第1章 2 等腰三角形（第1课时）-【名校作业】2025-2026学年八年级下册数学同步教案（北师大版·新教材）

该教案聚焦等腰三角形性质及推论、等边三角形性质，通过回顾八上“证明”中的8条基本事实导入，搭建旧知与新知的联系，形成知识脉络的学习支架。 特色在于以折叠实验启发辅助线构造培养几何直观，通过逻辑推理证明性质发展推理能力，分层例题与变式训练强化模型意识。如折叠引入辅助线证明“等边对等角”，助力学生提升数学思维，为教师提供清晰教学流程，提升课堂效率。

2 等腰三角形 第 1 课时 等腰三角形的性质 教学目标 1.理解并掌握等腰三角形的性质及其推论. 2.能运用等腰三角形的性质及其推论解决基本的几何问题． 3.学习等边三角形的性质，并能够运用其解决问题． 教学重难点 1.理解并掌握等腰三角形的性质及其推论. 2.能运用等腰三角形的性质及其推论解决基本的几何问题． 3.了解并掌握等边三角形的性质. 教学过程 一、导入新知 1、在八上的“证明”这一章中，我们学了哪8条基本事实？ ①两点确定一条直线； ②两点之间线段最短； ③同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ④同位角相等，两直线平行； ⑤过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行； ⑥两边及其夹角分别相等的两个三角形全等； ⑦两角及其夹边分别相等的两个三角形全等； ⑧三边分别相等的两个三角形全等. 二、课堂新授 知识点1 等腰三角形的性质定理及其推论 思考1 你还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗? 定理:等腰三角形的两个底角相等. 推论:等腰三角形顶角的平分线,底边上的中线及底边上的高互相重合. 思考2:你能利用已有的公理和定理证明这些结论吗? 证明定理：等腰三角形的两个底角相等. 已知：如图,在△ABC中，AB=AC. 求证：∠B=∠C. 思考：如何证明两个角相等呢？ 在七下学习轴对称时，我们利用折叠的方法说明了等腰三角形是轴对称图形，且两个底角相等，如下图，实际上，折痕将等腰三角形分成了两个全等的三角形.由此，你得到了什么解题的启发？ 可以作一条辅助线，运用全等三角形的性质“对应角相等”来证. 思考：如何构造两个全等的三角形？ 方法一：作底边上的中线 已知： 如图，在△ABC中，AB=AC. 求证： ∠B= ∠C. 证明：作底边的中线AD，则BD=CD. 在△BAD和△CAD中，AB=AC ( 已知 )，BD=CD ( 已作 )，AD=AD (公共边)， ∴ △BAD≌ △CAD (SSS). ∴ ∠B= ∠C (全等三角形的对应角相等). 方法二：作顶角的平分线 已知： 如图，在△ABC中，AB=AC. 求证： ∠B= ∠C. 证明：作顶角的平分线AD，则∠BAD=∠CAD. 在△BAD和△CAD中，AB=AC ( 已知 )，∠BAD=∠CAD ( 已作 )，AD=AD (公共边)， ∴ △BAD≌ △CAD (SAS). ∴ ∠B= ∠C (全等三角形的对应角相等). 定理 等腰三角形的两个底角相等. 这一定理可简述为：“等边对等角”. 思考：由△BAD≌ △CAD，除了可以得到∠B= ∠C之外，你还可以得到哪些相等的线段和相等的角？ ∵△BAD≌ △CAD， ∴由全等三角形的性质易得 BD=CD,（AD是底边BC上的中线） ∠BAD=∠CAD，（AD是顶角∠BAC的角平分线） ∠ADB=∠ADC， 又∵ ∠ADB+∠ADC=180°， ∴ ∠ADB=∠ADC= 90°. （AD是底边BC上的高线） 推论 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合(三线合一). (1)∵AB=AC,AD⊥BC， ∴BD=CD,∠BAD=∠CAD(三线合一). (2)∵AB=AC,BD=CD ∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD(三线合一). (3)∵AB=AC, ∠BAD=∠CAD ∴AD⊥BC ,BD=CD(三线合一). 素养考点1 等腰三角形的性质定理 例1 (1)若等腰三角形的一个底角为72°,则这个等腰三角形的顶角为_________.  (2)在△ABC中,AB=AC,∠A=40°,则∠B=_______°. 素养考点2 等腰三角形性质定理的推论 例2 如图,△ABC中，AB=AC，垂足为点D，若∠BAC=70°，则∠BAD= . 变式训练 如图, 在△ABC中，AC=BC，用尺规作CF⊥AB，交AB于 点G，若∠BCG=50°，则∠ACG的度数为 (　 ) A.40°　　 B.45° C.50°　　 D.60° 知识点2 等边三角形的性质 想一想： 等边三角形是特殊的等腰三角形，那么等边三角形的内角有什么特征呢？ 定理 等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°. 思考： 怎样证明这一定理？ 可以利用等腰三角形的性质进行证明. 证明：等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°. 已知：如图,在△ABC中， AB=AC=BC． 求证：∠A=∠B=∠C=60°． 证明：在△ABC中，∵AB=AC(已知)， ∴∠B=∠C(等边对等角). 同理∠A=∠B． 又∵∠A+∠B+∠C=180°， ∴∠A=∠B=∠C=60°． 素养考点 等边三角形的性质 例 如图,△ABC是等边三角形，点D在AC边上，∠DBC=35°，则∠ADB的度数为（ ） A.25° B.60° C.85° D.95° 变式训练 如图,等边三角形ABC中,BD是AC边上的中线,BD=BE,求∠EDA的度数. ∵ △ABC是等边三角形， ∴∠CBA=60°. ∵BD是AC边上的中线， ∴∠BDA=90°, ∠DBA=30°. ∵ BD=BE， ∴ ∠BDE=(180 °-∠DBA) ÷2 =(180°-30°) ÷2=75°. ∴ ∠EDA=90 °- ∠BDE=90°-75°=15°. 三、巩固练习 基础巩固题 1.一个等腰三角形的顶角是50°，则它的底角是(　 　) A.65° B.70° C.75° D.100° 2.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，CD∥AB，则∠BCD=(　 　) A.40° B.50° C.60° D.70° 3. 若如图,△ABC是等边三角形,AD是角平分线,△ADE是等边三角形,AB,ED相交于点F,下列结论:①AD⊥BC;②EF=FD;③BE=BD.其中正确的有___________.(填序号)  4. 如图,在△ABC中,AB=AC,中线BD,CE相交于点O.求证:OB=OC. 证明:∵BD,CE是△ABC的两条中线, ∴CD=AC,BE=AB, ∵AB=AC,∴CD=BE,∠EBC=∠DCB. 在△EBC和△DCB中,BE=CD,∠EBC=∠DCB,BC=CB, ∴△EBC≌△DCB(SAS),∴∠ECB=∠DBC,∴OB=OC. 能力提升题 1. 如图,AB=AC,BD=DC,DF⊥AB,DE⊥AC,垂足分别是F,E. 求证:DE=DF. 证明:∵AB=AC,∴∠B=∠C, ∵DF⊥AB,DE⊥AC,∴∠BFD=∠CED=90°, 在△BDF和△CDE中， BD=DC, ∠B=∠C， ∠BFD=∠CED， ∴△BDF≌△CDE（AAS）,∴DE=DF. 2. 如图, △ABC是等边三角形,D是AB边上一点,以CD为边作等边△CDE,使点E,A在直线DC的同侧,连接AE,判断AE与BC的位置关系,并说明理由. 证明:AE∥BC,理由如下: ∵△ABC和△DEC是等边三角形, ∴BC=AC,CD=CE,∠BCA=∠ECD=60°,∠B=60°, ∴∠BCA-∠DCA=∠ECD-∠DCA,即∠BCD=∠ACE. 在△ACE和△BCD中, AC=BC，∠ACE=∠BCD，CE=CD， ∴△ACE≌△BCD(SAS), ∴∠EAC=∠B=60°, ∵∠ACB=60°,∴∠EAC=∠ACB, ∴AE∥BC. 拓广探索题 1.如图,在△ABC中,AB=AC，∠C=2∠A，BD是AC边上的高，求∠A和∠DBC的度数. 解：∵AB=AC，∴∠ABC=∠C， ∵∠C=2∠A， 设∠A=x，则∠ABC=∠C=2x， 由x+2x+2x=180°得x=36°， ∴∠A=36°，∠C=72°， ∵BD是AC边上的高，∴BD⊥AC，即∠BDC=90°， ∴∠DBC=90°-∠C=18°. 2.如图,在等边△ABC中,点D,E分别在边BC,AC上,且AE=CD,BE与AD相交于点P,BQ⊥AD于点Q. (1)求证:△ABE≌△CAD. (2)求∠PBQ的度数. （1）证明:∵△ABC为等边三角形， ∴AB=AC,∠BAC=∠ACB=60°， 在△BAE和△ACD中,AE=CD，∠BAC=∠ACB，∠BAC=∠ACB， ∴△BAE≌△ACD（SAS）. （2）解:∵△BAE≌△ACD, ∴∠ABE=∠CAD, ∵∠BPQ为△ABP的外角,  ∴∠BPQ=∠ABE+∠BAD, ∴∠BPQ=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°， ∵BQ⊥AD,∴∠PBQ=30°. 四、课堂小结 学科网（北京）股份有限公司 $