6.2.4组合数同步训练-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

6.2.4组合数同步训练 一、单选题 1．从5名学生中选出3名学生值日，则不同的安排有（    ）种 A． B． C． D． 2．小明在学校里学习了二十四节气歌后，打算在网上搜集一些与二十四节气有关的古诗，他准备在冬季的个节气：立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒与春季的个节气：立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨中一共选出个节气，搜集与之相关的古诗，如果冬季节气和春季节气各至少被选出个，那么小明选取节气的不同情况的种数是（    ） A． B． C． D． 3．下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 4．已知数列：，从中任选三项组成一个新数列，则所有新数列中的最小项之和为（    ） A． B． C． D． 5．北京年冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”一亮相，好评不断，这是一次中国文化与奥林匹克精神的完美结合.为了宣传年北京冬奥会和冬残奥会，某学校决定派小明和小李等6名志愿者将两个吉祥物安装在学校的体育广场，每人参与且只参与一个吉祥物的安装，每个吉祥物都至少由两名志愿者安装.若小明和小李必须安装不同的吉祥物，则不同的分配方案种数为（   ） A． B． C． D． 6．将小文等5名大学生安排到三家企业进行实践学习，每名大学生只能安排去一家企业，每家企业至少安排1名大学生，且安排小文独自去其中一家企业进行实践学习，则不同的安排方法种数为（    ） A．48 B．60 C．42 D．14 7．从4名男生和3名女生中任选4人参加主持人大赛，则选中的4人中恰有1名女生的选法共有（　　） A．6种 B．12种 C．18种 D．24种 8．某航天科研所的甲、乙、丙、丁、戊5位科学家应邀去、、三所不同的学校开展科普讲座活动，要求每所学校至少1名科学家．已知甲、乙到同一所学校，丙不到学校，则不同的安排方式有多少种（   ） A．12种 B．24种 C．36种 D．30种 二、多选题 9．盒子内有20个大小相同的球，其中有15个蓝球，5个红球，现从中取出3个球，则（    ） A．取出的3个球中恰好有1个蓝球的取法有种 B．取出的3个球中恰好有1个蓝球的取法有种 C．取出的3个球中至少有2个蓝球的取法有种 D．取出的3个球中至少有1个红球的取法有种 10．下列结论正确的是（   ） A． B．若，则 C．若，则 D． 11．从标号为0，1，2，3，4，5的六个蓝球和标号为6，7，8，9的四个红球中随机选出4个，则下列说法正确的有（   ） A．若选出的4个球全部为蓝球，则不同的选法有15种 B．若选出的4个球中蓝球红球各有2个，则有120种不同的选法 C．若蓝球的0号和红球的6号必须在选出的4个球内，则有56种不同的选法 D．若蓝球的0号和红球的6号至少有1个在选出的4个球内，则有140种不同的选法 三、填空题 12．从包含甲、乙两人的7人中选出3人分别担任学习委员、宣传委员、体育委员，则甲、乙两人不都入选的不同选法共有 种． 13．已知，则 14．某学校社会实践小组共有5名成员，该小组计划前往三个红色教育基地进行“学党史，颂党恩，跟党走”的主题宣讲志愿服务，若每名成员只去一个基地，每个基地至少有一名成员前往，且甲，乙两名成员前往不同基地，则不同的分配方案共有 种. 四、解答题 15．计算：（用数字作答） (1)； (2)． 16．（1）某校要组建一个16人的足球队，这16人由高一年级10个班的学生组成，每个班至少1人，名额分配方案共有多少种？ （2）将7个红球、6个白球（球只有颜色的区别）放入5个不同的盒子，要求每个盒子里至少有红球、白球各1个，则有多少种不同的放法？ 17．某校高二年级安排6名优秀学生按照以下要求报名参加数学、物理、化学竞赛，每名学生限报一科竞赛. (1)若三科竞赛均有2人报名参加，有多少种不同的报名方法？ (2)若4人报名参加数学竞赛，另外两科竞赛各1人报名参加，有多少种不同的报名方法？ (3)若三科竞赛均有人报名参加，有多少种不同的报名方法？ 18．计算下列各式． (1)解方程：. (2)证明： 19．某高校就业指导中心安排甲、乙、丙、丁等6名同学去四家不同公司实习，每名同学只去一家公司，每家公司至少去1人． (1)若甲、乙在同一家公司，丙、丁在同一家公司，求有多少种不同的分配方法？ (2)若甲、乙不在同一家公司，求有多少种不同的分配方法？ 2 1 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．B 【分析】判断从5名学生中选出3名学生值日，是一个组合问题，即可得答案. 【详解】由于从5名学生中选出3名学生值日，即选出3人值日即可， 是一个组合问题，故不同的安排有种， 故选：B 2．B 【解析】先分类，可以分为3类：冬春、冬春、冬春，再把每一类情况用组合方法计算，最后把3类可能情况全部相加即可. 【详解】根据题意可知，小明可以选取冬春、冬春、冬春. 冬春的不同情况有：. 冬春的不同情况有：. 冬春的不同情况有：. 所以小明选取节气的不同情况有：. 故选：B. 【点睛】排列组合最常用的方法是先分类再分步，分类做加法，分步做乘法.而排列组合的综合应用问题，一般按先选再排，先分组再分配的处理原则.对于分配问题， 解题的关键是要搞清楚事件是否与顺序有关，对于平均分组问题更要注意顺序，避免计数的重复或遗漏. 3．D 【分析】根据排列数计算公式判断AB，根据组合数计算公式判断CD. 【详解】对于A，因为，所以，错误； 对于B，因为，所以，错误； 对于C，因为， 所以，错误； 对于D，因为，所以，正确. 故选：D 4．D 【分析】先根据任意三个不同项可组成个数列，再得出最小项的和结合组合数的性质计算求解. 【详解】由题知，任意三个不同项可组成个数列； 在所有递增的新数列中，以1为最小项的新数列有个， 以2为最小项的新数列有个， 以3为最小项的新数列有个， ， 以2023为最小项的新数列有个， 此时，所有新数列中的最小项之和为 ， 所以所有新数列中的最小项之和为. 故选:D. 5．C 【分析】直接根据分组分配问题计算，先分组有两类：一类为，二类为平均分组，最后再分配可得. 【详解】小明和小李必须安装不同的吉祥物，根据题设条件，将6人分成两组其中小明和小李不在同一组， 设小明所在的组为小明组，小李所在的组为小李组， ①若小明组2人小李组4人，先给小明组选1人，剩余3个人到小李组，有种不同的分组方法； ②若小明组3人小李组3人，先给小明组选2人，剩余2个人到小李组，有种不同的分组方法； ③若小明组4人小李组2人，先给小明组选3人，剩余1个人到小李组，有种不同的分组方法； 所以一共有种分组方法，然后再分配到两个安装组有种情况， 所以不同的分配方案种数为种. 故选：C. 6．C 【分析】本题考查分步计数原理，利用特殊元素优先安排法和分组分配问题原理进行求解即可. 【详解】先安排小文选择一家企业，有种选择方式. 然后将剩余人安排到两家企业，每家企业至少安排1人，所以将人分为组，再安排企业，有两种分组方式： 第一种：人去一家企业，其余人去一家企业，有种方式； 第二种：每家企业各人，有种方式. 所以不同的安排种数为. 故选：. 7．B 【分析】利用直接法求满足条件的组合个数. 【详解】满足条件的选法有：种. 故选：B 8．B 【分析】根据排列组合的知识以及分组分配的方法求解. 【详解】因为甲､乙到同一所学校，所以将甲、乙“捆绑”看成一个元素， 因此原问题转化为要将四个元素：甲乙、丙、丁、戊分配到三所学校，每所学校至少1个元素， 若A学校只安排一个元素，该元素不为丙，则有种分配方法； 若A学校只安排两个元素，则需从甲乙、丁、戊中选两个元素， 则有种分配方法； 所以不同的安排方式有种； 故选：B. 9．ACD 【分析】根据组合数的计算方式，分类和分步求出各选项提出条件的不同取法数目. 【详解】取出的3个球中恰好一个蓝球，则还有2个红球，不同取法有，所以A正确，B错误. 取出的3个球中至少有2个蓝球，则分为两种情况，第一种2个蓝球加1个红球， 第二种3个蓝球，则不同取法有，所以C正确. 取出的3个球中至少有1个红球，则在所有取法中减去没有红球的取法即可， 不同取法有，所以D正确. 故选：ACD. 10．AB 【分析】利用排列数与组合数公式依次计算即可判断各选项. 【详解】对于选项A，显然 ，故 正确； 对于选项B，因为 ，所以 或 ， 计算可得 (舍去) 或 ，故 正确； 对于选项C，由 ，计算可得 ， 所以 (舍) 或 或 ，故 不正确； 对于选项D， ，故 D 不正确. 故选：AB. 11．AD 【分析】根据题设及各项描述，应用组合数依次求出不同选法数，即可判断. 【详解】A：选出的4个球全部为蓝球，有种，对； B：选出的4个球中蓝球红球各有2个，有种，错； C：蓝球的0号和红球的6号必须在选出的4个球内，有种，错； D：若蓝球的0号和红球的6号都不在选出的4个球内，有种，从10个球中任选4个，有种， 所以蓝球的0号和红球的6号至少有1个在选出的4个球内，有种，对. 故选：AD 12．180 【分析】利用间接法，先求出总选法共种，再求出甲、乙两人都入选的不同选法共有种，即可得到甲、乙两人不都入选的不同选法共有种. 【详解】总选法：从 7 人中选出 3 人担任 3 个不同职务共种， 甲、乙两人都入选的不同选法共有种， 所以甲、乙两人不都入选的不同选法共有种. 故答案为：180. 13．2或7 【分析】根据组合数的性质来求解的值. 【详解】由组合数的性质， 则有或， 解得或. 故答案为：2或7. 14．114 【分析】正难则反，采用间接法，先求每名成员只去一个基地，每个基地至少有一名成员前往的方法种数，再求在此条件下，甲，乙两名成员前往同一基地的方法种数，两数相减即可得解. 【详解】若每名成员只去一个基地，每个基地至少有一名成员前往， 则分组方式为1，1，3；1，2，2； 此时不同的分配方案共有种； 若甲，乙两名成员前往同一基地，考虑到甲乙特殊， 若三组人数为3，1，1，则甲乙还需一名成员，故不同的分配方案有； 若三组人数为2，2，1，则甲乙为一组，不同的分配方案有，所以共计36种， 故所求为种. 故答案为：114. 15．(1) (2) 【分析】（1）利用排列数，组合数和阶乘的定义计算即可； （2）利用组合数的定义直接计算或者是利用组合数的性质计算即可. 【详解】（1）原式. （2）法一（直接计算）：原式 法二（组合数的性质）：原式 16．（1）5005；（2）75 【分析】（1）采用隔板法即可求解； （2）采用分步乘法即可求解. 【详解】（1）可考虑用构造模型法来解题．如图6.2－3所示，将16个小球排成一列， 从每两个相邻的小球形成的15个间隙中选取9个插入隔板，将16个小球分成10份， 因此名额分配方案和隔板插入数相等，共有（种）放法， 即共有5005种名额分配方案． （2）由题意可知，题目所要求的放法即为求两种球分别放入5个盒子且盒子非空的放法． 构造隔板模型，分两步放球，第1步，放红球，共有种放法； 第2步，放白球，共有种放法，因此共有（种）放法． 17．(1)90 (2)30 (3)540 【分析】（1）利用分步乘法计数原理、组合计数问题列式计算. （2）利用组合计数问题、排列计数问题列式计算. （3）将学生人数按分组，财利用排列组合综合问题列式计算. 【详解】（1）若三科竞赛均有2人报名参加，则报名方法有种. （2）若4人报名参加数学竞赛，另外两科竞赛各1人报名参加，则报名方法有种. （3）由题可得报名人数的分配方案可以是，，或，，或，，. 若三科竞赛的报名人数为，，，则报名方法有种； 若三科竞赛的报名人数为，，，则报名方法有种； 若三科竞赛的报名人数为，，，则报名方法有种. 所以三科竞赛均有人报名参加，报名方法共有种. 18．(1)或. (2)证明见解析 【分析】（1）根据组合数的计算性质即可求解， （2）根据组合数的阶乘形式的公式即可化简求解. 【详解】（1）因为，由可得或，解得或. （2）证明： 19．(1)种 (2)种 【分析】（1）应用排列数公式计算求解； （2）应用分组分类结合排列数及组合数公式计算解题. 【详解】（1）由题知，甲、乙在同一家公司，丙、丁在同一家公司，则另两名同学各在一家公司， 所以共有种不同的分配方法． （2）6名同学去四家不同的公司，每家公司至少1人，先将6名同学分组，有两种分法：2、2、1、1；3、1、1、1；再分配去4家不同的公司， 则有种不同的分配方法． 若甲、乙在同一家公司，其他4人按2、1、1分去其他三家公司，或1、1、1、1去四家公司， 则有种不同的分配方法， 所以甲、乙不在同一家公司共有种不同的分配方法． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $