5.2.3（2）简单复合函数的导数　课件-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

第五章 一元函数的导数及应用 5.2.3 简单复合函数的导数 ·选择性必修第二册· 1.7.2013 同学们好，今天我们将开始学习第五章“一元函数的导数及应用”的第一节课——“变化率问题”。导数是微积分中的核心概念，它为我们研究函数的变化提供了强大的工具。通过这节课的学习，我们将从实际问题出发，理解变化率的含义，并逐步引入导数的概念。希望大家能够积极思考，深入理解，为后续的学习打下坚实的基础。 ‹#› 学习目标 1.巩固复合函数的求导法则，能求简单的复合函数的导数.（逻辑推理、数学运算） 2.能运用复合函数求导法则及导数的四则运算法则解决综合问题.（数学抽象、数学运算） 1.7.2013 好，我们来引入今天的新知识。在之前的学习中，我们通过函数的单调性，对不同函数的增长速度有了一个定性的认识。比如，我们知道对数函数增长得越来越慢，而指数函数的增长速度远远快于一次函数。但是，仅仅定性描述是不够的，在实际问题中，我们常常需要更精确地知道一个函数在某一点的变化速度到底有多快。那么，我们能否找到一种方法，来精确定量地刻画这种变化速度的快慢呢？这就是我们今天这节课要研究的核心问题——变化率问题。 ‹#› 复习引入 基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 为常数 ，且 ，且 ，且 1.7.2013 好，我们来引入今天的新知识。在之前的学习中，我们通过函数的单调性，对不同函数的增长速度有了一个定性的认识。比如，我们知道对数函数增长得越来越慢，而指数函数的增长速度远远快于一次函数。但是，仅仅定性描述是不够的，在实际问题中，我们常常需要更精确地知道一个函数在某一点的变化速度到底有多快。那么，我们能否找到一种方法，来精确定量地刻画这种变化速度的快慢呢？这就是我们今天这节课要研究的核心问题——变化率问题。 ‹#› 平均速度只能粗略地描述运动员的运动状态，它并不能反映某 一刻的运动状态；需要寻找一个量，能更精细地刻画运动员的运动状态. 复习引入 导数的四则运算法则 和差 积 数乘 商 1.7.2013 好，我们来引入今天的新知识。在之前的学习中，我们通过函数的单调性，对不同函数的增长速度有了一个定性的认识。比如，我们知道对数函数增长得越来越慢，而指数函数的增长速度远远快于一次函数。但是，仅仅定性描述是不够的，在实际问题中，我们常常需要更精确地知道一个函数在某一点的变化速度到底有多快。那么，我们能否找到一种方法，来精确定量地刻画这种变化速度的快慢呢？这就是我们今天这节课要研究的核心问题——变化率问题。 ‹#› 平均速度只能粗略地描述运动员的运动状态，它并不能反映某 一刻的运动状态；需要寻找一个量，能更精细地刻画运动员的运动状态. 复习引入 复合函数的求导法则 1.7.2013 好，我们来引入今天的新知识。在之前的学习中，我们通过函数的单调性，对不同函数的增长速度有了一个定性的认识。比如，我们知道对数函数增长得越来越慢，而指数函数的增长速度远远快于一次函数。但是，仅仅定性描述是不够的，在实际问题中，我们常常需要更精确地知道一个函数在某一点的变化速度到底有多快。那么，我们能否找到一种方法，来精确定量地刻画这种变化速度的快慢呢？这就是我们今天这节课要研究的核心问题——变化率问题。 ‹#› 平均速度只能粗略地描述运动员的运动状态，它并不能反映某 一刻的运动状态；需要寻找一个量，能更精细地刻画运动员的运动状态. 新知运用——综合求导问题 1.求下列函数的导数： 解： 1.7.2013 好，我们来引入今天的新知识。在之前的学习中，我们通过函数的单调性，对不同函数的增长速度有了一个定性的认识。比如，我们知道对数函数增长得越来越慢，而指数函数的增长速度远远快于一次函数。但是，仅仅定性描述是不够的，在实际问题中，我们常常需要更精确地知道一个函数在某一点的变化速度到底有多快。那么，我们能否找到一种方法，来精确定量地刻画这种变化速度的快慢呢？这就是我们今天这节课要研究的核心问题——变化率问题。 ‹#› 平均速度只能粗略地描述运动员的运动状态，它并不能反映某 一刻的运动状态；需要寻找一个量，能更精细地刻画运动员的运动状态. 新知运用——综合求导问题 1.求下列函数的导数： 解： 1.7.2013 好，我们来引入今天的新知识。在之前的学习中，我们通过函数的单调性，对不同函数的增长速度有了一个定性的认识。比如，我们知道对数函数增长得越来越慢，而指数函数的增长速度远远快于一次函数。但是，仅仅定性描述是不够的，在实际问题中，我们常常需要更精确地知道一个函数在某一点的变化速度到底有多快。那么，我们能否找到一种方法，来精确定量地刻画这种变化速度的快慢呢？这就是我们今天这节课要研究的核心问题——变化率问题。 ‹#› 平均速度只能粗略地描述运动员的运动状态，它并不能反映某 一刻的运动状态；需要寻找一个量，能更精细地刻画运动员的运动状态. 新知运用——在切线中的应用 解： 1.7.2013 好，我们来引入今天的新知识。在之前的学习中，我们通过函数的单调性，对不同函数的增长速度有了一个定性的认识。比如，我们知道对数函数增长得越来越慢，而指数函数的增长速度远远快于一次函数。但是，仅仅定性描述是不够的，在实际问题中，我们常常需要更精确地知道一个函数在某一点的变化速度到底有多快。那么，我们能否找到一种方法，来精确定量地刻画这种变化速度的快慢呢？这就是我们今天这节课要研究的核心问题——变化率问题。 ‹#› 平均速度只能粗略地描述运动员的运动状态，它并不能反映某 一刻的运动状态；需要寻找一个量，能更精细地刻画运动员的运动状态. 方法总结 求切线方程问题中常利用复合函数的求导法则求导，从而得到切线的斜率.其中对切点未知的问题，设切点坐标是解决问题的关键，用切点的横坐标表示切线的斜率，列方程求出切点坐标，进而写出切线方程. 1.7.2013 好，我们来引入今天的新知识。在之前的学习中，我们通过函数的单调性，对不同函数的增长速度有了一个定性的认识。比如，我们知道对数函数增长得越来越慢，而指数函数的增长速度远远快于一次函数。但是，仅仅定性描述是不够的，在实际问题中，我们常常需要更精确地知道一个函数在某一点的变化速度到底有多快。那么，我们能否找到一种方法，来精确定量地刻画这种变化速度的快慢呢？这就是我们今天这节课要研究的核心问题——变化率问题。 ‹#› 平均速度只能粗略地描述运动员的运动状态，它并不能反映某 一刻的运动状态；需要寻找一个量，能更精细地刻画运动员的运动状态. 巩固训练 解： 1.7.2013 好，我们来引入今天的新知识。在之前的学习中，我们通过函数的单调性，对不同函数的增长速度有了一个定性的认识。比如，我们知道对数函数增长得越来越慢，而指数函数的增长速度远远快于一次函数。但是，仅仅定性描述是不够的，在实际问题中，我们常常需要更精确地知道一个函数在某一点的变化速度到底有多快。那么，我们能否找到一种方法，来精确定量地刻画这种变化速度的快慢呢？这就是我们今天这节课要研究的核心问题——变化率问题。 ‹#› 平均速度只能粗略地描述运动员的运动状态，它并不能反映某 一刻的运动状态；需要寻找一个量，能更精细地刻画运动员的运动状态. 巩固训练 解： 1.7.2013 好，我们来引入今天的新知识。在之前的学习中，我们通过函数的单调性，对不同函数的增长速度有了一个定性的认识。比如，我们知道对数函数增长得越来越慢，而指数函数的增长速度远远快于一次函数。但是，仅仅定性描述是不够的，在实际问题中，我们常常需要更精确地知道一个函数在某一点的变化速度到底有多快。那么，我们能否找到一种方法，来精确定量地刻画这种变化速度的快慢呢？这就是我们今天这节课要研究的核心问题——变化率问题。 ‹#› 平均速度只能粗略地描述运动员的运动状态，它并不能反映某 一刻的运动状态；需要寻找一个量，能更精细地刻画运动员的运动状态. 新知应用 1.7.2013 好，我们来引入今天的新知识。在之前的学习中，我们通过函数的单调性，对不同函数的增长速度有了一个定性的认识。比如，我们知道对数函数增长得越来越慢，而指数函数的增长速度远远快于一次函数。但是，仅仅定性描述是不够的，在实际问题中，我们常常需要更精确地知道一个函数在某一点的变化速度到底有多快。那么，我们能否找到一种方法，来精确定量地刻画这种变化速度的快慢呢？这就是我们今天这节课要研究的核心问题——变化率问题。 ‹#› 平均速度只能粗略地描述运动员的运动状态，它并不能反映某 一刻的运动状态；需要寻找一个量，能更精细地刻画运动员的运动状态. 新知应用 解： 1.7.2013 好，我们来引入今天的新知识。在之前的学习中，我们通过函数的单调性，对不同函数的增长速度有了一个定性的认识。比如，我们知道对数函数增长得越来越慢，而指数函数的增长速度远远快于一次函数。但是，仅仅定性描述是不够的，在实际问题中，我们常常需要更精确地知道一个函数在某一点的变化速度到底有多快。那么，我们能否找到一种方法，来精确定量地刻画这种变化速度的快慢呢？这就是我们今天这节课要研究的核心问题——变化率问题。 ‹#› 平均速度只能粗略地描述运动员的运动状态，它并不能反映某 一刻的运动状态；需要寻找一个量，能更精细地刻画运动员的运动状态. 新知应用 解： 1.7.2013 好，我们来引入今天的新知识。在之前的学习中，我们通过函数的单调性，对不同函数的增长速度有了一个定性的认识。比如，我们知道对数函数增长得越来越慢，而指数函数的增长速度远远快于一次函数。但是，仅仅定性描述是不够的，在实际问题中，我们常常需要更精确地知道一个函数在某一点的变化速度到底有多快。那么，我们能否找到一种方法，来精确定量地刻画这种变化速度的快慢呢？这就是我们今天这节课要研究的核心问题——变化率问题。 ‹#› 平均速度只能粗略地描述运动员的运动状态，它并不能反映某 一刻的运动状态；需要寻找一个量，能更精细地刻画运动员的运动状态. 巩固训练 解： 1.7.2013 好，我们来引入今天的新知识。在之前的学习中，我们通过函数的单调性，对不同函数的增长速度有了一个定性的认识。比如，我们知道对数函数增长得越来越慢，而指数函数的增长速度远远快于一次函数。但是，仅仅定性描述是不够的，在实际问题中，我们常常需要更精确地知道一个函数在某一点的变化速度到底有多快。那么，我们能否找到一种方法，来精确定量地刻画这种变化速度的快慢呢？这就是我们今天这节课要研究的核心问题——变化率问题。 ‹#› 课堂小结 简单复合函数的导数 1.7.2013 好，我们来引入今天的新知识。在之前的学习中，我们通过函数的单调性，对不同函数的增长速度有了一个定性的认识。比如，我们知道对数函数增长得越来越慢，而指数函数的增长速度远远快于一次函数。但是，仅仅定性描述是不够的，在实际问题中，我们常常需要更精确地知道一个函数在某一点的变化速度到底有多快。那么，我们能否找到一种方法，来精确定量地刻画这种变化速度的快慢呢？这就是我们今天这节课要研究的核心问题——变化率问题。 ‹#› 平均速度只能粗略地描述运动员的运动状态，它并不能反映某 一刻的运动状态；需要寻找一个量，能更精细地刻画运动员的运动状态. 课后作业 （课本第81页习题5.2） 1.7.2013 好，我们来引入今天的新知识。在之前的学习中，我们通过函数的单调性，对不同函数的增长速度有了一个定性的认识。比如，我们知道对数函数增长得越来越慢，而指数函数的增长速度远远快于一次函数。但是，仅仅定性描述是不够的，在实际问题中，我们常常需要更精确地知道一个函数在某一点的变化速度到底有多快。那么，我们能否找到一种方法，来精确定量地刻画这种变化速度的快慢呢？这就是我们今天这节课要研究的核心问题——变化率问题。 ‹#› 平均速度只能粗略地描述运动员的运动状态，它并不能反映某 一刻的运动状态；需要寻找一个量，能更精细地刻画运动员的运动状态. 课后作业 （课本第81页习题5.2） 1.7.2013 好，我们来引入今天的新知识。在之前的学习中，我们通过函数的单调性，对不同函数的增长速度有了一个定性的认识。比如，我们知道对数函数增长得越来越慢，而指数函数的增长速度远远快于一次函数。但是，仅仅定性描述是不够的，在实际问题中，我们常常需要更精确地知道一个函数在某一点的变化速度到底有多快。那么，我们能否找到一种方法，来精确定量地刻画这种变化速度的快慢呢？这就是我们今天这节课要研究的核心问题——变化率问题。 ‹#› 一般地，对于由函数和复合而成的函数， 它的导数与函数，的导数间的关系为 ． 即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积． (1)∵， ∴． (2)． (1)；(2)；(3)． (3)∵， ∴． (1)；(2)；(3)． ， ． ∵切线与直线平行，∴设直线的方程为， 根据题意，得，或． ∴直线l的方程为或． 2. 曲线在处的切线与直线平行，且与直线的距离为，求直线l的方程． 因为，所以，设切点为， 则， 所以，解得， 所以，即切线的斜率为. 故答案为： 1.曲线的一条切线经过点,则该切线的斜率为 . 设曲线上的一点是,且过的切线与直线平行． 由，所以切线的斜率．解得，． 即到直线的最短距离是．故选：B 2.曲线上的点到直线的最短距离是（    ） A． B． C． D． 某港口一天24h内潮水的高度s(单位：m)随时间(单位：h,) 的变化近似满足关系式,则下列说法正确的是( ) A． 在上的平均变化率为 B．相邻两次潮水高度最高的时间间距为12h C．当时，潮水的高度会达到一天中最低 D．18时潮水起落的速度为 由题意，函数， 对于A中，函数在上的平均变化率为， 所以A不正确； 对于B中，由函数，其最小正周期为， 则邻两次潮水高度最高的时间间距为，所以B不正确； 某港口一天24h内潮水的高度s(单位：m)随时间(单位：h,) 的变化近似满足关系式,则下列说法正确的是( ) 对于C中，当时，， 不是的最小值，所以C不正确； 对于D中，，可得， 则由，所以D正确. 故选：D. 某港口一天24h内潮水的高度s(单位：m)随时间(单位：h,) 的变化近似满足关系式,则下列说法正确的是( ) (1)， ， 小球在时刻的速度为； (2)因为， 令，解得， 所以最少经过该小球的瞬时速度达到最大. 1. 一小球做简谐振动，其运动方程为，其中 x(单位:cm)是小球相对于平衡点的距离，(单位:s)为运动时间. (1)求小球在时刻的速度； (2)从开始，最少经过多长时间该小球的瞬时速度达到最大？ 解：，， ∴在点处的切线斜率， 又切线与直线垂直，，． 11.设曲线在点处的切线与直线垂直，求的值． 解：， (1)上午6：00时，此固定点的水位变化速度为； (2)上午9：00时，此固定点的水位变化速度为； (3)中午12：00时，此固定点的水位变化速度为； (4)下午6：00时，此固定点的水位变化速度为． 13．某海湾拥有世界上最大的海潮，其高低水位之差可达到15m．假设在该海湾某一固定点，大海水深(单位：m)与午夜后的时间(单位：h)之间的关系为．求下列时刻此固定点的水位变化速度(精确到0.01m/h)：(1)上午6：00；(2)上午9：00；(3)中午12：00；(4)下午6：00． $