1.2.2 等差数列的前n项和 说课课件-2025-2026学年高二下学期数学北师大版选择性必修第二册

学习目标 情境引入 探求新知 典例铺路 随堂演练 课堂小结 当堂检测 第一章 数列 互动设计 1.2.2 等差数列的前n项和 互动设计课程 1 课件部分内容快照 情境引入 师生互动 典型题例 情境一：数学史话——高斯的故事 情境二：生活实例 情境三：建筑奇迹 一、等差数列前n项和公式 二、重要性质与结论 三、核心方法总结 类型一：公式的基本应用 类型二：分段求和与性质应用 类型三：最值问题 类型四：绝对值求和 类型五：实际应用 互动设计课程 学 习 目 标 熟练运用求和公式解决”知三求二”问题。。。 返回主页 1 掌握等差数列前n项和公式的两种形式，理解公式的推导过程能熟练运用求和公式解决”知三求二”问题理解等差数列前n项和与二次函数的关系，能求最值 2 经历从高斯算法到一般求和公式的推导过程，体会特殊到一般的思想 掌握倒序相加法这一重要的数学求和方法 情 境 引 入 返回主页 情境一：数学史话——高斯的故事 情境二：生活实例 情境三：建筑奇迹 情境一：数学史话——高斯的故事 1787年，10岁的高斯在数学课上，老师布特纳出了一道题：计算 1+2+3+⋯+100=？ 当其他同学忙于逐项相加时，高斯很快给出了答案：5050。 他的方法是：将1与100相加得101，2与99相加得101，3与98相加得101……这样共有50对，每对和都是101，所以总和为 50×101=5050。 思考问题： 1. 高斯的方法为什么能快速计算？利用了数列的什么特征？ 2. 这种方法能推广到一般的等差数列求和吗？ 3. 如果求 1+2+3+⋯+n，该如何计算？ 情境二：生活实例 问题1： 某剧场有20排座位，第一排有38个座位，从第二排起，每一排都比前一排多2个座位。这个剧场共有多少个座位？ 问题2： 小明从1月份开始，每月存入银行1000元，月利率为0.3%，按单利计算，一年后他连本带利共有多少钱？（本金部分构成等差数列） 问题3： 某物流公司第一天运送货物100吨，以后每天比前一天多运送10吨，连续运送30天，共运送货物多少吨？ 情境三：建筑奇迹 泰姬陵的三角形图案：传说泰姬陵有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层，第一层1颗，第二层2颗，第三层3颗……这个图案一共用了多少颗宝石？ 互 动 设 计 返回主页 一、等差数列前n项和公式 二、重要性质与结论 三、核心方法总结 探究活动一：公式推导 任务： 推导等差数列 的前 项和公式 设问引导： 设 - 根据等差数列性质： 小组合作探究： 步骤1：写出倒序 步骤2：两式相加 步骤3：分析配对 - 共有 对 - 每对之和都等于 （为什么？） 步骤4：得出结论 深入思考： 这个公式与梯形面积公式有什么相似之处？ 几何解释：把等差数列的项看作梯形的”层”，上底 ，下底 ，高 探究活动二：公式变形与函数视角 问题： 能否用 和 表示 ？ 自主推导： 将 代入求和公式： 函数视角探究： 将 整理为关于 的函数： 小组讨论： 1. 当 时， 是关于 的什么函数？ 2. 这个二次函数的图象有什么特征？（过原点？开口方向？） 3. 如何利用二次函数性质求 的最值？ 结论： - 是过原点的二次函数（当 时） - 开口方向由 的符号决定 - 对称轴为 （注意：实际 必须为正整数） 探究活动三：最值问题探究 问题： 已知等差数列 中，，问前多少项和最大？最大值为多少？ 方法一：函数法 当 时， 最大，最大值为169。 方法二：通项分析法 寻找最后一个非负项： 得 ，所以 时 最大。 方法三：性质法 等差数列中，若有 ，则 最大。 小组辩论： 三种方法各有什么优缺点？适用范围如何？ 探 求 新 知 返回主页 一、等差数列前n项和公式 二、重要性质与结论 三、核心方法总结 一、等差数列前n项和公式 公式形式 适用条件 记忆要点 已知首项、末项、项数 梯形面积式： 已知首项、公差、项数 展开式： 是n个首项， 是总增量 研究函数性质、求最值 二次函数标准式 公式关系图： 二、重要性质与结论 性质1： 若 是等差数列，则 也成等差数列，公差为 性质2： 若等差数列有 项，则 ， 性质3： 若等差数列有 项，则 （中间项）， 性质4（最值）： 当 时， 有最大值 - 当 时， 有最小值 - 最值点可通过 （或相反）确定 三、核心方法总结 方法 核心思想 应用场景 倒序相加法 配对求和，化繁为简 等差数列求和公式推导；类似对称结构求和 基本量法 五量中知三求二 一般计算问题 性质法 利用下标和性质简化 涉及多项和的关系问题 函数法 将 视为二次函数 最值问题、单调性问题 通项分析法 通过 的符号变化确定 最值 最值问题（更直观） 典 例 铺 路 类型一：公式的基本应用 类型二：分段求和与性质应用 类型三：最值问题 类型四：绝对值求和 类型五：实际应用 类型一：公式的基本应用 例1 在等差数列 中： 已知 ，求 已知 ，求 已知 ，求 和 解析： 直接用梯形公式： 用含 的公式： 列方程组： 由第一式： 代入第二式： 方法总结： 五量 中，已知任意三个可求另外两个。 类型二：分段求和与性质应用 例2 设等差数列 的前 项和为 ，已知 ，求 。 解析： 方法一：基本量法（略，列方程组求解） 方法二：性质法 ⭐推荐 由性质： 成等差数列 即 成等差数列 方法三：设 类型三：最值问题 例3 在等差数列 中，，求 的最大值。 解析： 方法一：函数法 由 ： 当 时， 最大，最大值为49。 方法二：对称性法 由 ，根据二次函数对称性，对称轴为 所以 时 最大。 方法三：通项分析法 令 ： 所以 时 最大。 类型四：绝对值求和 例4 已知等差数列 中，，求数列 的前 项和 。 解析： 首先求 令 ： 即前8项为负，第9项起为正。 当 时： 当 时： 计算 综上： 例5 某单位用分期付款方式为职工购买住房，共需1150万元。购买当天先付150万元，以后每月这一天都交付50万元，并加付此前欠款的利息，月利率为1%。若交付150万元后的第一个月开始算分期付款的第一个月，问分期付款的第10个月应该付多少钱？全部贷款付清后，买这套房子实际花了多少钱？ 类型五：实际应用 解析： 第n个月付款构成： - 本金：50万元 - 利息：剩余欠款 1% 剩余欠款：第1个月剩1000万，第2个月剩950万，……，构成等差数列 第 个月利息：（万元） 第 个月付款： 第10个月付款： （万元） 总付款： 首付150万 + 分期付款总额 分期共需还1000万本金，分20个月还清（） 分期付款总额： （万元） 实际总花费： （万元） 随 堂 演 练 返回主页 【基础训练】 1. 在等差数列 中，，则 （　） A. 155 　B. 160 　C. 165 　D. 170 【基础训练】 2. 已知等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 （　） A. 63 　B. 54 　C. 45 　D. 36 【基础训练】 3. 等差数列 中，，，则 取最大值时 （　） A. 6 　B. 7 　C. 6或7 　D. 7或8 【能力提升】 4. 已知等差数列 的前 项和 ，则通项公式 ______；若第 项满足 ，则 ______。 【能力提升】 5. 设等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 ______。 【能力提升】 6. 已知数列 的前 项和 ，求数列 的前 项和 。 1. A 解析： 2. A 解析： 成等差数列，即 成等差数列。 3. B 解析：由 ，对称轴为 ，所以 时 最大。 4. ； 解析：（） 验证 ：，符合公式。 由 得 ，所以 。 5. 9 解析：设 ，由 得 解得 6. 解： 当 时， 当 时， 验证 ：，符合。 令 ： 即前6项为正，第7项起为负 （） 当 时： 当 时： 综上： 随 堂 检 测 返回主页 【选择题】 1. 设等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 （　） A. 32 　B. 36 　C. 40 　D. 44 2. 已知等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 最大时 的值为（　） A. 8 　B. 9 　C. 10 　D. 16 3. 设 是等差数列 的前 项和，若 ，则 （　） A. 　B. 　C. 　D. 4. 《张丘建算经》卷上有题：今有女子不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今三十日织迄，问织几何？该女子共织（　） A. 60尺 　B. 90尺 　C. 120尺 　D. 150尺 【填空题】（每题5分） 5. 已知等差数列 中，，则 ______。 6. 设等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 ______。7. 已知等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 的最大值为 ______。 8. 已知数列 的前 项和 ，则 ______。 【解答题】（10分） 9. 已知等差数列 的前 项和为 ，。 求数列 的通项公式； 设 ，求数列 的前 项和 。 1. A 解析：由 得 ，又 ，所以 2. A 解析： 所以 ， 最大。 3. A 解析：设 ，由 得 4. B 解析：，（尺） 5. 55 解析： 6. 24 解析：，所以 7. 4 解析：， 即 ， 8. 解析： 时， 时， 注意 时 ，所以需分段。 9. 解： 由 ，得 又 ，所以 ， 通项公式为 课 堂 小 结 1. 知识小结 返回主页 2. 方法小结 1 2 3 4 认真领会 1. 知识小结 等差数列前n项和 ├── 公式体系 │ ├── │ └── 最值问题（函数法/通项分析法） └── 综合应用 ├── 知三求二问题 ├── 绝对值求和（分类讨论） └── 实际应用问题 55 2. 方法小结 题型 解题策略 基本计算 确定已知量，选择恰当公式，注意方程思想 性质应用 识别下标特征，活用 成等差 最值问题 法1：二次函数求顶点；法2：找最后一个非负（正）项 绝对值求和 先找符号变化点，分段讨论求和 实际应用 建立数学模型，识别等差关系，注意实际意义检验 $