专题9.6平面向量易错必刷题型专训（56题14个考点）-2025-2026学年高一数学下学期重难点专题提升精讲精练（苏教版必修第二册）

专题9.6平面向量易错必刷题型专训（56题14个考点） 【易错必刷一 向量的概念与表示】 1．（24-25高一下·浙江·期中）给出下列命题，正确的是（    ） A．的充要条件是且 B．若，则它们的起点和终点均相同 C．若存在实数，使得，则 D．若是平面内的四点，且，则四点一定能构成平行四边形 2．（24-25高一下·重庆巴南·月考）下列说法错误的是（    ） A．两个有共同起点且相等的向量，其终点可能不同 B．若非零向量与是共线向量，则四点共线 C．若非零向量与共线，则 D．若，则 3．（25-26高一·全国·课后作业）下列命题正确的有 ．(填序号) ①向量与向量的长度相等、方向相反; ②与平行，则与的方向相同或相反; ③两个相等向量的起点相同，则其终点必相同; ④与是共线向量，则四点共线． 4．（24-25高一下·四川凉山·月考）如图所示，4×3的矩形(每个小方格都是单位正方形)，在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中，试问： （1）与相等的向量共有几个； （2）与方向相同且模为的向量共有几个； 【易错必刷二 向量加法的法则】 5．（24-25高一上·辽宁·期末）如图，在平行四边形ABCD中，为对角线的交点，则（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高一下·全国·课后作业）化简以下各式，结果为的有（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·上海·随堂练习）化简的结果等于 . 8．（24-25高一上·上海·课前预习）已知、，用向量加法的平行四边形法则作出. 【易错必刷三 向量减法的法则】 9．（2024高一下·全国·专题练习）在△ABC中，若，，则等于（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高二上·贵州黔西·月考）化简以下各式，结果为的有（      ） A． B． C． D． 11．（24-25高一·全国·课前预习） . 12．（25-26高二·全国·课后作业）如图，在三角形中，、、相交于点，已知，，，，，，试用，，，，，表示下列向量. (1)； (2)； (3). 【易错必刷四 向量数乘的有关计算】 13．（2025高三·新疆·学业考试）已知，与的方向相反，且，则（   ） A． B． C． D． 14．（2025高三·全国·专题练习）(多选)如图，设P，Q两点把线段AB三等分，则下列向量表达式正确的是（    ） A． B． C． D． 15．（24-25高一·全国·课后作业）已知向量，满足，，且，则实数的值是 ． 16．（25-26高一·全国·课后作业）化简： (1)； (2)； (3)； (4). 【易错必刷五 平面向量数量积的定义及辨析】 17．（24-25高三上·天津红桥·期末）在中，若，则角的取值范围是（    ） A． B． C． D． (0,2) 18．（24-25高一下·宁夏银川·期中）下列有关向量命题，正确的是（    ） A．若，则 B．已知，且，则 C．若，，则 D．若，则且 19．（24-25高二上·江西新余·开学考试）已知向量与的夹角为，，，则 ． 20．（25-26高二·全国·课后作业）在中，，，，求，，的值. 【易错必刷六 用定义求向量的数量积】 21．（25-26高三上·辽宁·期末）在菱形中，，则（    ） A． B． C．150° D．120° 22．（24-25高一下·辽宁·月考）对任意向量，，，下列关系式中正确的是（   ） A． B． C． D． 23．（2026·云南·模拟预测）已知正六边形的边长为1，则 . 24．（24-25高一下·广东东莞·月考）已知向量与的夹角，且，． (1)求； (2)求. 【易错必刷七 平面向量共线定理!证明点共线问题】 25．（2026高三·全国·专题练习）已知平面向量不共线，，，，则（    ） A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线 C．B，C，D三点共线 D．A，C，D三点共线 26．（24-25高一下·浙江金华·月考）已知A，B，C，是三个不同的点，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．A，B，C三点共线 27．（24-25高一下·吉林·期末）已知向量，不共线，如果，，，则共线的三个点是 . 28．（24-25高一下·上海静安·期末）已知向量，． (1)若，，，求证：、、三点共线． (2)已知，若，且，求的值； 【易错必刷八 已知向量共线(平行)求参数】 29．（2025高三·全国·专题练习）设向量不共线，则关于的方程解的情况是（    ）． A．至少有一个实数解 B．至多有一个实数解 C．至多有两个实数解 D．可能有无数个实数解 30．（25-26高一上·全国·单元测试）已知向量，不共线，若，，且，则关于实数，的值可以是（ ） A．2， B．， C．2， D．， 31．（24-25高一下·广东广州·期中）已知是两个不共线的向量，.若与是共线向量，则 ． 32．（24-25高一下·湖北·月考）设是不共线的两个向量. (1)若，求证：三点共线； (2)若与共线，求实数的值. 【易错必刷九 平面向量共线定理的推论】 33．（2025高三·全国·专题练习）若在直线上存在不同的三点，使得关于实数的方程有解（点不在上），则此方程的解集为（    ） A． B． C． D． 34．（24-25高三上·山东·月考）已知是边的三等分点，点在线段上，若，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 35．（2024高三·全国·专题练习）在中，是边的中点，，过点的直线交直线分别于两点，且，则 . 36．（24-25高一下·全国·课后作业）设两个非零向量，不共线，已知，，，问：是否存在实数，使得A，B，D三点共线，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【易错必刷十 用基底表示向量】 37．（24-25高一下·甘肃天水·月考）设为所在平面内一点，，则（   ） A． B． C． D．2 38．（24-25高一下·全国·单元测试）设是平面向量的一组基底，以下四个选项中不能作为平面向量的一组基底的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 39．（24-25高三上·福建厦门·月考）在中，为的重心，满足，则 . 40．（24-25高一下·四川内江·月考）如图，在平行四边形中，点为中点，点在上，.    (1)设，，用，表示向量，； (2)设，，用，表示向量； (3)求证：，，三点共线. 【易错必刷十一 平面向量线性运算的坐标表示】 41．（24-25高一下·天津武清·月考）已知向量，则向量的坐标为（   ） A． B． C． D． 42．（24-25高一下·贵州遵义·期中）已知是平面向量的一组基底，则下列能构成平面向量的一组基底的是（    ） A． B． C． D． 43．（25-26高一下·全国·单元测试）向量，，在正方形网格中的位置如图所示，若，则 ． 44．（24-25高一下·河南郑州·月考）已知平面内四个点的坐标，计算下列问题： (1)用坐标表示，； (2)用坐标表示. 【易错必刷十二 由坐标判断向量是否共线】 45．（24-25高一下·全国·随堂练习）下列各组向量中，不共线的是（    ） A．， B．， C．， D．， 46．（24-25高一下·广东东莞·月考）已知两点，，与平行，且方向相反的向量可能是（    ） A． B． C． D． 47．（2025·黑龙江齐齐哈尔·三模）已知向量，，若，且，则的坐标为 ． 48．（25-26高一·江苏·课后作业）如图所示，在平行四边形ABCD中，A(0，0)，B(3，1)，C(4，3)，D(1，2)，M，N分别为DC，AB的中点，求，的坐标，并判断，是否共线. 【易错必刷十三 由向量共线(平行)求参数】 49．（25-26高一上·湖南长沙·期末）已知向量，且，则（    ） A．2 B．3 C．2或3 D．或 50．（24-25高一下·陕西咸阳·期中）已知向量，，，则可能是（   ） A． B． C． D． 51．（2024·上海·高考真题）已知，且，则的值为 ． 52．（24-25高一下·湖南株洲·期中）平面上有三点，，，向量，． (1)若三点，，不能构成三角形，求实数满足的条件； (2)若△ABC为直角三角形，其中是直角，求的值 【易错必刷十四 用向量解决夹角问题】 53．（24-25高一下·甘肃平凉·期中）在△ABC中，＝，＝，且0，则△ABC是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．钝角三角形 54．（24-25高一下·四川成都·月考）已知向量，，若与的夹角为钝角，则实数t的值可能为（    ） A．6 B．3 C． D． 55．（2025·江苏盐城·模拟预测），若与不成锐角，则t的取值范围为 ． 56．（25-26高一·全国·课后作业）已知是等腰直角三角形，，是边的中点，，垂足为，延长交于点，连接，求证：. 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题9.6平面向量易错必刷题型专训（56题14个考点） 【易错必刷一 向量的概念与表示】 1．（24-25高一下·浙江·期中）给出下列命题，正确的是（    ） A．的充要条件是且 B．若，则它们的起点和终点均相同 C．若存在实数，使得，则 D．若是平面内的四点，且，则四点一定能构成平行四边形 【答案】C 【分析】由，可得且向量与同向，可判定A错误；相等向量的起点和终点不一定相同，可判定B错误；根据向量的共线定理，可得判定C正确；根据可能在同一条直线上，可判定D错误. 【详解】对于A中，由，可得且向量与同向， 所以的必要不充分条件是且，所以A错误； 对于B中，若，则它们的起点和终点不一定均相同，所以B错误； 对于C中，若存在实数，使得，根据向量的共线定理，可得，所以C正确； 对于D中，若是平面内的四点，且，则可能在同一条直线上，不一定构成平行四边形，所以D错误. 故选：C. 2．（24-25高一下·重庆巴南·月考）下列说法错误的是（    ） A．两个有共同起点且相等的向量，其终点可能不同 B．若非零向量与是共线向量，则四点共线 C．若非零向量与共线，则 D．若，则 【答案】ABC 【分析】利用向量的定义、共线向量、向量相等、向量的模的概念进行确定即可． 【详解】对于A，两个有共同起点且相等的向量，其终点相同，A错误； 对于B，如平行四边形中，与共线，但四点不共线，B错误； 对于C，两个非零向量共线，说明这两个向量方向相同或相反，而两个向量相等是说这两个向量大小相等，方向相同，因而共线向量不一定是相等向量，但相等向量却一定是共线向量，C错误； 对于D，向量相等，即大小相等、方向相同，D正确． 故选：ABC. 3．（25-26高一·全国·课后作业）下列命题正确的有 ．(填序号) ①向量与向量的长度相等、方向相反; ②与平行，则与的方向相同或相反; ③两个相等向量的起点相同，则其终点必相同; ④与是共线向量，则四点共线． 【答案】①③ 【分析】根据向量相关的定义判断即可. 【详解】对①，根据相反向量的定义知①正确; 对②，可能存在或其中之一为，由方向具有任意性知②错误; 对③，根据相等向量的定义知③正确; 对④，共线的两个向量可能不在同一直线上，故④错误． 故答案为：①③． 4．（24-25高一下·四川凉山·月考）如图所示，4×3的矩形(每个小方格都是单位正方形)，在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中，试问： （1）与相等的向量共有几个； （2）与方向相同且模为的向量共有几个； 【答案】（1）5；（2）2. 【分析】根据共线向量和相等向量的定义、以及模的计算和对正方形的对角线即可. 【详解】解：由题可知，每个小方格都是单位正方形， 每个小正方形的对角线的长度为且都与平行， 则， （1）由于相等向量是指方向和大小都相等的两个向量， 则与相等的向量共有5个，如图1； （2）与方向相同且模为的向量共有2个，如图2. 【易错必刷二 向量加法的法则】 5．（24-25高一上·辽宁·期末）如图，在平行四边形ABCD中，为对角线的交点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量的运算法则可得结果. 【详解】. 故选：A 6．（25-26高一下·全国·课后作业）化简以下各式，结果为的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据向量的线性运算求解即可. 【详解】对A，，故A正确； 对B，，故B正确； 对C，，故C错误； 对D，，故D正确. 故选：ABD 7．（24-25高一上·上海·随堂练习）化简的结果等于 . 【答案】 【分析】利用平面向量的加法运算求解. 【详解】解：， ， ， ， ， 故答案为： 8．（24-25高一上·上海·课前预习）已知、，用向量加法的平行四边形法则作出. 【答案】作图见解析. 【分析】根据给定条件，利用平行四边形法则作出. 【详解】在平面内任取点，作向量，， 以线段为一组邻边作，连接， 则， 所以即为所作的向量. 【易错必刷三 向量减法的法则】 9．（2024高一下·全国·专题练习）在△ABC中，若，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由平面向量的减法运算求解即可. 【详解】. 故选：D. 10．（24-25高二上·贵州黔西·月考）化简以下各式，结果为的有（      ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据向量加减法的计算法则直接可得解. 【详解】A选项：，A选项正确； B选项：，B选项正确； C选项：，C选项错误； D选项：，D选项正确； 故选：ABD. 11．（24-25高一·全国·课前预习） . 【答案】 【分析】根据向量加法和减法运算法则，即可求解. 【详解】， . 故答案为： 12．（25-26高二·全国·课后作业）如图，在三角形中，、、相交于点，已知，，，，，，试用，，，，，表示下列向量. (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据平面向量的线性运算求得（1）、（2）、（3）的结果. 【详解】（1） （2） （3） 【易错必刷四 向量数乘的有关计算】 13．（2025高三·新疆·学业考试）已知，与的方向相反，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】确定方向和大小关系即可得答案. 【详解】由，得， 又与的方向相反，所以. 故选：C. 14．（2025高三·全国·专题练习）(多选)如图，设P，Q两点把线段AB三等分，则下列向量表达式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据向量共线定理判断各选项即可. 【详解】因为方向相同，且，所以，A正确， 因为方向相同，且，所以，B正确， 因为方向相反，且，所以，C正确， 因为方向相反，且，所以，D错误， 故选：ABC. 15．（24-25高一·全国·课后作业）已知向量，满足，，且，则实数的值是 ． 【答案】 【分析】利用向量的线性运算，以及向量的模，转化求解即可. 【详解】由，得，因为，，所以，即. 故答案为： 16．（25-26高一·全国·课后作业）化简： (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1)； (2)； (3)； (4). 【分析】根据平面向量数乘运算的运算律，对每个小问进行逐一运算，即可求得结果. 【详解】（1） （2） （3） （4） 【易错必刷五 平面向量数量积的定义及辨析】 17．（24-25高三上·天津红桥·期末）在中，若，则角的取值范围是（    ） A． B． C． D． (0,2) 【答案】C 【分析】根据数量积定义可得. 【详解】因为 所以，即 又因为角为的内角， 所以. 故选：C 18．（24-25高一下·宁夏银川·期中）下列有关向量命题，正确的是（    ） A．若，则 B．已知，且，则 C．若，，则 D．若，则且 【答案】CD 【分析】根据向量的模，数量积，向量相等的概念判断各选项． 【详解】对于A：若，，此时满足，但是，故A错误； 对于B：若，且与垂直，此时，但不一定等于，故B错误； 对于C：若，，则，故C正确； 对于D：若，则且与同向，故D正确； 故选：CD 19．（24-25高二上·江西新余·开学考试）已知向量与的夹角为，，，则 ． 【答案】 【分析】根据向量数量积的定义，即可求解. 【详解】. 故答案为： 20．（25-26高二·全国·课后作业）在中，，，，求，，的值. 【答案】，，. 【分析】首先根据题意得到，再根据数量积定义求解即可. 【详解】因为，，，所以，即所以. 如图所示： 所以. ， . 【易错必刷六 用定义求向量的数量积】 21．（25-26高三上·辽宁·期末）在菱形中，，则（    ） A． B． C．150° D．120° 【答案】A 【分析】由题设结合数量积定义可得答案. 【详解】由题可得， 则， 因，知. 故选：A. 22．（24-25高一下·辽宁·月考）对任意向量，，，下列关系式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】由向量数量积的定义即可判断ABC；再根据平面向量的减法即可判断D． 【详解】对于A，，， 所以不一定成立，故A错误； 对于B，当时，，但与不一定相等，故B错误； 对于C，，其中为的夹角， 因为，可得， 所以恒成立，故C正确； 对于D，根据向量减法可得：，当且仅当同向或中有零向量时等号成立，故D正确； 故选：CD． 23．（2026·云南·模拟预测）已知正六边形的边长为1，则 . 【答案】3 【分析】结合正六边形的性质以及向量数量积运算求得正确答案. 【详解】根据正六边形的性质可知， 则. 故答案为： 24．（24-25高一下·广东东莞·月考）已知向量与的夹角，且，． (1)求； (2)求. 【答案】(1) (2) 【分析】 （1）根据向量的数量积的定义计算即可； （2）根据向量的模的计算即可. 【详解】（1）因为向量与的夹角，且，， 所以； （2） 因为， 所以. 【易错必刷七 平面向量共线定理!证明点共线问题】 25．（2026高三·全国·专题练习）已知平面向量不共线，，，，则（    ） A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线 C．B，C，D三点共线 D．A，C，D三点共线 【答案】B 【分析】根据平面向量共线定理逐一判断即可. 【详解】A：，因为，且平面向量不共线， 所以不存在实数，使得，因此本选项三点不共线； B：，因为，所以本选项三点共线； C：，因为，且平面向量不共线， 所以不存在实数，使得，因此本选项三点不共线； D：由上可知：，，因为，且平面向量不共线， 显然不存在实数，使得，因此本选项三点不共线， 故选：B 26．（24-25高一下·浙江金华·月考）已知A，B，C，是三个不同的点，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．A，B，C三点共线 【答案】ABD 【分析】根据向量运算求出即可依次判断. 【详解】由题可得，，, ，故A正确；，故B正确；，故C错误； 由可得，A为公共点，故A，B，C三点共线，故D正确. 故选：ABD. 27．（24-25高一下·吉林·期末）已知向量，不共线，如果，，，则共线的三个点是 . 【答案】，， 【分析】利用共线向量的充要条件化简求解即可. 【详解】因为， 所以，共线，且有公共点，所以，，三点共线. 故答案为：，， 28．（24-25高一下·上海静安·期末）已知向量，． (1)若，，，求证：、、三点共线． (2)已知，若，且，求的值； 【答案】(1)证明见解析 (2)=1． 【分析】（1）转化为证明向量为共线向量，即可证明三点共线； （2）利用向量共线的坐标关系，即可求解. 【详解】（1）因为， =2， 所以2，， 有公共点D，从而、、三点共线． （2），因为，所以， 解得=1． 【易错必刷八 已知向量共线(平行)求参数】 29．（2025高三·全国·专题练习）设向量不共线，则关于的方程解的情况是（    ）． A．至少有一个实数解 B．至多有一个实数解 C．至多有两个实数解 D．可能有无数个实数解 【答案】B 【分析】由平面向量基本定理即可求解. 【详解】将方程变形为． 因为向量不共线， 所以由平面向量基本定理知，有且只有一对实数，使成立， 因此， 故选：B． 30．（25-26高一上·全国·单元测试）已知向量，不共线，若，，且，则关于实数，的值可以是（ ） A．2， B．， C．2， D．， 【答案】AB 【分析】根据，可得出存在，使得，列出方程，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为，则存在实数，使得， 即，即，所以， 又因为向量，不共线，所以，解得， 所以实数，的值互为倒数． 故选：AB． 31．（24-25高一下·广东广州·期中）已知是两个不共线的向量，.若与是共线向量，则 ． 【答案】 【分析】根据向量共线可得，存在实数，使，待定系数，即可得答案. 【详解】因为与是共线向量， 所以存在实数，使，即， 所以，解得. 故答案为： 32．（24-25高一下·湖北·月考）设是不共线的两个向量. (1)若，求证：三点共线； (2)若与共线，求实数的值. 【答案】(1)证明见解析； (2)或. 【分析】（1）由题可得，再根据向量共线定理结合条件即得证； （2）根据向量共线定理可得，结合条件与不共线，可列出方程组求解即可. 【详解】（1）证明：， ， 又因为与共线，且有公共点, 所以三点共线. （2）因为与共线，所以存在实数，使得 即. 由与不共线，可知，解得， 所以， 即实数的值为或. 【易错必刷九 平面向量共线定理的推论】 33．（2025高三·全国·专题练习）若在直线上存在不同的三点，使得关于实数的方程有解（点不在上），则此方程的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意得，再利用平面向量基本定理的应用可解得或，再进行验证即可. 【详解】因为， 即， 又三点共线，所以， 解得或， 当时，，此时重合，不符合题意， 当，，符合题意， 综上，此方程的解集为. 故选：D. 34．（24-25高三上·山东·月考）已知是边的三等分点，点在线段上，若，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据平面向量共线定理的推论，求得以及的取值范围，将转化为关于的二次函数，求其值域，即可结合选项进行选择. 【详解】因为是边的三等分点，点在线段上， 若，可得，， 故， 当时，取最大值，当或时，取最小值. 故选：. 35．（2024高三·全国·专题练习）在中，是边的中点，，过点的直线交直线分别于两点，且，则 . 【答案】 【分析】由三点共线的性质列式求值. 【详解】 由题意： 由三点共线知，. ， 消去，得. 故答案为： 36．（24-25高一下·全国·课后作业）设两个非零向量，不共线，已知，，，问：是否存在实数，使得A，B，D三点共线，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】存在实数 【分析】根据，B，D三点共线，存在，使，再根据两个非零向量，不共线即可计算求参. 【详解】设存在，使得A，B，D三点共线， ，． 存在，使， ，又，不共线， ，， 存在实数，使得A，B，D三点共线． 【易错必刷十 用基底表示向量】 37．（24-25高一下·甘肃天水·月考）设为所在平面内一点，，则（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】直接根据向量的线性运算求解即可. 【详解】因为，所以. 故选：A. 38．（24-25高一下·全国·单元测试）设是平面向量的一组基底，以下四个选项中不能作为平面向量的一组基底的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】ABC 【分析】根据向量是否共线，即可根据基底的定义求解. 【详解】对于A：，所以和共线，故和不能作为基底． 对于B：与共线，故与不能作为基底． 对于C：，所以与共线，故与不能作为基底． 对D：，所以与不共线，故和可以作为基底． 故选：ABC． 39．（24-25高三上·福建厦门·月考）在中，为的重心，满足，则 . 【答案】0 【分析】连接并延长交与点，由重心定义得到点的位置以及的数量关系，然后用表示出，得到的值，即可求得结果. 【详解】连接并延长交与点， ∵为的重心，∴为中点，且， ， ∴，即， ∴. 故答案为：0. 40．（24-25高一下·四川内江·月考）如图，在平行四边形中，点为中点，点在上，.    (1)设，，用，表示向量，； (2)设，，用，表示向量； (3)求证：，，三点共线. 【答案】(1)， (2) (3)证明见解析 【分析】（1）（2）根据向量的线性运算可得解； （3）根据向量的线性运算表示，根据向量共线定理可证向量共线，进而可证三点共线. 【详解】（1）由已知四边形是平行四边形，且，， 则，； （2）由点在上，， 得； （3）由已知点为中点，则， 所以，又与有公共点， 所以，，三点共线. 【易错必刷十一 平面向量线性运算的坐标表示】 41．（24-25高一下·天津武清·月考）已知向量，则向量的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量线性运算的坐标表示求出即可 【详解】向量， 所以向量, 故选：D 42．（24-25高一下·贵州遵义·期中）已知是平面向量的一组基底，则下列能构成平面向量的一组基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】依据题意设出特殊向量判断A，B，D，利用平面向量共线的定义判断出共线，进而确定不能构成基底判断C即可. 【详解】由题意得是平面向量的一组基底，不妨设，， 对于A，由平面向量的坐标运算可得， 而，得到不共线，即能构成基底，故A正确， 对于B，由平面向量的坐标运算可得，， 而，得到不共线， 即能构成基底，故B正确， 对于C，易得，则共线， 即不能构成基底，故C错误， 对于D，由平面向量的坐标运算可得，， 而，得到不共线，即能构成基底，故D正确. 故选：ABD 43．（25-26高一下·全国·单元测试）向量，，在正方形网格中的位置如图所示，若，则 ． 【答案】 【分析】建立直角坐标系，利用向量的坐标运算求即可. 【详解】如图建立平面直角坐标系， 则，又， 所以， 则. 故答案为：. 44．（24-25高一下·河南郑州·月考）已知平面内四个点的坐标，计算下列问题： (1)用坐标表示，； (2)用坐标表示. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用向量的坐标表示求解即可； （2）由（1）的结论，利用向量的坐标运算求解即可. 【详解】（1）因为， 所以，. （2）， 由（1）得，， 所以. 【易错必刷十二 由坐标判断向量是否共线】 45．（24-25高一下·全国·随堂练习）下列各组向量中，不共线的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据平面向量共线的充要条件进行判断． 【详解】A．，共线，不符合题意； B．，共线，不符合题意； C．不存在一个实数使得，不共线，符合题意； D．，共线，不符合题意； 故选：C． 46．（24-25高一下·广东东莞·月考）已知两点，，与平行，且方向相反的向量可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据向量的坐标运算得，再根据向量共线的坐标关系逐项判断即可得结论. 【详解】已知两点，，则， 对于A，，所以符合题意，A是； 对于B，，所以不符合题意，B不是； 对于C，，所以不符合题意，C不是； 对于D，，所以符合题意，D是. 故选：AD. 47．（2025·黑龙江齐齐哈尔·三模）已知向量，，若，且，则的坐标为 ． 【答案】或 【分析】先求得向量的坐标，再根据，且求解. 【详解】解：因为向量，， 所以， 又因为若，且， ， 解得 所以． 故答案为：或 48．（25-26高一·江苏·课后作业）如图所示，在平行四边形ABCD中，A(0，0)，B(3，1)，C(4，3)，D(1，2)，M，N分别为DC，AB的中点，求，的坐标，并判断，是否共线. 【答案】，，和共线. 【分析】先求坐标，进而求得，，再结合向量共线坐标公式检验即可. 【详解】解　由已知可得，， 所以，， 由，所以和共线. 【易错必刷十三 由向量共线(平行)求参数】 49．（25-26高一上·湖南长沙·期末）已知向量，且，则（    ） A．2 B．3 C．2或3 D．或 【答案】C 【分析】应用向量平行的坐标关系计算求解. 【详解】因为向量，又因为， 所以， 即，解得或. 故选：C. 50．（24-25高一下·陕西咸阳·期中）已知向量，，，则可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】设，由向量模长的坐标运算可构造方程求得，由此即可求解. 【详解】∵，∴设，∴. ∵，∴，即，解得. ∴或. 故选：AD. 51．（2024·上海·高考真题）已知，且，则的值为 ． 【答案】15 【分析】根据向量平行的坐标表示得到方程，解出即可. 【详解】，，解得． 故答案为：15． 52．（24-25高一下·湖南株洲·期中）平面上有三点，，，向量，． (1)若三点，，不能构成三角形，求实数满足的条件； (2)若△ABC为直角三角形，其中是直角，求的值 【答案】(1) (2)或j． 【分析】（1）根据向量共线的坐标表示计算可得： （2）求出向量，根据向量垂直的坐标表示求解即可. 【详解】（1）若三点不能构成三角形，则， 又，所以，解得． （2）因为，所以， 因为，所以， 解得或. 【易错必刷十四 用向量解决夹角问题】 53．（24-25高一下·甘肃平凉·期中）在△ABC中，＝，＝，且0，则△ABC是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．钝角三角形 【答案】D 【分析】由数量积的定义判断角的大小，得三角形形状． 【详解】由题意，∴，，，又是三角形内角，∴． ∴是钝角三角形． 故选：D． 【点睛】本题考查考查三角形形状的判断，解题关键是掌握数量积的定义．向量夹角的概念． 54．（24-25高一下·四川成都·月考）已知向量，，若与的夹角为钝角，则实数t的值可能为（    ） A．6 B．3 C． D． 【答案】BD 【分析】由题意得出且不共线，利用向量的坐标运算可求出实数的取值范围. 【详解】因为与的夹角为钝角，所以且不共线， 又，所以，解得且， 因此，实数的取值范围是且， 故选：BD 55．（2025·江苏盐城·模拟预测），若与不成锐角，则t的取值范围为 ． 【答案】 【分析】不成锐角则可能夹角为0或者为直角、钝角和平角，再分别列式求解即可 【详解】由题意，，因为与不成锐角，故夹角为0或者为直角、钝角和平角. 当夹角为0时，与同向，故，故，解得； 当夹角为直角、钝角或平角时，，即，解得； 故t的取值范围为 故答案为： 56．（25-26高一·全国·课后作业）已知是等腰直角三角形，，是边的中点，，垂足为，延长交于点，连接，求证：. 【答案】证明见解析 【分析】以为原点，所在直线分别为轴，轴建立平面直角坐标系，证明的夹角与的夹角相等，从而证得结论。 【详解】如图，以为原点，所在直线分别为轴，轴建立平面直角坐标系. 设，则，. 设，则. 又因为，，所以， 所以，解得 ，所以. 所以. 又因为， 所以，. 又因为，所以.    学科网（北京）股份有限公司 $