第1章 1 三角形内角和定理（第2课时）-【名校作业】2025-2026学年八年级下册数学同步教案（北师大版·新教材）

该教案聚焦三角形内角和定理的两个推论，通过“三角形花坛外围转角”“灰太狼拦截懒羊羊”等生活化情境导入，衔接内角和定理，以问题链引导学生从外角概念辨析到推论证明，构建知识支架。 此资料以生活化情境培养数学眼光，通过问题链与辅助线构造（如延长BP证∠BPC＞∠A）发展推理意识与几何直观，例题结合角平分线、平行线等综合应用，提升学生应用意识，助力教师高效教学，夯实几何推理基础。

1 三角形内角和定理 第 2 课时 三角形内角和定理的推论 教学目标 【知识与技能】 掌握三角形内角和定理的两个推论及其证明. 【过程与方法】 体会几何中不等关系的简单证明过程,引导学生从内和外、相等和不相等的不同角度对三角形做更全面的思考. 【情感态度价值观】 通过积极参与课堂练习,培养学生积极思考及与他人交流合作的学习习惯,同时培养学生大胆猜想、勇于探索数学问题的兴趣和信心. 教学重难点 【教学重点】 掌握三角形内角和定理的两个推论及其证明. 【教学难点】 灵活应用三角形内角和定理的推论解决简单的问题. 教学过程 一、导入新知 在一个三角形花坛的外围走一圈，在每一个拐弯的地方都转了一个角度（∠1，∠2，∠3），那么回到原来位置时（方向与出发时相同），一共转了多少度？ 二、课堂新授 三角形外角的概念 问题 发现懒羊羊独自在O处游玩后，灰太狼打算用迂回的方式，先从A前进到C处，然后再折回到B处截住懒羊羊返回羊村的去路，红太狼则直接在A处拦截懒羊羊，已知∠BAC=40° ， ∠ABC=70°.灰太狼从C处要转多少度角才能直达B处？ 利用“三角形的内角和为180°”来求∠BCD，你会吗？ 由三角形内角和，易得∠BCA=180°-∠A-∠CBA=70°，所以∠BCD=180°-∠BCA=110°. 思考 像∠BCD这样的角有什么特征吗？猜想它的性质.这节课让我们一起来探讨吧. 定义 如图，把△ABC的一边BC 延长，得到∠ACD，像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.∠ACD是△ABC的一个外角. 问题1 如图，延长AC到E,∠BCE是不是△ABC的一个外角？∠DCE是不是△ABC的一个外角？ ∠BCE是△ABC的一个外角，∠DCE不是△ABC的一个外角. 问题2 如图，∠ACD与∠BCE有什么关系？在三角形的每个顶点处有多少个外角？ ∠ACD 与∠BCE为对顶角，∠ACD =∠BCE；在三角形每个顶点处都有两个外角. 画一画 画一画 画出△ABC的所有外角，共有几个呢? 如图 每一个三角形都有6个外角．每一个顶点相对应的外角都有2个，且这2个角为对顶角. 总结 三角形的外角应具备的条件： ①角的顶点是三角形的顶点； ②角的一边是三角形的一边； ③另一边是三角形中一边的延长线. ∠ACD是△ABC的一个外角，每一个三角形都有6个外角． 如图,∠BEC是哪个三角形的外角？∠AEC是哪个三角形的外角？∠EFD是哪个三角形的外角？ ∠BEC是△AEC的外角;∠AEC是△BEC的外角;∠EFD是△BEF和△DCF的外角. 三角形内角和定理的推论（一） 问题1 如图，△ABC的外角∠BCD与其相邻的内角∠ACB有什么关系？ ∠BCD与∠ACB互补. 问题2 如图，△ABC的外角∠BCD与其不相邻的两内角(∠A，∠B)有什么关系？ ∵∠A+∠B+∠ACB=180°，∠BCD+∠ACB=180°， ∴∠A+∠B=∠BCD. 验证结论 已知：如图，△ABC，求证：∠ACD=∠A+∠B. 证明：过C作CE平行于AB， ∴∠1= ∠B，（两直线平行，同位角相等）， ∠2= ∠A ，（两直线平行， 内错角相等） ∴∠ACD= ∠1+ ∠2= ∠A+ ∠B. 知识要点 三角形内角和定理的推论（一）：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和. 应用格式： ∵ ∠ACD是△ABC的一个外角 ∴ ∠ACD= ∠A+ ∠B. 说出下列图形中∠1和∠2的度数： 例 已知:如图,在△ABC中,AD平分外角∠EAC,∠B=∠C. 求证:AD∥BC. 分析:要证明AD∥BC,只需要证明“同位角相等”或“内错角相等”或“同旁内角互补”. 证明:∵∠EAC=∠B+∠C (三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和),∠B=∠C (已知), ∴∠C=∠EAC(等式的性质). ∵AD平分∠EAC(已知). ∴∠DAC=∠EAC(角平分线的定义). ∴∠DAC=∠C(等量代换). ∴AD∥BC(内错角相等,两直线平行). 例题是运用了定理“内错角相等,两直线平行”证实了结论.你还有其他证明方法吗？ 证明:推理可得∠DAC=∠C (已证), ∵∠BAC+∠B+∠C =180°(三角形内角和定理)， ∴ ∠BAC+∠B+∠DAC =180° (等量代换). ∴ AD∥BC(同旁内角互补,两直线平行). 该方法是运用了定理“同旁内角互补,两直线平行”证实了结论. 如图,∠A=42°,∠ABD=28°,∠ACE=18°,求∠BFC的度数. 解：∵ ∠BEC是△AEC的一个外角， ∴ ∠BEC= ∠A+ ∠ACE. ∵∠A=42° ，∠ACE=18°， ∴ ∠BEC=60°. ∵ ∠BFC是△BEF的一个外角， ∴ ∠BFC= ∠ABD+ ∠BEF. ∵ ∠ABD=28° ，∠BEC=60°， ∴ ∠BFC=88°. 考点 通过作辅助线求角的度数 如图，P为△ABC内一点，∠BPC＝150°， ∠ABP＝20°，∠ACP＝30°，求∠A的度数． 解析：延长BP交AC于E或连接AP并延长，构造三角形的外角，再利用外角的性质即可求出∠A的度数． 解：延长BP交AC于点E， 则∠BPC，∠PEC分别为△PCE，△ABE的外角， ∴∠BPC＝∠PEC＋∠PCE， ∠PEC＝∠ABE＋∠A. ∴∠PEC＝∠BPC－∠PCE ＝150°－30°=120°. ∴∠A＝∠PEC－∠ABE＝120°－20°＝100°. 练习 如图，求证：∠BOC＝∠A＋∠B＋∠C. 证明：延长BO交AC于点D, 因为三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和， 所以∠BDC＝∠A＋∠B，∠BOC＝∠BDC＋∠C， 所以∠BOC＝∠A＋∠B＋∠C. 三角形内角和定理的推论（二） 如图①，试比较∠2，∠1的大小； 如图②，试比较∠3，∠2，∠1的大小. 解：图①中，∵∠2=∠1+∠B,∴∠2＞∠1. 图②中，∵∠2=∠1+∠B,∠3=∠2+∠D,∴∠3＞∠2＞∠1. 定理：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角. 例 如图,P是△ABC内一点，连接PB，PC.∠B=∠C. 求证:∠BPC＞∠A. 证明:如图，延长BP，交AC于点D. ∵ ∠BPC是△PDC的一个外角(外角定义), ∴ ∠BPC＞∠PDC(三角形的一个外角 大于和它不相邻的任何一个内角). ∵ ∠PDC是△ABD的一个外角 (外角定义), ∴ ∠PDC＞∠A(三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角). ∴ ∠BPC＞∠A .（不等式的性质） 还有其他证明方法吗？ 练习 如图，∠A，∠1，∠2的大小关系是（ ） A．∠A＞∠1＞∠2 B．∠2＞∠1＞∠A C．∠A＞∠2＞∠1 D．∠2＞∠A＞∠1 三、巩固练习 1.判断下列命题的对错. （1）三角形的一个外角等于两个内角的和. （ ） （2）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.（ ） （3）三角形的一个外角大于任何一个内角. （ ） （4）三角形的一个内角小于任何一个与它不相邻的外角.（ ） 2.如图，∠ACD是△ABC的外角，CE平分∠ACD，若∠A=60°，∠B=40°，则∠ECD等于（　　） A．40° B．45° C．50° D．55° 3.将一副直角三角板按如图所示的位置放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边放在同一条直线上，则∠α的度数是（　　） A．45° B．60° C．75° D．85° 4.如图，点D在△ABC边AB的延长线上，DE∥BC．若∠A=35°，∠C=24°，则∠D的度数是（　 　） A．24° B．59° C．60° D．69° 5.(1)如图，∠BDC是________的外角,也是________的外角； (2)若∠B=45 °， ∠BAE=36 °, ∠BCE=20 °,试求∠AEC的度数. 解：∵∠ADC= ∠B+ ∠BCE,∠AEC= ∠ADC+ ∠BAE. ∴∠AEC= ∠B+∠BCE+ ∠BAE=45 °+20 °+36 °=101 °. 6.如图，求∠A+ ∠B+ ∠C+ ∠D+ ∠E的度数. 解：∵∠1是△FBE的外角, ∴∠1=∠B+ ∠E, 同理∠2=∠A+∠D. 在△CFG中,∠C+∠1+∠2=180°, ∴∠A+ ∠ B+∠C+ ∠ D+∠E= 180°. 四、课堂小结 学科网（北京）股份有限公司 $