20.2 勾股定理的逆定理及其应用-【名校作业】2025-2026学年八年级下册数学同步教案（人教版·新教材）

17.2　勾股定理的逆定理

第1课时　勾股定理的逆定理

1.掌握勾股定理的逆定理，并会用它判断一个三角形是不是直角三角形.（重点）

2.勾股定理的逆定理的证明.（难点）

一、复习导入

1.勾股定理的内容是什么?

如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边为c,那么a2+b2=c2.

2.求以线段a、b为直角边的直角三角形的斜边c的长：

① a＝3，b＝4；② a＝2.5，b＝6；③ a＝4，b＝7.5.

3.分别以上述a、b、c为边的三角形的形状会是什么样的呢？

二、课堂新授

知识点1：勾股定理的逆定理

动手验证：

具体做法：把一根绳子打上等距离的13个结，然后把第1个结和第13个结用木桩钉在一起，再分别用木桩把第４个结和第８个结钉牢（拉直绳子）.这时构成了一个三角形，其中有一个角是直角.

画图验证：

（特别说明，上面画出的三角形都是用几何画板按比例画的，结果也都是直角三角形）.

发现结论：2.52+62=6.52，最长边6.5所对的角是直角；42+7.52=8.52，最长边8.5所对的角是直角

猜想  如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.

验证  已知：如图，△ABC的三边长a，b，c，满足a2+b2=c2．求证：△ABC是直角三角形．

归纳总结   如果三角形的三边长a 、b 、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.

特别说明：勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，即已知三角形的三边长，且满足两条较小边的平方和等于最长边的平方，即可判断此三角形为直角三角 ，最长边所对角为直角.

例1 下面以a,b,c为边长的三角形是不是直角三角形？如果是,那么哪一个角是直角？

（1） a=15，b=8，c=17；（2） a=13， b=14， c=15；

（3） a=1，b=2，c=；（4） a:b: c=3:4:5.

归纳  根据勾股定理及其逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方.

知识点2：勾股数

勾股数：像15，20，25这样，能成为直角三角形三条边长的正整数，称为勾股数.

常见勾股数：

奇数类：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；等等

偶数类：4，3，5；6，8，10；8，15，17；10，24，26；等等

勾股数拓展性质：一组勾股数，都扩大相同倍数k，得到一组新数，这组数同样是勾股数.

知识点3：勾股定理逆定理的应用

例2  如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16nmile，“海天”号每小时航行12nmile，它们离开港口一个半小时后相距30nmile，且知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？

三、巩固练习

1.小颖要求△ABC最长边上的高，测得AB=8,AC=6,BC=10,则可知最长边上的高是（     ）

A. 5      B. 0.48         C. 4.8        D.48

2.一根24m的绳子，折成三边长为三个连续偶数的三角形，则三边长分别为             ，此三角形的形状为                .

35.如图，AB=5,AC=3,BC边上的中线AD=2,求△ABC的面积.

四、课堂小结

勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．如果三角形的三边长a 、b 、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.

五、布置作业

教材P35/37练习

名校作业P20~21

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

第2课时　勾股定理的逆定理的应用