第1章 2 等腰三角形（第2课时）-【名校作业】2025-2026学年八年级下册数学同步教案（北师大版·新教材）

该教案聚焦等腰三角形的判定定理（等角对等边）及反证法，通过回顾等腰三角形性质，提出“等边对等角”逆命题，引导学生测量猜想，搭建从性质到判定的知识支架。 以海上救生船情景抽象数学模型培养数学眼光，反证法步骤教学发展推理思维，变式与分层练习提升应用能力。助力学生逻辑推理与创新意识，为教师提供清晰教学路径，提升课堂效率。

2 等腰三角形 第 2 课时 等腰三角形的判定 教学目标 1.掌握等腰三角形的判定定理及其运用. 2.理解并掌握反证法的思想，能够运用反证法进行证明. 教学重难点 重点：掌握等腰三角形的判定定理及其运用. 难点：理解并掌握反证法的思想，能够运用反证法进行证明. 教学过程 一、导入新知 1、问题1：等腰三角形有哪些性质定理及推论？ 等腰三角形的两底角相等(简写成“等边对等角”)． 等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(简写成 ‘‘三线合一”) 问题2：等腰三角形的“等边对等角”的题设和结论分别是什么？ 它的逆命题成立吗？ 题设：一个三角形是等腰三角形 结论：相等的两边所对应的角相等 2、思考：如图，在△ABC中，如果∠B=∠C，那么AB与AC之间有什么关系吗？ 测量后发现AB与AC相等. 二、课堂新授 知识点1 等腰三角形的判定 等腰三角形性质定理：______________. 思考：我们把性质定理的条件和结论反过来还成立吗？ 即：如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形吗？ 情景探究 位于海上B、C两处的两艘救生船接到A处遇险船只的报警，当时测得∠B=∠C.如果这两艘救生船以同样的速度同时出发，能不能同时赶到出事地点（不考虑风浪因素）？ 建立数学模型： 已知：如图，在△ABC中, ∠B=∠C,那么它们所对的边AB和AC有什么数量关系? 做一做：画一个△ABC，其中∠B=∠C=30°. 请你量一量AB与AC的长度，它们之间有什么数量关系，你能得出什么结论？你能验证你的结论吗？ 猜想证明：有两个角相等的三角形是等腰三角形. 已知：如图, 在△ABC中, ∠B=∠C． 求证：AB=AC. 证明：过点A作AD平分∠BAC交BC于点D. 在△ABD和△ACD中，∠1=∠2，∠B=∠C，AD=AD， ∴ △ABD ≌ △ACD（AAS）. ∴AB=AC. 结论：有两个角相等的三角形是等腰三角形.简述为：“等角对等边” 应用格式： 在△ABC中，∵∠B=∠C,∴AB=AC(等角对等边). 辨一辨：如图,下列推理正确吗? ∵∠1=∠2 , ∴ BD=DC（等角对等边）. ∵∠1=∠2,∴ DC=BC（等角对等边）. 错，因为都不是在同一个三角形中. 素养考点 等腰三角形的判定 已知：如图，AB=DC,BD=CA,BD与CA相交于点E. 求证：△AED是等腰三角形. 证明：∵AB=DC,BD=CA,AD=DA, ∴△ABD≌△DCA(SSS), ∴∠ADB=∠DAC(全等三角形的对应角相等）, ∴AE=DE(等角对等边）, ∴ △AED是等腰三角形. 变式训练 1.如图所示,已知OC平分∠AOB,CD∥OB,若OD=4 cm,则CD等于 (　 　) A.3 cm　　 　 B.4 cm C.1.5 cm D.2 cm 2.如图,在△ABC中,D,E分别是AC,AB上的点,BD与CE相交于点O,给出四个条件: ①OB=OC;②∠EBO=∠DCO;③∠BEO=∠CDO;④BE=CD. 上述四个条件中,选择两个可以判定△ABC是等腰三角形的方法有(　 　) A.2种 B.3种 C.4种 D.6种 知识点2 反证法 想一想：小明说，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等．你认为这个结论成立吗?如果成立，你能证明它吗? 即在△ABC中, 如果∠B≠∠C,那么AB≠AC. 小明是这样想的:如图,在△ABC中,已知∠B≠∠C,此时, AB与AC要么相等,要么不相等. 假设AB=AC, 那么根据“等边对等角”定理可得∠B=∠C, 但已知条件是 ∠B≠∠C，“∠B=∠C”与“∠B≠∠C”相矛盾，因此AB≠AC. 你能理解他的推理过程吗? 在证明时，先假设命题的结论不成立，然后由此推导出与已知或公理或已证明过的定理相矛盾，从而证明命题的结论一定成立．这种证明方法称为反证法． 用反证法证题的一般步骤： ①假设: 先假设命题的结论不成立; ②归谬: 从这个假设出发,应用正确的推论方法,得出与定义，公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果; ③结论: 由矛盾的结果判定假设不正确,从而肯定命题的结论正确. 素养考点 反证法 用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角. 已知：△ABC． 求证：∠A、∠B、∠C中不能有两个角是直角． 证明：假设∠A、∠B、∠C中有两个角是直角， 不妨设∠A和∠B是直角，即∠A=90°，∠B=90°. 则∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C＞180°． 这与三角形内角和定理矛盾， 所以“∠A和∠B是直角”的假设不成立． 所以一个三角形中不能有两个角是直角． 变式训练 1.用反证法证明:两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行. 已知:如图,直线l1,l2被l3所截,∠1+∠2=180°. 求证:l1∥l2. 证明:假设l1不平行于l2,即l1与l2相交于一点P. 则∠1+∠2+∠P=180°， 所以∠1+∠2<180°, 这与已知矛盾,故假设不成立. 所以l1∥l2. 2.用反证法证明“a>b”时,应假设 (　 ) 　 A. a<b B. a≤b C. a≥b D. a≠b 3.用反证法证明命题“四边形的四个内角中至少有一个角大于等于90°”,我们应该假设 (　 　) A.四个角都小于90° B.最多有一个角大于或等于90° C.有两个角小于90° D.四个角都大于或等于90° 三、巩固练习 基础巩固题 1.已知:如图,∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°, ①∠1= , ∠2= ； ②图中有 个等腰三角形； ③如果AD=4cm，则BC= cm； ④如果过点D作DE∥BC,交AB于点E,则图中有 个等腰三角形. 2.如图,已知△ABC,点D,E分别在边AC,AB上,∠ABD=∠ACE,下列条件中,不能判定△ABC是等腰三角形的是(　 　) A.AE=AD B.BD=CE　 C.∠ECB=∠DBC D.∠BEC=∠CDB 3、如图,在△ABC和△DCB中,∠A=∠D=72°,∠ACB=∠DBC=36°,则图中等腰三角形的个数是 (　 　) A.2 B.3 C.4 D.5 4、如图,在平面直角坐标系中,点B,A分别在x轴,y轴上,∠BAO=60°,在坐标轴上找一点P,使得△ABP是等腰三角形,则符合条件的等腰三角形ABP有______个.  5、如图所示，∠ABC和∠ACB的平分线相交于F，过F作DE∥BC，交AB于D，交AC于E.求证：BD＋EC＝DE. 证明：∵BF平分∠ABC，∴∠1＝∠2， 又DE∥BC，∴∠2＝∠3. ∴∠1＝∠3. ∴DB＝DF（等角对等边）. 同理可得：EC＝EF， ∵DF＋EF＝DE， ∴BD＋EC＝DE. 能力提升题 1、已知如图，AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F.求证：AD垂直平分EF. 证明：∵AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE＝DF，∴∠1＝∠2， 易得∠AED＝∠AFD＝90°，∴∠3＝∠4， ∴AE＝AF， ∵AD是等腰△AEF的顶角平分线， ∴AD垂直平分EF. 2、如图,AD平分∠BAC,AD⊥BD,垂足为点D,DE∥AC. 求证:△BDE是等腰三角形. 证明:∵DE∥AC,∴∠CAD=∠EDA, ∵AD平分∠BAC,∴∠CAD=∠EAD, ∴∠EAD=∠EDA, ∵AD⊥BD,∴∠EAD+∠B=90°,∠EDA+∠BDE=90°, ∴∠B=∠BDE,∴△BDE是等腰三角形. 拓广探索题 如图,在△ABC中,AB=AC,点E在CA的延长线上,EP⊥BC,垂足为P,EP交AB于点F,FD∥AC交BC于点D.求证:△AEF是等腰三角形. 证明：∵FD∥AC,∴∠PFD=∠E,∠FDB= ∠C, ∵AB=AC,∴ ∠B = ∠C,∴∠FDB=∠B，∴FB=FD， ∵FB=FD,EP⊥BC,∴∠PFB=∠PFD, ∵∠PFB=∠AFE,∴∠PFD=∠AFE, ∵∠PFD=∠E,∴∠E=∠AFE, ∴AE=AF,   即△AEF是等腰三角形. 四、课堂小结 学科网（北京）股份有限公司 $