第1章 1 三角形内角和定理（第1课时）-【名校作业】2025-2026学年八年级下册数学同步教案（北师大版·新教材）

该教案聚焦“三角形内角和定理”的证明与应用，以三类三角形争论内角和的情境导入，衔接小学度量、拼接经验，引导学生从直观验证过渡到逻辑证明，搭建认知支架。 通过多种证法（如过顶点作平行线、延长边作辅助线）探究定理，培养几何直观与推理意识，结合方程思想、实际方位问题应用，提升学生创新意识与应用能力，助力教师高效教学，夯实几何基础。

1 三角形内角和定理 第 1 课时 三角形内角和定理 教学目标 【知识与技能】 掌握“三角形内角和定理”的证明及简单的应用. 【过程与方法】 通过一题多变,建立思考情境,形成独立思考、合作交流的学习模式,培养理性说理能力. 【情感态度价值观】 培养学生创造性,弘扬个性发展,体验解决问题的成就感,使学生感悟逻辑推理的数学价值. 教学重难点 【教学重点】 理解三角形内角和定理及其简单的应用. 【教学难点】 三角形内角和定理的证明方法. 课前准备 【学生准备】量角器、三角板等作图工具. 教学过程 一、导入新知 一天，三类三角形根据自身的特点，讲出了自己对三角形内角和的理解，请同学们作为小判官给它们评判一下吧. A.我的形状最大，那我的内角和最大. B.不对，我有一个钝角，所以我的内角和才是最大的. C.我的形状最小，那我的内角和最小. 二、课堂新授 三角形的内角和定理 我们在小学已经知道，任意一个三角形的内角和等于180°.与三角形的形状、大小无关，所以它们的说法都是错误的. 思考 除了度量以外，你还有什么办法可以验证三角形的内角和为180°呢? 还可以用拼接的方法，你知道怎样操作吗？ 三角形的内角和定理的证明 在纸上任意画一个三角形，将它的内角剪下拼合在一起. 还有其他的拼接方法吗？ 三角形的三个内角拼到一起恰好构成一个平角. 观测的结果不一定可靠，还需要通过数学知识来说明.从上面的操作过程，你能发现证明的思路吗？ 验证结论：三角形三个内角的和等于180°. 已知：△ABC. 求证：∠A+∠B+∠C=180°. 证法1：如图，过点A作l∥BC， 则∠B=∠1(两直线平行,内错角相等)， ∠C=∠2(两直线平行,内错角相等). ∵∠2+∠1+∠BAC=180°， ∴∠B+∠C+∠BAC=180°. 证法2：如图，延长BC到D，过点C作CE∥BA， ∴ ∠A=∠1 .(两直线平行，内错角相等) ∠B=∠2.(两直线平行，同位角相等) 又∵∠1+∠2+∠ACB=180°， ∴∠A+∠B+∠ACB=180°. 证法3：如图，过D作DE∥AC,作DF∥AB. ∴ ∠C=∠EDB,∠B=∠FDC(两直线平行，同位角相等)， ∠A+∠AED=180°,∠AED+∠EDF=180°(两直线平行，同旁内角相补)， ∴ ∠A=∠EDF. ∵∠EDB+∠EDF+∠FDC=180°， ∴∠A+∠B+∠C=180°. 同学们还有其他的方法吗？ 思考 多种方法证明三角形内角和等于180°的核心是什么？ 借助平行线的“移角”的功能，将三个角转化成一个平角. 试一试 同学们按照上图中的辅助线，给出证明步骤？ 知识要点 作辅助线：在这里，为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线.在平面几何里，辅助线通常画成虚线. 思路总结：为了证明三个角的和为180°,转化为一个平角或同旁内角互补等，这种转化思想是数学中的常用方法. 三角形内角和的应用 例 如图，在△ABC中，∠B=38°，∠C=62°，AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数. 解：在△ABC中，∠B+∠C+∠BAC=180°（三角形内角和定理）. ∵∠B=38°，∠C=62°（已知）， ∴∠BAC=180°-38°-62°=80°（等式的性质）. ∵AD平分∠BAC（已知） ∴∠BAD=∠CAD=∠BAC=×80°=40°（角平分线的定义）. 在△ ADB中,∠B+∠BAD+∠ADB=180°（三角形内角和定理）. ∵∠B=38°（已知）,∠BAD=40°（已证）, ∴∠ADB=180°-38°-40°=102°（等式的性质）. 练习 如图，在△ABC中， ∠BAC=40 °, ∠B=75 °,AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数. 解：由∠BAC=40 °, AD是△ABC的角平分线，得∠BAD=∠BAC=20 °. 在△ABD中，∠ADB=180°-∠B-∠BAD=180°-75°-20°=85°. 考点1 利用三角形的内角和定理求角的度数 如图，△ABC中，D在BC的延长线上，过D作DE⊥AB于E，交AC于F.已知∠A＝30°，∠FCD＝80°，求∠D. 解：∵DE⊥AB， ∴∠FEA＝90°． ∵在△AEF中，∠FEA＝90°，∠A＝30°， ∴∠AFE＝180°-∠FEA-∠A＝60°. 又∵∠CFD＝∠AFE， ∴∠CFD＝60°. ∴在△CDF中，∠CFD＝60°，∠FCD＝80°，∠D＝180°-∠CFD-∠FCD＝40°. 练习 直线l1∥l2，把一块含45°角的直角三角尺如图放置，∠1=85°，则∠2= 40  ． 考点2 方程的思想与三角形内角和相结合的题目 几何问题借助方程来解. 这是一个重要的数学思想. 在△ABC中， ∠A 的度数是∠B 的度数的3倍，∠C 比∠B 大15°，求∠A，∠B，∠C的度数. 解:设∠B为x°，则∠A为(3x)°，∠C为(x ＋ 15)°， 从而有3x ＋ x ＋(x ＋ 15)＝ 180. 解得 x ＝ 33. 所以 3x ＝ 99 ， x ＋ 15 ＝ 48. 答： ∠A， ∠B， ∠C的度数分别为99°， 33°，48°. 练习 完成下列各题： ①在△ABC中，∠A=35°，∠ B=43 °，则∠C= 102° ； ②在△ABC中，∠A :∠B:∠C=1:2:3，则△ABC是 直角 三角形； ③在△ABC中，∠A=∠B+10°,∠C=∠A+10°,则∠A= 60° ，∠B= 50° ，∠C= 70° . 考点3 利用三角形的内角和定理解决实际问题 如图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80 °方向，C岛在B岛的北偏西40 °方向.从B岛看A,C两岛的视角∠ABC是多少度？从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是多少度？ 解： ∠CAB= ∠BAD- ∠CAD=80 °-50°=30°. 由AD//BE,得∠BAD+ ∠ABE=180 °. 所以∠ABE=180 °- ∠BAD=180°-80°=100°, ∠ABC= ∠ABE- ∠EBC=100°-40°=60°. 在△ABC中，∠ACB=180 °- ∠ABC- ∠ CAB=180°-60°-30° =90°. 答：从B岛看A,C两岛的视角∠ABC是60°,从C岛看A,B两岛的视角∠ACB是90°. 练习 如图，一艘渔船在B处测得灯塔A在北偏东60°的方向，另一艘货轮在C处测得灯塔A在北偏东40°的方向，那么在灯塔A处观看B和C处时的视角∠BAC是多少度？ 解：因为在B处测得灯塔A在北偏东60°的方向, 所以∠ABD＝60°. 又因为∠DBE＝90°， 所以∠ABE＝90°-∠ABD＝90°-60°＝30°. 因为在C处测得灯塔A在北偏东40°的方向， 所以∠ACE＝90°-40°＝50°. 所以∠BAC＝∠ACE-∠ABE＝50°-30°＝20°. 即在灯塔A处观看B和C处时的视角∠BAC是20°. 三、巩固练习 1.求出下列各图中的x值． 2.在△ABC中，若∠A=30°，∠B=50°，则∠C= 100° ． 3.如图，则∠1+∠2+∠3+∠4= 280° . 4.如图，四边形ABCD中，点E在BC上,∠A+∠ADE=180°，∠B=78°，∠C=60°，求∠EDC的度数． 解：∵∠A+∠ADE=180°， ∴AB∥DE. ∴∠CED=∠B=78°. 又∵∠C=60°, ∴∠EDC=180°-（∠CED+∠C）=180°-（78°+60°）=42°． 5.如图，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，若∠BAC=60°，求∠BPC的度数． 解：∵△ABC中，∠A=60°, ∴∠ABC+∠ACB=120°. ∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB， ∴∠PBC+∠PCB=（∠ABC+∠ACB）=60°. ∵∠PBC+∠PCB+∠BPC=180°, ∴∠BPC=180°-60°=120°. 四、课堂小结 学科网（北京）股份有限公司 $