第6章 1 平行四边形的性质（第2课时）-【名校作业】2025-2026学年八年级下册数学同步教案（北师大版·新教材）

该教案聚焦平行四边形对角线性质这一核心知识点，通过“老人分地是否合理”的现实问题导入，承接已学的边角性质，以“猜一猜、量一量、证一证”为学习支架，引导学生从观察到推理，构建完整知识脉络。 该资料以探究活动为特色，通过“猜-量-证”培养数学思维中的推理意识，结合直线旋转的议一议变式发展几何直观（数学眼光），规范应用格式强化数学语言表达。实例丰富如性质证明与变式训练，提升学生推理计算能力，为教师提供结构化教学流程，助力高效课堂。

1 平行四边形的性质 第2课时 平行四边形的性质（第2课时） 教学目标 1.探索并掌握平行四边形对角线的性质. 2.灵活运用平行四边形的性质进行推理和计算. 教学重难点 灵活运用平行四边形的性质进行推理和计算. 教学过程 一、导入新知 思考：同学们,老人这样分地合理吗？ 二、课堂新授 知识点 平行四边形的对角线的性质 思考：我们知道平行四边形的边角这两个基本要素的性质，那么平行四边形的对角线又具有怎样的性质呢? 如图，在平行四边形ABCD中，连接AC,BD,并设它们相交于点O. 猜一猜：OA与OC,OB与OD有什么关系? 量一量：拿出手中的平行四边形纸片，测量出四条线段的长度，验证你的猜想是否正确? 证一证：已知：如图： ▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O. 求证：OA=OC，OB=OD. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴ AD=BC，AD∥BC. ∴ ∠1=∠2，∠3=∠4. ∴ △AOD≌△COB（ASA）. ∴ OA=OC，OB=OD. 结论：平行四边形的性质 平行四边形的对角线互相平分. 应用格式 ∵□ ABCD的对角线AC，BD相交于点O， ∴OA=OC，OB=OD. 重要结论： （1）△ABO≌ △CDO，△AOD ≌ △COB，△ ABD ≌ △CDB，△ ABC ≌ △CDA ； （2）△ABO, △AOD, △DOC, △COB的面积相等，且都等于平行四边形面积的四分之一. 素养考点1 平行四边形的对角线互相平分 如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，过点O的直线与AD，BC分别相交于点E,F，求证：OE=OF. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴ DO=BO，AD∥BC. ∴ ∠ODE=∠OBF. ∵ ∠DOE=∠BOF， ∴ △DOE≌△BOF（ASA）. ∴ OE=OF. 方法总结 平行四边形对角线的性质 平行四边形的两条对角线交于一点,这个点是平行四边形的中心,也是两条对角线的中点,平行四边形被对角线分成的四部分的面积相等,并且经过中心的任意一条直线可将平行四边形分成完全重合的两个图形. 议一议： 在上述问题中，若直线EF与边DA,BC的延长线交于点E,F，（如图2），上述结论是否仍然成立？试说明理由． 议一议：在上述问题中，若将直线EF绕点O旋转至下图（3）的位置时，上述结论是否仍然成立？ 结论：过平行四边形的对角线交点作直线与平行四边形的一组对边或对边的延长线相交，得到的线段总相等，且这条直线二等分平行四边形的面积． 变式训练 1.已知:如图,平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,过点O的直线分别与AD,BC相交于点E,F,求证:AE=CF. 2.已知平行四边形一边是10 cm,两条对角线长分别是x cm,y cm,则x,y的取值可能是(　 　) A.8,12 B.4,24 C.8,18 D.6,14 素养考点2 综合应用平行四边形的性质 例2 如图,在□ABCD中,分别以边BC,CD作等腰△BCF,△CDE,使BC=BF，CD=DE，∠CBF=∠CDE，连接AF，AE. (1)求证:△ABF≌△EDA. (2)延长AB与CF相交于G.若AF⊥AE,求证:BF⊥BC. 证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AB=CD,AD=BC,∠ABC=∠ADC, ∵BC=BF,CD=DE,∴BF=AD,AB=DE, ∵∠ADE+∠ADC+∠EDC=360°,∠ABF+∠ABC+∠CBF=360°, ∠EDC=∠CBF, ∴∠ADE=∠ABF, ∴△ABF≌△EDA. (2)延长FB交AD于H. ∵AE⊥AF,∴∠EAF=90°. ∵△ABF≌△EDA,∴∠EAD=∠AFB. ∵∠EAD+∠FAH=90°,∴∠FAH+∠AFB=90°, ∴∠AHF=90°,即FB⊥AD. ∵AD∥BC,∴FB⊥BC. 方法总结 平行四边形性质的应用 变式训练 1.如图,在▱ABCD中,全等三角形的对数共有 (　 　) A.2对 B.3对 C.4对 D.5对 2.如图,在▱ABCD中,∠DAB的平分线交CD于点E,交BC的延长线于点G,∠ABC的平分线交CD于点F,交AD的延长线于点H,AG与BH交于点O,连接BE,下列结论错误的是(　 　) A.BO=OH B.DF=CE C.DH=CG D.AB=AE 例3 如图，平行四边形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O，AB⊥AC，AB=3，AD=5，求BD的长. 解：∵四边形ABCD是平行四边形,∴BC=AD=5.∵AB⊥AC, ∴△ABC是直角三角形. ∴AC===4，AO=C=2. ∴BO===. ∴BD=2BO=2. 变式训练 如图，平行四边形ABCD 的两条对角线AC,BD相交于点O，过点O的直线与AD,BC分别相交于点E,F，已知平行四边形 ABCD 的面积是12cm2,则图中阴影部分的面积是 . 三、巩固练习 基础巩固题 1. 平行四边形具有而一般四边形不具有的特征是（　　 ） A.不稳定性 B.对角线互相平分 C.内角的为360度 D.外角和为360度 2.如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=5,BC=12,点D在BC上,以AC为对角线的所有平行四边形ADCE中,DE的最小值是______.  3.如图,▱ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,OE⊥BD交AD于点E,连接BE,若▱ABCD的周长为28,则△ABE的周长为(　 　) A.28 B.24 C.21 D.14 4.如图,▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O,AE⊥BC,垂足为点E,AB=,AC=2,BD=4,则AE=______. 5.如图,▱ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E,F在AC上,且AF=CE.求证:BE=DF. 能力提升题 1.如图,在▱ABCD中,E为边CD上一点,将△ADE沿AE折叠至△AD′E处,AD′与CE交于点F.若∠B=52°,∠DAE=20°,求∠FED′的大小. 2.如图,在▱ABCD中,E为边AD上的一点,将△DEC沿CE折叠至△D′EC处,若∠B=48°,∠ECD=25°,求∠D′EA的度数. 拓广探索题 平行四边形ABCD的周长为56 cm,对角线AC,BD交于点O,△ABO与△BCO的周长相差4 cm,则AD=　　　　cm.  四、课堂小结 学科网（北京）股份有限公司 $