19.3 二次根式的加法与减法-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年八年级下册数学（人教版·新教材）云南专版

19.3 第 【名师导学 ◆◆预习先知 ▣新知梳理 一般地，二次根式加减时，先将二 次根式化简，再将 相同的 二次根式合并. ☑例题引路 【例1】有下列二次根式：√27，√24， E (1)能与合并的是 (2)能与√6合并的是 【名师点拨】先把每个二次根式化简，再 根据被开方数进行判断. 【学生解答】 【例2】计算： (1)√18+√32； (22+ 48 4； 3(√F+4-(任√) 【名师点拨】先把二次根式化简，再进行 同类二次根式的合并 【学生解答】 8数学Ⅱ八年级下册 二次根式的加法与减法 1课时二次根式的加减 基础过关 ●·逐点击破 知识点1二次根式合并的条件 1.(昆明期中)下列实数能与√2合并的是 ( ) A.√4 B.√8 C.√/12 D.√27 2.下列各组二次根式中，化简后被开方数相同的二次根式是 ( A.√8与√28 B.√/12与√24 c与网 D.√75与√27 知识点2二次根式的加减 3.计算√3+√12的结果是 A.√/15 B.3√3 C.3√2 D.4√3 4.计算： (1)(自贡中考)√18-3√2= (2)√20+√/45= 5.计算： 02, (2)√4x+√/16x; (3)2⑧-V63+只； 3 (4)2√12+3√48-4√75. 知识点3二次根式的加减的应用 6.将一根长为2√54m的绳子截去一段，截去的长度为√24m, 则余下部分的长度为 m. 7.环境保护情境化晶晶同学设计了一张长方形的环保宣传海 报，其长为√50dm,宽为√18dm,现要给海报的四周贴上 装饰彩条，则所需的彩条总长度为 dm. T能力提升 >◆，整合运用 8.若最简二次根式√6一4x与√8可以合并，则 x的值是 A-是 C.1 D.2 9.(易错题)等腰三角形的两条边长为√⑧和 10,任，则这个三角形的周长为 ( A.7√2 B.9√2 C.12√2 D.7√2或12√2 10.新定义新趋势定义关于“☒”的新运算：当 a>b时，a☒b=a十b;当a≤b时，a☒b=a b,其他运算符号的意义不变.按上述定义，计 算：(5☒1)-（√3☒2）= 11.计算： (1)(√45+√18)-（√/20-√50）： 2(m-4得)-(3√-4@.)： (3)v2+3V层+2x√厚 12.(教材P14例3变式)如图，一块长为9dm, 宽为7dm的长方形木板，能否按照图示方 式在这块木板上裁出一个面积为27dm 和两个面积均为12dm的正方形木板？ 9 dm- 【思维拓展 ♪◆♪强化素养 13.嘉琪准备完成题日“计算：（■√3 -5/0.2)- (24-V20)”时，发现“■”处的数字印 刷不清楚， (1)他把“■”处的数字猜成6，请你计算 (6√得-5v2(va-例的结果： (2)他妈妈说：“你猜错了，我看到该题标准 答案是"请通过计算求原题中“■” 的值. 第十九章二次根式9 第2 口名师导学 ·◆·预习先知 新知梳理 ①二次根式混合运算的顺序与有理数 的运算顺序相同，先算乘方，再算乘 除，最后算加减，有括号的先算括号 里面的. ②在二次根式的混合运算中，乘法公式 (平方差公式、完全平方公式)仍然适 用，最后结果一定要化成最简二次 根式 心例题引路 【例】计算： (1)√2X(W8+√12)； (2)(4√3-3√6)÷2√5； (3)(√6+2)(6-2)； (4)(2√5-√2)2. 【名师点拨】(1)(2)利用分配律进行计 算，(3)(4)利用乘法公式进行计算. 【学生解答】 10数学Ⅱ八年级下册 课时二次根式的混合运算 基础过关 ●●◆逐点击破 知识点1二次根式的混合运算 1.计算√15×√3-√5的结果是 A.√40 B.3 C.25 D.4√5 2.计算： (1)√12：√6+√18= 2m-÷层 3.计算： ×√√ (2)(27-√24+/2)÷3： (3)(3√6-6)(6+2)； (4)80-45 -√/5o×√⑧. 知识点2利用乘法公式进行二次根式的混合运算 4.(河北中考)计算（√10+√6）（√10一√）的结果为() A.2 B.4 C.6 D.8 5.计算： (1)(2-√2)2= (2)(1-3√2)(1+3√2)= 6.计算： (1)(3√3+2√6)2； (2)(3√7+5√2)(3√7-5√2). 口能力提升 整合运用 7.(文山嘉中)估计×（区一6）的值应在 A.0和1之间 B.1和2之间 C.2和3之间 D.3和4之间 8.若x为实数，在“(3+1)□x”的“☐”中填一 种运算符号（在“十，一，×，÷”中选择）后其 运算的结果为有理数，则x不可能是( A.√3+1 B.√3-1 C.2√3 D.1-√3 9.若3-√2的整数部分为a,小数部分为b,则 代数式(2+√2a)b的值为 10.计算： 1(vx3+告-8√)÷E: (2)√5(W5-√15)+(23+√/15)（√/15-23）. 11.长方形ABCD的长为2√6+√5，宽为2√6 √5.在长方形ABCD内部挖去一个边长为 √6一√5的正方形，求剩余部分的面积. 思维拓展 ♪>>强化素养 12.类比探究新趋势在进行二次根式的运算 时，如遇到这样的式子，我们可以按如 √2+1 下两种方法进行化简： 1 2-1 方法一： 2+1(2+1)×(2-1) -1 方法二： 1」 2-1=2)2-12- √2+1√2+1√2+1 (2+1)×(2-1D=2-1. √2+1 )请分别参照以上两种方法化简：后十2 (2)计算：(2+15+2+5 1 1 1 V2026+V2025)(V2026+1). 1 提示 请完成基本功专练（一） 第十九章二次根式11参考答案 第十九章 二次根式 19.1二次根式及其性质 第1课时二次根式的概念 基础过关 1.C2.C3.0(答案不唯一)4.35.解：(1)由-a≥0，得a≤0.(2)由4a十1≥0，得 1 a-1≥0， a≥-.(3)由 得a>1.6.B7.√2m √a-1≠0， 能力提升 8.D9.410.2011.解：(1)设这个矩形过道的长为5xm,宽为2xm.根据题意，得 5x·2x=10,解得x=士1.：x不能为负数，x=1,.5x=5,2x=2.答：这个矩形过 道的长为5m,宽为2m.(2)设这种地板砖的边长为ym,则40y=10.∴y=,∴y /1. 1 1 弥 ,“y不能为负数，y=2,答：这种地板砖的边长为2m 第2课时二次根式的性质 新知梳理 ①≥②a Ba -a 例题引路 【例1】解：(1)原式=7.(2)原式=5.(3)原式=(2√5)2=22×（√3）2=4×3=12.(4)原 式=|3-√101=√10-3.【例2】8 易错典例 她 【例3】2025 基础过关 1.B2.-83.A4.(1)(5)2(2)(3.4)2 (4)(√F)25.解：(1)原 封 式=17.(2)原式=4×7=28.(3)原式=号.6.C7.B8.解：(1)原式=-0.3. (2)原式= 架 4 号.(3)原式=3-x=天-3， 能力提升 9.D【变式题C10.B11.(1)4或7或8(2)312.解：(1)原式= 91-号+1号=号原式=2-8+3x=2×-3+1 4×5-3+1=20-3+1=18. 思维拓展 线 13.解：(1)由隐含条件3-x≥0，解得x≤3.∴x一π<0..原式=-(x-π)-(3-x)= -x十π-3十x=π-3.(2)由数轴得隐含条件a<0<b,a>1b1,∴.a十b<0,b-a>0. ∴.原式=a-a十b-|b-a=-a十a十b-b十a=a.(3)由三角形的三边关系得隐 含条件a十b+c>0,a-b<c,b-a<c,c-b<a,∴.a-b-c<0,b-a-c<0,c-b-a< 0.∴.原式=|a+b+c+|a-b-c-lb-a-cl+|c-b-a|=(a十b+c)-(a-b-c) +(b-a-c)-(c-b-a)=a+b+c-a+b+c+b-a-c-c+b+a=4b. 19.2二次根式的乘法与除法 第1课时二次根式的乘法 新知梳理 √abga·6 例题引路 【例1】解：)原式=6x3=尽X2=3E.(2)原式=2√8x=2×2=4 【例2】解：(1)原式=√/3×10=√5×√/102=10√5.(2)原式=√3×2·x2·y= 23xy. 第1页（共48页） 基础过关 1.B2.D3解：10原式=V5X20-V00-10.(2)原式-√分×42-瓜.(3)原 式=5√含×10=6V丽=25.(4原式=-3X2×V5X5=-6VXxF- -150.4.A5.A6.解：(1)原式=√16×√49=4×7=28.(2)原式=√25×10= W√25×√0=5√10.(3)原式=√12X27=√/12×√/27=√3X2×√3X3=2√× 3=18.(4)原式=√36·√·√y=6xy2. 能力提升 7.D860x9.-a一ad10.解：1)原式=号×(-9)×√停×45=-6× √停×1x8=-5.(2)原式=√停×25×(-)=2×()× √写×3X10=-6.11.解：当d=20,f=1.2时0=16V20X12=16/a=32≈32× 2.4495≈78.38(km/h).答：肇事汽车的车速大约是78.38km/h. 思维拓展 12.解：1)010=10×VT=V0x0.T=V而.@x√厂=-可： √=√=-.(2)-56=-V6×6=-V5x=-1, -6√5=-√6X5=-√36X5=-√180.√/150<√180，∴.-√150>-√180， 即-5√6>-6√5. 第2课时二次根式的除法 新知梳理 a 0W6 eva ③分母能开得尽平方的因数或因式 例题引路 【例】：1)原式=√雳-√-(2)原式-√合-√×=3.3原式 =2X3×(-1)×√14×7×2=-6√6 1 ,9=-6N6×6 9=-76.【例2】解：(1)原式 =尽=2E.(（2)原式=-03=. √25 5 √0.360.6-2 基础过关 1.A2.C3.解：(1)原式=- √厚=-=-2.2原武=-×√5=-× √6×=告×号=(3)原式-V需 3 xy=√3x.4.C5.解：(1)原式= 震無源式停票片)原武=器 √/100 V9636· 6.C7.解： 1原式-√-√贸=四(2原式--()原式 2√2√2√2X2 2X0_5 3×2√10 6√10×10 30 能力提升 8.C9.0≤x<110.2626 3 11解：1原式=一号入√-号√=-号× 3W8 是=-1.(2)原式=安×4×受√6X12x=8V所=3X6=18 思维拓展 12.解：(1)两名同学的解法都正确.(2)答案不唯一，如：√0=√兮 √a -√-√阁-品-总 第2页（共48页） 19.3二次根式的加法与减法 第1课时二次根式的加减 新知梳理 被开方数 例题引路 【例11)Vm√E(2)Va√号√昏【例2懈：1)原式=3E+4E=7E. (2②)原式=4+3--.(3)原式=F+4厅-号+-号+5. 基础过关 1.B2.D3.B4.(1)0(2)555.解：(1)原式=3y2.(2)原式=2+4F 2 6.(3)原式=2万-3万+5=-2y.(4)原式=45+125-205=-45 3 3 6.4√67.16√2 能力提升 8.C9.C10.311.解：(1)原式=(35+3√2)-(25-5√2)=35+3√2-2√5+ 5√2=√5+8√2.(2)原式=2√3-√2-√3+22=√3+√2.(3)原式=3√3x+3X 3+2x.3正=3√3z+√3+23=63.12.解：√厄+V27=25+ 3 3√3=53=√75(dm).9=√/8I>√/75，√27<2√12=√/48,7=√/49>√/48，.能 够在这块木板上裁出一个面积为27dm和两个面积均为12dm的正方形木板. 思维拓展 13.解：1)原式=6×5-5×5-25+×2厅=-26-厅-26+5=0.（②》设原题 2 中■的值是a,则a…誓-5×9-26+×25-：9。-后-26+后- 3 5 “(合4一2)6-4一8=子解得a=号.：原题中口的值是号 第2课时二次根式的混合运算 例题引路 【例】解：1)原式=6+√2=4+26.(2)原式=45÷25-36÷25=2-3yE 2 (3)原式=(W6)2-22=6-4=2.(4)原式=(2W3)2-2×2√3×2+(W2)2=12-4√6+2= 14-4√6 基础过关 1.C2.14万(253解：1)原式=√14×号-√号×6=2-3=-1.(2)原 式=(33-2√6+2√3)÷√3=(53-2√6)÷√3=5-2√2.(3)原式=18十66-6√6 -12=6.4原式=45-3,5-40=1-20=-19.4B5.1)6-4E(2)-17 5 6.解：(1)原式=27+36√2+24=51十36√2.(2)原式=(3√7)-(5√2)=63-50=13. 能力提升 7.A8.C9.210.解：(1)原式=(33×36+4√2-42)÷√2=272÷√2=27. (2)原式=5-5V3+15-12=8-55.11.解：剩余部分的面积为(2√6+√5)×(26 -√5)-(W6-√5)=(2√6)2-(W5)2-[(W6)2-26X5+(W5)2]=(24-5)-(6 2√/30+5)=19-(11-2√/30)=8+2√30. 思维拓展 以，山为法-后计5十862号-6-么方法-2 5-2 5-4=W⑤-2-5+2)×5-2-5-2.(2)原式=(W2-1+5-2+-5 √5+2√W5+2 W5+2 +…+√2026-√/2025)（√2026+1）=（√/2026-1）（√2026+1）=（√/2026）2- 12=2026-1=2025. 第3页（共48页）