第九章 平面向量重难点检测卷 -2025-2026学年高一数学重难点专题提升精讲精练（苏教版必修第二册）

该高中数学平面向量单元复习讲义通过知识框架图系统梳理了平面向量的知识体系，将向量的基本概念、线性运算、数量积、投影向量及应用等要点按“定义-运算-性质-应用”的递进关系组织，并用对比表格归纳了向量共线、垂直的充要条件及三角形四心的向量表示，清晰呈现重难点分布与内在联系。 讲义的亮点在于分层递进的练习设计，基础题如单选题1-6巩固向量基本概念与运算，综合题如解答题17（正方形中向量数量积）、19（外心与重心综合应用），培养数学思维（运算能力、推理能力）和数学语言（模型观念）。每个题型配有解题步骤示例和易错点提醒，基础薄弱学生能掌握方法，优秀学生可深入探究，为教师实施精准分层教学提供支持。

第九章 平面向量重难点检测卷 注意事项： 本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共19题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．（24-25高一下·甘肃临夏·月考）下列命题中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．（24-25高一下·广东云浮·期末）（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·安徽宣城·期末）在所在平面中有一点P满足，且，则（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·浙江温州·月考）点是所在平面内一点，满足，若为中点，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高三上·河北沧州·期末）已知是边长为4的等边三角形，点，满足，，则（   ） A． B．0 C．3 D．6 6．（2025·甘肃武威·模拟预测）已知向量，，若，则的值可以为（   ） A． B． C．2 D．3 7．（2025·江苏·一模）若，，下列正确的是（ ） A． B． C．方向上的投影向量是 D． 8．（2026高三·全国·专题练习）设是的外心，点满足，则是的（　　） A．内心 B．任意一点 C．垂心 D．重心 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.） 9．（24-25高一下·福建福州·期中）下列叙述中正确的是（ ） A．已知非零向量与且，则与的方向相同或相反 B．若，则 C．若，，则 D．对任一非零向量，是一个单位向量 10．（24-25高一下·浙江·期末）如图，是正六边形的中心，则（   ） A． B． C． D．在上的投影向量为 11．（2025·全国·模拟预测）已知和是平面中两个相互垂直的单位向量，若该平面中的与分别满足，，设，则下列说法中正确的有（    ） A．动点的轨迹是以为半径的圆 B．的最小值是12 C．的最大值是80 D．在方向上投影的最大值是 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12．（2026·云南大理·二模）已知向量，满足，且，，则 ． 13．（25-26高二上·河北张家口·开学考试）如图，在中，已知，，是线段与的交点，若，则的值为 .    14．（2026·上海闵行·模拟预测）已知等腰直角三角形的斜边，为三角形所在平面内任意一点，则的最小值为 . 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 15．（25-26一年级·全国·课后作业）如图，在平行四边形中，设, , 则 (1)当,满足什么条件时，与垂直? (2)当,满足什么条件时，? (3)与可能是相等向量吗? (4)当,满足什么条件时，平分与所夹的角? 16．（24-25高一下·湖北省直辖县级单位·期中）已知， (1)若，求的值； (2)若，求的大小； (3)若，求的大小. 17．（24-25高一下·山西运城·月考）如图，正方形的边长为6，E是的中点，F是边上靠近点B的三等分点，与交于点M． (1)求的值； (2)已知点P是正方形四条边上的动点，若，求的长度． 18．（24-25高一下·浙江台州·期中）在直角梯形中，已知，，，，，动点、分别在线段和上，和交于点，且，，． (1)当时，求的值； (2)当时，求的值； (3)求的取值范围． 19．（24-25高一下·湖南长沙·月考）如图，为锐角三角形，点为的外心，点为的重心，的外接圆半径为.以为邻边作平行四边形，它的第四个顶点为点，再以为邻边作平行四边形，它的第四个顶点为点，若， (1)试用表示；并探究三点是否共线，如果共线，请给出证明，若不共线，说明理由. (2)求证：是的垂心； (3)求证：，并且指出等号成立的条件. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第九章 平面向量重难点检测卷 注意事项： 本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共19题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．（24-25高一下·甘肃临夏·月考）下列命题中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】根据向量是具有大小和方向的量以及零向量的含义，一一判断各选项，即得答案. 【详解】对于A，若，但方向不一定相同，故不一定成立，A错误； 对于B，若，即的模相等，方向相同，则，B正确； 对于C，向量是具有方向和大小的量，故向量不能比较大小， 即，不能得出，C错误； 对于D，若，则，D错误， 故选：B 2．（24-25高一下·广东云浮·期末）（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，利用向量的线性运算法则，准确运算，即可求解. 【详解】根据向量的线性运算法则，可得. 故选：A. 3．（24-25高三上·安徽宣城·期末）在所在平面中有一点P满足，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用向量加减的运算法则得，结合已知即可得答案. 【详解】由题设，则， 即，则， 又，所以. 故选：C 4．（25-26高三上·浙江温州·月考）点是所在平面内一点，满足，若为中点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由结合，可得点是线段上靠近点的四等分点，结合图形分析可得答案. 【详解】， 因为中点，则， 代入可得，从而三点共线，， 即点是线段上靠近点的四等分点. 则，而，故. 故选：B 5．（25-26高三上·河北沧州·期末）已知是边长为4的等边三角形，点，满足，，则（   ） A． B．0 C．3 D．6 【答案】C 【分析】利用三角形中位线得到，从而得到，则有，故计算得解. 【详解】解析：如图，作，垂足为， 是边长为4的等边三角形，是的中点，， ，是的中点， ，，， . 故选：C. 6．（2025·甘肃武威·模拟预测）已知向量，，若，则的值可以为（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】根据向量的加法运算结合数量积公式计算求解. 【详解】因为，，所以， 因为，所以， 即，解得或. 故选：A. 7．（2025·江苏·一模）若，，下列正确的是（ ） A． B． C．方向上的投影向量是 D． 【答案】C 【分析】根据向量平行的坐标表示判断A，根据向量垂直的坐标表示判断B、D，根据投影向量的定义判断C. 【详解】由已知，， 所以，， 因为，所以不平行，故A错误； 因为，所以不垂直，故B错误； 因为方向上的投影向量为，故C正确； 因为，所以不垂直，故D错误. 故选：C. 8．（2026高三·全国·专题练习）设是的外心，点满足，则是的（　　） A．内心 B．任意一点 C．垂心 D．重心 【答案】C 【详解】由题可得， 由于是的外心，设为线段的中点， 故且，即， 所以，同理，，故是的垂心． 故选：C. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.） 9．（24-25高一下·福建福州·期中）下列叙述中正确的是（ ） A．已知非零向量与且，则与的方向相同或相反 B．若，则 C．若，，则 D．对任一非零向量，是一个单位向量 【答案】AD 【分析】根据共线向量的定义即可判断A；根据向量的定义即可判断B；根据零向量与任意向量共线即可判断C；根据单位向量的定义即可判断D. 【详解】对于A，两个非零向量共线，则它们的方向相同或相反，故A正确； 对于B，向量无法比较大小，故B错误； 对于C，若是零向量，则结论不成立，故C错误； 对于D，对任一非零向量，是一个与方向相同的单位向量，故D正确． 故选：AD． 10．（24-25高一下·浙江·期末）如图，是正六边形的中心，则（   ） A． B． C． D．在上的投影向量为 【答案】ACD 【分析】根据向量的线性运算法则，可判定选项A、B；结合向量的数量积的定义可判定选项C；结合向量的投影的定义与运算，可判定选项D. 【详解】根据题意，结合平面向量的线性运算法则，可得： 对于选项A：根据平面向量的减法运算法则可得：，故选项A正确； 对于选项B：因为， 所以， 故选项B不正确； 对于选项C：设正六边形的边长为， 因为，， 所以，故选项C正确； 对于选项D：如图所示： 连接， 则. 因为， 所以在向量上的投影向量为，故选项D正确. 故选：ACD. 11．（2025·全国·模拟预测）已知和是平面中两个相互垂直的单位向量，若该平面中的与分别满足，，设，则下列说法中正确的有（    ） A．动点的轨迹是以为半径的圆 B．的最小值是12 C．的最大值是80 D．在方向上投影的最大值是 【答案】BCD 【分析】设，利用向量的四则运算和模长公式求出动点轨迹判断ABC，利用投影的几何意义结合图象判断D. 【详解】因为和是平面中两个相互垂直的单位向量，不妨设， 则，， 因为，，所以，， 又，所以此时（为坐标原点）动点的轨迹是以3为半径，为圆心的圆，故A错误， 设，此时（为坐标原点）动点的轨迹是以为半径，为圆心的圆， 所以知，，且与可以同时取得各自的最大值与最小值， 所以，故BC正确， 在方向上投影为，如图易知对于任意，当与圆在第一象限相切时最大， 过作，交直线于，过作交直线于， 此时在方向上投影为， 易知，所以， 又由圆的几何性质可知当与圆相切时，最大，最大值为， 综上在方向上投影的最大值为，故D正确； 故选：BCD 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12．（2026·云南大理·二模）已知向量，满足，且，，则 ． 【答案】1 【分析】根据题意求模先平方再开方计算得到，再根据模长关系运算求解. 【详解】∵，∴， 又∵，，∴，∴， ∴． 故答案为：. 13．（25-26高二上·河北张家口·开学考试）如图，在中，已知，，是线段与的交点，若，则的值为 .    【答案】 【分析】由A，P，D和B，P，E三点共线及平面向量基本定理即可得出. 【详解】由A，P，D三点共线，设，由得， 故， 由得， 故，——① 再由B，P，E三点共线，设， 所以，即——② 由①②及向量与不共线，由平面向量基本定理，得，解得. 故得 又，故，， 所以. 故答案为：. 14．（2026·上海闵行·模拟预测）已知等腰直角三角形的斜边，为三角形所在平面内任意一点，则的最小值为 . 【答案】 【分析】建立合适的直角坐标系，设，写出相关向量的坐标，计算出，则可得到其最小值. 【详解】以所在直线为轴，以边上的高所在直线为轴， 建立如图所示直角坐标系： 为等腰直角三角形，，所以易得， 故,，设， 则，， 则， ， 当，时，的最小值为， 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 15．（25-26一年级·全国·课后作业）如图，在平行四边形中，设, , 则 (1)当,满足什么条件时，与垂直? (2)当,满足什么条件时，? (3)与可能是相等向量吗? (4)当,满足什么条件时，平分与所夹的角? 【答案】(1) (2) (3)不可能相等 (4) 【分析】根据向量加减法的几何意义，利用平行四边形、矩形、菱形的性质即可得出答案. 【详解】（1）由向量加减法的几何意义可知，，， 当时，，即平行四边形的相邻边长相等，故平行四边形为菱形，而菱形的对角线与互相垂直，所以与互相垂直， 故. （2）当时，，即平行四边形的对角线长相等，此时平行四边形为矩形，所以，即时，. （3）不可能相等， 因为平行四边形的对角线方向不同，所以与的方向一定不同，故不可能是相等向量. （4）当时，由（1）可知平行四边形为菱形，而菱形的对角线会平分，即会平分与所夹的角， 故. 16．（24-25高一下·湖北省直辖县级单位·期中）已知， (1)若，求的值； (2)若，求的大小； (3)若，求的大小. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用数量积的定义求解； （2）由条件求得，再利用向量夹角公式求解； （3）由条件得，从而可求得，再利用向量夹角公式求解. 【详解】（1）. （2）由，得， 即，得，则， 则， . （3）由，得，即， 即，得，则， ， ， . 17．（24-25高一下·山西运城·月考）如图，正方形的边长为6，E是的中点，F是边上靠近点B的三等分点，与交于点M． (1)求的值； (2)已知点P是正方形四条边上的动点，若，求的长度． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）建立适当的平面直角坐标系，求出的坐标，由向量坐标的数量积公式即可求解； （2）首先由，，得出点满足的两条直线方程，联立得的坐标，进一步由，对分类讨论即可求出它的位置，由向量模的坐标公式即可求解. 【详解】（1）如图所示，建立以点A为原点的平面直角坐标系． 则，，，， 所以，， 所以． （2）设， 所以， 因为， 所以， 所以． 因为，，， 所以，所以， 所以，所以，，所以． 由题得，又，由图易知，点P在线段上或线段， ①若P在上，设，，，，则， 解得， 所以，． ②若P在上，设，，，，则， 解得， 所以，． 综上，的长度为或． 18．（24-25高一下·浙江台州·期中）在直角梯形中，已知，，，，，动点、分别在线段和上，和交于点，且，，． (1)当时，求的值； (2)当时，求的值； (3)求的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3)﹒ 【分析】(1)在直角梯形ABCD中，根据几何关系求出∠ABC和BC长度，当AE⊥BC时，求出BE长度，从而可得； (2)设，，以为基底用两种形式表示出，从而可得关于x、y的方程组，解方程组可得； (3)以为基底表示出、，从而表示出，求出的范围即可求出的范围． 【详解】（1）在直角梯形中，易得，， ∵，∴，∴为等腰直角三角形，∴， 故； （2） ， 当时，， 设，， 则， ， ∵不共线，∴，解得，即； （3）∵，， ∴， ＝， 由题意知，， ∴当时，取到最小值＝， 当时，取到最大值， ∴的取值范围是． 19．（24-25高一下·湖南长沙·月考）如图，为锐角三角形，点为的外心，点为的重心，的外接圆半径为.以为邻边作平行四边形，它的第四个顶点为点，再以为邻边作平行四边形，它的第四个顶点为点，若， (1)试用表示；并探究三点是否共线，如果共线，请给出证明，若不共线，说明理由. (2)求证：是的垂心； (3)求证：，并且指出等号成立的条件. 【答案】(1)，，共线，证明见解析； (2)证明见解析； (3)证明见解析，当且仅当重心与外心重合等号成立. 【分析】（1）法一、法二：应用向量加减的几何意义得到，即可证；法三：设，应用坐标法得，即可证； （2）法一：由（1）得，，结合已知及数量积的运算律得，依次得，，即可证；法二：应用向量数量积的坐标运算得到，，即可证； （3）法一：应用向量加减、数乘的几何意义及数量积的运算律证明不等关系；法二：向量线性关系、数量积的坐标运算证明不等关系. 【详解】（1）法一：由平面向量加法的平行四边形法则得， 所以；另外，从而， 进而，由此，所以共线. 法二：由， 此时，所以，所以三点共线. 法三：若为原点，设， 由平面向量加法的平行四边形法得，，所以； 所以，由重心坐标公式有； 故. 从而，所以共线. （2）法一：由（1）知， 所以，又， 所以，因为为的外心， 所以，所以，所以， 同理，从而为的垂心. 法二：， 从而，同理；； 进而，故为垂心. （3）法一： ， ， 当且仅当重心与外心重合等号成立. 法二： ， （当且仅当取等）； ， （当且仅当取等）； 综上，，当且仅当 等号成立，即重心与外心重合等号成立. 学科网（北京）股份有限公司 $