第1章 2 等腰三角形（第3课时）-【名校作业】2025-2026学年八年级下册数学同步教案（北师大版·新教材）

该教案聚焦等边三角形的判定定理及含30°角直角三角形的性质，通过观察图片和回顾等腰三角形判定导入，搭建新旧知识联系的学习支架。 亮点在于以问题链引导推理证明，如分步验证等边三角形的三种判定方法，结合拼图操作探究含30°角直角三角形性质，培养数学思维与几何直观，例题变式训练提升应用意识，助力教师高效教学，学生逻辑推理与解决问题能力提升。

2 等腰三角形 第 3 课时 等边三角形的判定 教学目标 1.能用所学的知识证明等边三角形的判定定理. 2.掌握含30°角的直角三角形的性质并解决有关问题. 教学重难点 1.能用所学的知识证明等边三角形的判定定理. 2.掌握含30°角的直角三角形的性质并解决有关问题. 教学过程 一、导入新知 观察下面图片，说说它们都是由什么图形组成的？ 思考：上节课我们学习了等腰三角形的判定定理，那等边三角形的判定定理是什么呢？ 二、课堂新授 知识点1 等边三角形的判定 思考： （1）等边三角形有哪些性质？ （2） 一个三角形满足什么条件时是等边三角形？ （3）一个等腰三角形满足什么条件时是等边三角形? 证明：三个角都相等的三角形是等边三角形. 已知：如图，∠A= ∠ B=∠C. 求证： AB=AC=BC. 证明：∵ ∠A= ∠B, ∴ AC=BC. ∵ ∠B=∠C, ∴ AB=AC. ∴AB=AC=BC. 证明：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 已知： 若AB=AC, ∠A=60°. 求证： AB=AC=BC. 证明：∵AB=AC , ∠A= 60 °， ∴∠B＝∠C＝ (180°－∠A)÷2= 60°. ∴∠A= ∠ B=∠C. ∴AB=AC=BC. 第二种情况：有一个底角是60°. 已知:如图,在△ABC中，AB=AC,∠B=60°． 求证:△ABC是等边三角形． 证明:∵AB=AC,∠B=60°(已知), ∴∠C=∠B=60°(等边对等角)， ∴∠A=60°(三角形内角和定理)． ∴∠A=∠B =∠C=60°． ∴△ABC是等边三角形(三个角都相等的三角形是等边三角形). 等边三角形的判定方法： 1.定义：三条边都相等的三角形是等边三角形. 推导过程：∵AB＝BC＝CA，∴ △ABC是等边三角形. 2.定理：三个角都相等的三角形是等边三角形. 推导过程：∵∠A＝ ∠ B＝ ∠ C，∴ △ABC是等边三角形. 3.定理：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形． 推导过程：∵AB＝AC，∠A＝ 60°，∴ △ABC等边三角形. 归纳总结：等边三角形 性质 判定的条件 三条边都相等 三条边都相等的三角形是等边三角形 等边三角形三个内角都相等，且每个角都是60° 三个角都相等的三角形是等边三角形 “三线合一”,即等腰三角形顶角平分线，底边上的中线、高线互相重合 有一角是60°的等腰三角形是等边三角形 素养考点 等边三角形的判定 如图,在等边△ABC中,∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O,且OD∥AB,OE∥AC. (1)试判定△ODE的形状,并说明你的理由. 解： △ODE是等边三角形. 理由：∵△ABC是等边三角形,∴∠ABC=∠ACB=60°, ∵OD∥AB,OE∥AC, ∴∠ODE=∠ABC=60°,∠OED=∠ACB=60°, ∴△ODE是等边三角形. (2)线段BD,DE,EC三者有什么关系?写出你的判断过程. 解：BD=DE=EC. 理由:∵OB平分∠ABC,且∠ABC=60°, ∴∠ABO=∠OBD=30°, ∵OD∥AB,∴∠BOD=∠ABO=30°, ∴∠DBO=∠DOB,∴DB=DO,同理,EC=EO, ∵DE=OD=OE,∴BD=DE=EC. 方法总结 选用等边三角形判定方法的技巧 (1)如果已知三边关系,则选用等边三角形定义来判定. (2)若已知三角关系,则选用三角相等的三角形是等边三角形来判定. (3)若已知是等腰三角形,则选用有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形来判定. 变式训练 1.在△ABC中，∠A=60°，要使△ABC是等边三角形，则需添加的一个条件是 . 2.如图,在等边三角形ABC中，DE∥BC,求证：△ADE是等边三角形. 证明：∵ △ABC是等边三角形， ∴ ∠A= ∠B= ∠C. ∵ DE//BC,∴ ∠ADE= ∠B, ∠ AED= ∠C. ∴ ∠A= ∠ADE= ∠ AED. ∴ △ADE是等边三角形. 上题中,若将条件DE∥BC改为AD=AE, △ADE还是等边三角形吗?试说明理由. 如图，在等边三角形ABC中，AD=AE,求证：△ADE是等边三角形. 证明：∵ △ABC是等边三角形，∴ ∠A= ∠B= ∠C=60°. ∵ AD=AE,∴ △ADE是等腰三角形. 又∵ ∠A=60°. ∴ △ADE是等边三角形. 知识点2 含30°角的直角三角形的性质 操作:用两个含有30°角的三角板，你能拼成一个怎样的三角形？能拼出一个等边三角形吗 ? 猜想：在直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系? 证明猜想：在直角三角形中, 30°角所对的直角边等于斜边的一半. 已知:如图,在△ABC中,∠ACB=90°，∠A=30°. 求证:BC=AB. 分析：证明“线段的倍、分”问题→“线段相等”问题 证明: 延长BC至D,使CD=BC,连接AD， ∵ ∠ACB=90° (已知)， ∴∠ACD=90°， 在△ABC与△ADC中，BC=DC（作图），∠ACB=∠ACD（已证），AC=AC（公共边）， ∴△ABC≌△ADC（SAS），∴ AB=AD. ∵∠ACB=90°,∠BAC=30° (已知) ， ∴∠B=60°， ∴△ABD是等边三角形，∴BC=BD=AB． 定理 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 推导过程：Rt△ABC中 ∵∠A＝30°，∴ BC＝AB. 素养考点 含30°角的直角三角形的性质 求证：如果等腰三角形的底角为15°，那么腰上的高是腰长的一半. 已知：如图，在△ABC中，AB=AC,∠B=15°, CD是腰AB上的高. 求证：CD=AB. 证明：∵AB=AC,∠B=15°, ∴∠B=∠ACB=15°， ∴∠DAC=∠B+∠ACB= 15°+15°=30°， ∵∠ADC=90°，∴CD=AC=AB． 变式训练 如图,在△ABC中,∠B=∠C=60°,点D在AB边上,DE⊥AB,并与AC边交于点E.如果AD=1,BC=6,那么CE等于 (　　) A.5 B.4 C.3 D.2 解析：∵在△ABC中,∠B=∠C=60°, ∴∠A=60°, ∴△ABC是等边三角形. ∵DE⊥AB,∴∠AED=30°, ∵AD=1,∴AE=2, ∵BC=6,∴AC=BC=6, ∴CE=AC-AE=6-2=4. 方法总结 含30°角的直角三角形的性质是表示线段倍分关系的一个重要的依据,如果问题中出现探究线段倍分关系的结论时,要联想此性质. 三、巩固练习 基础巩固题 1.下列条件中,不能得到等边三角形的是 (　 　) A.有两个内角是60°的三角形 B.三边都相等的三角形 C.有一个角是60°的等腰三角形 D.有两个外角相等的等腰三角形 2. 三角形三边长分别为a，b，c,它们满足(a-b)2+|b-c|=0,则该三角形是 (　 　) A.等腰三角形 B.直角三角形　 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 3.如图,在正方体的两个面上画了两条对角线AB,AC,则∠BAC等于(　 　) A.60° B.75° C.90° D.135° 4.在△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，AB＝3，则AC=_____，BC=_______． 5.在△ABC中,AB=AC=10 cm，BD是高，且∠ABD=30°，则CD=________________. 能力提升题 1.已知:如图,在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，CD⊥AB于D．求证:BD=AB. 证明：∵∠A=30°，CD⊥AB，∠ACB=90° ∴BC=AB，∠B=60°，∴∠BCD=30°. ∴BD=CB.∴BD=AB. 2.如图,AD∥BC,BD平分∠ABC,∠A=120°,∠C=60°,CD=4 cm,求BC的长. 证明:∵AD∥BC,∠A=120°,∴∠A+∠ABC=180°. 即∠ABC=180°-∠A=180°-120°=60°, ∴∠ABD=∠DBC=30°. 又∵∠C=60°,∴△BDC是直角三角形(∠BDC=90°). 又∵CD=4 cm，∴BC=2CD=2×4=8(cm). 拓广探索题 如图，△ABC是等边三角形,点D,E,F分别在BC,AB,CA边延长线上,且BE=AF=CD.求证:△DEF是等边三角形. 证明：∵△ABC为等边三角形, ∴∠BAC=∠ABC=60°,AB=AC=BC, ∴∠EAF=∠EBD=120°, ∵BE=CD,∴BE+AB=BC+CD,即AE=BD. 在△AEF和△BDE中, BE=AF，∠EBD=∠EAF，BD=AE. ∴△AEF≌△BDE(SAS),∴EF=ED, 同理可得△AEF≌△CFD, ∴EF=FD,∴EF=ED=FD, ∴△DEF为等边三角形. 四、课堂小结 学科网（北京）股份有限公司 $