20.2 勾股定理的逆定理及其应用-【名校作业】2025-2026学年八年级下册数学同步教案（人教版·新教材）

该教案聚焦勾股定理的逆定理核心知识点，通过复习勾股定理内容、计算不同直角边对应的斜边长度，再设问以这些边构成的三角形形状，搭建从勾股定理到逆定理的学习支架，衔接新旧知识脉络。 资料亮点在于注重直观验证与实际应用，通过绳子打结实验、几何画板画图培养数学眼光中的几何直观，例题与实际问题（如港口轮船方位、建房地基检验）训练推理意识和模型意识，帮助学生深化理解，为教师提供清晰教学路径，提升课堂效率。

17.2　勾股定理的逆定理 第1课时　勾股定理的逆定理 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 1.掌握勾股定理的逆定理，并会用它判断一个三角形是不是直角三角形.（重点） 2.勾股定理的逆定理的证明.（难点） 一、复习导入 1.勾股定理的内容是什么? 如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边为c,那么a2+b2=c2. 2.求以线段a、b为直角边的直角三角形的斜边c的长： ① a＝3，b＝4；② a＝2.5，b＝6；③ a＝4，b＝7.5. 3.分别以上述a、b、c为边的三角形的形状会是什么样的呢？ 二、课堂新授 知识点1：勾股定理的逆定理 动手验证： 具体做法：把一根绳子打上等距离的13个结，然后把第1个结和第13个结用木桩钉在一起，再分别用木桩把第４个结和第８个结钉牢（拉直绳子）.这时构成了一个三角形，其中有一个角是直角. 画图验证： （特别说明，上面画出的三角形都是用几何画板按比例画的，结果也都是直角三角形）. 发现结论：2.52+62=6.52，最长边6.5所对的角是直角；42+7.52=8.52，最长边8.5所对的角是直角 猜想 如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形. 验证 已知：如图，△ABC的三边长a，b，c，满足a2+b2=c2．求证：△ABC是直角三角形． 归纳总结 如果三角形的三边长a 、b 、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形. 特别说明：勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，即已知三角形的三边长，且满足两条较小边的平方和等于最长边的平方，即可判断此三角形为直角三角 ，最长边所对角为直角. 例1 下面以a,b,c为边长的三角形是不是直角三角形？如果是,那么哪一个角是直角？ （1） a=15，b=8，c=17；（2） a=13， b=14， c=15； （3） a=1，b=2，c=；（4） a:b: c=3:4:5. 归纳 根据勾股定理及其逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方. 知识点2：勾股数 勾股数：像15，20，25这样，能成为直角三角形三条边长的正整数，称为勾股数. 常见勾股数： 奇数类：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；等等 偶数类：4，3，5；6，8，10；8，15，17；10，24，26；等等 勾股数拓展性质：一组勾股数，都扩大相同倍数k，得到一组新数，这组数同样是勾股数. 知识点3：勾股定理逆定理的应用 例2 如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16nmile，“海天”号每小时航行12nmile，它们离开港口一个半小时后相距30nmile，且知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？ 三、巩固练习 1.小颖要求△ABC最长边上的高，测得AB=8,AC=6,BC=10,则可知最长边上的高是（ ） A. 5 B. 0.48 C. 4.8 D.48 2.一根24m的绳子，折成三边长为三个连续偶数的三角形，则三边长分别为 ，此三角形的形状为 . 35.如图，AB=5,AC=3,BC边上的中线AD=2,求△ABC的面积. 四、课堂小结 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．如果三角形的三边长a 、b 、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形. 五、布置作业 教材P35/37练习 名校作业P20~21 第2课时　勾股定理的逆定理的应用 第 3 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 1．进一步理解勾股定理的逆定理；（重点） 2．灵活运用勾股定理及逆定理解决实际问题．（难点） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 一、情境导入 某港口位于东西方向的海岸线上，“远望号”“海天号”两艘轮船同时离开港口，各自沿一固定的方向航行，“远望号”每小时航行16海里，“海天号”每小时航行12海里，它们离开港口1个半小时后相距30海里，如果知道“远望号”沿东北方向航行，能知道“海天号”沿哪个方向航行吗？ 二、合作探究 探究点：勾股定理的逆定理的应用 【类型一】 运用勾股定理的逆定理求角度 如图，已知点P是等边△ABC内一点，PA＝3，PB＝4，PC＝5，求∠APB的度数． 解析：将△BPC绕点B逆时针旋转60°得△BEA，连接EP，判断△APE为直角三角形，且∠APE＝90°，即可得到∠APB的度数． 解：∵△ABC为等边三角形，∴BA＝BC.可将△BPC绕点B逆时针旋转60°得△BEA，连EP，∴BE＝BP＝4，AE＝PC＝5，∠PBE＝60°，∴△BPE为等边三角形，∴PE＝PB＝4，∠BPE＝60°.在△AEP中，AE＝5，AP＝3，PE＝4，∴AE2＝PE2＋PA2，∴△APE为直角三角形，且∠APE＝90°，∴∠APB＝90°＋60°＝150°. 方法总结：本题考查了等边三角形的判定与性质以及勾股定理的逆定理．解决问题的关键是根据题意构造△APE为直角三角形． 【类型二】 运用勾股定理的逆定理求边长 在△ABC中，D为BC边上的点，AB＝13，AD＝12，CD＝9，AC＝15，求BD的长． 解析：根据勾股定理的逆定理可判断出△ACD为直角三角形，即∠ADC＝∠ADB＝90°.在Rt△ABD中利用勾股定理可得出BD的长度． 解：∵在△ADC中，AD＝12，CD＝9，AC＝15，∴AC2＝AD2＋CD2，∴△ADC是直角三角形，∠ADC＝∠ADB＝90°，∴△ADB是直角三角形．在Rt△ADB中，∵AD＝12，AB＝13，∴BD＝＝5，∴BD的长为5. 方法总结：解题时可先通过勾股定理的逆定理证明一个三角形是直角三角形，然后再进行转化，最后求解，这种方法常用在解有公共直角或两直角互为邻补角的两个直角三角形的图形中． 【类型三】 勾股定理逆定理的实际应用 如图，是一农民建房时挖地基的平面图，按标准应为长方形，他在挖完后测量了一下，发现AB＝DC＝8m，AD＝BC＝6m，AC＝9m，请你运用所学知识帮他检验一下挖的是否合格？ 解析：把实际问题转化成数学问题来解决，运用直角三角形的判别条件，验证它是否为直角三角形． 解：∵AB＝DC＝8m，AD＝BC＝6m，∴AB2＋BC2＝82＋62＝64＋36＝100.又∵AC2＝92＝81，∴AB2＋BC2≠AC2，∴∠ABC≠90°，∴该农民挖的不合格． 方法总结：解答此类问题，一般是根据已知的数据先运用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形，然后再作进一步解答． 【类型四】 运用勾股定理的逆定理解决方位角问题 如图，南北向MN为我国领海线，即MN以西为我国领海，以东为公海，上午9时50分，我国反走私A艇发现正东方有一走私艇以13海里/时的速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在MN线上巡逻的我国反走私艇B密切注意．反走私艇A和走私艇C的距离是13海里，A、B两艇的距离是5海里；反走私艇B测得距离C艇12海里，若走私艇C的速度不变，最早会在什么时候进入我国领海？ 解析：已知走私船的速度，求出走私船所走的路程即可得出走私船所用的时间，即可得出走私船何时能进入我国领海．解题的关键是得出走私船所走的路程，根据题意，CE即为走私船所走的路程．由题意可知，△ABE和△ABC均为直角三角形，可分别解这两个直角三角形即可得出． 解：设MN与AC相交于E，则∠BEC＝90°.∵AB2＋BC2＝52＋122＝132＝AC2，∴△ABC为直角三角形，且∠ABC＝90°.∵MN⊥CE，∴走私艇C进入我国领海的最短距离是CE.由S△ABC＝AB·BC＝AC·BE，得BE＝海里．由CE2＋BE2＝122，得CE＝海里，∴÷13＝≈0.85（小时）＝51（分钟），9时50分＋51分＝10时41分． 答：走私艇C最早在10时41分进入我国领海． 方法总结：用数学几何知识解决实际问题的关键是建立合适的数学模型，注意提炼题干中的有效信息，并转化成数学语言． 三、板书设计 1．利用勾股定理逆定理求角的度数 2．利用勾股定理逆定理求线段的长 3．利用勾股定理逆定理解决实际问题 在本节课的教学活动中，尽量给学生充足的时间和空间，让学生以平等的身份参与到学习活动中去，教师要帮助、指导学生进行实践活动，这样既锻炼了学生的实践、观察能力，又在教学中渗透了人文和探究精神，体现了“数学源于生活、寓于生活、用于生活”的教育思想． $