一·全国·随堂练习）如图，当点三等分线段时，设，，有．如果点，，…，是的等分点，你能得到什么结论？请证明你的结论．      【经典例题五 由向量线性运算解决最值和范围问题】 【例1】（24-25高三上·山西·月考）在等腰直角中，D为斜边BC的中点，点Р为内一点（含边界），若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高一下·湖北荆州·期中）在直角梯形中，，，，，，分别为，的中点，点在以为圆心的圆弧上运动，若，求的取值范围． 1．（24-25高一下·河北承德·月考）已知向量，则取得最小值时的值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·广东韶关·月考）如图，在矩形中，与的交点为为边上任意一点（包含端点），则的最大值为（    ） A．2 B．4 C．10 D．12 3．（2025·湖北襄阳·模拟预测）在直角梯形中，，，，，动点在以点为圆心，且与直线相切的圆上移动，设，则最大值是 . 4．（24-25高一下·广东广州·月考）如图，在直角梯形中，//，，，为上靠近的三等分点，交于，为线段上的一个动点． (1)用和表示； (2)设，求，的取值范围． 【经典例题六 利用坐标求向量的模】 【例1】（2025·四川达州·一模）已知向量，，，夹角为，则为（    ） A． B．19 C． D．18 【例2】（24-25高一下·江西·月考）已知向量，且． (1)求的值； (2)若向量与互相垂直，求的值． 1．（2025·北京·高考真题）在平面直角坐标系中，已知两点A(cos80°，sin80°)，B(cos20°，sin20°)，则的值是（    ） A． B． C． D．1 2．（多选）（24-25高一下·江苏连云港·期中）已知点为坐标原点，则下列结论正确的是（    ） A．的坐标为 B．，其中 C．线段的中点坐标为 D． 3．（24-25高一下·重庆北碚·月考）在中，，AB=6，AC=4，点P、Q满足，，直线CP与BQ交于点，M为线段的中点，则线段CM的长等于 4．（24-25高一下·浙江温州·期中）在等腰梯形中，已知，，，，动点，分别在线段和上，线段和相交于点，且，. （1）当时，求的值. （2）记，试求函数的解析式及其最小值. 【经典例题七 由坐标判断向量是否共线】 【例1】（24-25高一下·河北石家庄·期中）下列向量中，与向量共线的一个单位向量是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高一·江苏·课后作业）如图所示，在平行四边形ABCD中，A(0，0)，B(3，1)，C(4，3)，D(1，2)，M，N分别为DC，AB的中点，求，的坐标，并判断，是否共线. 1．（2025高三·全国·专题练习）已知向量，则下列向量与平行的是（    ） A． B． C． D． 2．（多选）（24-25高一下·贵州六盘水·月考）已知向量和均不共线，且，则向量可以是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·云南红河·模拟预测）已知向量，，则下列向量与向量共线的有 .（只填正确的序号）①（-1，2）；②（1，-2）；③（2，1）；④ 4．（24-25高二·全国·课后作业）已知、、，，. （1）求点、及向量的坐标； （2）求证：. 【经典例题八 由向量共线(平行)求参数】 【例1】（2026·山东枣庄·模拟预测）已知向量．若为实数，且，则（   ） A．1 B．2 C． D． 【例2】（24-25高一下·上海·期末）已知平面上的两个向量． (1)若与平行，求的值； (2)若与垂直，求的值． 1．（24-25高一下·北京朝阳·月考）已知两个不共线的向量，，且，，，若A，B，D三点共线，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·贵州毕节·期末）已知向量，，若，则（    ） A． B． C．7 D．3 3．（25-26高二上·山西晋城·期末）已知，，且，则 . 4．（25-26高三上·北京顺义·月考）已知. (1)若，求的值； (2)若，求的值； (3)若与的夹角余弦值等于，求的值.（直接写答案） 【经典例题九 由坐标解决三点共线问题】 【例1】（25-26高二上·贵州·期中）已知向量，若三点共线，则（    ） A． B．49 C．21 D． 【例2】（24-25高一下·全国·课后作业）已知四点坐标，，，，请判断直线AB与CD是否平行？ 1．（24-25高一下·广东梅州·期末）已知，且三点共线，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·内蒙古赤峰·月考）已知为不共线向量，，则（    ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 3．（24-25高一·全国·课后作业）若，，三点不能构成三角形，则t= ． 4．（24-25高一下·广东珠海·月考）已知，，． (1)求证：A，B，D三点共线： (2)若向量与向量互相垂直，求实数k的值． 【经典例题十 由坐标解决线段平行和长度问题】 【例1】（24-25高一下·河南郑州·期中）已知的三个顶点A，B，C的坐标分别是，则顶点D的坐标是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高一·全国·课后作业）已知四边形ABCD的顶点坐标分别为A（1，0），B（4，3），C（2，4），D（0，2），求证：四边形ABCD是梯形． 1．（24-25高一下·广东东莞·月考）已知向量，则与共线的单位向量为（　　） A． B． C．或 D．或 2．（多选）（24-25高一下·甘肃张掖·月考）已知，，，则以，，为顶点的平行四边形的另一个顶点的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·全国·单元测试）线段的端点为、，直线上的点，使，则 ． 4．（25-26高一·全国·假期作业）如图，已知直角梯形中，，过点C作于点E，M为的中点. 求证： (1)； (2)D，M，B三点共线. 【拓展训练一 向量线性运算的相关求值】 【例1】（2025·河北·模拟预测）在正六边形ABCDEF中，直线ED上的点M满足，则（    ） A．1 B． C． D． 【例2】（2024高二上·新疆·学业考试）已知向量. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值. 1．（24-25高一下·湖南·期中）已知的边的中点为D，点G为的中点，内一点P（P点不在边界上）满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（多选）（24-25高一下·四川绵阳·期中）点，向量，，点是线段的三等分点，则点坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·福建泉州·月考）在中，，．为所在平面内的动点，且，若，则的取值范围是 ． 4．（24-25高一下·河北·期末）已知向量与向量的对应关系用表示． (1)设，，求向量及的坐标； (2)求满足的向量的坐标； (3)证明：对任意向量、，均满足． 【拓展训练二 由坐标解决相关问题】 【例1】（24-25高一下·四川宜宾·期末）下列各组向量中，可以作为基底的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高一下·北京海淀·期中）解决下列问题： (1)已知平行四边形ABCD的三个顶点，，，而且A，B，C，D按逆时针方向排列，求D点的坐标； (2)已知，，三点共线，求y的值． 1．（24-25高一下·青海西宁·月考）平面内顺次连接所组成的图形是（    ） A．平行四边形 B．直角梯形 C．等腰梯形 D．以上都不对 2．（多选）（24-25高一下·河北张家口·期中）若，且是线段的一个三等分点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·福建宁德·月考）若，，三点共线，则满足的关系式为 ． 4．（24-25高一下·江苏扬州·期中）如图，在平面直角坐标系中，，， （1）求点的坐标； （2）求证：四边形为等腰梯形． 1．（2025·宁夏中卫·二模）已知向量，则（    ） A．1 B． C．3 D． 2．（24-25高一下·江苏南京·期末）在中，，，，D是内一点，且设，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·河南驻马店·期末）在平面直角坐标系中，点分别在x轴和y轴上运动，且，点和点P满足，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D． 4．（24-25高一下·山东青岛·期中）已知，O为坐标原点，则下列说法正确的是（   ） A． B．A，O，C三点共线 C．A，B，C三点共线 D． 5．（25-26高三上·安徽阜阳·月考）已知向量 ，，若 满足 且 ，则 （    ） A． B． C． D． 6．（多选）（2025·陕西汉中·一模）已知向量，，则（    ） A． B． C． D．在方向上的投影向量坐标是 7．（多选）（24-25高一下·湖南·期末）如图，在直角梯形中，，，E为AB的中点，M，N分别为线段DE的两个三等分点，点P为线段BD上的任意一点，若，则的值不可能是（   ）    A． B．3 C．7 D．9 8．（多选）（24-25高一下·广东清远·期中）已知向量，，且向量满足，则（    ） A． B．向量与的夹角为 C． D．向量在方向上的投影向量的长度为 9．（多选）（25-26高二上·湖南常德·期末）已知向量，则（    ） A． B．当时， C．当时， D．的最大值为7 10．（多选）（24-25高一下·山东泰安·月考）对非零向量，定义变换，得到一个新的向量，关于该变化，下列说法正确的是 （    ） A． B．若，则 C．设为线段的中点，则 D．设为坐标原点，且点构成等腰三角形，则 11．（24-25高一上·北京·期末）在直角梯形ABCD中，，，，分别为的中点，以为圆心、为半径的圆交于，点在劣弧上，且．若，则 ． 12．（24-25高一下·江苏南京·月考）四边形是正方形，延长至点，使得，若为中点，为中点，点在线段上移动（包含端点），设，求的取值范围 ． 13．（24-25高三上·湖南长沙·月考）如图，在直角梯形中，，是线段上的动点，则的最小值为 . 14．（24-25高一下·北京朝阳·期中）如果向量，共线，则等于 ． 15．（2025高三·全国·专题练习）已知点 ，O为坐标原点，则AC与OB的交点P的坐标为 . 16．（24-25高一下·四川德阳·月考）已知的顶点分别为，D在直线BC上． (1)若，求点D的坐标； (2)若，求点D的坐标． 17．（24-25高一下·甘肃临夏·期末）在中，，，设点P是所在平面内的任意一点，． (1)求m的最小值； (2)当m取最小值时，求在方向上的投影数量． 18．（24-25高一下·北京通州·期末）已知向量，． (1)求； (2)若，，，求证：，，三点共线． 19．（24-25高一下·山东潍坊·月考）已知，是平面内两个不共线的非零向量，，，，且三点共线. (1)求实数的值； (2)若，，求； (3)已知点，在（2）的条件下，若四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点的坐标. 20．（24-25高一下·江苏淮安·月考）如图，在边长为2的正方形中，分别是的中点. (1)若，则的值 (2)若交于点，求线段的长 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题9.4 向量坐标表示与运算重难点题型专训 （1个知识点+10大题型+2大拓展训练+自我检测） 题型一 平面向量线性运算的坐标表示 题型二 由向量线性运算结果求参数 题型三 向量坐标的线性运算解决几何问题 题型四 利用坐标求向量的模 题型五 由向量线性运算解决最值和范围问题 题型六 利用坐标求向量的模 题型七 由坐标判断向量是否共线 题型八 由向量共线(平行)求参数 题型九 由坐标解决三点共线问题 题型十 由坐标解决线段平行和长度问题 拓展训练一 向量线性运算的相关求值 拓展训练二 由坐标解决相关问题 知识点一： 平面向量的坐标运算 1、已知，则，． 结论：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差． 2、若，则； 结论：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标。 3、设非零向量，则，即，或． 知识点诠释： 若，则不能表示成因为分母有可能为0． 4、三点共线的判断方法 判断三点是否共线，先求每两点对应的向量，然后再按两向量共线进行判定，即已知 ，， 若则A，B，C三点共线． 【即时训练】 1．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期末）已知O为坐标原点，若不重合的三点，，共线，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由共线求出，检验即可得解. 【详解】因为，，， 所以， 若不重合的三点，，共线， 则，解得或， 当时，重合，矛盾， 当时，都不重合，故满足题意， 所以. 故选：A. 2．（24-25高二上·江苏徐州·月考）若三点（）共线，则 . 【答案】/ 【分析】利用三点共线求出的关系式，然后整理可得. 【详解】因为三点共线， 所以，， 所以，即，又， 所以，所以. 故答案为： 【经典例题一 平面向量线性运算的坐标表示】 【例1】（2025高一下·江苏南京·专题练习）已知点，，且，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平面向量的坐标运算即可求解. 【详解】设，则，. 因为，所以，解得， 所以点的坐标为. 故选：B. 【例2】（24-25高一下·陕西榆林·月考）已知向量，，向量满足． (1)求向量； (2)若，求实数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用向量的坐标运算求解即可； （2）代入向量的坐标，利用坐标相等可得的方程，即可求求解. 【详解】（1）因为向量，， 所以，所以； （2）因为，所以，即， 所以，解得. 1．（2026·陕西宝鸡·一模）已知点，向量，，，则P点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量线性运算的坐标表示求出即可. 【详解】向量，，，可得：, 则, 因为点，则P点坐标为 故选：A 2．（24-25高一下·江苏盐城·月考）在平行四边形中，为对角线，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】，由此求出，再求结论. 【详解】因为四边形是平行四边形， 所以， 所以， 所以. 故选：A. 3．（24-25高一下·甘肃张掖·期中）在中，，点满足，点使得，直线与相交于点，则的坐标为 ． 【答案】 【分析】由已知得出的坐标，由三点共线，设，进而用表示出的坐标，根据列出方程即可求解． 【详解】由题知，， ，则， 由三点共线设，则， 所以，， 因为点三点共线，所以， 则，解得， 所以，则， 故答案为：． 4．（25-26高一下·全国·课后作业）已知点，设，且. （1）求； （2）求满足的实数m，n的值； （3）求向量的坐标. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【分析】（1）分别求出向量，即可求出； （2）根据题意建立关于m、n的方程组，即可解出m、n； （3）分别表示出向量，即可求出的坐标. 【详解】由题意得. （1）. （2）因为，所以解得 （3）设O为坐标原点.因为，，所以. 【经典例题二 由向量线性运算结果求参数】 【例1】（25-26高一·全国·课后作业）已知向量，， 若（）， 则的值为（    ） A．3 B． C． D．1 【答案】B 【分析】根据平面向量的坐标的线性运算列方程即可得求得的值，从而可得的值. 【详解】因为，， 所以 则，解得，则. 故选：B. 【例2】（2024高一下·全国·专题练习）已知点、，，若，试求为何值时， (1)点在第一、三象限的角平分线上； (2)点在第三象限内． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用平面向量线性运算的坐标运算可得出点的坐标，根据点在第一、三象限的角平分线上可得出关于的等式，可解得实数的值； （2）根据点在第三象限内，可得出关于实数的不等式组，即可解得实数的取值范围. 【详解】（1）设点，由已知可得， 又因为，则， 所以，，可得， 若点在第一、三象限的角平分线上，则，解得. （2）解：因为点在第三象限内，则， 所以. 1．（24-25高一下·四川成都·期末）已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点．已知平面内点，把点绕点沿顺时针方向旋转后得到点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，设，由条件可得的坐标，然后列出方程，即可得到结果. 【详解】设，则，将点绕点沿顺时针方向旋转， 即将点绕点沿逆时针方向旋转， 可得， 化简可得，， 又因为， 所以，解得，所以. 故选：D 2．（24-25高三·江西·月考）已知向量，满足，，，则（    ） A．－1 B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】设出向量，的坐标，根据条件列出坐标方程，即可解出坐标，即可进一步列出含参数的坐标方程，从而解出参数 【详解】设，，所以，且，解得，，即，.所以，则，解得，故. 故选：B 3．（24-25高一下·云南昭通·期中）已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点．已知平面内点，点，把点绕点沿逆时针方向旋转后得到点，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】设，利用向量旋转公式求出向量，再结合平面向量的坐标运算即可求得点坐标. 【详解】由题意可知，把点绕点逆时针方向旋转，得到点， 设，则， 所以，解得， 所以点的坐标为, 故答案为： 4．（24-25高一下·上海长宁·期末）已知平面内给定三个向量． (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用向量的线性运算与向量相等的性质即可得解； （2）利用向量数量积的坐标运算即可得解. 【详解】（1）因为向量，，， 可得， 故有，， 则，； （2）因为，，， 所以， 解得， 故的取值范围是 【经典例题三 向量坐标的线性运算解决几何问题】 【例1】（24-25高一下·广东东莞·月考）已知，，且，点在线段的延长线上，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据已知条件确定三点的位置关系并得到，再设，根据坐标运算代入坐标求解即可. 【详解】点在线段的延长线上，又， 设,则 ， . 故选：D. 【例2】（2025高三·全国·专题练习）已知O(0，0)，A(1，2)，B(4，5)及，试问： （1）t为何值时，P在x轴上？在y轴上？在第三象限？ （2）四边形OABP能否成为平行四边形，若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由. 【答案】（1），，；（2）不能，理由见解析. 【分析】（1）根据平面向量坐标运算求解，再根据坐标轴与象限的性质列式求解即可； （2）若四边形OABP为平行四边形，则，再根据坐标运算判断解的情况即可 【详解】(1)∵， ∴ 若点P在x轴上，则2＋3t＝0，解得； 若点P在y轴上，则1＋3t＝0，解得； 若点P在第三象限，则解得 (2)若四边形OABP为平行四边形，则 ∴ ∵该方程组无解， ∴四边形OABP不能成为平行四边形. 1．（24-25高一下·江苏徐州·月考）在直角中，是直角，的内切圆交于点，点是图中阴影区域内的一点（不包含边界）.若，则的值可以是（    ）    A．1 B．2.5 C．4 D．5.5 【答案】B 【分析】先由内切圆性质求出半径，再利用坐标法得到的几何意义，数形结合可解. 【详解】在中，，则， 设内切圆半径为r， 则，可得， 以C为坐标原点建立如图所示的直角坐标系，则，.    可得， 令，则点P在直线上， 因为点P是图中阴影区域内的一点(不包含边界)，即直线与阴影区域(不包含边界)有公共点. 由图可知，当且时，才满足题意，故ACD错误，B正确. 故选：B. 2．（多选）（24-25高一上·辽宁沈阳·期末）已知点，，，则以，，为顶点的平行四边形的第四个顶点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】将平行四边行转化为向量相等，通过向量的坐标表示可得结果. 【详解】设点的坐标为， 由于平行四边形的四个顶点为， 所以可能有以下三种情形： 当时，即，解得，即的坐标为； 当时，即，解得，即的坐标为； 当，即，解得，即的坐标为； 故选：ABC. 3．（25-26高二上·全国·课后作业）已知平行四边形中，，则点的坐标为 . 【答案】 【分析】利用向量相等的性质及向量坐标运算即可得解. 【详解】因为平行四边形中，所以，又 ，设，则， 所以，则，解得， 所以点的坐标为. 故答案为：. 4．（24-25高一下·河南·月考）设是线段上的一点，点． (1)当是线段的中点时，求点的坐标； (2)当时，求点的坐标； (3)当时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】利用平面向量的坐标运算和线性运算分别求解即可. 【详解】（1）因为是线段的中点， 所以， 所以点的坐标为； （2）由，得， 则， 所以点的坐标为； （3）设，则， 因为，即， 又由题意易知， 所以，解得， 所以点的坐标为. 【经典例题四 利用坐标求向量的模】 【例1】（24-25高一下·江苏苏州·期末）已知，，点在线段的延长线上，且，则点的坐标为（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】根据已知条件及中点坐标公式即可求解. 【详解】由题意得，点为中点，设点，则 ，解得， 所以点的坐标为. 故选:B． 【例2】（24-25高二上·上海浦东新·月考）已知，，，点分的比为，点在线段上，且，求点的坐标. 【答案】 【分析】先通过与面积的比，以及它们高的比，求出它们底边的比，即与的比，可得到，设出点坐标，将用坐标表示，列方程可求出点的坐标． 【详解】解：如图，设点的坐标为，点到的距离为，点到的距离为， 由平行线分线段成比例得：， ， ， ， ， ， 解得：， 点的坐标为． 1．（24-25高三上·广东揭阳·期中）已知点，向量，，点是线段的三等分点，则点的坐标是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据向量的坐标运算求解，注意三等分点有两种可能. 【详解】因为，，可得， 又因为点是线段的三等分点，则或， 所以或， 即点的坐标为或. 故选：C. 2．（多选）（24-25高一下·广东东莞·期中）已知点，向量，，点P是线段AB的三等分点，则点P的坐标可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】由题意有或，根据向量的坐标运算即可求解. 【详解】由题意有或， 当时，得，所以，故A正确； 当时，得，所以，故B正确. 故选：AB. 3．（24-25高二下·上海嘉定·开学考试）已知，点在线段延长线上，且，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】根据已知条件及中点坐标公式即可求解. 【详解】因为点在线段的延长线上，且，所以点为中点， 设点，则，解得，所以点的坐标为. 故答案为：. 4．（25-26高一·全国·随堂练习）如图，当点三等分线段时，设，，有．如果点，，…，是的等分点，你能得到什么结论？请证明你的结论．      【答案】，证明见解析. 【分析】根据向量的线性运算可得，，从而可得，同理可得，…，即可得结论. 【详解】解：结论． 证明如下： 证明：不妨设上述点从靠近点A处开始排列，因为， 所以， 同理可得， 所以， 又，， 所以， … 综上所述，． 【经典例题五 由向量线性运算解决最值和范围问题】 【例1】（24-25高三上·山西·月考）在等腰直角中，D为斜边BC的中点，点Р为内一点（含边界），若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，以为原点，，的方向为轴，轴的正方向建立直角坐标系，根据向量相等，即可求出的取值范围． 【详解】设，以为原点，，的方向为轴，轴的正方向建立直角坐标系，则.要使点为内一点（含边界），直线，，所以，即. 故选：D. 【例2】（24-25高一下·湖北荆州·期中）在直角梯形中，，，，，，分别为，的中点，点在以为圆心的圆弧上运动，若，求的取值范围． 【答案】 【分析】设，根据得出，最后由正弦函数的性质得出的取值范围 【详解】设， 则 因为，所以 即，解得， 所以 因为，所以 即 1．（24-25高一下·河北承德·月考）已知向量，则取得最小值时的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由于向量的坐标，求得向量的坐标，利用坐标求向量的模长，计算化简可得，即可求解. 【详解】因为， 所以， 则 故当时，取得最小值. 故选：C. 2．（24-25高一下·广东韶关·月考）如图，在矩形中，与的交点为为边上任意一点（包含端点），则的最大值为（    ） A．2 B．4 C．10 D．12 【答案】C 【分析】利用建系法，将向量运算转化为数量运算求解. 【详解】以点为坐标原点，的方向为轴，轴正方向，建立平面直角坐标系，则，， 设，所以，则， 因为，所以，即的最大值为10. 故答案为：C 3．（2025·湖北襄阳·模拟预测）在直角梯形中，，，，，动点在以点为圆心，且与直线相切的圆上移动，设，则最大值是 . 【答案】4 【分析】建立直角坐标系，写出点的坐标，求出BD的方程，求出圆的方程，设出，求出三个向量的坐标，用P的坐标表，则，根据直线AP:与有交点,求出范围． 【详解】解：以为原点，分别以方向为轴，建立如图所示直角坐标系： 所以，，，，所以，， 因为圆与直线相切，而，圆心， 所以半径，所以圆：， 设,则，， 又 所以，则，所以 所以表示坐标原点A与点P两点之间连线的斜率的2倍， 因为动点在圆上移动，所以直线AP:与有交点， 则圆心到的距离为 解得:，则 所以，则最大值是4. 故答案为：4． 4．（24-25高一下·广东广州·月考）如图，在直角梯形中，//，，，为上靠近的三等分点，交于，为线段上的一个动点． (1)用和表示； (2)设，求，的取值范围． 【答案】(1)； (2)，. 【分析】（1）利用向量的线性运算，结合已知条件，即可容易表达； （2）以为坐标原点，建立平面直角坐标系，写出对应向量的坐标，用点横坐标表达，进而根据点横坐标的范围，即可求得结果. 【详解】（1）因为为上靠近的三等分点，故可得， 又//，且，故， 则 . 即. （2）根据题意，因为，故以为坐标原点， 建立如图所示平面直角坐标系： 设，则， 因为点在上运动，故可设其坐标为， 则， 由可得， 则，因为，则， 故. 【经典例题六 利用坐标求向量的模】 【例1】（2025·四川达州·一模）已知向量，，，夹角为，则为（    ） A． B．19 C． D．18 【答案】A 【分析】先分别求，，，再求，开方可得. 【详解】，， ，， ， ，. 故选：A 【例2】（24-25高一下·江西·月考）已知向量，且． (1)求的值； (2)若向量与互相垂直，求的值． 【答案】(1)4 (2)或 【分析】（1）由及已知条件，代入计算即可； （2）由已知得，根据向量数量积的运算律及已知条件代入求解即可． 【详解】（1）， 因为，所以，即，则， 所以． （2）由向量与互相垂直得， 所以，即， 即，解得或． 1．（2025·北京·高考真题）在平面直角坐标系中，已知两点A(cos80°，sin80°)，B(cos20°，sin20°)，则的值是（    ） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】由坐标知，利用模长公式求得模长，结合三角函数两角差的余弦公式求得结果. 【详解】由A，B坐标知，， 则 故选：D 2．（多选）（24-25高一下·江苏连云港·期中）已知点为坐标原点，则下列结论正确的是（    ） A．的坐标为 B．，其中 C．线段的中点坐标为 D． 【答案】ABD 【分析】根据向量线性运算的坐标表示以及向量模长计算公式判断每个选项. 【详解】由向量的坐标表示可得，A正确； ，， 所以，B正确； 的中点坐标为，故C错误； 因为，所以，D正确. 故选：ABD 3．（24-25高一下·重庆北碚·月考）在中，，AB=6，AC=4，点P、Q满足，，直线CP与BQ交于点，M为线段的中点，则线段CM的长等于 【答案】 【分析】根据题意建立适当的直角坐标系，求出相应点的坐标即可求得的长. 【详解】根据题意，以点为原点，所在直线为轴，过点且垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系，根据题意求得，，，，， 则所在的直线方程为，即； 所在的直线方程为，即； 联立所在的直线方程与所在的直线方程得，解得， 由中点坐标公式得，即. 由两点之间得距离公式得， 故答案为：. 4．（24-25高一下·浙江温州·期中）在等腰梯形中，已知，，，，动点，分别在线段和上，线段和相交于点，且，. （1）当时，求的值. （2）记，试求函数的解析式及其最小值. 【答案】（1）； （2），最小值为 . 【分析】（1）建立平面直角坐标系，写出点的坐标，联立直线和求得点，进而求得； （2）求得，从而求得，最后利用二次函数可求得其最小值. 【详解】以的中点为原点，所在的直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示. 依题意知，，，. （1）当时，，，则直线：，直线：， 联立可得，，所以，所以，故. （2）因为，所以； 因为，所以. 则， 所以， 因为，所以. 【经典例题七 由坐标判断向量是否共线】 【例1】（24-25高一下·河北石家庄·期中）下列向量中，与向量共线的一个单位向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由单位向量的意义和共线向量的坐标关系逐个判断即可. 【详解】对于A，因为向量的模为，故A错误； 对于B，因为，且向量的模为，故B正确； 对于C，因为向量的模为，故C错误； 对于D，因为，所以向量与向量不共线，故D错误. 故选：B. 【例2】（24-25高一·江苏·课后作业）如图所示，在平行四边形ABCD中，A(0，0)，B(3，1)，C(4，3)，D(1，2)，M，N分别为DC，AB的中点，求，的坐标，并判断，是否共线. 【答案】，，和共线. 【分析】先求坐标，进而求得，，再结合向量共线坐标公式检验即可. 【详解】解　由已知可得，， 所以，， 由，所以和共线. 1．（2025高三·全国·专题练习）已知向量，则下列向量与平行的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知向量、求出的坐标，再依据两向量平行的坐标关系来判断选项中的向量是否与平行. 【详解】因为，所以． 若向量满足，则该向量与平行，检验易知D符合题意． 故选：D． 2．（多选）（24-25高一下·贵州六盘水·月考）已知向量和均不共线，且，则向量可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据条件可得不共线，结合共线向量的坐标表示可得结果. 【详解】由题意得，不共线. A.∵，∴不共线，A正确. B.∵，∴，故为共线向量，B错误. C. ∵，∴不共线，C正确. D.∵，∴，故为共线向量，D错误. 故选：AC. 3．（2025·云南红河·模拟预测）已知向量，，则下列向量与向量共线的有 .（只填正确的序号）①（-1，2）；②（1，-2）；③（2，1）；④ 【答案】①②④ 【分析】求出的坐标，再利用共线向量定理得解. 【详解】解：由题得，与（-3，6）共线的有①②④. 故选①②④. 故答案为：①②④ 4．（24-25高二·全国·课后作业）已知、、，，. （1）求点、及向量的坐标； （2）求证：. 【答案】（1），，，，，；（2）证明见解析. 【解析】（1）设出点的坐标为，点的坐标为，则由 求得点的坐标，同理求得点的坐标，可得 的坐标． （2）求出和的坐标，再根据两个向量共线的条件可得． 【详解】（1）设点的坐标为，点的坐标为， 则由 可得，，， 故有，解得，即点的坐标为，． 由，可得，， ，，即点的坐标为，， 故，． （2）由于，，， 满足， 故． 【经典例题八 由向量共线(平行)求参数】 【例1】（2026·山东枣庄·模拟预测）已知向量．若为实数，且，则（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】根据平面向量运算的坐标表示和向量共线的坐标公式计算即可. 【详解】因为向量， 所以. 因为，所以，解得. 故选：D. 【例2】（24-25高一下·上海·期末）已知平面上的两个向量． (1)若与平行，求的值； (2)若与垂直，求的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据平行满足的坐标关系即可求解， （2）根据垂直，得数量积为0，即可结合辅助角以及三角函数的性质求解. 【详解】（1）与平行， （2）与垂直，， 即， 故， 即 由于，所以，则或， 故或 1．（24-25高一下·北京朝阳·月考）已知两个不共线的向量，，且，，，若A，B，D三点共线，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由平面向量的线性表示与共线定理求解即可. 【详解】由，，， 所以， 因为A，B，D三点共线，所以存在实数，使得， 则， 因为向量，不共线， 所以，解得：， 故选：D 2．（25-26高三上·贵州毕节·期末）已知向量，，若，则（    ） A． B． C．7 D．3 【答案】D 【分析】由坐标表示向量平行计算可得． 【详解】向量，， 因为，所以，得． 故选：D 3．（25-26高二上·山西晋城·期末）已知，，且，则 . 【答案】3 【分析】根据两向量平行，则坐标成比例，列出方程，即可得答案. 【详解】因为，所以， 即， 得，解得， 所以. 4．（25-26高三上·北京顺义·月考）已知. (1)若，求的值； (2)若，求的值； (3)若与的夹角余弦值等于，求的值.（直接写答案） 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）根据条件，利用向量共线的坐标表示，得到，即可求解； （2）根据条件，利用向量坐标的线性运算及向量垂直的坐标表示，得，即可求解； （3）根据条件，利用向量的夹角公式得，即可求解. 【详解】（1）因为，又，则， 解得，此时，，满足题意，所以. （2）因为，则，， 又，则，所以， 整理得到，解得或，所以的值为或. （3）因为，整理得到， 解得或，当时，，所以不合题意， 所以的值为. 【经典例题九 由坐标解决三点共线问题】 【例1】（25-26高二上·贵州·期中）已知向量，若三点共线，则（    ） A． B．49 C．21 D． 【答案】D 【分析】根据共线向量的坐标表示公式计算即得. 【详解】由，可得， 因三点共线，则与共线， 故有，解得. 故选：D. 【例2】（24-25高一下·全国·课后作业）已知四点坐标，，，，请判断直线AB与CD是否平行？ 【答案】不平行，理由见解析 【分析】根据向量共线的坐标运算求得，，根据，，知直线AB与CD重合. 【详解】不平行．理由如下：， ，， 所以，，所以. 由于与，有共同的起点， 所以A，B，C，D四点共线，因此直线AB与CD重合． 1．（24-25高一下·广东梅州·期末）已知，且三点共线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量的共线定理的坐标运算即可求解. 【详解】由，得, 因为三点共线，所以，即，解得. 所以. 故选：A. 2．（24-25高一下·内蒙古赤峰·月考）已知为不共线向量，，则（    ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 【答案】A 【分析】由已知得，依次判断各项对应点所得向量是否共线，即可判断. 【详解】由题设， ，，，与有公共端点，所以三点共线，A对； ，，不存在，使， 所以与不共线，即三点不共线，B错； ，，不存在，使， 所以与不共线，即三点不共线，C错； ，，不存在，使， 所以与不共线，即三点不共线，D错； 故选：A 3．（24-25高一·全国·课后作业）若，，三点不能构成三角形，则t= ． 【答案】 【分析】由题设知三点共线，结合且的坐标表示列方程组求参数即可. 【详解】由三点不能构成三角形，即三点共线，且，， 所以且，则，可得. 故答案为： 4．（24-25高一下·广东珠海·月考）已知，，． (1)求证：A，B，D三点共线： (2)若向量与向量互相垂直，求实数k的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先求出，根据向量坐标得，即可得证A，B，D三点共线； （2）计算出向量的坐标，结合已知条件两向量垂直，利用坐标运算即可得到关于的方程，解方程即可. 【详解】（1）因为，，所以， 又，所以，即，所以A，B，D三点共线. （2）因为，所以，因为，所以， 由此可知； 由（1）知：，又因为向量与向量互相垂直， 则有：，，，解得. 【经典例题十 由坐标解决线段平行和长度问题】 【例1】（24-25高一下·河南郑州·期中）已知的三个顶点A，B，C的坐标分别是，则顶点D的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行四边形的性质和向量的坐标表示求解即可； 【详解】设顶点D的坐标为， 由题意知，,根据向量的坐标运算解得；， 解得：，即顶点D的坐标为， 故选；A. 【例2】（24-25高一·全国·课后作业）已知四边形ABCD的顶点坐标分别为A（1，0），B（4，3），C（2，4），D（0，2），求证：四边形ABCD是梯形． 【答案】证明见解析 【分析】根据题意，求得坐标，即可得，且，即可得证 【详解】证明：由题意得， 所以，即， 又，即， 所以四边形ABCD是梯形. 1．（24-25高一下·广东东莞·月考）已知向量，则与共线的单位向量为（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】先求向量模长，再分两种情况求单位向量即可. 【详解】, 则与共线的单位向量为或. 故选:D. 2．（多选）（24-25高一下·甘肃张掖·月考）已知，，，则以，，为顶点的平行四边形的另一个顶点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】点位置不确定，分为平行四边形，平行四边形，平行四边形三种情况讨论 【详解】设点的坐标为， 若是平行四边形，则有， 可得，解得, 故所求顶点的坐标为. 所以A正确 若是平行四边形，则有， 可得，解得， 故所求顶点的坐标为. 所以B正确 若是平行四边形，则有， 可得 ，解得，. 故所求顶点的坐标为. 所以C正确 故选：ABC 3．（25-26高一上·全国·单元测试）线段的端点为、，直线上的点，使，则 ． 【答案】或 【解析】由题意可得出或，根据题意可得出关于实数、的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出的值. 【详解】由已知得，， 由可得或. ①当时，可得，解得，此时，； ②当时，可得，解得，此时. 综上所述，或. 故答案为：或. 4．（25-26高一·全国·假期作业）如图，已知直角梯形中，，过点C作于点E，M为的中点. 求证： (1)； (2)D，M，B三点共线. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； 【分析】（1）建立平面直角坐标系，证明四边形为正方形，分别写出各点的坐标，然后利用向量共线证明即可； （2）用向量证明，结合与有公共点，即可求证. 【详解】（1）以E为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图. 令，则，因为，， 所以四边形为正方形，所以各点坐标分别为 . 因为，， 所以，即. （2）因为M为的中点，所以， 所以，， 所以，所以. 又与有公共点，所以D，M，B三点共线. 【拓展训练一 向量线性运算的相关求值】 【例1】（2025·河北·模拟预测）在正六边形ABCDEF中，直线ED上的点M满足，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】建立平面直角坐标系，利用坐标法列关于的方程，解之即可求得的值. 【详解】在正六边形ABCDEF中，以A为原点， 分别以所在直线为轴建立平面直角坐标系， 不妨令，则， , 由，可得，解之得 故选：B 【例2】（2024高二上·新疆·学业考试）已知向量. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用向量线性运算的坐标表示和相等向量的定义得到关于的方程组，解之即可得解； （2）用向量线性运算的坐标表示求得与，再利用向量垂直的坐标表示即可得解. 【详解】（1）因为，， 所以， 所以，解得， 所以 （2）因为，则， 又，， 所以，解得， 故实数k的值为. 1．（24-25高一下·湖南·期中）已知的边的中点为D，点G为的中点，内一点P（P点不在边界上）满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先以为x轴，D为原点建立坐标系，得到对应坐标，再根据向量关系解得，结合题意知，即解得结果. 【详解】以为x轴，D为原点建立如图坐标系． 设，则， ， 由，有，故， ∵点P在内，∴即， 解得. 故选：A． 2．（多选）（24-25高一下·四川绵阳·期中）点，向量，，点是线段的三等分点，则点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】结合向量的坐标运算，并分类讨论，即可求解. 【详解】设点坐标为，因为向量，，则，， 当点为靠近点的三等分点时，则，故，解得：，，故点坐标为， 当点为靠近点的三等分点时，则，故，解得：，，故点坐标为， 故选：AD 3．（24-25高一下·福建泉州·月考）在中，，．为所在平面内的动点，且，若，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】建立坐标系，设，然后利用坐标运算以及辅助角公式变形，通过三角函数的性质求解范围. 【详解】如图建立平面直角坐标系，设，则， 则，， 因为，所以，即 所以，， 所以的取值范围是. 故答案为：. 4．（24-25高一下·河北·期末）已知向量与向量的对应关系用表示． (1)设，，求向量及的坐标； (2)求满足的向量的坐标； (3)证明：对任意向量、，均满足． 【答案】(1)， (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据对应关系计算即可； （2）根据设，根据对应关系可得关于的方程组，求出其解后可得向量的坐标； （3）设，，根据对应关系可得及后可得两者相等. 【详解】（1）因为，所以， 因为，所以． （2）设，则， 因为，则，即 解得因此． （3）设，，∴， ， 又，， 所以 ， 所以对任意向量，，均满足． 【拓展训练二 由坐标解决相关问题】 【例1】（24-25高一下·四川宜宾·期末）下列各组向量中，可以作为基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据基底向量的定义结合向量共线的判定定理逐项分析判断. 【详解】对于选项A：因为，可知∥， 所以不可以作为基底，故A错误； 对于选项B：因为，可知∥， 所以不可以作为基底，故B错误； 对于选项C：因为，可知∥， 所以不可以作为基底，故C错误； 对于选项D：显然均不为零向量， 假设∥，则， 可得，方程组无解，即假设不成立， 所以不共线，所以可以作为基底，故D正确； 故选：D. 【例2】（24-25高一下·北京海淀·期中）解决下列问题： (1)已知平行四边形ABCD的三个顶点，，，而且A，B，C，D按逆时针方向排列，求D点的坐标； (2)已知，，三点共线，求y的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，由可得答案； （2）由题结合可得答案. 【详解】（1）设，因四边形ABCD为平行四边形，则， 则； （2）因三点共线，则. 又,,则. 1．（24-25高一下·青海西宁·月考）平面内顺次连接所组成的图形是（    ） A．平行四边形 B．直角梯形 C．等腰梯形 D．以上都不对 【答案】B 【分析】先求出，然后通过判断它们间的关系进行判断即可. 【详解】因为， 所以，， 所以，，∥， 所以四边形为直角梯形. 故选：. 2．（多选）（24-25高一下·河北张家口·期中）若，且是线段的一个三等分点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】由题意可得或，利用坐标表示，即得解 【详解】由题意，或， 由于，设，则 则当时，，即； 时，，即； 故选：BC 3．（24-25高二上·福建宁德·月考）若，，三点共线，则满足的关系式为 ． 【答案】 【分析】转化为平面向量平行，探索参数满足的条件. 【详解】由题意：，，因为三点，，三点共线， 所以. 所以：即. 故答案为： 4．（24-25高一下·江苏扬州·期中）如图，在平面直角坐标系中，，， （1）求点的坐标； （2）求证：四边形为等腰梯形． 【答案】（1）；；（2）证明见解析． 【分析】（1）先根据，，求得B的坐标，再加上向量的坐标即得点C的坐标； （2）利用向量的坐标可得,计算模可得，从而证得. 【详解】解：（1）设，则， ， ， ， ； （2）证明：连接, ，， ，且， 又，， , 四边形为等腰梯形. 1．（2025·宁夏中卫·二模）已知向量，则（    ） A．1 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】根据向量加减的坐标运算求出，再根据向量数量积的坐标运算即可求解. 【详解】由，，两式联立可得，， . 故选：B. 2．（24-25高一下·江苏南京·期末）在中，，，，D是内一点，且设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据Rt△ABC构建平面直角坐标系，可知B、C的坐标分别为(1，0)、(0，2)，应用含参数的坐标表示向量，由平面向量基本定理，坐标运算求得参数λ、μ的关系即可求判断选项. 【详解】如图，以A为原点，AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴建立平面直角坐标系 则B点的坐标为(1，0)，C点的坐标为(0，2)    ∵∠DAB＝45°，所以设D点的坐标为(m， m)(m≠0) 则λ＝m，且μ＝m， ∴，即 故选：B 3．（24-25高二上·河南驻马店·期末）在平面直角坐标系中，点分别在x轴和y轴上运动，且，点和点P满足，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】设、、，由题意可得，又，故有，结合向量的模长计算及的范围计算即可得其最大值. 【详解】设、、， 则、、， 由，则有，即， 由，有，故，即， 即有，且， 则， 由，故当时，有最大值， 且的最大值为. 故选：D. 4．（24-25高一下·山东青岛·期中）已知，O为坐标原点，则下列说法正确的是（   ） A． B．A，O，C三点共线 C．A，B，C三点共线 D． 【答案】B 【分析】根据向量的坐标运算判断AD，根据共线向量得三点共线判断BC． 【详解】由题意， 所以，A错误； 因为，，所以， 所以三点共线，B正确； 又，而，所以不共线，从而三点不共线，C错； ，D错误， 故选：B． 5．（25-26高三上·安徽阜阳·月考）已知向量 ，，若 满足 且 ，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，可求出，根据平行关系和垂直关系可建立方程组，即可解出. 【详解】设 ，， 由 ，可得， 由 得， 所以， 联立得 解方程组可得， 所以. 故选： 6．（多选）（2025·陕西汉中·一模）已知向量，，则（    ） A． B． C． D．在方向上的投影向量坐标是 【答案】BD 【分析】应用向量的坐标运算求模长、夹角，结合投影向量的定义求投影向量，即可判断各项正误. 【详解】对于A：，错误； 对于B：，正确； 对于C：，错误； 对于D：在方向上的投影向量坐标是，正确. 故选：BD. 7．（多选）（24-25高一下·湖南·期末）如图，在直角梯形中，，，E为AB的中点，M，N分别为线段DE的两个三等分点，点P为线段BD上的任意一点，若，则的值不可能是（   ）    A． B．3 C．7 D．9 【答案】ACD 【分析】建立适当的平面直角坐标系，依次设和并结合和得关于的方程组即可求解. 【详解】由题可建立如图以A为坐标原点的平面直角坐标系，    则，不妨设，则， 则， 设，则， 因为，所以， 所以，整理得 因为，所以. 故选：ACD 8．（多选）（24-25高一下·广东清远·期中）已知向量，，且向量满足，则（    ） A． B．向量与的夹角为 C． D．向量在方向上的投影向量的长度为 【答案】AB 【分析】由得，，AB选项，使用模长公式和夹角公式进行求解；C选项，利用两向量平行满足的条件进行判断；D选项，利用投影向量的概念求解． 【详解】向量，，则， ∵向量满足，∴，解得或， 又因为，所以，所以， 对于A，，故A正确； 对于B，， ，， 向量与的夹角为，则， 因为，所以，故B正确； 对于C，，由于，所以不平行，故C错误； 对于D，向量在方向上的投影向量的长度为，故D错误． 故选：AB． 9．（多选）（25-26高二上·湖南常德·期末）已知向量，则（    ） A． B．当时， C．当时， D．的最大值为7 【答案】ACD 【分析】根据向量的模的公式判断A；根据判断B；根据向量平行的坐标运算判断C；根据三角不等式判断D. 【详解】因为，所以，故A正确； 当时，，即， 因为，得，B错误； 当时，满足，即，C正确； ，故的最大值为7，D正确. 故选：ACD. 10．（多选）（24-25高一下·山东泰安·月考）对非零向量，定义变换，得到一个新的向量，关于该变化，下列说法正确的是 （    ） A． B．若，则 C．设为线段的中点，则 D．设为坐标原点，且点构成等腰三角形，则 【答案】ABD 【分析】对A，根据定义的变换代入计算即可，对B，可设，在代入定义变换运算法则即可判断；对C，先求点，然后得出，代入定义变换直接计算即可；对D，先计算，再得，再利用点构成等腰三角形，列出方程再解方程即可. 【详解】，，A正确； 若，不妨记，由A选项，，∴，B正确； 为线段的中点，，C错误； ，，， ，，， ∴构成等腰三角形，只可能，联立可解，D正确; 故选：ABD. 11．（24-25高一上·北京·期末）在直角梯形ABCD中，，，，分别为的中点，以为圆心、为半径的圆交于，点在劣弧上，且．若，则 ． 【答案】/ 【分析】建立直角坐标系，则，根据，求出，即可得解. 【详解】建立如图所示的平面直角坐标系： ，分别为的中点，， 以为圆心，为半径的圆交于，点在劣弧上，且， 所以即， 由，得， 所以，所以，所以. 故答案为： 12．（24-25高一下·江苏南京·月考）四边形是正方形，延长至点，使得，若为中点，为中点，点在线段上移动（包含端点），设，求的取值范围 ． 【答案】 【分析】由图建立平面直角坐标系，利用平面向量坐标运算可得的范围. 【详解】 如图，建立平面直角坐标系，设，则，， 由题意设，则， 由得， 则，故， 即， 故答案为： 13．（24-25高三上·湖南长沙·月考）如图，在直角梯形中，，是线段上的动点，则的最小值为 . 【答案】6 【分析】以点为坐标原点，建立平面直角坐标系，设a），写出各点坐标，结合向量加法以及模的坐标运算，运用二次函数的知识即可求出最小值. 【详解】如图，以点为坐标原点，建立平面直角坐标系，设a）， 因为，所以， 所以， 所以，所以， 所以当，即时，的最小值为6. 故答案为：6 14．（24-25高一下·北京朝阳·期中）如果向量，共线，则等于 ． 【答案】 【分析】由向量共线判定定理即可求解. 【详解】因为向量，共线， 所以存在，使得， 即， 则， 解得或， 所以． 故答案为： 15．（2025高三·全国·专题练习）已知点 ，O为坐标原点，则AC与OB的交点P的坐标为 . 【答案】(3,3) 【分析】法一：利用向量的共线可设，表示出的坐标，根据向量共线列出方程，即可求得答案； 法二：设点P(x,y)，进而表示出相关向量的坐标，根据向量共线，列出方程，求得答案. 【详解】法一:由O，P，B三点共线，可设, 则, 又， 由共线，得， 解得 ，所以, 所以点P的坐标为(3,3), 故答案为： 法二:设点P(x,y)，则 ，因为，且 与共线， 所以 ，即x=y. 又 ， ，且共线， 所以 ，解得x=y=3， 所以点P的坐标为(3,3)， 故答案为： 16．（24-25高一下·四川德阳·月考）已知的顶点分别为，D在直线BC上． (1)若，求点D的坐标； (2)若，求点D的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设点D的坐标为，利用向量相等得到的方程组，求解即可； （2）设点D的坐标为，利用向量的数量积与共线向量的坐标表示可得的方程组，求解即可. 【详解】（1）设点D的坐标为，则， ，，解得， 点D的坐标为． （2）设点D的坐标为，， 又C，B，D三点共线， 而， ， 解方程组，得．点D的坐标为． 17．（24-25高一下·甘肃临夏·期末）在中，，，设点P是所在平面内的任意一点，． (1)求m的最小值； (2)当m取最小值时，求在方向上的投影数量． 【答案】(1)30 (2) 【分析】（1）由，得，建立平面直角坐标系，表示出，求最小值即可； （2）由（1）得m取最小值时，点，然后计算在方向上的投影数量即可. 【详解】（1）由，得． 以A为坐标原点，直线AB，AC分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系， 则，，．设， 则， 所以的最小值为30，即m的最小值为30； （2）由（1）得m取最小值时，点，得，， 所以，，， 所以在方向上的投影数量为． 18．（24-25高一下·北京通州·期末）已知向量，． (1)求； (2)若，，，求证：，，三点共线． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）结合向量的坐标运算，以及向量模公式，即可求解； （2）结合向量共线的性质，即可求解． 【详解】（1）解：，， 则， 故； （2）证明：，， 则； ， 所以， 所以，，三点共线． 19．（24-25高一下·山东潍坊·月考）已知，是平面内两个不共线的非零向量，，，，且三点共线. (1)求实数的值； (2)若，，求； (3)已知点，在（2）的条件下，若四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点的坐标. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由向量加法得到，由于三点共线，则存在实数，使得，然后建立方程求得； （2）由（1）写出，然后由得到向量坐标，由坐标求得模长； （3）由（2）得到，坐标，由得到坐标，设点坐标得到点坐标，即可得到坐标，由平行四边形得到，建立方程解出点坐标. 【详解】（1）， 当三点共线时，存在实数，使得， 即， 即，解得. （2）由（1）可知， ∴， ∴. （3），， ∴， 设，∴， ∴， 在平行四边形中，，即，解得， ∴. 20．（24-25高一下·江苏淮安·月考）如图，在边长为2的正方形中，分别是的中点. (1)若，则的值 (2)若交于点，求线段的长 【答案】(1) (2) 【分析】（1）以点为坐标原点，建立平面直角坐标系，根据平面向量线性运算的坐标表示即可得解； （2）根据三点共线和三点共线，结合共线向量的坐标公式求出点的坐标，再求出即可. 【详解】（1）以点为坐标原点，分别以，方向为轴正方向建立平面直角坐标系， 则，，，，， 则，，， 由可得：， 所以，解得， 因此； （2）设，因为三点共线，所以 则存在唯一实数，使得， 则，可得，， 即， 又三点共线，且，，则， 所以，解得， 则，所以， 所以， 所以线段的长. 学科网（北京）股份有限公司 $