第四单元 正比例与反比例（单元复习课件）数学北师大版六年级下册

单元复习课件 小学数学·六年级下册·北师大版 第四单元 正比例与反比例 单元知识框架 01 知识点梳理 02 重难点题型精讲 03 变式巩固练习 04 单元知识框架 正比例与反比例 1.认识变化的量 2.判断两个量是否成为正比例的方法 3.判断两个量是否成为反比例的方法 正比例的意义 判断两个量是否成为正比例的方法 反比例的意义 判断两个量是否成为反比例的步骤 单元知识框架 知识点1 认识变化的量 1 认识变化的量 根据变量图像解答问题步骤： 1、要弄清图像横轴、纵轴分别表示哪个两； 2、然后弄清横轴、纵轴每个单位长度表示多少； 3、最后根据图像回答相关问题。 知识点梳理 【例1】学校科学小组在同一时间、同一地点进行观察实验，测得竹竿的高与竿影的长如下表： 根据实验记录，科学小组发现了竿影的长与竹竿的高的变化关系。科学小组用这种方法测量校园里一座雕塑的高度。某天下午4时，他们在这座雕塑旁测得竿影的长为1.8m，竹竿的高为1.2m；同时，测得这座雕塑的影子长度是3.9m。请你根据测量的过程，算出这座雕塑的高度是( )m。 【分析】由题意可知：同一时间、同一地点不同物体的高度与影子的长度的比值相同，设这座雕塑的高度是xm，根据雕塑的高∶雕塑的影长＝竹竿的高∶竹竿的影长，列出比例求出x的值即可。 重难点题型精讲 【例1】学校科学小组在同一时间、同一地点进行观察实验，测得竹竿的高与竿影的长如下表： 根据实验记录，科学小组发现了竿影的长与竹竿的高的变化关系。科学小组用这种方法测量校园里一座雕塑的高度。某天下午4时，他们在这座雕塑旁测得竿影的长为1.8m，竹竿的高为1.2m；同时，测得这座雕塑的影子长度是3.9m。请你根据测量的过程，算出这座雕塑的高度是( )m。 【详解】解：设这座雕塑的高度是xm。 x∶3.9＝1.2∶1.8 1.8x＝3.9×1.2 1.8x÷1.8＝4.68÷1.8 x＝2.6 2.6 重难点题型精讲 【练1 】你见过摩天轮吗？人所 在座舱的高度的变化情况可以用 下图来表示。 （1）转动过程中，到达的最高点是多少米？最低点是多少米？ 【答案】（1）18米；3米 【分析】（1）根据折线统计图的变化，可以发现，最高的点是18米，最低点是3米； 【详解】（1）到达的最高点是18米，最低点是3米。 变式巩固练习 【练1 】你见过摩天轮吗？人所 在座舱的高度的变化情况可以用 下图来表示。 （2）转动第一圈的过程中，什么时间范围内高度在增加？什么时间范围内高度在降低？ 【答案】（2）0～6分；6～12分 【分析】（2）转动第一圈是0分到12分之间，在这个时间段里面可以发现，人所在座舱的高度在0分到6分从3米上升到了18米，从6分到12分从18米下降到了3米； 【详解】（2）在第一圈的过程中，0～6分内高度在增加，6～12分内高度在降低。 变式巩固练习 【练1 】你见过摩天轮吗？人所 在座舱的高度的变化情况可以用 下图来表示。 （3）到达最高点后，下一次再到达最高点需要经过几分？ 【答案】（3）12分 【分析】（3）第一个最高点的时间是6分，第二个最高点的时间是18分，相差12分，则每12分钟，就会到达下一个最高点。 【详解】（3）18－6＝12（分） 答：到达最高点后，下一次再到达最高点需要经过12分钟。 变式巩固练习 【练2 】声音在空气中传播的速度与空气的温度有关，从0℃开始，气温每升高5℃，声音在空气中传播的速度就增加约3米/秒。气温为20℃时声音在空气中传播的速度约为342米/秒，用t表示气温，用v表示声音在空气中传播的速度，请用式子表示出这两个量之间的关系。 【分析】20÷5×3＝20℃时声音比0℃时增加的速度，20℃时声音在空气中传播的速度－20℃时声音比0℃时增加的速度＝0℃声音在空气中传播的速度，因此相应气温声音增加的速度＋0℃声音在空气中传播的速度＝相应气温声音在空气中传播的速度，据此分析。 变式巩固练习 【练2 】声音在空气中传播的速度与空气的温度有关，从0℃开始，气温每升高5℃，声音在空气中传播的速度就增加约3米/秒。气温为20℃时声音在空气中传播的速度约为342米/秒，用t表示气温，用v表示声音在空气中传播的速度，请用式子表示出这两个量之间的关系。 【详解】342－20÷5×3 ＝342－12 ＝330（米/秒） v＝t÷5×3＋330＝0.6t＋330 答：用t表示气温，用v表示声音在空气中传播的速度，用式子表示出这两个量之间的关系是v＝0.6t＋330。 变式巩固练习 【练3 】一个带有容积刻度的圆柱形容器， 里面水平放置着一个由圆柱和圆锥两部分 组成的几何体铁块。以同样的速度往容器 中注水（如左图），注水时间与水面对应刻度的关系如右图所示。 （1）图中铁块圆柱部分的高是圆锥高的（ ）倍。 【分析】（1）从图中可知，水先填满圆柱周围空间，再填满圆锥周围空间。当容器里有圆柱时，水面刻度上升到了200毫升；当容器里有圆锥时，水面刻度上升了300－200＝100毫升；因为圆柱形容器的底面积不变，容积刻度和水面高度成正比，所以用200÷100即可求出圆柱的高是圆锥高的倍数。 变式巩固练习 【练3 】一个带有容积刻度的圆柱形容器， 里面水平放置着一个由圆柱和圆锥两部分 组成的几何体铁块。以同样的速度往容器 中注水（如左图），注水时间与水面对应刻度的关系如右图所示。 （1）图中铁块圆柱部分的高是圆锥高的（ ）倍。 【详解】（1）200÷（300－200） ＝200÷100 ＝2 图中铁块圆柱部分的高是圆锥高的2倍。 2 变式巩固练习 【练3 】一个带有容积刻度的圆柱形容器， 里面水平放置着一个由圆柱和圆锥两部分 组成的几何体铁块。以同样的速度往容器 中注水（如左图），注水时间与水面对应刻度的关系如右图所示。 （2）每秒注水多少毫升？ 【分析】（2）当注水第25秒至40秒时，水漫过了圆柱和圆锥。水面刻度从300毫升到450毫升时，即增加了水的体积450－300＝150毫升，用时40－25＝15秒，用150÷15＝10毫升，即求出了每秒注水量。 变式巩固练习 【练3 】一个带有容积刻度的圆柱形容器， 里面水平放置着一个由圆柱和圆锥两部分 组成的几何体铁块。以同样的速度往容器 中注水（如左图），注水时间与水面对应刻度的关系如右图所示。 （2）每秒注水多少毫升？ 【详解】（2）（450－300）÷（40－25） ＝150÷15 ＝10（毫升） 答：每秒注水10毫升。 变式巩固练习 【练3 】一个带有容积刻度的圆柱形容器， 里面水平放置着一个由圆柱和圆锥两部分 组成的几何体铁块。以同样的速度往容器 中注水（如左图），注水时间与水面对应刻度的关系如右图所示。 （3）铁块圆柱部分的体积是多少立方厘米。 【分析】（3）当容器里有圆柱时，水面刻度上升到了200毫升，用时17秒。此时容积刻度＝圆柱体积＋水的体积，水的体积：10×17＝170毫升＝170立方厘米，所以圆柱体积＝水面刻度－水的体积＝200－170＝30毫升＝30立方厘米。 变式巩固练习 【练3 】一个带有容积刻度的圆柱形容器， 里面水平放置着一个由圆柱和圆锥两部分 组成的几何体铁块。以同样的速度往容器 中注水（如左图），注水时间与水面对应刻度的关系如右图所示。 （3）铁块圆柱部分的体积是多少立方厘米。 【详解】 （3）200－17×10 ＝200－170 ＝30（毫升） ＝30（立方厘米） 答：铁块圆柱部分的体积是30立方厘米。 变式巩固练习 知识点2 判断两个量是否成为正比例的方法 2 判断两个量是否成为正比例的方法 1、正比例的意义： 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫作成正比例的量，它们的关系叫作正比例关系。 如果用字母x和y表示两种相关联的量，用字母k表示它们的比值（一定），正比例关系可以表示为： （一定）。 知识点梳理 2 判断两个量是否成为正比例的方法 2、判断两个量是否成为正比例的方法： （1）判断两个量是不是相关联的变量； （2）判断两个量中相对应的两个数的比值是否一定； （3）判定两个量是否成为正比例； （4）画图象：正比例的图像是一条直线。 知识点梳理 【例2】一个房间的铺地面积和用砖 数量如下表，根据表格填空。 (1)表中( )和( )是相关联的量，( )随着( )的变化而变化。 【分析】（1）根据表格中的数量关系直接填空即可； 【详解】（1）表中铺地面积和用砖数量是相关联的量，用砖数量随着铺地面积的变化而变化。 铺地面积 用砖数量 用砖数量 铺地面积 重难点题型精讲 【例2】一个房间的铺地面积和用砖 数量如下表，根据表格填空。 (2)第四组中用砖数量与铺地面积这两种量相对应的两个数的比是( )，比值是( )。 【分析】（2）找出第四组中用砖数量与铺地面积的值，写出比化简并求比值即可； 【详解】（2）第四组中用砖数量∶铺地面积＝60∶4＝15∶1 60∶4＝60÷4＝15 第四组中用砖数量与铺地面积这两种量相对应的两个数的比是15∶1，比值是15。 15∶1 15 重难点题型精讲 【例2】一个房间的铺地面积和用砖 数量如下表，根据表格填空。 (3)上面所求比值所表示的意义是每平方米的( )，( )是一定的，所以用砖数量和铺地面积成( )比例。 【分析】（3）比值是用砖数量与铺地面积的比值，表示用砖数量÷铺地面积，表示1平方米需要多少多少块砖；根据两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫作成正比例的量，它们的关系叫作正比例关系。如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫作成反比例的量，它们的关系叫作反比例关系；据此解答。 重难点题型精讲 【例2】一个房间的铺地面积和用砖 数量如下表，根据表格填空。 (3)上面所求比值所表示的意义是每平方米的( )，( )是一定的，所以用砖数量和铺地面积成( )比例。 【详解】（3）所求比值＝用砖数量÷铺地面积即所求比值所表示的意义是每平方米的用砖数量；用砖数量和铺地面积的比值是一定的，所以用砖数量和铺地面积成正比例。 用砖数量 用砖数量和铺地面积的比值 正 重难点题型精讲 【练4】根据下表中底是6厘米的平行四边形的面积与高相对应的数据，判断它们是不是成正比例，并说明理由。 【答案】成正比例；见详解 【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值（商）一定，还是对应的乘积一定，如果是比值（商）一定，就成正比例，如果是乘积一定，则成反比例。 观察表格，发现表中有平行四边形的面积和高两种相关联的量，平行四边形的面积随着高的变化而变化，且平行四边形的面积和高的商都是一定的，就是底一定，所以平行四边形的面积与高成正比例关系。 变式巩固练习 【练4】根据下表中底是6厘米的平行四边形的面积与高相对应的数据，判断它们是不是成正比例，并说明理由。 【详解】6÷1＝12÷2＝18÷3＝24÷4＝30÷5＝6 答：平行四边形的面积与高成正比例关系，因为平行四边形的面积÷高＝底（一定）。 变式巩固练习 知识点3 判断两个量是否成为反比例的方法 3 判断两个量是否成为反比例的方法 1、反比例的意义： 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫作反比例的量，它们的关系叫作反比例关系。 如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的乘积，反比例的关系式可以表示为：x•y=k（一定）。 知识点梳理 3 判断两个量是否成为反比例的方法 2、判断两个量是否成为反比例的步骤： （1）判断这两个量是不是相关联的变量； （2）运用数量关系进行判断；看这两个量中相对应的两个数的积是否一定； （3）判断出这两个量是否成为反比例。 知识点梳理 【例3】如图是两个相互啮合的齿轮，它们在同一时间内 转动时，大齿轮与小齿轮转过的总齿数是相同的。大齿轮 有34个齿，小齿轮有24个齿。当大齿轮每分钟转60圈时，小齿轮每分钟转多少圈？ 【分析】根据“在同一时间内转动时，大齿轮与小齿轮转过的总齿数是相同的”，即齿数×齿轮转的圈数＝总齿数（一定），积一定，则齿数与齿轮转的圈数成反比例关系，据此列出反比例方程，并求解。 重难点题型精讲 【例3】如图是两个相互啮合的齿轮，它们在同一时间内 转动时，大齿轮与小齿轮转过的总齿数是相同的。大齿轮 有34个齿，小齿轮有24个齿。当大齿轮每分钟转60圈时，小齿轮每分钟转多少圈？ 【详解】解：设小齿轮每分钟转 圈。 24 ＝34×60 24 ＝2040 ＝2040÷24 ＝85 答：小齿轮每分钟转85圈。 重难点题型精讲 【练5】笑笑在假期里看一本书，计划每天看20页，15天可以读完，实际提前3天看完，实际每天看多少页？（用比例知识解答） 【分析】根据每天读的页数×天数＝总页数（一定），每天读的页数和天数成反比例，设实际提前3天看完，实际每天看x页，列方程为（15－3）x＝20×15，然后解出方程即可。 【详解】解：设实际提前3天看完，实际每天看x页。 （15－3）x＝20×15 12x＝20×15 12x＝300 x＝300÷12 x＝25 答：实际提前3天看完，实际每天看25页。 变式巩固练习 启发思维 快乐学习 $