7.3二次根式的加减同步训练2025-2026学年鲁教版（五四制）八年级数学下册

7.3二次根式的加减同步训练 一、单选题 1．的倒数是（    ） A． B． C． D． 2．能与合并的是（　　） A． B． C． D． 3．在下列二次根式中，与属于同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 4．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 5．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 6．最简二次根式与可以合并，则的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 7．若，则（    ） A． B．1 C． D． 8．在化简时，甲、乙两位同学化简的方法分别是（   ） 甲：原式； 乙：原式 下列说法正确的是（   ） A．甲、乙两种方法均正确 B．甲方法正确，乙方法错误 C．甲方法错误，乙方法正确 D．甲、乙两种方法均错误 9．化简的结果是（   ） A．42 B．43 C．44 D．45 10．若，则与的关系是（   ） A．互为相反数 B．互为倒数 C．相等 D．互为负倒数 11．对于任意的正数m、n定义运算：计算的结果是（        ） A． B． C． D． 12．已知整数、满足，那么能满足条件的整数的个数是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 13．计算： ． 14．最简二次根式与是同类二次根式，则 ． 15．的倒数是 ． 16．比较大小： （填“”、“”或“”）． 17．若最简二次根式与可以合并，则a的值为 ． 18．等腰三角形的两边长分别为和，则其周长为 ． 三、解答题 19．计算： (1)； (2)； (3)． 20．已知二次根式与是同类二次根式，求的值． 21．定义两种新运算，规定：，，其中a，b为实数且． (1)求的值； (2)化简． 22．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 23．仔细阅读下面的例题，然后解答后面的问题． 例题：比较与的大小． 解： 又∵ ， ∴，即： ∴ ． 不求值比较与 的大小． 24．在学习完二次根式后我们又掌握了一种分母有理化的方法．例如：，． (1)化简：__________． (2)观察上面的计算过程，直接写出式子：__________． (3)利用分母有理化计算：． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．A 【分析】本题考查了倒数的概念，分母有理化，解题的关键是熟练掌握概念． 根据倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．根据这个求倒数，然后进行分母有理化即可得到答案． 【详解】解：根据倒数的定义可得， 则， 故选：A． 2．C 【分析】本题考查了同类二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键．先化简每个二次根式，再根据同类二次根式的定义判断即可． 【详解】解：A、，与不能合并，故此选项不符合题意； B、，与不能合并，故此选项不符合题意； C、，与能合并，故此选项符合题意； D、，与不能合并，故此选项不符合题意； 故选：C． 3．C 【分析】本题考查同类二次根式的判定，需先将各选项化为最简二次根式，再依据“化成最简二次根式后被开方数相同的二次根式是同类二次根式”进行判断即可． 【详解】解：∵同类二次根式的定义为：几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，则它们是同类二次根式， 又∵， ∴对各选项化简： A选项：，被开方数为2，与的被开方数不同，不是同类二次根式，故A不符合题意； B选项：，被开方数为m，与的被开方数不同，不是同类二次根式，故B不符合题意； C选项：，被开方数为，与的被开方数相同，是同类二次根式，故C符合题意； D选项：，是整式，不是二次根式，故不是同类二次根式，故D不符合题意． 故选：C． 4．D 【分析】本题考查二次根式的加减运算，需先将各项二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式． 【详解】解：∵， ∴． 故选：D． 5．B 【分析】本题考查二次根式的加减运算，解题的关键是掌握二次根式的加减运算法则． 需依据同类二次根式的定义（被开方数相同的二次根式为同类二次根式）及二次根式加减法则（同类二次根式才能合并，合并时系数相加减，被开方数不变）来判断各选项计算是否正确． 【详解】解：A选项中与被开方数不同，不是同类二次根式，无法合并，计算错误； B选项中，， ，计算正确； C选项中，， 计算错误； D选项中与被开方数不同，不是同类二次根式，无法合并，计算错误； 故选：B． 6．C 【分析】本题考查最简二次根式和同类二次根式．根据同类二次根式的定义，它们的根指数和被开方数均相同，据此列方程组求出的值，即可解答． 【详解】解：∵最简二次根式与可以合并， ∴与是同类二次根式， ∴，， 解得，则， ∴， 故选：C． 7．C 【分析】本题考查了二次根式的化简与减法，对二次根式进行化简并利用二次根式的减法即可求出a． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：C． 8．A 【分析】本题考查了分母有理化，利用二次根式的性质化简，解题的关键是熟练掌握分母有理化的方法以及二次根式的性质． 利用分母有理化的方法以及二次根式的性质判断即可． 【详解】解：∵ 甲的方法：原式，使用了分母有理化，正确； ∵ 乙的方法：原式，通过分子分母同乘使分母化为完全平方数，再开方，正确； ∴ 甲、乙两种方法均正确， 故选：A． 9．C 【分析】本题考查二次根式的混合运算，先进行分母有理化，再进行合并即可． 【详解】解：原式 ． 10．A 【分析】本题主要考查了分母有理化，解题关键在于掌握运算法则．把的分子分母同乘，进一步化简与a比较得出结论即可． 【详解】解：， ∴a与b互为相反数. 故选：A． 11．B 【分析】本题考查了新定义运算，二次根式的加减运算．根据定义，分别计算和，再求和即可． 【详解】解：∵， ∴； ∵， ∴； ∴ ． 故选：B． 12．D 【分析】本题考查二次根式的加法运算，根据题意，分，，以及化简后为被开方数为2的同类二次根式，三种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴或或化简后为被开方数为2的同类二次根式， 当时，此时不是整数，不符合题意； 当时，此时，符合题意； 当化简后为被开方数为2的同类二次根式时：设， ∴， ∴， 当时，，符合题意，此时，故； 当时，，符合题意，此时，故； 综上：； 故选D． 13． 【分析】本题考查二次根式的减法运算，分母有理化，先化简二次根式，再相减即可． 【详解】解：． 故答案为：． 14．4 【分析】本题考查了同类二次根式，熟练掌握定义是解题的关键．根据同类二次根式的定义，若两个最简二次根式是同类二次根式，则它们的被开方数必须相同，据此列出方程求解即可 【详解】解：由最简二次根式与是同类二次根式， ∴， 解得， 故答案为：4． 15． 【分析】本题考查了倒数的定义和分母有理化，要将中的根号去掉，要用． 先写出倒数，再直接分母有理化即可． 【详解】解：的倒数是． 故答案为：． 16． 【分析】本题考查了无理数的大小比较，分母有理化，通过有理化分母，将 化简为 ，再比较与 的大小． 【详解】解： ． 由于 ，故 ， 因此 ． 故答案为 ：． 17． 【分析】本题主要考查了同类二次根式的定义，若两个最简二次根式能够合并，那么这两个最简二次根式的被开方数相同；根据最简二次根式和同类二次根式的定义可得，求解即可． 【详解】解：由题意得，， 解得， 故答案为：． 18．或 【分析】本题考查二次根式的加法运算，分长的边为腰和长为的边为腰，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：当长为的边为腰时，周长为； 当长为的边为腰时，周长为； 故答案为：或． 19．(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次根式的加减运算，熟练掌握运算法则是解答的关键． （1）先利用二次根式的性质化简，再合并同类二次根式即可求解； （2）先利用二次根式的性质化简，再合并同类二次根式即可求解； （3）先利用二次根式的性质化简，再合并同类二次根式即可求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 20．1 【分析】题目主要考查同类二次根式及最简二次根式的定义，二元一次方程组的应用等，理解题意，根据同类二次根式及最简二次根式列出方程组是解题关键． 根据同类二次根式及最简二次根式的意义，列方程组解答即可． 【详解】解：二次根式与是同类二次根式， ， 解得：，此时，不符合题意， 或， 解得：， 符合题意， ． 所以的值为1． 21．(1)4 (2) 【分析】本题考查新定义运算和二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键． （1）根据新定义列式，并利用平方差公式计算即可； （2）根据新定义列式，合并同类二次根式解答即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 22．(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题考查的是二次根式的混合运算，涉及到加法、减法、乘法、乘方以及二次根式化简等；掌握二次根式运算法则是解题的关键． (1）根据二次根式化简计算即可； (2）根据二次根式乘法法则计算即可； (3）先化简，再合并同类二次根式即可； (4）根据完全平方公式展开，再合并即可； 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式=； （3）解：原式； （4）解：原式． 23． 【分析】本题主要考查了实数大小比较、二次根式的加减运算等知识点，灵活运用作差法比较实数的大小是解题的关键． 根据所给例题，利用作差法并运用二次根式的加减运算法则计算来比较实数大小即可． 【详解】解： ∵ ， ∴， ∴． 24．(1) (2) (3) 【分析】（1）模仿示例，分子分母同乘，利用平方差公式分母有理化； （2）观察示例规律，给的分子分母同乘​，化简得到式子； （3）先利用（2）的规律将每个分式分母有理化，得到相邻二次根式的差，合并后再与相乘计算结果 【详解】（1）解：分子分母同乘： 原式 ． （2）解：分子分母同乘​： 原式 ． （3）解：原式 ． 【点睛】本题考查了二次根式的分母有理化，掌握利用平方差公式对​型分式分母有理化，及相邻二次根式差的合并规律是解题的关键． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $