6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示、6.3.3平面向量加、减运算的坐标表示 课时达标-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

6.3.2　平面向量的正交分解及坐标表示 6.3.3　平面向量加、减运算的坐标表示 一．选择题 1.如果用i,j分别表示与x轴和y轴正方向相同的两个单位向量,且A(2,3),B(4,2),则可以表示为(　　) A.2i+3j B.4i+2j C.2i-j D.-2i+j 2.已知向量=(2,4),=(0,2),则=(　　) A.(-2,-2) B.(2,2) C.(1,1) D.(-1,-1) 3.(多选题)已知=(-2,4),则下列说法正确的是(　　) A.B点的坐标是(-2,4) B.若a=,则a=(-2,4) C.当B是原点时,A点的坐标是(-2,4) D.当A是原点时,B点的坐标是(-2,4) 4.已知四边形ABCD为平行四边形,其中A(5,-1),B(-1,7),C(1,2),则顶点D的坐标为(　　) A.(-7,0) B.(7,6) C.(6,7) D.(7,-6) 5.已知点A(1,1),B(2,4),将向量向右平移1个单位长度,再向下平移1个单位长度,所得向量的坐标是(　　) A.(2,0) B.(3,3) C.(1,3) D.(3,4) 6.对于向量m=(x1,y1),n=(x2,y2),定义m⊗n=(x1x2,y1y2).已知a=(2,-4),且a+b=a⊗b,那么向量b等于(　　) A. B. C. D. 7.(多选题)已知平行四边形三个顶点的坐标分别为(-1,0),(3,0),(1,-5),则下列点的坐标可以成为第四个顶点的坐标的是(　　) A.(1,5) B.(-3,-5) C.(5,-5) D.(3,-5) 8.设与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量分别为i,j,取{i,j}作为基底,设a=(x2+x+1)i-(x2-x+1)j(x∈R),则向量a对应的坐标位于(　　) A.第一、二象限 B.第二、三象限 C.第三象限 D.第四象限 二．填空题 9.如图,在▱ABCD中,AC为一条对角线,若=(2,4),=(1,3),则=　　　　　. 10.作用于原点的两个力F1=(1,1),F2=(2,3),为使它们平衡,需F3=　　　　　. 11.已知点A(3,-4)与B(-1,2),点P在直线AB上,且||=||,则点P的坐标为　　　　　.  12.已知点A(1,1),B,且=(sinα,cosβ),α,β∈,则α+β=　　　　　.  13.已知O是坐标原点,点A在第二象限,||=2,∠xOA=150°,则向量的坐标为　　　　　.  14.若向量a=(2x-1,x2+3x-3)与相等,已知A(1,3),B(2,4),x=　　　,a=　　　. 三．解答题 15.在平面直角坐标系中,向量a,b,c的方向如图所示,且|a|=2,|b|=3,|c|=4,分别求出它们的坐标. 16.已知边长为2的正三角形ABC,顶点A在坐标原点,AB边在x轴上,C在第一象限,D为AC的中点,分别求向量的坐标. 17.已知点A(-1,2),B(2,8)及=-,求点C,D和的坐标. 18.已知点O(0,0),A(1,2). (1)若B(3t+1,3t+2),,则t为何值时,点P在x轴上?点P在y轴上?点P在第二象限? (2)若点B(4,5),P(1+3t,2+3t),则四边形OABP能为平行四边形吗?若能,求出t的值;若不能,请说明理由. 6.3.2　平面向量的正交分解及坐标表示 6.3.3　平面向量加、减运算的坐标表示 一．选择题 1.C 解析:记O为坐标原点,则=2i+3j,=4i+2j,故=2i-j. 2.A 解析:=(-2,-2). 3.BD 解析:当向量起点与原点重合时,向量坐标与向量终点坐标相同,故A,C错误,D正确;因为相等的向量坐标相等,故B正确. 4.D 解析:因为四边形ABCD为平行四边形, 所以. 设D(x,y),则有(-1-5,7+1)=(1-x,2-y), 即解得 因此点D的坐标为(7,-6). 5.C 解析:∵点A(1,1),B(2,4),∴=(1,3). ∵将向量向右平移1个单位长度,再向下平移1个单位长度后,向量的大小和方向没有变化,∴=(1,3).故选C. 6 A 解析:设b=(x,y),由新定义及a+b=a⊗b,可得(2+x,y-4)=(2x,-4y),所以解得所以向量b=. 7.ABC 解析:设A(-1,0),B(3,0),C(1,-5),第四个顶点为D,若这个平行四边形为▱ABCD, 则,∴D(-3,-5); 若这个平行四边形为▱ACDB, 则,∴D(5,-5); 若这个平行四边形为▱ACBD, 则,∴D(1,5). 综上所述,点D的坐标为(1,5)或(5,-5)或(-3,-5).故选ABC. 8.D 解析:因为x2+x+1=>0, x2-x+1=>0, 所以向量a对应的坐标位于第四象限. 二．填空题 9.(-3,-5) 解析:=(1,3)-(2,4)=(-1,-1), =(-1,-1)-(2,4)=(-3,-5). 10.(-3,-4) 解析:由题意可知F1+F2+F3=0, 故F3=-F1-F2=-(1,1)-(2,3)=(-3,-4). 11.(1,-1) 解析:设点P的坐标为(x,y). 由题意知,当点P在线段AB上时,. ∴(x-3,y+4)=(-1-x,2-y), ∴解得 ∴点P的坐标为(1,-1); 当P在线段AB延长线上时,=-, ∴(x-3,y+4)=-(-1-x,2-y), ∴方程无解. 综上所述,点P的坐标为(1,-1). 12.或- 解析:因为=(sin α,cos β), 所以sin α=-,cos β=. 又因为α,β∈, 所以α=-,β=或-, 所以α+β=或-. 13.(-,1) 解析:设=(m,n), 则m=||cos 150°=2×=-, n=||sin 150°=2×=1, 故的坐标为(-,1). 14.1　(1,1) 解析:∵=(2,4)-(1,3)=(1,1), 又=a=(2x-1,x2+3x-3), ∴解得x=1,∴a=(1,1). 三．解答题 15. 解:设a=(a1,a2),b=(b1,b2),c=(c1,c2),则a1=|a|cos 45°=2×,a2=|a|sin 45°=2×,b1=|b|cos 120°=3×=-,b2=|b|sin 120°=3×,c1=|c|cos(-30°)=4×=2,c2=|c|sin(-30°)=4×=-2. 故a=(),b=,c=(2,-2). 16. 解:∵正三角形ABC的边长为2, ∴A(0,0),B(2,0),C(2cos 60°,2sin 60°),即C(1,). 又D为AC的中点,∴D, ∴=(2,0),=(1,),=(1-2,-0)=(-1,),==. 17. 解:设点C(x1,y1),D(x2,y2), 由题意可得=(x1+1,y1-2),=(3,6), =(-1-x2,2-y2),=(-3,-6). ∵=-, ∴(x1+1,y1-2)=(3,6),(-1-x2,2-y2)=(3,6), 由解得 由解得 ∴点C,D的坐标分别为(2,8)和(-4,-4), ∴=(-6,-12). 18. 解:(1)因为O(0,0),A(1,2),B(3t+1,3t+2), 所以=(3t,3t),所以=(1,2)+(3t,3t)=(1+3t,2+3t), 若点P在x轴上,则2+3t=0, 解得t=-; 若点P在y轴上,则1+3t=0, 解得t=-; 若点P在第二象限,则 解得-<t<-. (2)不能.理由如下: =(1,2),=(3-3t,3-3t). 若四边形OABP为平行四边形, 则,即该方程组无解. 故四边形OABP不能成为平行四边形. 学科网（北京）股份有限公司 $