考点02 单项式乘多项式（8大题型）（专项训练）数学新教材苏科版七年级下册

考点02 单项式乘多项式 考点一：单项式乘多项式法则 ，单项式与多项式相乘，先用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加． 考点二：注意事项 ； ． 题型一：单项式乘多项式法则 单项式与多项式相乘，先用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加． （1）用单项式去乘多项式的每一项，一项都不能漏； （2）符号最容易错，负号乘进去，每一项都要变号，先定符号，再算数字； （3）结果要合并同类项，不是乘完就结束，有同类项一定要合并． 【典例精讲】（2025秋•道里区校级期中）计算：（6ab2﹣4a2b）•3ab的结果是（　　） A．18a2b3﹣12a3b2 B．18ab3﹣12a3b2 C．18a2b3﹣12a2b2 D．18a2b2﹣12a3b2 【变式训练1】（2025秋•道外区期中）公式p（a+b+c）＝pa+pb+pc的运算依据是（　　） A．乘法结合律 B．乘法分配律 C．积的乘法法则 D．同底数幂的乘法法则 【变式训练2】（2025春•曹县期末）计算：2a（2a﹣1）等于（　　） A．4a2﹣1 B．4a2﹣2a C．2a2﹣2a D．2a2﹣1 【变式训练3】（2025秋•浦东新区校级期末）一个多项式P与单项式3a的积为12a3﹣6a2+3a，则P＝　 　 ． 题型二：单项式乘多项式运算 单项式与多项式相乘，先用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加． （1）一定要乘到每一项，不能漏乘； （2）不要提前合并同类项，先分配乘完，最后再合并. 【典例精讲】（2025秋•镇原县期末）计算：（﹣2x2）（4xy3﹣y2）+（2xy）3． 【变式训练1】（2025秋•西宁期中）计算： （1）4xy•（﹣3y）+2y（6xy+2）； （2）． 【变式训练2】（2025春•紫金县期中）计算：． 题型三：单项式乘多项式化简求值 （1）去括号； （2）定符号； （3）合并同类项； （4）代入数值． （1）不能漏乘； （2）先定符号，再算数值； （3）能化简的一定要先化简，再代入求值，代入负数、分数时必须加括号． 【典例精讲】（2025秋•固原校级期末）先化简．再求值．x2（3﹣x）+x（x2﹣2x）+1，其中x＝3． 【变式训练1】（2025秋•固原校级期末）先化简．再求值．x2（3﹣x）+x（x2﹣2x）+1，其中x＝3． 【变式训练2】（2025秋•永和县月考）先化简，再求值：3a（2a2﹣4a+3）﹣2a2（3a+4），其中a＝﹣2． 题型四：单项式乘多项式中错解问题 （1）先写出“看错的算式”：把题目里“看错符号”后的式子写出来； （2）利用看错的结果，求出未知数：把看错的结果代入看错的式子，解出里面的字母 （3）再写出“正确的原式”：把符号改回正确的； （4）把求出的数代入正确式子，算出答案． （1）直接改结果的符号，不重新算； （2）求字母时，符号再次算错 （3）漏乘常数项； （4）把“看错的式子”和“正确的式子”搞混． 【典例精讲】（2025春•茌平区期末）某同学在计算﹣3x加上一个多项式时错将加法做成了乘法，得到的答案是3x3﹣3x2+3x，由此可以推断出正确的计算结果是（　　） A．﹣x2﹣2x﹣1 B．x2+2x﹣1 C．﹣x2+4x﹣1 D．x2﹣4x+1 【变式训练1】某同学在计算﹣3x2乘一个多项式时错误的计算成了加法，得到的答案是x2﹣x+1，由此可以推断正确的计算结果是（　　） A．4x2﹣x+1 B．x2﹣x+1 C．﹣12x4+3x3﹣3x2 D．无法确定 【变式训练2】已知：Ax，B是多项式，王虎同学在计算A+B时，误把A+B看成了A×B，结果得3x3﹣2x2﹣x． （1）求多项式B． （2）求A+B． 题型五：单项式乘多项式新定义问题 （1）先读懂定义，圈出关键词，题目会给你一个新符号，把它翻译成：左边是什么，右边是什么，怎么运算； （2）严格照抄规则，不要自己创造，它怎么定义，你就原样代入，不联想以前的公式，不脑补、不创新； （3）把数字/式子精准替换进定义里，有括号先算括号里的； （4）变成我们学过的运算，按学过的方法正常算就行． （1）直接把新符号当成普通加、减、乘、除，题目定义什么规则，就严格按规则代，不能想当然； （2）代入时顺序搞反； （3）有括号时，不先算括号里，有括号必须先算括号内，再算外面； （4）多步运算跳步，新定义一定要一步一步写，不能心算． 【典例精讲】（2025春•东明县期中）定义三角表示3abc，方框表示xz+wy，则×的结果为（　　） A．72m2n﹣45mn2 B．72m2n+45mn2 C．24m2n﹣15mn2 D．24m2n+15mn2 【变式训练1】（2025春•·江西赣州期末）对于任意有理数、、、，定义一种新运算：． (1)___________． (2)求的值． (3)当时，请求出（2）的值． 【变式训练2】（2025春•·江苏南京期中）按照图①的程序进行计算，按照图②的程序进行计算． (1)___________；☆___________； (2)下列说法正确的是___________（填写所有正确结论的序号）； ①；     ②； ③；     ④． (3)若与相等，求，满足的条件． 题型六：单项式乘多项式含参问题（不含某一项） （1）写出一般形式的展开式：将单项式与多项式相乘，用代数式表示所有项（含未知参数）； （2）合并同类项：将同次幂的项合并，整理成标准多项式形式（按降幂排列）； （3）找出目标项系数表达式； （4）令目标项系数为0，解方程：根据条件列出方程，求出未知参数的值或关系． （1）合并同类项后再令系数为0：若展开后有多项是同一字母的同次幂，必须先合并，再令合并后的系数为0； （2）注意“不含”与“不含有”的区别； （3）参数的多解可能性：有时参数本身为0时，乘积恒为0，自然不含任何项． 【典例精讲】（2024秋•武冈市期中）已知（2a﹣4）x2+（b+3）xy﹣（b﹣3）x+（2a+4）y﹣7是关于x、y的多项式，若该多项式不含二次项，试求3a+3b的值． 【变式训练1】（2024秋•江北区校级期中）代数式，其中常数a，b满足关于x的多项式﹣（b﹣2）x2+ax+1+3x与x的取值无关． （1）化简代数式M； （2）求常数a，b的值； （3）求出M的值． 【变式训练2】（2025秋•湖南长沙期末）（1）已知，，且的值与x无关，求k的值； （2）某同学在计算一个多项式乘以时，因抄错运算符号，算成了加上，得到的结果是，那么正确的计算结果是多少？ 【变式训练3】（2025春•秦都区校级月考）已知计算（5﹣3x+mx2﹣6x3）•（﹣2x2）﹣x（﹣3x3+nx﹣1）的结果中不含x4和x2的项，求m、n的值． 题型七：单项式乘多项式应用问题 对于单项式乘多项式的实际应用问题，核心是将实际问题转化为数学模型（单项式×多项式），然后按运算法则计算． （1）建模：将文字转化为代数式； （2）运算：展开并化简； （3）解释：将代数结果回归实际问题． （1）单位统一：实际问题中注意单位换算（如米/厘米，小时/分钟）； （2）意义检验：结果应为正数或符合实际范围（如人数为整数）； （3）逆向思维：有时已知结果求参数，需反推运算过程（参考“不含某一项”题型）． 【典例精讲】（2025秋•海阳市期末）如图，两个正方形的面积分别为4，，阴影部分的面积分别为a，b（a＞b），则2a（b﹣1）﹣b（2a﹣2）的值为　 　 ． 【变式训练1】如图，为提高业主的宜居环境，某小区物业准备在一个长为（4a+2b）米，宽为（3a+2b）米的长方形草坪上修建两条宽为b米的小路，求小路的面积．（要求化成最简形式） 【变式训练2】（2024秋•汉滨区校级期末）如图，有一块长为（2a﹣1）m，宽为am的长方形空地，其中一边靠着墙，现将三面留出宽都是bm的小路，剩下部分设计成菜园ABCD，并用篱笆把菜园不靠墙的三边围起来． （1）用含a，b的代数式表示篱笆的总长度； （2）若a＝30，b＝2，篱笆每米20元，请计算篱笆的总价． 【变式训练3】（2025秋•辽宁大连期中）【知识回顾】 我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式的值与x的取值无关，求a的值． 通常的解题思路是：把x、y看作字母，a看作系数，合并同类项．因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0． 具体解题过程是：原式，∵代数式的值与x的取值无关，∴，解． 【理解应用】 （1）若关于x的代数式的值与x的取值无关，则m值为 ． （2）已知，，且的值与x的取值无关，求m的值． 【能力提升】 （3）7张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分都是长方形．设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求a与b的等量关系． 题型八：解方程 （1）先化简，然后合并同类项，化为一元一次方程； （2）按照解一元一次方程的解题步骤进行求解即可． （1）去分母：各项同乘莫漏乘，分子括号要添上； （2）去括号：正号去括号不变，负号去括全变号； （3）移项：过等号，变符号； （4）系数化1：两边除系数，符号要看准． 【典例精讲】解方程：2x（x﹣1）﹣x（2x+3）＝15． 【变式训练1】解方程：x（3x﹣4）+2x（x+7）＝5x（x﹣7）+90． 1．（2024秋•德州期末）小明在做作业的时候，不小心把墨水滴到了作业本上，▄×2ab＝4a2b+2ab3，阴影部分即为被墨汁弄污的部分，那么被墨汁遮住的一项是（　　） A．（2a+b2） B．（a+2b） C．（3ab+2b2） D．（2ab+b2） 2．（2025秋•铜梁区校级期中）已知x2+2x﹣1＝0，则代数式4x（x+1）﹣2x2﹣3的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．5 D．﹣5 3．（2025秋•连山区期中）一个长方形的长和宽分别是3a，2a+1，则这个长方形的面积是（　　） A．6a2+3 B．6a2+3a C．6a+3 D．6a2 4．（2025秋•龙华区期中）若x2+2x﹣1＝0，则4x（x+1）﹣2x2﹣3的值为（　　） A．5 B．﹣5 C．1 D．﹣1 5．（2025秋•武乡县期末）用如图所示的几何图形的面积可以验证的数学恒等式为（　　） A．（a+b）2＝a2+2ab+b2 B．2a（a+b）＝2a2+2ab C．2a（a+2b）＝2a2+4ab D．（a+b）（2a+b）＝2a2+3ab+b2 6．（2024秋•西青区期末）一个长方体的长，宽，高分别是2a，a2，（3a+1），这个长方体的体积是（　　） A．6a2+2 B．6a3+2a C．6a4+2a2 D．6a4+2a3 7．（2025秋•青山区期中）如图，一个边长为4的正方形去掉长方形一角后，求剩余部分（阴影部分）的面积，下列式子错误的是（　　） A．4b﹣4a+ab B．4b+a（4﹣b） C．4a+4b﹣ab D．4a+b（4﹣a） 8．（2025春•襄都区期末）利用图可以解释的是（　　） A．mn（a+b﹣c）＝mna+mnb﹣mnc B．ma（n+b﹣c）＝man+mab﹣mac C．ab（m+n﹣c）＝abm+abn﹣abc D．ac（m+n﹣b）＝acm+acn﹣acb 9．（2025秋•镇海区校级月考）有一个运算程序：若a⊕b＝n，则（a+1）⊕b＝n+4且a⊕（b+1）＝n﹣1．按程序运算，若1⊕1＝2，则25⊕26＝（　　） A．73 B．89 C．97 D．108 10．若要使x（x2+a）+3x﹣2b＝x3+5x+4恒成立，则a，b的值分别是（　　） A．﹣2，﹣2 B．2，2 C．2，﹣2 D．﹣2，2 11．（2025秋•金山区校级期末）若，则ab•（a2b5﹣ab3﹣b）的值是　 　 ． 12．（2025秋•历下区期末）计算：xy（x﹣2y）＝　 　． 13．（2025秋•浦东新区期末）计算：　 　 ． 14．（2025秋•丰台区期末）已知m2﹣4m﹣5＝0，则代数式2m（m﹣4）﹣1的值为　 　． 15．某同学在计算﹣3x2乘一个多项式时错误的计算成了加法，得到的答案是x2﹣x+1，由此可以推断正确的计算结果是　 　． 16．（2025秋•金山区校级期末）若，则ab•（a2b5﹣ab3﹣b）的值是　 　 ． 17．（2025秋•海阳市期末）如图，两个正方形的面积分别为4，，阴影部分的面积分别为a，b（a＞b），则2a（b﹣1）﹣b（2a﹣2）的值为　 　． 18．（2025秋•浦东新区期中）计算：3x•（2x2﹣x+1）﹣x•（2x﹣3）﹣4（1﹣x2）． 19．（2024秋•梁山县期中）化简： （1）； （2）2（a2b+ab2）﹣2（a2b﹣3）﹣2（ab2+2）． 20．计算： （1）29（﹣12）； （2）33.1﹣10.7﹣（﹣22.9）﹣||； （3）解方程：1； （4）解方程：6x（1﹣x）﹣4x（1﹣x）＝16﹣2（x2﹣2）． 21．（2025秋•太原期中）（1）化简：2a+3b﹣5a﹣b； （2）下面是小颖同学进行整式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务． 2（x﹣xy）﹣x（5﹣y） ＝（2x﹣2xy）﹣（5x﹣xy）…第①步 ＝2x﹣2xy﹣5x﹣xy…第②步 ＝﹣3x﹣3xy…第③步 任务1：以上化简步骤中，第　 　 步开始出现错误，具体错误是　 　． 任务2：请直接写出该整式正确的化简结果，并计算当时该整式的值． 22．（2025秋•岳塘区期中）关于a的多项式ma2+3a﹣1与﹣4a2+（n﹣1）a﹣1的和不含a2和a． （1）求m，n的值； （2）求（4m2n﹣3mn2）﹣2（m2n+mn2）的值． 23．（2025春•招远市期中）小明在计算代数式的值时，发现当x＝2022和x＝2023时，他们的值是相等的．小明的发现正确吗？说明你的理由． 24．（2025秋•龙州县校级月考）已知某长方形的长为（a+b）cm，它的宽比长短（a﹣b）cm，求这个长方形的周长与面积． 25．（25-26七年级上·河北张家口·期中）规定：如果两个数的和等于这两个数积的一半，则称这两个数为和谐数，其和的值称为和谐值，例如：，与是和谐数，和谐值为． (1)下列几组数是和谐数且和谐值小于0的有___________（填序号） ①3，6       ②，2     ③2，0   ④ (2)已知是和谐数，求代数式的值． 26．（25-26八年级上·全国·课后作业）定义：若，则称与是关于1的单位数． (1)3与______是关于1的单位数，与______（填一个含的式子）是关于1的单位数； (2)若，，判断与是否是关于1的单位数，并说明理由． 27．（2025春•鄄城县期中）阅读下列文字，并解决问题． 已知x2y＝3，求2xy（x5y2﹣3x3y﹣4x）的值． 分析：考虑到满足x2y＝3的x、y的可能值较多，不可以逐一代入求解，故考虑整体思想，将x2y＝3整体代入． 解：2xy（x5y2﹣3x3y﹣4x）＝2x6y3﹣6x4y2﹣8x2y＝2（x2y）3﹣6（x2y）2﹣8x2y＝2×33﹣6×32﹣8×3＝﹣24． 请你用上述方法解决问题：已知ab＝3，求（2a3b2﹣3a2b+4a）•（﹣2b）的值． 28．（2025春•宿城区校级期末）如图，一个小长方形的长为m+n，宽为m，把6个大小相同的小长方形放入到大长方形内． （1）大长方形的长a＝　 　，宽b＝　 　．（用含m，n的式子表示） （2）求在大长方形中，阴影部分的面积．（用含m，n的式子表示） （3）设大长方形的面积为S1，大长方形内阴影部分的面积为S2，若S1＝4S2，求m与n的数量关系． 29．（2025春•寿阳县期中）如图1，有一长方形菜地，长比宽多20米．求菜地的面积． 老师在黑板上的板书：x（x+20）． （1）请根据老师的板书说出x的实际意义：　 　； （2）请用含x的多项式表示菜地的面积为：　 　 ； （3）如图2，经测量菜地的长为120米．张老爹为了扩大菜地面积，向周围开垦荒地，已知四周开垦的菜地宽度均为a米，通过计算说明菜地开垦后的面积（结果用含a的多项式表示）； （4）当a＝2米时，求菜地开垦后的面积． 30．已知等式x（ax3+x2+b）+3x﹣2c＝x3+5x+4恒成立，求a2+3b+2c的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 考点02 单项式乘多项式 考点一：单项式乘多项式法则 ，单项式与多项式相乘，先用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加． 考点二：注意事项 ； ． 题型一：单项式乘多项式法则 单项式与多项式相乘，先用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加． （1）用单项式去乘多项式的每一项，一项都不能漏； （2）符号最容易错，负号乘进去，每一项都要变号，先定符号，再算数字； （3）结果要合并同类项，不是乘完就结束，有同类项一定要合并． 【典例精讲】（2025秋•道里区校级期中）计算：（6ab2﹣4a2b）•3ab的结果是（　　） A．18a2b3﹣12a3b2 B．18ab3﹣12a3b2 C．18a2b3﹣12a2b2 D．18a2b2﹣12a3b2 【分析】根据单项式与多项式相乘，先用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加计算即可． 【解答】解：（6ab2﹣4a2b）•3ab ＝6ab2•3ab﹣4a2b•3ab ＝18a2b3﹣12a3b2． 故选：A． 【变式训练1】（2025秋•道外区期中）公式p（a+b+c）＝pa+pb+pc的运算依据是（　　） A．乘法结合律 B．乘法分配律 C．积的乘法法则 D．同底数幂的乘法法则 【分析】结合乘法的相应的法则进行分析即可． 【解答】解：公式p（a+b+c）＝pa+pb+pc的运算依据是乘法分配律． 故选：B． 【变式训练2】（2025春•曹县期末）计算：2a（2a﹣1）等于（　　） A．4a2﹣1 B．4a2﹣2a C．2a2﹣2a D．2a2﹣1 【分析】利用单项式乘多项式法则计算即可． 【解答】解：原式＝4a2﹣2a， 故选：B． 【变式训练3】（2025秋•浦东新区校级期末）一个多项式P与单项式3a的积为12a3﹣6a2+3a，则P＝　 　 ． 【分析】根据题意求（12a3﹣6a2+3a）÷3a即可得出答案． 【解答】解：P＝（12a3﹣6a2+3a）÷3a ＝4a2﹣2a+1； 故答案为：4a2﹣2a+1． 题型二：单项式乘多项式运算 单项式与多项式相乘，先用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加． （1）一定要乘到每一项，不能漏乘； （2）不要提前合并同类项，先分配乘完，最后再合并. 【典例精讲】（2025秋•镇原县期末）计算：（﹣2x2）（4xy3﹣y2）+（2xy）3． 【分析】直接利用积的乘方运算法则以及单项式乘以多项式运算法则计算得出答案． 【解答】解：原式＝﹣8x3y3+2x2y2+8x3y3 ＝2x2y2． 【变式训练1】（2025秋•西宁期中）计算： （1）4xy•（﹣3y）+2y（6xy+2）； （2）． 【分析】（1）先根据单项式乘单项式的运算法则，单项式乘多项式的运算法则进行计算，然后合并同类项即可； （2）先根据单项式乘多项式的运算法则进行计算即可． 【解答】解：（1）4xy•（﹣3y）+2y（6xy+2） ＝﹣12xy2+12xy2+4y ＝4y； （2） ． 【变式训练2】（2025春•紫金县期中）计算：． 【分析】先计算积的乘方，再利用单项式乘多项式原则进行计算即可求出答案． 【解答】解： ＝2x4﹣12x3y+3x2y2． 题型三：单项式乘多项式化简求值 （1）去括号； （2）定符号； （3）合并同类项； （4）代入数值． （1）不能漏乘； （2）先定符号，再算数值； （3）能化简的一定要先化简，再代入求值，代入负数、分数时必须加括号． 【典例精讲】（2025秋•固原校级期末）先化简．再求值．x2（3﹣x）+x（x2﹣2x）+1，其中x＝3． 【分析】直接利用单项式乘以多项式运算法则化简进而得出答案． 【解答】解：原式＝3x2﹣x3+x3﹣2x2+1 ＝x2+1， 把x＝3代入x2+1＝9+1＝10． 【变式训练1】（2025秋•固原校级期末）先化简．再求值．x2（3﹣x）+x（x2﹣2x）+1，其中x＝3． 【分析】直接利用单项式乘以多项式运算法则化简进而得出答案． 【解答】解：原式＝3x2﹣x3+x3﹣2x2+1 ＝x2+1， 把x＝3代入x2+1＝9+1＝10． 【变式训练2】（2025秋•永和县月考）先化简，再求值：3a（2a2﹣4a+3）﹣2a2（3a+4），其中a＝﹣2． 【分析】首先根据单项式与多项式相乘的法则去掉括号，然后合并同类项，最后代入已知的数值计算即可． 【解答】解：3a（2a2﹣4a+3）﹣2a2（3a+4） ＝6a3﹣12a2+9a﹣6a3﹣8a2 ＝﹣20a2+9a， 当a＝﹣2时，原式＝﹣20×4﹣9×2＝﹣98． 题型四：单项式乘多项式中错解问题 （1）先写出“看错的算式”：把题目里“看错符号”后的式子写出来； （2）利用看错的结果，求出未知数：把看错的结果代入看错的式子，解出里面的字母 （3）再写出“正确的原式”：把符号改回正确的； （4）把求出的数代入正确式子，算出答案． （1）直接改结果的符号，不重新算； （2）求字母时，符号再次算错 （3）漏乘常数项； （4）把“看错的式子”和“正确的式子”搞混． 【典例精讲】（2025春•茌平区期末）某同学在计算﹣3x加上一个多项式时错将加法做成了乘法，得到的答案是3x3﹣3x2+3x，由此可以推断出正确的计算结果是（　　） A．﹣x2﹣2x﹣1 B．x2+2x﹣1 C．﹣x2+4x﹣1 D．x2﹣4x+1 【分析】先根据题意算出这个多项式，再与﹣3x相加即可． 【解答】解：由题意知， 这个多项式为x2+x﹣1， ∴正确的计算结果为﹣3x+（﹣x2+x﹣1）＝﹣x2﹣2x﹣1． 故选：A． 【变式训练1】某同学在计算﹣3x2乘一个多项式时错误的计算成了加法，得到的答案是x2﹣x+1，由此可以推断正确的计算结果是（　　） A．4x2﹣x+1 B．x2﹣x+1 C．﹣12x4+3x3﹣3x2 D．无法确定 【分析】根据整式的减法法则求出多项式，根据单项式与多项式相乘的运算法则计算，得到答案． 【解答】解：x2﹣x+1﹣（﹣3x2）＝x2﹣x+1+3x2＝4x2﹣x+1， ﹣3x2•（4x2﹣x+1）＝﹣12x4+3x3﹣3x2， 故选：C． 【变式训练2】已知：Ax，B是多项式，王虎同学在计算A+B时，误把A+B看成了A×B，结果得3x3﹣2x2﹣x． （1）求多项式B． （2）求A+B． 【分析】（1）根据整式的除法运算即可求出答案； （2）根据整式的加法运算即可求出答案． 【解答】解：（1）由题意可知：x•B＝3x3﹣2x2﹣x， ∴B＝（3x3﹣2x2﹣x）x ＝6x2﹣4x﹣2； （2）A+Bx+（6x2﹣4x﹣2） ＝6x2x﹣2； 题型五：单项式乘多项式新定义问题 （1）先读懂定义，圈出关键词，题目会给你一个新符号，把它翻译成：左边是什么，右边是什么，怎么运算； （2）严格照抄规则，不要自己创造，它怎么定义，你就原样代入，不联想以前的公式，不脑补、不创新； （3）把数字/式子精准替换进定义里，有括号先算括号里的； （4）变成我们学过的运算，按学过的方法正常算就行． （1）直接把新符号当成普通加、减、乘、除，题目定义什么规则，就严格按规则代，不能想当然； （2）代入时顺序搞反； （3）有括号时，不先算括号里，有括号必须先算括号内，再算外面； （4）多步运算跳步，新定义一定要一步一步写，不能心算． 【典例精讲】（2025春•东明县期中）定义三角表示3abc，方框表示xz+wy，则×的结果为（　　） A．72m2n﹣45mn2 B．72m2n+45mn2 C．24m2n﹣15mn2 D．24m2n+15mn2 【分析】根据题意理解三角和方框表示的意义，然后即可求出要求的结果． 【解答】解：根据题意得：原式＝9mn×（8m+5n）＝72m2n+45mn2． 故选：B． 【变式训练1】（2025春•·江西赣州期末）对于任意有理数、、、，定义一种新运算：． (1)___________． (2)求的值． (3)当时，请求出（2）的值． 【分析】本题考查了新定义运算，有理数的混合运算，整式的乘法运算与化简求值． （1）根据新定义运算进行计算即可求解； （2）根据新定义可得，再根据整式的乘法进行计算即可求解； （3）将字母的值代入（2）的化简结果进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ， 故答案为：． （2）解： （3）解：当时， 【变式训练2】（2025春•·江苏南京期中）按照图①的程序进行计算，按照图②的程序进行计算． (1)___________；☆___________； (2)下列说法正确的是___________（填写所有正确结论的序号）； ①；     ②； ③；     ④． (3)若与相等，求，满足的条件． 【分析】该题考查了整式混合运算的应用，解题的关键是理解流程图． （1）根据流程图列式即可． （2）分别计算每个选项中等式左右两边式子，再比较即可． （3）先计算出与，即可解答． 【详解】（1）解：根据流程图可得；， 故答案为：，． （2）解：，，即，故①正确；      ， ， 故，②错误； ，，故③错误；      ， ， ，故④错误； 故答案为：①． （3）解： ， ， 若与相等， 则． 题型六：单项式乘多项式含参问题（不含某一项） （1）写出一般形式的展开式：将单项式与多项式相乘，用代数式表示所有项（含未知参数）； （2）合并同类项：将同次幂的项合并，整理成标准多项式形式（按降幂排列）； （3）找出目标项系数表达式； （4）令目标项系数为0，解方程：根据条件列出方程，求出未知参数的值或关系． （1）合并同类项后再令系数为0：若展开后有多项是同一字母的同次幂，必须先合并，再令合并后的系数为0； （2）注意“不含”与“不含有”的区别； （3）参数的多解可能性：有时参数本身为0时，乘积恒为0，自然不含任何项． 【典例精讲】（2024秋•武冈市期中）已知（2a﹣4）x2+（b+3）xy﹣（b﹣3）x+（2a+4）y﹣7是关于x、y的多项式，若该多项式不含二次项，试求3a+3b的值． 【分析】先根据多项式的项、次数与常数项求出a和b的值，然后代入3a+3b计算即可． 【解答】解：由原多项式不含二次项可知：2a﹣4＝0，b+3＝0， ∴a＝2，b＝﹣3， ∴原式＝3×2+3×（﹣3）＝6﹣9＝﹣3． 【变式训练1】（2024秋•江北区校级期中）代数式，其中常数a，b满足关于x的多项式﹣（b﹣2）x2+ax+1+3x与x的取值无关． （1）化简代数式M； （2）求常数a，b的值； （3）求出M的值． 【分析】（1）去括号合并同类项即可； （2）合并关于x的同类项，然后令含x的项的系数等于0即可求出常数a，b的值； （3）把求得的a，b的值代入（1）中化简的结果计算即可． 【解答】解：（1）原式 ； （2）﹣（b﹣2）x2+ax+1+3x ＝﹣（b﹣2）x2+（a+3）x+1， ∵多项式与x的取值无关， ∴﹣（b﹣2）＝0，a+3＝0， 解得：a＝﹣3，b＝2； （3）当a＝﹣3，b＝2时， M ＝4﹣18 ＝﹣14． 【变式训练2】（2025秋•湖南长沙期末）（1）已知，，且的值与x无关，求k的值； （2）某同学在计算一个多项式乘以时，因抄错运算符号，算成了加上，得到的结果是，那么正确的计算结果是多少？ 【分析】本题考查了整式加减的无关型问题，多项式乘单项式，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）根据整式加减的运算法则，先计算，根据题意得到关于k的方程，解方程即可解答； （2）设原来的多项式为M，根据题意先计算出M，然后根据多项式乘单项式的法则计算即可解答． 【详解】（1）解： ， ∵的值与x无关， ∴， 解得； （2）解：设原来的多项式为M， 依题意得，， ∴正确的计算结果为． 【变式训练3】（2025春•秦都区校级月考）已知计算（5﹣3x+mx2﹣6x3）•（﹣2x2）﹣x（﹣3x3+nx﹣1）的结果中不含x4和x2的项，求m、n的值． 【分析】原式利用多项式乘以多项式法则计算，由结果中不含x2和x3项，求出m与n的值即可． 【解答】解：（5﹣3x+mx2﹣6x3）•（﹣2x2）﹣x（﹣3x3+nx﹣1）＝﹣10x2+6x3﹣2mx4+12x5+3x4﹣nx2+x＝12x5+（3﹣2m）x4+6x3+（﹣10﹣n）x2+x， 由结果中不含x4和x2项，得到3﹣2m＝0，﹣10﹣n＝0， 解得：m＝1.5，n＝﹣10． 题型七：单项式乘多项式应用问题 对于单项式乘多项式的实际应用问题，核心是将实际问题转化为数学模型（单项式×多项式），然后按运算法则计算． （1）建模：将文字转化为代数式； （2）运算：展开并化简； （3）解释：将代数结果回归实际问题． （1）单位统一：实际问题中注意单位换算（如米/厘米，小时/分钟）； （2）意义检验：结果应为正数或符合实际范围（如人数为整数）； （3）逆向思维：有时已知结果求参数，需反推运算过程（参考“不含某一项”题型）． 【典例精讲】（2025秋•海阳市期末）如图，两个正方形的面积分别为4，，阴影部分的面积分别为a，b（a＞b），则2a（b﹣1）﹣b（2a﹣2）的值为　 　 ． 【分析】先设两个正方形的重合部分面积是m，分别列代数式表示出a，b的值，再化简所求代数式后，代入求解． 【解答】解：设两个正方形的重合部分面积是m， 则a＝4﹣m，bm， ∴2a（b﹣1）﹣b（2a﹣2） ＝2ab﹣2a﹣2ab+2b ＝2（b﹣a） ＝2[（4﹣m）﹣（m）] ＝2（4﹣mm） ＝2 ， 故答案为：． 【变式训练1】如图，为提高业主的宜居环境，某小区物业准备在一个长为（4a+2b）米，宽为（3a+2b）米的长方形草坪上修建两条宽为b米的小路，求小路的面积．（要求化成最简形式） 【分析】分别求出两条小路的面积，再相加，最后减小重合的部分面积即可． 【解答】解：由题意得： b（3a+2b）+b（4a+2b）﹣b2 ＝3ab+2b2+4ab+2b2﹣b2 ＝7ab+3b2． 【变式训练2】（2024秋•汉滨区校级期末）如图，有一块长为（2a﹣1）m，宽为am的长方形空地，其中一边靠着墙，现将三面留出宽都是bm的小路，剩下部分设计成菜园ABCD，并用篱笆把菜园不靠墙的三边围起来． （1）用含a，b的代数式表示篱笆的总长度； （2）若a＝30，b＝2，篱笆每米20元，请计算篱笆的总价． 【分析】（1）先根据所给的图形，得出菜园的长和宽，然后根据长方形周长公式求出篱笆总长度； （2）直接将a和b代入第（1）问所求的式子中，得出结果． 【解答】解：（1）由图可得：菜园的长为（2a﹣1﹣2b）m，宽为（a﹣b）m， 所以（2a﹣1﹣2b）+2（a﹣b） ＝2a﹣1﹣2b+2a﹣2b ＝（4a﹣4b﹣1）m， 即篱笆的总长度为（4a﹣4b﹣1）m； （2）当a＝30，b＝2时， 篱笆的造价为：（4a﹣4b﹣1）×20 ＝（4×30﹣4×2﹣1）×20 ＝2220（元）， 答：篱笆的总价为2220元． 【变式训练3】（2025秋•辽宁大连期中）【知识回顾】 我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式的值与x的取值无关，求a的值． 通常的解题思路是：把x、y看作字母，a看作系数，合并同类项．因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0． 具体解题过程是：原式，∵代数式的值与x的取值无关，∴，解． 【理解应用】 （1）若关于x的代数式的值与x的取值无关，则m值为 ． （2）已知，，且的值与x的取值无关，求m的值． 【能力提升】 （3）7张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分都是长方形．设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求a与b的等量关系． 【分析】本题考查阅读理解，整式的加减运算，单项式乘多项式的应用，涉及代数式的值与x的取值无关问题解法，读懂题意，理解方法是解决问题的关键． （1）由材料中的解法直接求解即可得到答案； （2）先计算，再由材料中的解法直接求解即可得到答案； （3）设，由图可知，，可得：，根据当的长变化时，的值始终保持不变，可得：，进而可得结论． 【详解】解：（1）， ∵关于x的代数式的值与x的取值无关， ∴， 解得：， （2）∵ ， ， ∴， ∵的值与x无关， ∴， 解得：； （3）设，由图可知，， ∴ ， ∵当的长变化时，的值始终保持不变， ∴取值与x无关， ∴， ∴． 题型八：解方程 （1）先化简，然后合并同类项，化为一元一次方程； （2）按照解一元一次方程的解题步骤进行求解即可． （1）去分母：各项同乘莫漏乘，分子括号要添上； （2）去括号：正号去括号不变，负号去括全变号； （3）移项：过等号，变符号； （4）系数化1：两边除系数，符号要看准． 【典例精讲】解方程：2x（x﹣1）﹣x（2x+3）＝15． 【分析】直接利用单项式乘以多项式运算法则计算，进而合并同类项，再解方程即可． 【解答】解：2x（x﹣1）﹣x（2x+3）＝15 2x2﹣2x﹣2x2﹣3x＝15， 整理得：﹣5x＝15， 解得：x＝﹣3． 【变式训练1】解方程：x（3x﹣4）+2x（x+7）＝5x（x﹣7）+90． 【分析】根据单项式与多项式相乘，先用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加，然后求解即可． 【解答】解：x（3x﹣4）+2x（x+7）＝5x（x﹣7）+90， 3x2﹣4x+2x2+14x＝5x2﹣35x+90， 10x＝﹣35x+90， 45x＝90， x＝2． 1．（2024秋•德州期末）小明在做作业的时候，不小心把墨水滴到了作业本上，▄×2ab＝4a2b+2ab3，阴影部分即为被墨汁弄污的部分，那么被墨汁遮住的一项是（　　） A．（2a+b2） B．（a+2b） C．（3ab+2b2） D．（2ab+b2） 【分析】根据单项式乘多项式的运算法则计算即可．单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加． 【解答】解：被墨汁遮住部分＝（4a2b+2ab3）÷2ab＝4a2b÷2ab+2ab3÷2ab＝2a+b2， 故选：A． 2．（2025秋•铜梁区校级期中）已知x2+2x﹣1＝0，则代数式4x（x+1）﹣2x2﹣3的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．5 D．﹣5 【分析】将x2+2x﹣1＝0整理得x2+2x＝1，然后代入化简后的代数式计算即可． 【解答】解：根据题意可知，x2+2x＝1， ∴原式＝4x2+4x﹣2x2﹣3 ＝2x2+4x﹣3 ＝2（x2+2x）﹣3 ＝2×1﹣3 ＝﹣1． 故选：B． 3．（2025秋•连山区期中）一个长方形的长和宽分别是3a，2a+1，则这个长方形的面积是（　　） A．6a2+3 B．6a2+3a C．6a+3 D．6a2 【分析】根据长方形的面积等于长乘以宽列式计算即可． 【解答】解：根据题意可知，长方形的面积为： 3a×（2a+1） ＝3a×2a+3a×1 ＝6a2+3a． 故选：B． 4．（2025秋•龙华区期中）若x2+2x﹣1＝0，则4x（x+1）﹣2x2﹣3的值为（　　） A．5 B．﹣5 C．1 D．﹣1 【分析】将x2+2x﹣1＝0整理得x2+2x＝1，然后代入化简后的代数式计算即可． 【解答】解：根据题意可知，x2+2x＝1， ∴原式＝4x2+4x﹣2x2﹣3 ＝2x2+4x﹣3 ＝2（x2+2x）﹣3 ＝2×1﹣3 ＝﹣1． 故选：D． 5．（2025秋•武乡县期末）用如图所示的几何图形的面积可以验证的数学恒等式为（　　） A．（a+b）2＝a2+2ab+b2 B．2a（a+b）＝2a2+2ab C．2a（a+2b）＝2a2+4ab D．（a+b）（2a+b）＝2a2+3ab+b2 【分析】从“整体”与“部分”分别用代数式表示图形的面积，再根据各个部分面积之间的和差关系即可得出答案． 【解答】解：从“整体上”看是边长为a，宽为（a+b）的长方形， 因此面积为2a（a+b）＝2a2+2ab， 拼成四个部分的面积分别为2a2和为2ab，面积和为2a2+2ab， 所以2a（a+b）＝2a2+2ab， 所以这个图形可以验证公式：2a（a+b）＝2a2+2ab， 故选：B． 6．（2024秋•西青区期末）一个长方体的长，宽，高分别是2a，a2，（3a+1），这个长方体的体积是（　　） A．6a2+2 B．6a3+2a C．6a4+2a2 D．6a4+2a3 【分析】根据长方体的体积公式，列出算式，然后根据整式乘法法则计算即可． 【解答】解：∵长方体的体积＝长×宽×高； ∴长方体的体积＝2a×a2×（3a+1） ＝2a3×（3a+1） ＝6a4+2a3； 故选：D． 7．（2025秋•青山区期中）如图，一个边长为4的正方形去掉长方形一角后，求剩余部分（阴影部分）的面积，下列式子错误的是（　　） A．4b﹣4a+ab B．4b+a（4﹣b） C．4a+4b﹣ab D．4a+b（4﹣a） 【分析】根据阴影部分的面积等于该正方形面积减去空白矩形的面积进行列式、求解． 【解答】解：由题意得，该阴影部分的面积为： 4×4﹣（4﹣a）（4﹣b） ＝16﹣（16﹣4a﹣4b+ab） ＝16﹣16+4a+4b﹣ab ＝4a+4b﹣ab， 故选：A． 8．（2025春•襄都区期末）利用图可以解释的是（　　） A．mn（a+b﹣c）＝mna+mnb﹣mnc B．ma（n+b﹣c）＝man+mab﹣mac C．ab（m+n﹣c）＝abm+abn﹣abc D．ac（m+n﹣b）＝acm+acn﹣acb 【分析】用两种形式表示阴影部分的体积即可． 【解答】解：阴影部分的体积为：mn（a+b﹣c）， 阴影部分的体积还可以表示为三个小长方体的体积减白色部分，即mna+mnb﹣mnc， 综上所述，mn（a+b﹣c）＝mna+mnb﹣mnc． 故选：A． 9．（2025秋•镇海区校级月考）有一个运算程序：若a⊕b＝n，则（a+1）⊕b＝n+4且a⊕（b+1）＝n﹣1．按程序运算，若1⊕1＝2，则25⊕26＝（　　） A．73 B．89 C．97 D．108 【分析】根据运算程序先得到规律，根据规律计算得结论． 【解答】解：∵a⊕b＝n，则（a+1）⊕b＝n+4且a⊕（b+1）＝n﹣1， ∴a加1，结果加4，b加1，结果减1． 即前项加1，结果加4，后项加1，结果减1． ∵1⊕1＝2， ∴25⊕26＝2加上24个4，减去25个1， ∴2+24×4﹣25 ＝2+96﹣25 ＝98﹣25 ＝73． ∴故选：A． 10．若要使x（x2+a）+3x﹣2b＝x3+5x+4恒成立，则a，b的值分别是（　　） A．﹣2，﹣2 B．2，2 C．2，﹣2 D．﹣2，2 【分析】将已知等式左边展开，再比较等式左右两边对应项系数即可． 【解答】解：∵x（x2+a）+3x﹣2b＝x3+5x+4恒成立， ∴x3+（a+3）x﹣2b＝x3+5x+4， ∴， 解得． 故选：C． 11．（2025秋•金山区校级期末）若，则ab•（a2b5﹣ab3﹣b）的值是　　 ． 【分析】先计算单项式乘多项式，再逆用积的乘方将各项化为（ab2）n的形式，进而根据计算即可． 【解答】解：原式＝a3b6﹣a2b4﹣ab2 ＝（ab2）3﹣（ab2）2﹣ab2 ． 故答案为：． 12．（2025秋•历下区期末）计算：xy（x﹣2y）＝x2y﹣2xy2 ． 【分析】根据单项式乘多项式法则计算即可． 【解答】解：xy（x﹣2y）＝xy•x﹣xy•2y＝x2y﹣2xy2， 故答案为：x2y﹣2xy2． 13．（2025秋•浦东新区期末）计算：　　 ． 【分析】根据单项式乘多项式法则和单项式乘单项式法则进行计算即可． 【解答】解：原式 ， 故答案为：． 14．（2025秋•丰台区期末）已知m2﹣4m﹣5＝0，则代数式2m（m﹣4）﹣1的值为　9　 ． 【分析】将代数式整理得 2（m2﹣4m）﹣1，然后利用已知条件得到 m2﹣4m＝5，整体代入计算即可． 【解答】解：根据题意可知，m2﹣4m＝5， ∴原式＝2（m2﹣4m）﹣1 ＝2×5﹣1 ＝10﹣1 ＝9． 故答案为：9． 15．某同学在计算﹣3x2乘一个多项式时错误的计算成了加法，得到的答案是x2﹣x+1，由此可以推断正确的计算结果是　﹣12x4+3x3﹣3x2 ． 【分析】根据整式的减法法则求出多项式，根据单项式与多项式相乘的运算法则计算，得到答案． 【解答】解：根据题意可知，计算﹣3x2加一个多项式时，得到的答案是x2﹣x+1， ∴x2﹣x+1﹣（﹣3x2）＝x2﹣x+1+3x2＝4x2﹣x+1， ∴﹣3x2•（4x2﹣x+1）＝﹣12x4+3x3﹣3x2． 故答案为：﹣12x4+3x3﹣3x2． 16．（2025秋•金山区校级期末）若，则ab•（a2b5﹣ab3﹣b）的值是　　 ． 【分析】先计算单项式乘多项式，再逆用积的乘方将各项化为（ab2）n的形式，进而根据计算即可． 【解答】解：原式＝a3b6﹣a2b4﹣ab2 ＝（ab2）3﹣（ab2）2﹣ab2 ． 故答案为：． 17．（2025秋•海阳市期末）如图，两个正方形的面积分别为4，，阴影部分的面积分别为a，b（a＞b），则2a（b﹣1）﹣b（2a﹣2）的值为　　 ． 【分析】先设两个正方形的重合部分面积是m，分别列代数式表示出a，b的值，再化简所求代数式后，代入求解． 【解答】解：设两个正方形的重合部分面积是m， 则a＝4﹣m，bm， ∴2a（b﹣1）﹣b（2a﹣2） ＝2ab﹣2a﹣2ab+2b ＝2（b﹣a） ＝2[（4﹣m）﹣（m）] ＝2（4﹣mm） ＝2 ， 故答案为：． 18．（2025秋•浦东新区期中）计算：3x•（2x2﹣x+1）﹣x•（2x﹣3）﹣4（1﹣x2）． 【分析】根据整式混合运算步骤计算求解，即可解题． 【解答】解：3x•（2x2﹣x+1）﹣x•（2x﹣3）﹣4（1﹣x2） ＝6x3﹣3x2+3x﹣（2x2﹣3x）﹣4+4x2 ＝6x3﹣3x2+3x﹣2x2+3x﹣4+4x2 ＝6x3﹣x2+6x﹣4． 19．（2024秋•梁山县期中）化简： （1）； （2）2（a2b+ab2）﹣2（a2b﹣3）﹣2（ab2+2）． 【分析】（1）先去小括号，再合并同类项即可； （2）先去括号，然后合并同类项即可． 【解答】解：（1）原式＝9x+6x2﹣3x﹣4x2 ＝6x+2x2； （2）原式＝2a2b+2ab2﹣2a2b+6﹣2ab2﹣4 ＝2． 20．计算： （1）29（﹣12）； （2）33.1﹣10.7﹣（﹣22.9）﹣||； （3）解方程：1； （4）解方程：6x（1﹣x）﹣4x（1﹣x）＝16﹣2（x2﹣2）． 【分析】（1）把第一个因式进行变式，再利用乘法分配律进行运算即可； （2）先去绝对值符号，把减法转这加法，再利用加法的相应的运算律求解即可； （3）根据解一元一次方程的方法进行求解即可； （4）根据解一元一次方程的方法进行求解即可． 【解答】解：（1）29（﹣12） ＝（30）×（﹣12） ＝﹣30×1212 ＝﹣360+0.5 ＝﹣359.5； （2）33.1﹣10.7﹣（﹣22.9）﹣|| ＝33.1+（﹣10.7）+22.9+（﹣2.7） ＝（33.1+22.9）+（﹣10.7﹣2.3） ＝56+（﹣13） ＝43； （3）1， 3x﹣2（2x﹣1）＝4， 3x﹣4x+2＝4， ﹣x＝2， x＝﹣2； （4）6x（1﹣x）﹣4x（1﹣x）＝16﹣2（x2﹣2）， 6x﹣6x2﹣4x+4x2＝16﹣2x2+4， 2x＝20， x＝10． 21．（2025秋•太原期中）（1）化简：2a+3b﹣5a﹣b； （2）下面是小颖同学进行整式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务． 2（x﹣xy）﹣x（5﹣y） ＝（2x﹣2xy）﹣（5x﹣xy）…第①步 ＝2x﹣2xy﹣5x﹣xy…第②步 ＝﹣3x﹣3xy…第③步 任务1：以上化简步骤中，第　②　 步开始出现错误，具体错误是　﹣（5x﹣xy）的括号前是“﹣”，去掉“﹣”和括号后，原括号内的“﹣xy”没有变号　 ． 任务2：请直接写出该整式正确的化简结果，并计算当时该整式的值． 【分析】（1）合并同类项时，只对同类项的系数进行加减计算，字母和字母的指数保持不变，据此求解即可； （2）任务1：第一步把括号前面的系数放进括号里面时，xy的系数没有乘以3，据此可得答案； 任务2：先去括号，然后合并同类项化简，再代值计算即可得到答案． 【解答】解：（1）原式＝2a﹣5a+3b﹣b ＝﹣3a+2b； （2）任务1：以上化简步骤中，第②步开始出现错误，具体错误是﹣（5x﹣xy）的括号前是“﹣”，去掉“﹣”和括号后，原括号内的“﹣xy”没有变号． 故答案为：②；﹣（5x﹣xy）的括号前是“﹣”，去掉“﹣”和括号后，原括号内的“﹣xy”没有变号； 任务2：原式＝（2x﹣2xy）﹣（5x﹣xy） ＝2x﹣2xy﹣5x+xy ＝﹣3x﹣xy； 当时， 原式． 22．（2025秋•岳塘区期中）关于a的多项式ma2+3a﹣1与﹣4a2+（n﹣1）a﹣1的和不含a2和a． （1）求m，n的值； （2）求（4m2n﹣3mn2）﹣2（m2n+mn2）的值． 【分析】（1）根据整式的加减计算法则求出两个多项式的和，再根据不含a2和a项进行求解即可； （2）先根据整式的加减计算法则化简，然后代入值计算即可． 【解答】解：（1）原式＝ma2+3a﹣1﹣4a2+na﹣a﹣1＝（m﹣4）a2+（3+n﹣1）a﹣2， ∵a的多项式ma2+3a﹣1与﹣4a2+（n﹣1）a﹣1的和不含a2和a， ∴m﹣4＝0，3+n﹣1＝0， 解得：m＝4，n＝﹣2； （2）原式＝4m2n﹣3mn2﹣2m2n﹣2mn2＝2m2n﹣5mn2， 当m＝4，n＝﹣2时， 原式＝2×42×（﹣2）﹣5×4×（﹣2）2＝﹣144． 23．（2025春•招远市期中）小明在计算代数式的值时，发现当x＝2022和x＝2023时，他们的值是相等的．小明的发现正确吗？说明你的理由． 【分析】根据去括号、合并同类项的法则将代数式化简后可知答案． 【解答】解：小明的发现是正确的． 理由：， 由计算可知：结果与x的取值无关，所以小明的发现是正确的． 24．（2025秋•龙州县校级月考）已知某长方形的长为（a+b）cm，它的宽比长短（a﹣b）cm，求这个长方形的周长与面积． 【分析】由于宽比长短（a﹣b）cm，则宽为（a+b）﹣（a﹣b）＝2b，长方形的周长＝2×（长+宽），面积＝长×宽，将长和宽分别代入求出这个长方形的周长和面积即可． 【解答】解：由题意可得： 这个长方形的宽为（a+b）﹣（a﹣b）＝2b（cm）， 长方形的周长为2（a+b+2b）＝2a+6b（cm）， 长方形的面积为（a+b）×2b＝2ab+2b2（cm2）． 25．（25-26七年级上·河北张家口·期中）规定：如果两个数的和等于这两个数积的一半，则称这两个数为和谐数，其和的值称为和谐值，例如：，与是和谐数，和谐值为． (1)下列几组数是和谐数且和谐值小于0的有___________（填序号） ①3，6       ②，2     ③2，0   ④ (2)已知是和谐数，求代数式的值． 【分析】本题考查了有理数的运算，整式的加减法，熟练掌握以上知识点并读懂题意是解题的关键． （1）根据题意对每组数进行判断即可； （2）根据题意，可知，那么，然后将原式整理为，然后代入即可计算出答案． 【详解】（1）解：， 与是和谐数，和谐值为； ，，， 与2不是和谐数； ，， 与0不是和谐数； ，， 与是和谐数，其和谐值为； 故选：④； （2）解：已知是和谐数， ， ， 原式 ． 26．（25-26八年级上·全国·课后作业）定义：若，则称与是关于1的单位数． (1)3与______是关于1的单位数，与______（填一个含的式子）是关于1的单位数； (2)若，，判断与是否是关于1的单位数，并说明理由． 【分析】本题考查整式的运算，熟练掌握相关运算法则，正确的计算是解题的关键： （1）根据新定义，进行求解即可； （2）求出的值，进行判断即可． 【详解】（1）解：∵或， ∴3与4或2是关于1的单位数； ∵，， ∴与或是关于1的单位数， 故答案为：4或2；或； （2）解： ； 故与是关于1的单位数． 27．（2025春•鄄城县期中）阅读下列文字，并解决问题． 已知x2y＝3，求2xy（x5y2﹣3x3y﹣4x）的值． 分析：考虑到满足x2y＝3的x、y的可能值较多，不可以逐一代入求解，故考虑整体思想，将x2y＝3整体代入． 解：2xy（x5y2﹣3x3y﹣4x）＝2x6y3﹣6x4y2﹣8x2y＝2（x2y）3﹣6（x2y）2﹣8x2y＝2×33﹣6×32﹣8×3＝﹣24． 请你用上述方法解决问题：已知ab＝3，求（2a3b2﹣3a2b+4a）•（﹣2b）的值． 【分析】根据单项式乘多项式，可得一个多项式，根据把已知代入，可得答案． 【解答】解：（2a3b2﹣3a2b+4a）•（﹣2b） ＝﹣4a3b3+6a2b2﹣8ab ＝﹣4×（ab）3+6（ab）2﹣8ab ＝﹣4×33+6×32﹣8×3 ＝﹣108+54﹣24 ＝﹣78． 28．（2025春•宿城区校级期末）如图，一个小长方形的长为m+n，宽为m，把6个大小相同的小长方形放入到大长方形内． （1）大长方形的长a＝　4m+n ，宽b＝　2m+n ．（用含m，n的式子表示） （2）求在大长方形中，阴影部分的面积．（用含m，n的式子表示） （3）设大长方形的面积为S1，大长方形内阴影部分的面积为S2，若S1＝4S2，求m与n的数量关系． 【分析】（1）利用图形和整式的加减即可求解； （2）利用多项式乘法求得大长方形的面积，再利用大长方形的面积减去6个小长方形的面积即可求解； （3）表示出大长方形的面积和阴影部分的面积，然后结合S1＝4S2求解即可． 【解答】解：（1）大长方形的长a＝m+n+3m＝4m+n，宽b＝m+n+m＝2m+n； 故答案为：4m+n，2m+n； （2）阴影部分的面积： （4m+n）（2m+n）﹣6m（m+n） ＝8m2+4mn+2mn+n2﹣6m2﹣6mn， ＝2m2+n2， ∴阴影部分的面积为2m2+n2； （3），阴影部分的面积为2m2+n2，且S1＝4S2， ∴8m2+6mn+n2＝4（2m2+n2）＝8m2+4n2， 整理得：6mn＝3n2， 解得：n＝2m． 29．（2025春•寿阳县期中）如图1，有一长方形菜地，长比宽多20米．求菜地的面积． 老师在黑板上的板书：x（x+20）． （1）请根据老师的板书说出x的实际意义：　菜地的宽度　 ； （2）请用含x的多项式表示菜地的面积为：　（x2+20x）m2 ； （3）如图2，经测量菜地的长为120米．张老爹为了扩大菜地面积，向周围开垦荒地，已知四周开垦的菜地宽度均为a米，通过计算说明菜地开垦后的面积（结果用含a的多项式表示）； （4）当a＝2米时，求菜地开垦后的面积． 【分析】（1）根据题意x的实际意义是菜地的宽度即可得到答案； （2）根据题意即可列出关于x的方程； （3）由题意得，开垦后菜地的长为（120+2a）米，菜地的宽为（100+2a）米，即可求出答案； （4）把a＝2代入第（3）的结果即可求出答案． 【解答】解：（1）由题意得：x的实际意义是菜地的宽度； 故答案为：菜地的宽度． （2）设菜地的宽度为x，则长度为x+20， ∴菜地的面积为：x（x+20）＝x2+20x（m2）； 故答案为：（x2+20x）m2； （3）∵菜地的长为120米， ∴菜地的宽为100米， ∵四周开垦的菜地宽度均为a米， ∴开垦后菜地的长为（120+2a）米，菜地的宽为（100+2a）米， ∴开垦后菜地的面积为：（120+2a）（100+2a） ＝12000+240a+200a+4a2 ＝12000+440a+4a2． （4）由（3）得：开垦后菜地的面积为：12000+440a+4a2， 当a＝2时，原式＝12000+440×2+4×22 ＝12000+880+16 ＝12896． 30．已知等式x（ax3+x2+b）+3x﹣2c＝x3+5x+4恒成立，求a2+3b+2c的值． 【分析】x（ax3+x2+b）＝x•ax3+x•x2+bx，等式恒成立表示等号左右两边的多项式对应项系数相等． 【解答】解：根据题意，等式恒成立， ∵x（ax3+x2+b）+3x﹣2c＝x3+5x+4， ∴ax4+x3+（b+3）x﹣2c＝x3+5x+4． 比较系数，得， 解得． ∴a2+3b+2c ＝02+3×2+2×（﹣2） ＝2． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $