7.4二次根式的乘除同步训练2025-2026学年鲁教版（五四制）八年级数学下册

7.4二次根式的乘除同步训练 一、单选题 1．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．若，，则的值用a，b可以表示为（　　） A． B． C． D． 3．估算的结果在（   ） A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．8和9之间 4．下列各二次根式中，属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 5．如图，在矩形中无重叠地放入面积分别为和的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（    ） A． B． C． D． 6．下列二次根式中，能与合并的是（    ） A． B． C． D． 7．已知最简二次根式与可以进行加减运算，则m的值为（   ） A．2 B．3 C．6 D．8 8．已知二次根式与化简后可以合并，则符合条件的正整数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．已知：，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A． B． C． D． 10．按一定规律排列的一组二次根式：，，，，…，则第6个二次根式为（   ） A． B． C． D． 11．已知，，则的值为（    ） A．4 B．12 C．10 D．6 12．已知，，则化简求的值是（   ） A． B．2 C． D．1 二、填空题 13．化简的结果是 ． 14．计算： ． 15．下列说法中正确的是 ．（填序号） ①若，则等于； ②使是正整数的最小整数n是3； ③是最简二次根式； ④计算的结果是1． 16．已知是最简二次根式，且它与是同类二次根式，则 ． 17．比较大小：    (用“”、“”或“”填空)． 18．已知，，则代数式的值为 ． 三、解答题 19．运算能力计算： (1)； (2)． 20．已知，． (1)求的值； (2)求的值． 21．如果最简二次根式与同类二次根式，且，求x，y的值． 22．计算： (1)； (2)； (3)． 23．课本再现：我们已经知道，因此将的分子、分母同时乘“”，分母就变成了4，这就是分母有理化． 方法应用： (1)化简：______________； (2)若，求的值； (3)若，比较a和b的大小． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．D 【分析】本题考查二次根式的运算，根据二次根式的加减乘除运算法则进行计算即可求解． 【详解】解：A．，故该选项不正确，不符合题意；     B．，故该选项不正确，不符合题意；     C．，故该选项不正确，不符合题意； D．，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 2．C 【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是关键．将化为分数形式，利用二次根式的性质进行化简，并结合给定的a和b表示即可． 【详解】解：，， ． 故选：C． 3．D 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法计算，无理数的估算，先计算出的结果，再根据无理数的估算方法求解即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 4．A 【分析】本题主要考查最简二次根式，熟练掌握最简二次根式是解题的关键；根据最简二次根式的定义，被开方数是整数，且被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，逐一判断各选项即可． 【详解】解：∵最简二次根式需满足被开方数为整数且无开得尽方的因数， 对于A：，被开方数6为整数，且无平方因数，∴为最简二次根式； 对于B：，被开方数含分母，不是整数，∴不是最简二次根式； 对于C：，被开方数含平方因数4，∴不是最简二次根式； 对于D：，被开方数9为平方数，可开尽，∴不是最简二次根式； 故选A． 5．D 【分析】本题考查了算术平方根的应用，化简二次根式．根据正方形的面积求出两个正方形的边长，从而求出，的长，再根据空白部分的面积等于长方形的面积减去两个正方形的面积列式计算即可得解． 【详解】解：两张正方形纸片的面积分别为和 它们的边长分别为 ， 空白部分的面积 ． 故选：D． 6．C 【分析】本题考查了最简二次根式，同类二次根式，熟练将根式化简成最简二次根式，并准确判断是否是同类二次根式是解题的关键． 先化简成最简二次根式，后根据同类二次根式的概念解答即可． 【详解】解：选项A：是最简二次根式，与不是同类二次根式，故不能合并，不符合题意； 选项B：，不含，与不是同类二次根式，故不能合并，不符合题意； 选项C：，含有，与是同类二次根式，能合并，符合题意； 选项D：，不含，与不是同类二次根式，故不能合并，不符合题意； 故选C． 7．B 【分析】本题主要考查了二次根式加减运算，先化简，被开方数为2，然后根据二次根式能进行加减运算得出，即可得出． 【详解】解：∵， ∴其被开方数为2， ∵与可进行加减运算， ∴它们为同类二次根式，故 化简后被开方数也应为2， 又∵为最简二次根式， ∴， 解得：． 故选：B． 8．C 【分析】本题考查同类二次根式，二次根式的化简，两个二次根式合并的条件是化简后为同类二次根式，先将化简为，由题意可得必须能化简为（为正整数）的形式，即是2乘以一个完全平方数，据此解答即可． 【详解】解：∵，且二次根式与化简后可以合并， ∴可化为（为正整数），即， 又∵a为正整数， ∴当，即时，， 当，即时，， 当，即时，， 当，即时，(不合题意，舍去)， ∴符合条件的a有21，15，5，共3个． 故选：C． 9．D 【分析】本题考查了二次根式的大小比较，将各数变形为，，，再结合即可得解，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：，，， ∵， ∴， 故选：D． 10．D 【分析】本题考查了与算术平方根相关的规律探索题，找到规律是解题的关键；根据前面几个数的式子可得规律：第n个数是 ，进而求解． 【详解】解：∵第n个二次根式为， ∴当时，， ∴第6个二次根式为； 故选：D． 11．B 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式的运用，根据已知求出，再根据完全平方公式将式子化为，求出结果即可． 【详解】解：，， ， ∴， 故选：B． 12．B 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，根据已知条件可证明a、b都小于0，则可先化简二次根式得到，进一步通分得到，再代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴a、b同号， ∵， ∴a、b都小于0， ∴ ， ∵，， ∴原式， 故选：B． 13． 【分析】利用二次根式的除法运算，乘法运算，性质化简即可． 本题考查了二次根式的性质，二次根式乘法运算，除法运算，熟练掌握性质和运算是解题的关键． 【详解】解： 由，根据题意，得， 故答案为：． 14． 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，平方差公式，熟练掌握二次根式的乘法运算及平方差公式是解题的关键．根据平方差公式计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 15．②④/④② 【分析】本题主要考查了二次根式的乘除运算法则，最简二次根式的定义，熟练进行二次根式的运算是解题的关键． 利用二次根式的乘除运算法则，最简二次根式的定义分析即可得出答案． 【详解】解：①∵， ∴，故①错误； ②是正整数的最小整数， ∴n是3，故②正确； ③，不是最简二次根式，故③错误； ④，故④正确． 故答案为：②④ 16． 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，最简二次根式，解题的关键是掌握最简二次根式的定义． 根据同类二次根式的定义，化简后，令被开方数相等求解． 【详解】解：，所以被开方数为 3； 因为是最简二次根式，且与是同类二次根式， 所以， 解得， 故答案为：． 17． 【分析】本题考查了二次根式的大小比较．通过计算两数的差，根据差的符号判断大小关系，即可求解． 【详解】解：， 由于，所以， 因此 ， 故 ． 故答案为：． 18．8 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、利用完全平方公式进行计算、求代数式的值．由题意得出，，再将式子变形为，代入计算即可得出答案． 【详解】解：由已知，，， 则， ， ． 故答案为：8． 19．(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式乘除混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键． （1）根据二次根式乘除混合运算法则，进行计算即可； （2）根据二次根式乘除混合运算法则，进行计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 20．(1)4 (2)13 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化，已知式子的值求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先进行分母有理化，得，，故，，然后代入进行计算，即可作答． （2）把，代入进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，，， 则，． ∴． （2）解：由（1）得，， ∴． 21．x=4，y=3． 【分析】根据同类二次根式的概念列式求出a，根据算术平方根的非负性计算即可． 【详解】∵最简二次根式与同类二次根式， ∴3a+4=19-2a， 解得，a=3， ∴，即 ∵≥0，≥0， ∴12-3x=0，y-3=0， 解得，x=4，y=3． 【点睛】本题考查的是最简二次根式、同类二次根式的概念以及二次根式的性质，掌握二次根式是非负数是解题的关键． 22．(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的乘除混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则和性质是解答本题的关键． （1）利用二次根式的乘法法则，先将系数与被开方数分别相乘，再化简结果； （2）将除法转化为乘法，结合二次根式的性质化简，再进行约分计算； （3）按照从左到右的顺序，依次运用二次根式乘除运算法则，结合幂的运算性质化简，最终得到结果． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． （3）解：原式． 23．(1) (2) (3) 【分析】本题考查分母有理化，二次根式的化简求值，实数比较大小，熟练掌握分母有理化的方法是解题的关键． （1）根据题干给定的方法进行求解即可； （2）先将进行分母有理化得到，再将化简为，最后代入计算即可； （3）将、进行分母有理化，再比较即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， ∴ ； （3）解：，， ， ， ． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $