山东省泰安市2026年一轮复习函数专题----反比例函数专题训练

山东省泰安市2026年一轮复习函数专题----反比例函数 专题训练 一、单选题 1．已知点和点都在反比例函数的图象上，则的值是（   ） A．6 B． C．2 D． 2．已知反比例函数，当时有最大值；反比例函数，当时有最大值，则的值为（   ） A． B． C．1 D．8 3．密闭容器内有一定质量的气体，当容器的体积V（单位：）变化时，气体的密度（单位：）随之变化．已知密度ρ与体积V符合，它的图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．容器内气体的质量（质量）是5kg B．当时， C．当容器的体积为时，气体的密度为 D．当时，气体的密度随容器体积的增大而增大 4．如果点 、、 在反比例函数 （） 的图象上，那么（ ） A． B． C． D． 5．如图所示，双曲线 与直线 相交于A，B两点，若A 点坐标为，则 B 点坐标为（     ） A． B． C． D． 6．下列关于反比例函数的说法中，错误的是（   ） A．点在函数图象上 B．函数图象位于第二、四象限 C．当时， D．函数值随的增大而增大 7．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数与正比例函数的图象交于，两点，当时，的取值范围是（   ） A． B．或 C．或 D． 8．反比例函数（a为常数）的图象过点，，已知，下列结论一定正确的是 （ ） A． B． C． D． 9．如图，矩形的顶点、分别在反比例函数与的图象上，点、在轴上，、分别交轴于点、，则阴影部分的面积等于（   ） A． B．2 C． D． 10．如图，直线与双曲线交于A，B两点，过点A作轴，垂足为点M，连接，若，则k的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 11．关于的函数和，它们在同一坐标系内的图象大致是（   ） A． B． C． D． 12．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，过反比例函数图象上点作轴垂线，垂足为点，交的图象于点，点的横坐标为1．有以下结论： ①线段的长为8； ②点的坐标为； ③当时，一次函数的值小于反比例函数的值． 其中结论正确的个数是（  ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题 13．如图，在平面直角坐标系中，点在轴的正半轴上，，将线段绕点逆时针旋转得到线段，若点B落在反比例函数的图象上，则k的值为 14．已知点，都在反比例函数的图象上．若，则 ．（填“”“”或“”）． 15．如图所示，已知函数和的图像交于点，，过点A作垂直于x轴于点E，，则的值是 ． 16．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，C分别在双曲线和上，点在轴上，则点的坐标为 ． 17．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别与x轴，y轴交于点A，B，与反比例函数的图像交于点C，连接．已知点，的面积是2，则k的值为 ． 18．如图，，，是分别以，，为直角顶点，斜边在轴正半轴上的等腰直角三角形其中顶点，，均在反比例函数的图象上，则点的坐标为 ． 三、解答题 19．已知点在反比例函数的图象上． (1)求反比例函数的表达式； (2)点，，都在反比例函数的图象上，比较m，n，p的大小，并说明理由． 20．已知反比例函数的关系式为． x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 1 2 3 4 … y … … (1)完成表格，并在平面直角坐标系中画出其函数图象； (2)根据图象回答：当时，y的取值范围是 ． (3)根据图象回答：当时，x的取值范围是 ． 21．如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于点． (1)①求点的坐标和反比例函数表达式； ②填空：点的坐标为_____； (2)若点在该反比例函数图象上，且它到轴距离大于3，请根据图象直接写出的取值范围． 22．在温度不变的条件下，通过对汽缸顶部活塞加压，加压气体后汽缸壁所产生的压强与汽缸内气体的体积成反比例，p关于V的函数图象如图所示． (1)求压强与汽缸内气体的体积的函数表达式． (2)若压强由加压到，则气体体积压缩了多少？ 23．如图所示，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限的点和点，过点作轴的垂线，垂足为点，的面积为4． (1)分别求出和的值； (2)结合图象直接写出中的取值范围； (3)在轴上取点，使取得最大值时，求出点的坐标． 24．如图，一次函数（b为常数）的图像与y轴交于点，与反比例函数（k为常数，且）的图像交于点B、，连接． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)点是轴上一点，是否存在点，使得以点、、为顶点的三角形是等腰三角形，且为等腰三角形的腰，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 25．【定义】在平面直角坐标系中，我们给出一个“积值”的定义： 点是函数图象上任意一点，横坐标与纵坐标的乘积称为点在函数图象上的“积值”； 【举例】已知点在函数的图象上，点在函数图象上的“积值”为． 【问题】根据定义，解答下列问题： (1)已知点是函数图象上一点，则点在该函数图象上的“积值”为______； (2)求点在函数图象上的“积值”； (3)已知点在函数（为常数，且）的图象上，当时，点在函数图象上的“积值”的最小值为，求的值． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．D 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键． 根据反比例函数中解答即可． 【详解】解： 点和点都在反比例函数的图象上 ， 解得． 故选：D． 2．B 【分析】本题考查了求反比例函数值．分别求出两个反比例函数在指定范围内的最大值，再代入计算幂的值． 【详解】解：对于反比例函数，随的增大而减小． ∴当时，有最大值； 即； 对于反比例函数， 随的增大而增大． ∴当时，有最大值． 即． 将和代入，得． 故选：B． 3．C 【分析】本题主要考查了反比例函数图象的性质，求反比例函数值， 先求出m的值判断A；再根据反比例函数值随着x的增大而减小解答B，D；然后求出当时的函数值解答C． 【详解】解：∵， ∴容器内气体的质量为， 所以A不正确； 当时，， 所以当时，， 所以B不正确； 当时，， 所以当容器的体积，气体的密度是， 可知C正确； 当时，气体的密度随着容器体积的增大而减小， 则D不正确． 故选：C． 4．C 【分析】本题主要考查了反比例函数的函数值计算与大小比较，熟练掌握反比例函数的表达式代入求值及正数、负数的大小比较规则是解题的关键． 先根据反比例函数表达式计算各点的函数值，再结合比较函数值大小． 【详解】解：∵ 反比例函数为， ∴，，． ∵， ∴，即 ， ∴． 故选：C． 5．B 【分析】本题主要考查了反比例函数图象的中心对称性：反比例函数的图象是中心对称图形，则它与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称，熟练掌握相关知识点是解题关键． 根据题意得出点A与点B关于原点对称进而求解即可． 【详解】解：由题意得，点A与点B关于原点对称， ∵点A的坐标是， ∴点B的坐标为． 故选B． 6．D 【分析】本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数的图象与性质． 分别根据反比例函数图象上点的坐标特征、函数图象所在象限、自变量取值范围内函数值的范围以及函数的增减性来判断各选项． 【详解】解：A、当时，，故点在函数图象上，选项说法正确，不符合题意； B、，故反比例函数图象在第二，四象限，选项说法正确，不符合题意； C、当时，，选项说法正确，不符合题意； D、在每个象限内，函数值随的增大而增大，选项说法错误，符合题意． 故选：D． 7．B 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，根据题意得出B点横坐标，再利用函数图象得出x的取值范围． 【详解】解：∵反比例函数与正比例函数的图象交于，两点，其中点A的横坐标为4， ∴B点的横坐标为， 故当时，x的取值范围是：或． 故选B． 8．A 【分析】本题考查了反比例函数的性质，由题意得出反比例函数的图象在第一、三象限，结合，判断出、所在象限，即可得出答案，熟练掌握反比例函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵反比例函数解析式为，， ∴反比例函数的图象在第一、三象限， ∵点，在反比例函数（为常数）的图象上，且， ∴点位于第三象限，点位于第一象限， ∴， 故选：A． 9．D 【分析】本题结合矩形的性质考查反比例函数的系数的意义，关键是利用相似三角形的判定与性质，结合反比例函数的坐标特征求解阴影面积． 【详解】解：四边形是矩形，设， ∴，点纵坐标与点相同，为． 又∵在上， ∴点横坐标为，即， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴，， ∴，. ∴阴影总面积为． 故选：D． 10．B 【分析】本题考查了正比例函数与反比例函数的性质，中心对称，k的几何意义，熟练掌握反比例函数的几何意义是解题的关键．根据题意可得，则，进而根据k的几何意义，即可求解． 【详解】解：∵直线与双曲线交于A，B两点， 两点关于原点对称， ， ， ， ∵双曲线在一、三象限， ， 故选：B． 11．A 【分析】本题考查一次函数和反比例函数的图象的综合判断，分和两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：∵，， ∴当时，直线过一，三，四象限，双曲线过一，三象限；当时，直线过一，二，四象限，双曲线过二，四象限， A.由一次函数得，由反比例函数的图象得，故符合题意； B.由一次函数得，由反比例函数的图象得，故不符合题意； C.由一次函数得，由反比例函数的图象得，故不符合题意； D.由一次函数得，由反比例函数的图象得，故不符合题意； 故符号题意的只有选项A； 故选A． 12．C 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，求出点的坐标进而求出的长，判断①，联立两个函数解析式，求出点坐标，判断②，图象法判断③即可． 【详解】解：∵点的横坐标为1， ∴， ∴， ∵过反比例函数图象上点作轴垂线，垂足为点，交的图象于点， ∴； ∴；故①正确； 联立，解得：或（舍去）； ∴点的坐标为，故②正确； 由图象可知，当，直线在双曲线上方，一次函数的值大于反比例函数的值，故③错误； 故选C． 13． 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、坐标与图形的变化-旋转，解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想和反比例函数的性质解答．根据题意得到是等边三角形，解直角三角形求得点B的坐标，进而可以求得k的值． 【详解】解：连接，作于点D， ∵将线段绕点逆时针旋转得到线段，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴点B的坐标为：， ∵反比例函数的图象经过点B， ∴， 故答案为：． 14． 【分析】本题主要考查的是反比例函数性质，掌握反比例函数的增减性是解题的关键． 先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据即可解答． 【详解】解：∵反比例函数中， ∴ ∴函数图象的两个分支分别位于二、四象限，且在每一象限内，y随x的增大而增大， ∵， ∴都在第四象限， ∴． 故答案为：． 15．16 【分析】本题考查了反比例函数图象的对称性，待定系数法求函数解析式，能够根据反比例函数图象关于原点对称的性质求出点坐标是解题关键． 根据反比例函数图象关于原点对称的性质，可得，利用勾股定理求出的长，进而得出A点坐标，代入解析式求出的值后相乘即可． 【详解】解：由题得， 轴， ， ， 把代入和得 ， 解得， ． 故答案为：16． 16． 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、矩形的性质、勾股定理，连接交于点D，先根据矩形的性质得点D是、的中点，，设，则，再得，，然后根据勾股定理得，即，解方程即可得解． 【详解】解：如图，连接交于点D， ∵四边形为矩形， ∴点D是、的中点，， 设，则， ∴， ∴， ∴，，， 在中，， ∴， 解得：或（舍去）， ∴， 故答案为：． 17．6 【分析】本题考查一次函数的图像与坐标轴的交点问题，根据已知图形的面积求值，根据点坐标，求出值，根据的面积求出点横坐标，代入直线解析式，求出点坐标，进而求出k的值即可． 【详解】解：把，代入，得， ∴， ∵， ∴， ∵的面积， ∴， 当时，； ∴， ∴； 故答案为：6． 18． 【分析】本题主要考查了点坐标规律探索，反比例函数图象上点的特征，等腰直角三角形的性质等知识，利用等腰直角三角形的性质和反比例函数图象上点的坐标特征，通过设未知数建立方程求解，进而总结规律得出点的坐标． 【详解】解：过、、．．．分别作x轴的垂线，垂足分别为、、．．． 则， ∵三角形是等腰直角三角形， ∴， ∴，， ∴， ∵直角顶点在反比例函数， ∴，即， ∴， ∴， 设坐标为，则， ∵在上， ∴， 整理得， 解得， ∵， ∴，， ∴， ∴， 设坐标为， 则， ∵坐标在反比例函数， ∴， 即，整理得， ∴， ∵， ∴，， ∴， 总结：， ， ， … 则， ∴， ∴， 故答案为： 19．(1) (2)，见解析 【分析】本题考查了用待定系数法求反比例函数解析式以及反比例函数的图象与性质，解题关键是掌握相关方法和性质． （1）将已知点坐标代入反比例函数表达式可求出k的值，进而得到函数表达式； （2）根据反比例函数性质判断函数在不同象限的增减性，再比较各点纵坐标大小． 【详解】（1）解：把点代入， 得， 解得． 所以反比例函数表达式为． （2）解：对于反比例函数， ∵， 所以在每个象限内y随x的增大而减小， ∵点在第三象限， 所以； 点，在第一象限，，所以． 所以． 20．(1)见解析 (2) (3)或 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质； （1）将横坐标代入解析式中计算得出纵坐标填入表格，再将这些点在坐标系中描出，用光滑的曲线连起来，注意反比例函数的图象为双曲线，分左右两支； （2）在x轴上找到的区域，再通过图象找到对应的y值的部分，即可求解； （3）找到这一条直线，在这一直线下方的部分都是的部分，然后在x轴上找到对应的部分即可. 【详解】（1）解：表格完成如下： x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 1 2 3 4 … y … ﹣1 ﹣2 ﹣4 4 2 1 … 画出函数图象如图所示： （2）解：如图所示： 由图象可得：当时，y的取值范围是， 故答案为：. （3）解：如图所示： （3）由图象可得：当时，x的取值范围是或， 故答案为：或． 21．(1)①，反比例函数解析式为；② (2)或 【分析】本题主要考查待定系数法的计算，自变量范围的计算，掌握一次函数，反比例函数综合知识的计算是关键． （1）①把点代入正比例函数，反比例函数，运用待定系数法即可求解；②联立方程组求解即可； （2）根据题意得到，则当时，，则，当时，，则，结合反比例函数图象每个象限中随的增大而增大，即随的增大而增大，由此即可求解． 【详解】（1）解：①把代入得，， 解得，， ∴， 把点代入反比例函数得，， ∴反比例函数解析式为； ②联立方程组， 解得，， ∴， 故答案为：； （2）解：点在该反比例函数图象上，且它到轴距离大于3， ∴， 当时，，则， 当时，，则， ∵每个象限，随的增大而增大，即随的增大而增大， ∴当反比例函数到轴距离大于3时，或． 22．(1) (2)压强由加压到，则气体体积压缩了 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，注意正确计算． （1）设，利用待定系数法即可得到结论； （2）分别求出当时，，当时，，据此可得答案． 【详解】（1）解：设， 把代入中得：， 解得， 压强与汽缸内气体的体积的函数表达式为； （2）在中，当时，，当时，， ， 压强由加压到，则气体体积压缩了． 23．(1)， (2)或 (3)点P的坐标为 【分析】本题考查反比例函数解析式中的几何意义，利用图像解不等式，对称求最值，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）利用反比例函数的几何意义可以求出反比例函数解析式，再将和点的坐标代入即可求出的值； （2）利用函数图像即可求出不等式的解集； （3）因为点关于轴的对称点，又，则直线与轴的交点即为所求的点，求出直线的关系式，再求其与x轴的交点坐标即可． 【详解】（1）解：∵的面积为4， ∴， 解得，或（不符合题意舍去）， ∴反比例函数的关系式为， 把点和点代入得， ，． 答：，； （2）解：根据一次函数与反比例函数的图象可知， 不等式的解集为： 或； （3）解：∵点关于轴的对称点， 又，则直线与轴的交点即为所求的点， 设直线的关系式为，代入和得， ， 解得，， ∴直线的关系式为， 令，， ∴直线与轴的交点坐标为， 即点P的坐标为． 24．(1)一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为 (2)存在，点的坐标为，， 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的综合，勾股定理，等腰三角形定义．准确计算是解题的关键． （1）利用待定系数法求解； （2）分，两种情况，根据等腰三角形的性质分别求解即可． 【详解】（1）将代入中，得， 一次函数的表达式为， 在一次函数图像上， ， 将代入中，得：， 反比例函数的表达式为； （2）存在，理由如下： 由（1）知：点的坐标为， 如图，过点作轴于点， 由勾股定理得：， ①如图，当时，点的坐标为，； ②如图，当时，过点作轴于点， 易证四边形为矩形，则， ，点的坐标为， 综上所述，存在满足要求的点，点的坐标为，，． 25．(1) (2)6 (3) 【分析】本题考查了新定义，二次函数的图象性质，反比例函数的性质，一次函数的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用反比例函数的性质以及积值的定义，得，即可作答． （2）依题意，把代入得，再结合积值的定义，即可作答． （3）先表达出，运用二次函数的性质，得函数开口向上，则对称轴为，再根据当时，随的增大而减小，即可作答． 【详解】（1）解：∵点B是函数图象上任意一点， ∴， ∴点B在该函数图象上的“积值”为； 故答案为：； （2）解：∵点在函数图象上， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， 则点在函数图象上的“积值”为； （3）解：已知点在函数（b为常数，且）的图象上， ∴， ∵当时，点P在函数图象上的“积值”的最小值为， ∴， ∵， 函数开口向上，则对称轴为， ∵， ∴对称轴， ∴当时，随的增大而减小， ∴时，有最小值，最小值为， ∴， 即． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $