精品解析：山西和顺县平松乡中学等校2025-2026学年第一学期期末学业水平质量监测九年级数学试卷

2025－2026学年第一学期期末学业水平质量监测九年级数学 一、单项选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．） 1. 一元二次方程的根的情况是（） A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法判断 【答案】C 【解析】 【分析】求出一元二次方程根的判别式的值，即可作出判断． 【详解】解：一元二次方程， ∵， ∴有两个不相等的实数根． 故选：C． 【点睛】本题考查一元二次方程根的情况，解题的关键是掌握一元二次方程根的判别式． 2. 在反比例函数的图像在某象限内，随着的增大而减小，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用反比例函数增减性得出的取值范围即可． 【详解】解：根据题意，反比例函数的图像在某象限内，随着的增大而减小， 则有，解得． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的图像与性质，熟练掌握相关知识是解题关键． 3. 青花瓷是中国传统陶瓷艺术的瑰宝，以其独特的蓝白相间图案闻名于世．如图所示的青花冰梅大碗是清代康熙年间文物，现为苏州博物馆藏品，其俯视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查几何体的俯视图，根据俯视图的定义即可求解． 【详解】解：该几何体的俯视图如图所示． 故选：C． 4. 某旅游景点原有1个入口和一个出口，为了减缓十一期间游客排队、拥挤等现象，该景点新增了1个入口和2个出口，，如图所示．小华随机选一个入口进入景区，游玩后任选一个出口离开，则他选择从口进入，从口离开的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了用列表法求概率，熟练掌握列表法列出所有等可能结果并结合概率公式计算是解题的关键．通过列表法列出所有入口和出口的组合情况，再找出从口进入且从口离开的情况数，最后根据概率公式计算概率． 【详解】解：列表 出口 入口 由列表可知，共有种等可能的结果． 其中从口进入，从口离开的结果只有种，即． 所以． 故选：A． 5. 如图，小正方形的边长为1，则下列图中的三角形与相似的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据网格中的数据求出的长，求出三边之比，利用三边对应成比例的两三角形相似判断即可． 【详解】解：根据题意可得： A．三边之比为图中的三角形（阴影部分）与不相似． B．三边之比为，图中的三角形（阴影部分）与不相似． C．三边之比为图中的三角形（阴影部分）与相似． D．三边之比为图中的三角形（阴影部分）与不相似． 故选：C． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解本题的关键． 6. 如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数的图象交于A，B两点，过A作y轴的垂线，交反比例函数的图象于点C，连接BC，若，则k的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】连接，与y轴交于点，根据条件求出的面积，然后根据的几何意义即可求得． 【详解】解：如图，连接，与y轴交于点， 正比例函数与反比例函数的图象交于A，B两点，且轴， ， 根据反比例函数的中心对称性得：， ， ， ， ， ， ． 故选：A 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，相关知识点有：中心对称性、的几何意义等，熟练运用反比例函数的性质是解题关键． 7. 古书记载：“执规矩，以度天下之方圆”，度方知圆，感悟数学之美．如图，以面积为1的正方形的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形，若，则四边形的面积为 （ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据位似图形性质，且相似比为，得，代入计算解答即可． 本题考查了位似作图，位似性质，熟练掌握作图和性质是解题的关键． 【详解】解：根据题意，两个正方形位似，且相似比为， 得， 得， 解得， 故选：C． 8. 九（1）班全体学生在观看完2025年9月3日的盛大阅兵式后万分激动，王老师趁热打铁，让九（1）班全体学生互赠勉励卡激励同学们努力学习、报效祖国．已知共赠勉励卡1560张，问：九（1）班共有多少名学生？设九（1）班共有名学生，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了根据实际问题列一元二次方程，熟练掌握互赠问题中数量关系的分析方法是解题的关键． 根据每个学生要给除自己之外的其他同学赠送勉励卡，计算出赠送的总张数，从而列出方程． 【详解】解：由题意可得． 故选：B． 9. 如图，，，，均为网格图中的格点，线段与相交于点，则的正切值为(　　) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，，由题意得：，得出，勾股定理求得，根据正切的定义即可求解． 【详解】解：连接，，由题意得：， ， 由题意得：，， ， ， 的正切值为：， 故选：A． 【点睛】本题考查了求正切，勾股定理与网格问题，数形结合是解题的关键． 10. 如图，正方形的边长为12，，分别为，边上的点，且，，分别为，边上的点，且交，于点，，则的长为（ ） A. 6 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由勾股定理可求AE的长，通过证明四边形AFCE是平行四边形，可得，即可求解． 【详解】解：正方形的边长为12， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， 故选：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，利用面积法求GH的长是本题的关键． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 已知抛物线，将该抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度，请写出新抛物线的解析式为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数图象的平移规律即可得到答案． 【详解】解：抛物线，将该抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度， 得到新抛物线的解析式为，即， 故答案为： 【点睛】此题考查了二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移规律是解题的关键． 12. 在矩形中，两条对角线相交于O，，，则这个矩形的对角线长为____________． 【答案】10 【解析】 【分析】由矩形的性质可证为等边三角形，可求的长，即可求的长． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴，且， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 故答案为：10． 【点睛】本题考查矩形的性质，等边三角形的性质和判定，熟练掌握矩形的性质是本题的关键，①矩形的对边平行且相等；②矩形的四个角都是直角；③矩形的对角线相等且互相平分． 13. 已知点，都在反比例函数的图象上，且，则，的大小关系是______． 【答案】## 【解析】 【分析】将点A，B坐标代入解析式中，可求出与，由，可得，即可得出与大小关系． 【详解】解：∵， ∴反比例函数的图象分别位于二、四象限，且在每个象限内，y随着x的增大而增大， ∵，都在反比例函数的图象上，且， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征．熟知反比例函数图象在每个象限内的增减性是解题的关键． 14. 如图，测量小玻璃管口径的量具的长为，被分为60等份．如果小玻璃管口径正好对着量具上20等份处（），那么小玻璃管口径是_______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，根据题意易证，根据相似比即可得出的长度． 【详解】解：∵， ∴． ∴． ∴． ∴， ∴小玻璃管口径是， 故答案为：． 15. 如图，在正方形中，点E是边的中点，连接，过C作于F，交于G，交于H，连接．下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论是______． 【答案】①②③④⑤ 【解析】 【分析】证明，可得，从而可得，作的延长线，垂足为点M，作于点N，证明四边形是矩形，设为x，则，，可得，可证四边形是正方形，即可判断①；利用等量代换得出，即，求得，，证明，可得，求得，，，即可判断②；根据正方形的性质和三角形外角的性质可得，，即可判断③；根据，即可判断④；根据，求得，从而求得，，即可判断⑤． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵点E是边的中点， ∴， 作的延长线，垂足为点M，作于点N， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， 设为x，则，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， 则是正方形的对角线，即，故①正确； ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵四边形、四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴，故③正确； ∵，故④正确； ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，故⑤正确； 故答案为：①②③④⑤． 【点睛】本题考查正方形的判定与性质、矩形的判定、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质及锐角三角函数，熟练掌握相关定理是解题的关键． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 计算和解方程 （1）． （2）． （3）． 【答案】（1）1 （2） （3）， 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，解一元二次方程，熟练掌握特殊角的三角函数值，化简绝对值以及负整数指数幂、零次幂以及解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）根据特殊角的三角函数值，化简绝对值以及负整数指数幂，进行计算即可求解； （2）根据特殊角的三角函数值，零次幂，进行计算即可求解； （3）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 【小问3详解】 解： ， ， 则， 或， 解得：，． 17. 如图：矩形的对角线，相交于点O，过点D作，且，连接，试判断四边形的形状． 【答案】菱形 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，菱形的判定，平行四边形的判定，利用一组邻边相等的平行四边形是菱形证明即可． 【详解】四边形是菱形．理由如下： ∵矩形的对角线，相交于点O， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 18. 5月26日，某视频平台发布“2025非遗数据报告”，数据显示，过去一年来，新增国家级非遗相关视频超2亿条，1400万网友通过该平台分享非遗体验，相关短视频播放量达7499亿次，其中视频点赞量最高的国家级非遗分别是相声，柳州螺蛳粉制作技艺，越剧和豫剧．小晋整理了这四种非遗的图片如下： （1）小晋从这四幅图中随机选择一幅，恰好选中“A．相声”的概率是_____； （2）为宣传这四种非物质文化遗产，小晋先从四幅图中任选一幅，小运再从剩下的三幅图中任选一幅．请用画树状图或列表的方法，求两人恰好选中两种戏曲的概率． 【答案】（1） （2）图表见解析， 【解析】 【分析】本题主要考查了简单概率的计算，利用画树状图或列表的方法求概率，解题的关键是掌握简单概率公式以及树状图． （1）利用简单概率公式进行求解即可； （2）利用树状图进行求概率即可． 【小问1详解】 解：从这四幅图中随机选择一幅，恰好选中“A．相声”的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：画树状图为： 共有12种等可能的结果，其中两人恰好选中两种戏曲的情况为或，共2种． 则两人恰好选中两种戏曲的概率． 19. 如图，M是四边形对角线的交点，轴于点C，轴于点，反比例函数：的图象经过点M，M是的中点． （1）求经过点A的反比例函数的表达式； （2）若点D恰好也在图象上，证明：四边形是菱形． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】本题将反比例函数与四边形的性质结合，解题关键是利用反比例函数的性质和中点坐标求出相关点的坐标关系，再结合菱形的判定定理进行证明，考查了知识的综合运用能力． 设点M的坐标为，根据点M在反比例函数上，求出，根据轴，M是的中点，求出点A的坐标，设经过点A的反比例函数的表达式为，代入点A的坐标即可解答； 根据题意证明与互相垂直平分即可得证． 【小问1详解】 解：设点M的坐标为， 点M在反比例函数上， ， 轴，M是的中点， 点A的坐标为， 设经过点A的反比例函数的表达式为， 把代入可得， 即， 又， ， 则反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 证明：设点M的坐标为， 轴， 点D的纵坐标与点M的纵坐标相同， 点D在图象上， 点D的坐标为， 由知，，即， 点M的坐标为， ， 是的中点， ； 轴，轴， 轴，轴， 即， 四边形是菱形． 20. 三星堆遗址被称为20世纪人类最伟大的考古发现之一，昭示了长江流域与黄河流域一样，同属中华文明的母体，被誉为“长江文明之源”．为更好的传承和宣传三星堆文化，三星堆文创馆一次次打破了自身限定，让文创产品充满创意．已知文创产品“青铜鸟文创水杯”有A，B两个系列，A系列产品比B系列产品的售价低5元，100元购买A系列产品的数量与150元购买B系列产品的数量相等．按定价销售一段时间后发现：B系列产品按定价销售，每天可以卖50件，若B系列产品每降1元，则每天可以多卖10件． （1）A系列产品和B系列产品的单价各是多少？ （2）为了使B系列产品每天的销售额为960元，而且尽可能让顾客得到实惠，求B系列产品的实际售价应定为每件多少元？ （3）当B系列产品的实际售价为每件多少元时，每天的销售额能达到最大，最大销售额是多少元？ 【答案】（1）A系列产品的价格为10元，则B系列产品的价格为15元 （2）8元 （3）实际售价为每件10元时，y取得最大值，且最大值为1000元． 【解析】 【分析】（1）设A系列产品的价格为x元，则B系列产品的价格为元，根据题意，得，解方程即可． （2）设降价为x元，实际售价元，每天可售出件，根据题意，得，解得即可． （3）设降价为x元，实际售价元，每天可售出件，销售额为y元，根据题意，得，解答即可． 本题考查了分式方程的应用题，一元二次方程的应用，二次函数的应用，熟练掌握一元二次方程的应用，二次函数的最值是解题的关键． 【小问1详解】 解：设A系列产品的价格为x元，则B系列产品的价格为元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的根． 此时， 答：A系列产品的价格为10元，则B系列产品的价格为元． 【小问2详解】 解：设降价为x元，实际售价元，每天可售出件， 根据题意，得， 整理得， 解得， 根据尽可能让顾客得到实惠，，保留，舍去， 故B系列产品的实际售价应定为每件元． 【小问3详解】 解：设降价为x元，实际售价元，每天可售出件，销售额为y元，根据题意，得， 故， ∵， ∴抛物线开口向下，函数有最大值，且时，y取得最大值，且最大值为1000元． 故实际售价为每件10元时，y取得最大值，且最大值为1000元． 21. 某数学兴趣小组开展一项综合实践活动，记录如下： 【活动项目】测量山坡上一棵垂直于水平地面的大树的高度． 【测量方案】示意图如图所示： 1．在水平地面上正对大树的方向上选取点，在点处测量大树顶端的仰角； 2．沿方向前进到达坡脚点处，在点处测量大树顶端的仰角； 3．测量之间的距离； 4．测量斜坡的坡角． 【测量数据】 1．在点处测得的仰角为； 2．在点处测得的仰角为； 3．； 4．斜坡的坡角为． 请根据以上方案，计算大树的高度．（结果保留精确值．参考数据：， 【答案】大树的高度为 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．通过作辅助线构造直角三角形，利用三角函数关系分别表示出相关线段长度，再根据线段之间的关系列方程求解大树高度． 【详解】解：延长交于，则， ∵ 斜坡的坡角为， ∴， ∵，， 在中，， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即大树的高度为． 22. 综合与实践 问题情境： 如图1，物理活动课上，同学们做了一个小球弹射实验．小球从斜坡点O处以一定的方向弹出，小球的飞行路线近似地看作是抛物线的一部分，小球刚好落到斜坡上的点A处． 建模分析： 如图2，以过点O的水平直线为x轴，过点O的铅垂直线为y轴，建立平面直角坐标系．分析图象得出，小球飞行的水平距离x（米）与小球飞行的竖直高度y（米）的几组对应值如下表，且点A的坐标为． x（米） 0 1 2 3 y（米） 0 2 问题解决： （1）求小球的飞行高度y（米）与水平距离x（米）的函数表达式； （2）如图2，求小球在飞行过程中距坡面的最大铅垂高度； （3）如图3，设小球在飞行过程中的动点为P（P不与O，A重合），连接，直接写出面积的最大值． 【答案】（1） （2）米 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确理解题意，求出函数解析式是解题的关键． （1）根据表格中的数据可得抛物线对称轴为直线，则把解析式设为顶点式，再利用待定系数法求解即可； （2）求出直线解析式为，设，则，可得，据此利用二次函数的性质求解即可； （3）如图所示，过点P作轴交于Q，由可得，则当最大时，的面积最大，由（2）可得的最大值为，据此可得答案． 【小问1详解】 解：∵当和当时的函数值相同， ∴抛物线对称轴为直线， ∴抛物线的顶点坐标为， 设抛物线解析式为， 把代入中得，解得， ∴小球的飞行高度y（米）与水平距离x（米）的函数表达式为； 【小问2详解】 解：设直线解析式为， 把代入中得，解得， ∴直线解析式为， 设，则， ∴， ∵， ∴当，即时，有最大值，最大值为； ∴小球在飞行过程中距坡面的最大铅垂高度为米； 【小问3详解】 解：如图所示，过点P作轴交于Q， ∴ ， ∴当最大时，的面积最大， 由（2）可得的最大值为， ∴平方米． 23. 如图，中，，，点为射线上一动点，连结，作且． （1）如图 1 ，请过 F 点作 交 于D 点，求证： ； （2）如图 2 ，连结 交于点，若 ，求证：点为中点． （3）当 E 点在射线上，连结与直线 交于 G 点，若 ，则 ．（直接写出结果） 【答案】（1）见解析； （2）见解析； （3）或． 【解析】 【分析】此题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解答此题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，理解全等三角形的对应边相等、对应角相等；难点是类比思想在解题中的应用． （1）过点作于点，先证，再依据“”判定和全等，从而得，，据此可得出结论； （2）由（1）可知：，，再证和全等得，然后由 ，则，，进而可得，据此可得出结论； （3）过点作交的延长线于，由（1）可知，由（2）可知，再由 ，则，，，，进而得，，据此可得出答案． 【小问1详解】 证明：如图过点作于点， ，，，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 【小问2详解】 证明：过点作于点，则， 由（1）可知： ∴，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 点为的中点． 【小问3详解】 解点在射线上， 有以下两种情况： （ⅰ）当点在线段上时，过点作于，如图所示： ， ， 由（2）可知：，则， 由（2）可知：，则， ， ． （ⅱ）当点在的延长线上时，过点作交的延长线于，如图所示： 由（2）可知：， 由（2）可知：， ， ， ，， ， ， ， ． 综上所述：的值为：或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年第一学期期末学业水平质量监测九年级数学 一、单项选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．） 1. 一元二次方程的根的情况是（） A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法判断 2. 在反比例函数的图像在某象限内，随着的增大而减小，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 青花瓷是中国传统陶瓷艺术的瑰宝，以其独特的蓝白相间图案闻名于世．如图所示的青花冰梅大碗是清代康熙年间文物，现为苏州博物馆藏品，其俯视图为（ ） A. B. C. D. 4. 某旅游景点原有1个入口和一个出口，为了减缓十一期间游客排队、拥挤等现象，该景点新增了1个入口和2个出口，，如图所示．小华随机选一个入口进入景区，游玩后任选一个出口离开，则他选择从口进入，从口离开的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，小正方形的边长为1，则下列图中的三角形与相似的是（　　） A. B. C. D. 6. 如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数的图象交于A，B两点，过A作y轴的垂线，交反比例函数的图象于点C，连接BC，若，则k的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 7. 古书记载：“执规矩，以度天下之方圆”，度方知圆，感悟数学之美．如图，以面积为1的正方形的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形，若，则四边形的面积为 （ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 8. 九（1）班全体学生在观看完2025年9月3日的盛大阅兵式后万分激动，王老师趁热打铁，让九（1）班全体学生互赠勉励卡激励同学们努力学习、报效祖国．已知共赠勉励卡1560张，问：九（1）班共有多少名学生？设九（1）班共有名学生，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，，，，均为网格图中的格点，线段与相交于点，则的正切值为(　　) A. B. C. D. 10. 如图，正方形的边长为12，，分别为，边上的点，且，，分别为，边上的点，且交，于点，，则的长为（ ） A. 6 B. C. D. 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 已知抛物线，将该抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度，请写出新抛物线的解析式为______． 12. 在矩形中，两条对角线相交于O，，，则这个矩形的对角线长为____________． 13. 已知点，都在反比例函数的图象上，且，则，的大小关系是______． 14. 如图，测量小玻璃管口径的量具的长为，被分为60等份．如果小玻璃管口径正好对着量具上20等份处（），那么小玻璃管口径是_______． 15. 如图，在正方形中，点E是边的中点，连接，过C作于F，交于G，交于H，连接．下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论是______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 计算和解方程 （1）． （2）． （3）． 17. 如图：矩形的对角线，相交于点O，过点D作，且，连接，试判断四边形的形状． 18. 5月26日，某视频平台发布“2025非遗数据报告”，数据显示，过去一年来，新增国家级非遗相关视频超2亿条，1400万网友通过该平台分享非遗体验，相关短视频播放量达7499亿次，其中视频点赞量最高的国家级非遗分别是相声，柳州螺蛳粉制作技艺，越剧和豫剧．小晋整理了这四种非遗的图片如下： （1）小晋从这四幅图中随机选择一幅，恰好选中“A．相声”的概率是_____； （2）为宣传这四种非物质文化遗产，小晋先从四幅图中任选一幅，小运再从剩下的三幅图中任选一幅．请用画树状图或列表的方法，求两人恰好选中两种戏曲的概率． 19. 如图，M是四边形对角线的交点，轴于点C，轴于点，反比例函数：的图象经过点M，M是的中点． （1）求经过点A的反比例函数的表达式； （2）若点D恰好也在图象上，证明：四边形是菱形． 20. 三星堆遗址被称为20世纪人类最伟大的考古发现之一，昭示了长江流域与黄河流域一样，同属中华文明的母体，被誉为“长江文明之源”．为更好的传承和宣传三星堆文化，三星堆文创馆一次次打破了自身限定，让文创产品充满创意．已知文创产品“青铜鸟文创水杯”有A，B两个系列，A系列产品比B系列产品的售价低5元，100元购买A系列产品的数量与150元购买B系列产品的数量相等．按定价销售一段时间后发现：B系列产品按定价销售，每天可以卖50件，若B系列产品每降1元，则每天可以多卖10件． （1）A系列产品和B系列产品的单价各是多少？ （2）为了使B系列产品每天的销售额为960元，而且尽可能让顾客得到实惠，求B系列产品的实际售价应定为每件多少元？ （3）当B系列产品的实际售价为每件多少元时，每天的销售额能达到最大，最大销售额是多少元？ 21. 某数学兴趣小组开展一项综合实践活动，记录如下： 【活动项目】测量山坡上一棵垂直于水平地面的大树的高度． 【测量方案】示意图如图所示： 1．在水平地面上正对大树的方向上选取点，在点处测量大树顶端的仰角； 2．沿方向前进到达坡脚点处，在点处测量大树顶端的仰角； 3．测量之间的距离； 4．测量斜坡的坡角． 【测量数据】 1．在点处测得的仰角为； 2．在点处测得的仰角为； 3．； 4．斜坡的坡角为． 请根据以上方案，计算大树的高度．（结果保留精确值．参考数据：， 22. 综合与实践 问题情境： 如图1，物理活动课上，同学们做了一个小球弹射实验．小球从斜坡点O处以一定的方向弹出，小球的飞行路线近似地看作是抛物线的一部分，小球刚好落到斜坡上的点A处． 建模分析： 如图2，以过点O的水平直线为x轴，过点O的铅垂直线为y轴，建立平面直角坐标系．分析图象得出，小球飞行的水平距离x（米）与小球飞行的竖直高度y（米）的几组对应值如下表，且点A的坐标为． x（米） 0 1 2 3 y（米） 0 2 问题解决： （1）求小球的飞行高度y（米）与水平距离x（米）的函数表达式； （2）如图2，求小球在飞行过程中距坡面的最大铅垂高度； （3）如图3，设小球在飞行过程中的动点为P（P不与O，A重合），连接，直接写出面积的最大值． 23. 如图，中，，，点为射线上一动点，连结，作且． （1）如图 1 ，请过 F 点作 交 于D 点，求证： ； （2）如图 2 ，连结 交于点，若 ，求证：点为中点． （3）当 E 点在射线上，连结与直线 交于 G 点，若 ，则 ．（直接写出结果） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $