考点02 与平面直角坐标系有关的规律探究、面积问题（2种题型9种类型）（专项训练）数学新教材人教版七年级下册

考点02 与平面直角坐标系有关的规律探究、面积问题 题型一：点的坐标规律问题 1）观察平面直角坐标系中点的位置变化，探索出点的位置的循环规律. 2）对比各点的横坐标和纵坐标，探索各点横、纵坐标之间存在的规律. 【小结】点的坐标规律问题，解题的关键是明确题意，找出图形中点的坐标的变化规律，求出相应的点的坐标. 类型一 沿坐标运动的点的规律 1．（23-24七年级下·云南昆明·期末）如图，小明编了一个“步步高升”程序，已知点A在平面直角坐标系中按的规律跳动．已知，，，，，，…，按此规律，的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了点的坐标规律，解题的关键是找到点的坐标变化规律，根据已知点的坐标表示出第n个点的坐标，得出坐标的规律，然后求得点的坐标即可． 【详解】解：观察偶数项的坐标规律：， ，，……， 可得，奇数项的横坐标为n，纵坐标为前一个偶数的纵坐标加2， ∵2024为偶数， ∴的坐标为， 故选：C． 2．（24-25七年级下·湖北十堰·期中）如图，在平面直角坐标系中，点根据这个规律，探究可得点，，，…根据这个规律，探究可得点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了规律型：点的坐标，学生的观察图形的能力和理解能力，解此题的关键是根据图形得出规律． 由图形得出点的横坐标依次是1、2、3、4、、，纵坐标依次是2、0、、0、2、0、、，四个一循环，继而求得答案． 【详解】解：观察图形可知，点，，，的横坐标依次是1、2、3、4、、，纵坐标依次是2、0、、0、2、0、、，四个一循环， 而， 故点坐标是． 故答案为：． 3．（23-24七年级下·山东济宁·期中）在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点称为整数点．如图，一列按箭头方向有规律排列的整数点，其坐标依次为，，，，，，，，…，根据规律，第2024个整数点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查规律型点的坐标，根据图形得出每个正方形点阵的整点数量与坐标的关系，是解题的关键． 观察图中点的坐标可知，图中各点组成了正方形点阵，n为大于1的正整数，当n为偶数时，最后一个点在轴上，第个点的坐标为，当n为奇数时，最后一个点在直线上，第个点的坐标为，然后按照规律求解即可． 【详解】解：观察图中点的坐标可知，图中各点组成了正方形点阵， 如：第个点的坐标为， 第个点的坐标为， 第个点的坐标为， 第个点的坐标为， 第个点的坐标为， ，45为奇数， 第2025个点的坐标为， 退1个点，得到第2024个点是， 故答案为：． 4．（24-25七年级下·安徽阜阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标为．若点按下列规律跳动：第次由点向左上方跳动至点，第次由点向右跳动至点，第次由点向左上方跳动至点，第次由点向右跳动至点，． 根据上述规律，解答下列问题 (1)写出点的坐标：__________； (2)第次跳动后，点的坐标为__________； (3)求三角形的面积． 【答案】(1) (2)； (3) 【分析】（）由已知点坐标可得点的坐标为，据此即可求解； （）由已知点坐标可得点，据此即可求解； （）根据由（）、（）所得规律可得，，，即得，再根据三角形面积公式计算即可求解； 本题考查了点的坐标规律变化问题，坐标与图形，由已知点的坐标找到变化规律是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ， ∴第次向右跳动至点，点的坐标为， ∴， 故答案为：； （2）解：∵，， ， ∴点， ∴点的坐标为， 故答案为：； （3）解：由（）、（）可得，，，， ∴， ∵点到线段的距离为， ∴三角形的面积． 5．（24-25七年级下·福建厦门·期中）如图，在平面直角坐标系中有若干个点，按如图顺序依次排列为：，，，，，，……，按此规律排列下去，则的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查点坐标规律探索，解题的关键是通过观察找到坐标的规律． 通过观察，将点进行分组，写出第组中的点的坐标，通过计算确定在第几组第几个，代入相应的坐标表达式，计算即可． 【详解】解：∵，，，，，，……， ∴观察发现：每三个点为一组，第组的三个点的坐标依次为，，， ∵， ∴是第组的第三个点， ∴的横坐标为，纵坐标为， ∴， 故答案为：． 6．（24-25七年级下·江西宜春·期末）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如，，，，，，，……，根据这个规律探索可得第个点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了点的坐标规律探索，探索出点的坐标规律是解题的关键． 探索出点的坐标规律，根据规律进行解题． 【详解】解：纵坐标是的点有个，纵坐标是的点有个，纵坐标是的点有个，纵坐标是的点有个，……，一般地，纵坐标为的点有个， 且这个点的横坐标从左往右依次是，，……，，，，……，； 考虑点排列方向：纵坐标是1、3、5、7，……， 点是从右往左的方向，纵坐标是2、4、6，……， 点是从左往右排列的方向； ∵，当纵坐标是时，这样的点共有个，且点是从右往左方向， ∴最左边的点坐标为，即第个点的坐标． 故选：C ． 7．（24-25七年级下·广东江门·期中）如图，．按这样的规律，点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了点坐标的规律探究．解题的关键在于根据题意推导出一般性规律．根据题意可知6个点坐标的纵坐标为一个循环，的横坐标为，据此可求得的坐标． 【详解】解：∵， ∴可知6个点坐标的纵坐标为一个循环，的横坐标为， ∵， ∴的坐标为． 故答案为：． 8．（24-25七年级下·河南漯河·期中）如图，动点在平面直角坐标系中按图中的箭头所示方向运动，第一次从原点运动到点（2.2），第2次运动到点，第3次接着运动到点按这样的运动规律，经过第2025次运动后动点P的坐标是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了点的坐标规律，培养学生观察和归纳能力，从所给的数据和图形中寻求规律进行解题是解答本题的关键．根据已知提供的数据从横纵坐标分别分析得出横坐标为运动次数的2倍，纵坐标为2，0，1，0，每4次一轮这一规律，进而求出即可． 【详解】解：根据动点在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点， 第2次接着运动到点，第3次接着运动到点， 第4次运动到点，第5次接着运动到点，， 横坐标为运动次数的2倍，经过第2025次运动后，动点的横坐标为， 纵坐标为2，0，1，0，每4次一轮， 经过第2025次运动后，， 故动点的纵坐标为2， 经过第2025次运动后，动点的坐标是． 故答案为：． 类型二 绕原点呈“回”字形运动的点的规律 9．（24-25八年级上·江西抚州·期末）如图，，，，，按此规律，点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中的找规律的问题．根据题意可得各个点分别位于象限的角平分线上逐步探索出下标和个点坐标之间的关系，总结出规律，再根据规律求出点的坐标． 【详解】解：观察点的坐标： 点，，，，，…， 可以发现： 以4个点为一组循环，即，，，（n为自然数）． ∵， ∴， 对于： 当时，； 当时，； 当时，， 其横坐标为，纵坐标为． 根据上述规律，当时，横坐标为， 纵坐标为，即． 故答案为：． 10．（24-25七年级下·山东日照·期中）如图，在一单位为1的方格纸上，，都是斜边在轴上，斜边长分别为的等腰直角三角形，若的顶点坐标分别为，则依图中所示规律，的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了点的坐标变化规律，观察图形得到规律：当下标为偶数时的点的坐标得到规律：当下标是2，6，10…时，横坐标为1，纵坐标为下标的一半的相反数，当下标是4，8，12…时，横坐标是2，纵坐标为下标的一半，然后确定出第个点的坐标即可，得出点的坐标变化规律是解此题的关键． 【详解】解： 观察点的坐标变化发现：当下标为偶数时的点的坐标得到规律： 当下标是2，6，10，…时，横坐标为1，纵坐标为下标的一半的相反数， 当下标是4，8，12， …时，横坐标是2，纵坐标为下标的一半， ，能被4整除， 的横坐标为2，纵坐标为， ， 故选：D． 11．（24-25七年级下·重庆渝北·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，，，一只电子蚂蚁从点出发按…的规律每秒1个单位长度的速度爬行，则2025秒时蚂蚁所在的位置是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了点的坐标的变化规律，根据点P的运动规律找出当运动2025秒时点P在点D处是解题的关键．根据点A、B、C、D的坐标可得出、及长方形的周长，由可得出当运动2025秒时点P在点D处，从而可得出结论． 【详解】解：∵，，，， ∴，， ∴． ∵， ∴当运动2025秒时，点P在D处， 即此时点P的坐标为． 故选D． 12．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）如图，在平面直角坐标系中，动点从原点出发，沿点 路径运动，依此规律运动下去，则点的坐标是 ，点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了规律型：点的坐标，根据题意推导一般性规律是解题的关键．观察坐标变化规律可知，动点A的运动轨迹呈现周期性规律，每个阶段包含四个步骤：向上、向右、向下、向左移动，移动距离随阶段数递增，根据发现的规律进行总结得出答案即可． 【详解】解：观察坐标变化规律可知，动点A的运动轨迹呈现周期性规律，每个阶段包含四个步骤：向上、向右、向下、向左移动，移动距离随阶段数递增， 阶段的移动距离为：上、右、下移动距离均为，左移动距离为，每个阶段结束时，点位于x轴负方向，坐标为， 每个阶段包含4个点，阶段对应点到， 阶段的移动： 的坐标为； ， 属于阶段的第一个点， 阶段的起始点坐标为， ， 的坐标为， 故答案为：；． 13．（24-25七年级下·重庆·月考）如图，在平面直角坐标系中，动点A从出发，第一次运动到点，第二次运动到点，第三次运动到点，第四次运动到点，按照此运动规律，第83次运动到点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题为平面直角坐标系下的规律探究题，观察图形可发现：前n次改变方向需要运动n个单位长度，则是第12次改变方向后再运动5次到达的点，观察图形发现：每改变四次方向，运动方向与第一次相同，则是第三个运动周期的终点，然后根据每个周期终点的坐标间的规律求解即可． 【详解】解：观察图形可发现：第一次改变方向需要运动1个单位长度； 第二次改变方向需要运动2个单位长度； 第三次改变方向需要运动3个单位长度； 第四次改变方向需要运动4个单位长度； 第五次改变方向需要运动5个单位长度； …… ∴第n次改变方向需要运动n个单位长度； ∴前n次改变方向需要运动n个单位长度， 当时，，当时，， ∴是第12次改变方向后再运动5次到达的点， 观察图形发现：每改变四次方向，运动方向与第一次相同， ∴是第三个运动周期的终点， 如图， ∵起点，第一个周期的终点，第二个周期的终点， ∴周期的终点的横坐标依次加2，纵坐标也是依次加2， ∴第三个周期的终点， ∴的坐标为，即为， 故选：B． 14．（24-25七年级下·福建龙岩·期中）某校某班共有45名学生，在校广播操比赛中排成方阵，先把每名学生都进行编号，号码为1至45号，然后把各自的位置固定下来．如图，在平面直角坐标系中，每个编号都对应着一个点，例如1号的对应点是，3号的对应点是，16号的对应点是⋯⋯若该校全体学生（不少于2520名）按照上述规律排成一个大方阵，则编号是2025号的学生所在位置对应点是 ． 【答案】 【分析】本题考查了点的坐标，找到所有奇数的平方数所在位置是解题的关键．观察图的结构，发现所有奇数的平方数都在第四象限的角平分线上，即可得到答案． 【详解】解：观察图的结构，发现所有奇数的平方数都在第四象限的角平分线上． ∵， ∴． ∴． ∴编号是2025号的学生的位置对应的坐标是． 故答案为：． 题型二：坐标系中的图形面积问题（基础） 求平面直角坐标系中几何图形的面积，常见的图形是三角形和四边形. 1）如图1，当三角形有一条边平行于坐标轴或落在坐标轴上时，直接应用三角形的面积公式进行计算； 2）如图2，当三角形没有一条边平行于坐标轴或落在坐标轴上时，要用割补法，将三角形的面积转化为其他图形面积的和或差； 3）如图3，当求不规则多边形的面积时，一般采用割补法，将不规则的多边形割补为规则图形，进而求出其面积.一般地，过图形的顶点向x轴或y轴作垂线，找出不规则图形与规则图形之间的联系. 类型一 直角三角形三顶点在坐标轴上 15．（23-24七年级下·江苏南通·月考）已知点和点，且直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于10，则a的值是（   ） A．4 B．4或 C． D．2 【答案】B 【分析】此题主要考查了坐标与图形的性质，需注意坐标轴上到一个点的距离为定值的点有2个． 根据三角形的面积公式和已知条件求解，注意取正负数都符合题意． 【详解】解：直线与坐标轴围成的三角形的面积等于10，， 那么， 解得：， 所以或． 故选：B． 16．（23-24七年级下·新疆喀什·期末）已知点，，点在轴上，且三角形的面积是，则点的坐标是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了图形与坐标，先设点的坐标为，结合点，，列式三角形的面积是，因为三角形的面积是，得出，再解方程，即可作答． 【详解】解：∵点在轴上 ∴设点的坐标为 依题意， 解得 ∴点的坐标是或 故选：C 17．（22-23七年级下·河北石家庄·期中）在平面直角坐标系中，，，，则三角形的面积为 ，如果在y轴上存在一点P，使得的面积与的面积相等，则点P的坐标为 ． 【答案】 6 或/或 【分析】本题考查了三角形的面积，坐标与图形的性质，正确进行分类讨论是解题的关键．设点，根据的面积与的面积相等，先计算的面积，然后列出等式计算y即可解答． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∴的面积为：； 设点， ∵的面积与的面积相等， ∴， 解得或， ∴点P的坐标为：或． 故答案为：6；或． 18．（24-25七年级下·湖北孝感·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，满足． (1)求、两点的坐标及的面积； (2)若点是轴上一点，且的面积为6，求点的坐标； (3)若是轴上方到轴的距离为6的一条直线，在直线上是否存在点，使的面积等于的面积，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，； (2)点的坐标为或； (3)存在这样的点，点坐标为或． 【分析】本题考查了非负数的性质，坐标与图形等知识； （1）由非负数的性质即可求得a，b的值，从而求得A、B的坐标及的面积； （2）设，由的面积为6，建立关于n的方程，求出n的值，即可求解； （3）设，由（1）知：；分点P位于y轴左侧，点P位于y轴右侧，两种情况考虑即可． 【详解】（1）解：由得：，， ，， ，， ，， ， （2）解：设， ， ， ， 或， 点的坐标为或． （3）解：存在，理由：设， 由（1）知：， ， 当P位于y轴左侧时，设直线交y轴于点D，如图； ， ， ， ； 当P位于y轴右侧时，过点P作轴于点D，如图； ， ， ， ； 存在这样的点，点坐标为或． 类型二 三角形一边在坐标轴上 19．（宁夏回族自治区吴忠市第三中学2024-2025学年七年级下学期数学期中测试）如图三角形顶点坐标分别是、、，那么它的面积等于 ． 【答案】20 【分析】此题主要考查了坐标与图形性质，结合图形求解是解题关键． 根据网格及坐标系求解三角形的面积即可． 【详解】解：三角形的面积为：， 故答案为：20． 20．（24-25七年级下·广东惠州·期末）如图， 在平面直角坐标系中， 已知， ， 其中a，b满足 ．点M的坐标，在y轴的正半轴上有一点 P，使得三角形 的面积与三角形的面积相等，则点 P 的坐标为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了坐标与图形，非负数的性质，先根据绝对值和平方的非负性求出的值，由，再建立方程求解即可． 【详解】解：∵a，b满足， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 如图， ∴， 解得：， ∵P在y轴的正半轴上， ∴， 故选：B． 21．（2025八年级上·全国·专题练习）如图是一块不规则的四边形地皮，各顶点坐标分别为，，，（图上一个单位长度表示），则这块地皮的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了求点到坐标轴的距离，坐标与图形综合，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 根据，，，，结合图形，可分别求出三角形（左）、梯形（中）、三角形（右），再求和即可． 【详解】解：∵一块不规则的四边形地皮，各顶点坐标分别为，，，（图上一个单位长度表示）， ∴这块地皮的面积是 ()， 故选：C． 22．（24-25七年级下·江西赣州·期末）在平面直角坐标系中，点，点，若在坐标轴上有一点（不与点重合），使三角形和三角形面积相等，则点的坐标为 ． 【答案】、或 【分析】先根据三角形的面积公式求出，再分当点P在x轴上时，当点P在y轴上时，分别进行计算即可得到答案． 本题主要考查了坐标与图形，三角形面积的计算，解题的关键是采用分类讨论的思想解决问题． 【详解】解：根据题意得， 当点P在x轴上时，， ， 解得， ∴，或； 当点P在y轴上时，， ， 解得， ∴（舍去），或． 综上，点的坐标为或或， 故答案为：、或． 类型三 矩形 / 正方形顶点在坐标轴上 23．（22-23七年级下·湖北武汉·期中）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的四个顶点A，B，C，D是整点（横、纵坐标都是整数），则四边形的面积是（   ）个平方单位． A． B．15 C．10 D．无法计算 【答案】B 【分析】根据平行四边形在坐标系中的位置得到轴，，高为，利用面积公式直接计算可得． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴轴，，高为， ∴平行四边形的面积， 故选：B． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质，坐标与图形，正确理解平行四边形的性质是解题的关键． 24．（24-25七年级下·吉林·月考）如图所示的长方形阴影区域的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形，根据长方形在坐标平面内的位置得到其宽和高，进而根据长方形面积公式计算即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：由图可知，长方形的宽为，高为， ∴长方形的面积为， 故答案为：． 25．（24-25七年级下·天津南开·期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形和正方形的面积分别是4与9，正方形沿x轴向右平移，若平移后正方形与正方形重叠部分的面积为2，则F点移动后的坐标是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了正方形的性质、坐标与图形变化平移等知识点，掌握分类讨论和数形结合是解题的关键． 先求出两个正方形的边长，然后再由平移后的正方形沿x轴向右平移与正方形重叠部分的面积为2，分两种情况分别求出点F的坐标即可． 【详解】解：∵正方形和正方形的面积分别是4与9， ∴，， 设平移后的正方形为， 如图1， 当在正方形中点时，重叠部分的面积为2 此时，则； 如图2，当在中点时，重叠部分的面积为2 此时，则． 故答案为：或． 26．（23-24七年级下·广东中山·期中）如图，的顶点的坐标分别为，，把沿轴向右平移得到． （1）若，则的长为 ； （2）连接，在（1）的条件下，则四边形的面积是 ． 【答案】 30 【分析】本题考查平移的性质，梯形的面积． （1）由点的坐标和平移的性质先求出 ，再求即可； （2）由平移可知四边形是梯形，再根据坐标求出上底，下底和高即可． 【详解】解：（1） 的坐标分别为，，沿轴向右平移得到 故答案为：； （2）如图，连接， 的坐标分别为，，沿轴向右平移得到 四边形是梯形 由（1）知， 梯形面积是． 故答案为：30． 题型三：坐标系中的图形面积问题（不规则图形转化型） 类型一 一般三角形（边不在坐标轴上） 27．（湖北省武汉市硚口区2022-2023学年七年级下学期期中数学试卷）如图在平而直角坐标系中，点，点，点，则三角形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据坐标系，利用梯形的面积减去多余三角形的面积即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作轴，过点分别作垂直于，垂足为点， ∵，，， ∴，，则 ∴三角形的面积是 故选：A． 【点睛】本题考查了坐标与图形，数形结合是解题的关键． 28．（23-24七年级下·湖北武汉·期中）如图在平面直角坐标系中，点，点，点，则三角形的面积是（    ） A．19 B．20 C．21 D．21.5 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的面积，坐标与图形的性质．过点A作轴，过点B作轴，过点C作轴，过点C作轴，根据题意可得，即可求解． 【详解】解：如图，过点A作轴，过点B作轴，过点C作轴，过点C作轴， ∵点，点，点， ∴， ∴三角形的面积是：． 故选：B 29．（23-24七年级上·广东江门·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，，的坐标分别为，，．若在内中存在一点，使得的面积是的面积的9倍，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，解题的关键是根据题意列出关于a的方程并解出a的值．根据点的坐标先表示两个三角形面积，列方程求出求出a的值，即可得出结论． 【详解】解： ，，， ， ， 的面积是的面积的9倍， ， 解得：， ． 故答案为： 30．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）如图，在平面直角坐标系中，对于任意三点A，B，C的“矩面积”，给出如下定义：“水平底”：任意两点横坐标差的最大值：“铅垂高”：任意两点纵坐标差的最大值，则A，B，C三点的“矩面积”．例如：三点坐标分别为，则“水平底”，“铅垂高”，A，B，C三点的“矩面积”． 根据所给定义解决下列问题： (1)已知点，则A，B，C三点的“矩面积”______； (2)已知点，，在轴上是否存在点，使这三点的“矩面积”为？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)已知点，若，设A，B，M的“矩面积”为，A，B，N的“矩面积”为．若为固定值，求的取值范围． 【答案】(1) (2)点的坐标为和 (3)或 【分析】本题主要考查了新定义，坐标与图形，解题的关键是明确题目中的新定义，利用新定义解答问题． （1）根据新定义进行求解即可； （2）设点，根据点，，分和两种情况求解即可； （3）分当时，当时， 当时，当时，分别求出、，再根据为固定值，讨论求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知， ， 故答案为：； （2）解：存在．设点 当时，由题意得：， ， 若，即， ∴ 点的坐标为， 当时，由题意得：， ∴ 若，即， ∴， 点的坐标为， 综上：点的坐标为和． （3）解：若，则；，则， ①当时，，，是固定值； ②当时，，，不是固定值； ③当时，，，不是固定值； ④当时，，，是固定值． 综上，的取值范围是或． 31．（25-26八年级上·陕西西安·月考）已知：在平面直角坐标系中，，，， (1)求的面积； (2)设点P在y轴上，且的面积是的面积的2倍，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了坐标与图形，利用数形结合的思想求解是解题的关键． （1）过点C作轴于D，根据列式求解即可； （2）根据（1）所求可得的面积，则根据三角形面积计算公式可得，据此求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，过点C作轴于D， ∵，，， ∴， ∴； ∴ ； （2）解：∵的面积是的面积的2倍，的面积为4， ∴的面积为8， ∵点P在y轴上， ∴， ∴， ∵， ∴点P的坐标为或． 32．（北京东城区2024-2025学年七年级下学期期末数学试卷）在平面直角坐标系中，已知点．点P是线段上一动点，以O，A，P为顶点的三角形的面积记作． (1)___________（填“存在”或“不存在”）一点，使得； (2)将线段向下平移t个单位长度，若存在一点P，使得，则t的最大值是___________． 【答案】(1)不存在； (2)5． 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中三角形面积的计算，点到直线距离，平移变换等知识点，掌握这些知识点和数形结合是解题的关键． （1）以为底计算三角形面积，即可求得P点到是距离，根据题意和图即可判断； （2）根据平移性质和图象数形结合即可． 【详解】（1）解：设P点到的距离为h， 则， 由题意知，所以， 又因为点P是线段上一动点，h不可能为1， 所以不存在一点，使得； 故答案为：不存在； （2）由（1）知，只要,则， 又因为， 所以由图可知，将线段向下平移t个单位长度，若存在一点P，使得，则t的最大值是5． 故答案为：5． 类型二 四边形（含凸 / 凹四边形） 33．（山东省青岛市2024-2025学年八年级上学期11月期中考试数学试题）在如图所示的直角坐标系中，四边形各个顶点的坐标分别是，，，，则这个四边形的面积是 ． 【答案】31 【分析】本题主要考查了坐标与图形，过点B作轴，过点C作轴，过点D作轴，然后用大长方形的面积减去四周四个直角三角形的面积，得出答案即可． 【详解】解：过点B作轴，过点C作轴，过点D作轴，如图所示： ∵四边形各个顶点的坐标分别是，，，， ∴，，，， ∴，，， ，，，，，， ∴ ． 故答案为：31． 34．（25-26八年级上·广东梅州·期中）如图，已知． (1)求四边形的面积； (2)在y轴上存在一点P，使三角形的面积等于四边形面积的2倍，求点P 的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了坐标与图形，利用数形结合的思想求解是解题的关键． （1）过点C和点D分别作x轴的垂线，垂足分别为点E，点F，根据结合各点的坐标求解即可； （2）求出线段的长和的面积，再根据三角形面积计算公式求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，过点C和点D分别作x轴的垂线，垂足分别为点E，点F， ∵， ∴， ∴，， ∴ ； （2）解：∵， ∴； ∵三角形的面积等于四边形面积的2倍， ∴， ∵点P在y轴上， ∴， ∴， ∴点P的坐标为或； 35．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，四边形各个顶点的坐标分别为，． (1)求这个四边形的面积； (2)如果把原来四边形各个顶点的横坐标都乘，纵坐标都乘，再顺次连接得到的各点，所得的四边形和原四边形的面积相比是否发生变化？面积是多少？ 【答案】(1) (2)面积不发生变化，其面积是 【分析】本题考查图形与坐标，数形结合是解决问题的关键． （1）作轴于点轴于点，如图所示，数形结合得到，代值求解即可得到答案； （2）由题意可知，所得的四边形和原四边形关于原点对称，图形形状不变，则面积不发生变化，即可得到答案． 【详解】（1）解：作轴于点轴于点，如图所示： ； （2）解：由题意可知，所得的四边形和原四边形关于原点对称，图形形状不变，则面积不发生变化，其面积是． 题型四：坐标系中与图形面积有关的存在性问题 36．（24-25七年级下·陕西安康·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，，，且． (1)求a，b的值； (2)在y轴的正半轴上存在一点M，使三角形的面积等于三角形面积的一半，求出点M的坐标； (3)在坐标轴的其他位置是否存在点M，使三角形的面积等于三角形面积的一半？若存在，请直接写出符合条件的点M的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)或或 【分析】（1）根据非负式子和为0它们分别等于0直接求解即可得到答案； （2）设，根据面积关系列式求解即可得到答案； （3）分负半轴及x轴两类讨论，设出点坐标列式求解即可得到答案． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， 解得：，； （2）解：设， ∵，，，， ∴， 解得：， ∴； （3）解：存在． 当M在y轴负半轴时，设， ∵，，，， ∴， 解得：， ∴； 当M在x轴上时，设， ∵，，，， ∴， 解得：， ∴或； 综上所述：或或． 【点睛】本题考查绝对值非负性，算术平方根非负性，平面内点与坐标原点及坐标轴上点围成图形面积问题，解题的关键是熟练掌握点到坐标轴距离问题转换成三角形的高． 37．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·月考）如图，已知在平面直角坐标系中，，，三角形的面积是6；    (1)求三角形ABC三个顶点A、B、C三点的坐标； (2)点的坐标是，连接、，并用含字母的式子表示的面积； (3)在（2）问的条件下，是否存在点，使的面积等于的面积的，如果存在，请求出的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为， (2) (3)或 【分析】此题考查了求函数解析式、坐标与图形、一元一次方程的应用等知识，分类讨论是解题的关键． （1）根据三角形的面积得到，解得，即可求出答案； （2）作于点，分三种情况画出图形分别进行解答即可； （3）根据（2）列方程解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵三角形的面积是6 ∴ 解得 ∴， ∴点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为， （2）作于点， 如图，当时， 如图，当时， 如图，当时， 综上可知， （3）当时， 或， 解得或， ∴点P的坐标为或 38．（24-25七年级下·重庆·月考）如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点分别在x轴、y轴上，轴，轴，点B的坐标为，且 (1)请直接写出点的坐标； (2)若动点P从原点O出发，沿x轴以每秒2个长度单位的速度向右运动，在运动过程中形成的的面积是长方形面积的时，点P停止运动，求点P的运动时间； (3)在（2）的条件下，点P停止运动后，在y轴上是否存在一点Q，连接，使的面积与长方形的面积相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或 【分析】（1）由算术平方根的性质求出，，得出，，即可得出答案； （2）设点的运动时间为，则，由面积关系得出，得出即可； （3）由（2）得，①当点在点的上方时，由面积关系得出，求出，则，得出；②当点在点的下方时，由面积关系得出，求出，则，得出即可． 【详解】（1）， ，， ， ， 轴，轴， ，， ； （2）设点的运动时间为，则，如图1所示： ，， ， ， 解得：， 点的运动时间为； （3）存在；理由如下： 由（2）得：， ①当点在点的上方时，如图2所示： ， ， ， ， ； ②当点在点的下方时，如图3所示： ， ， ， ， ； 综上所述，点的坐标为：或． 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、坐标与图形性质、三角形面积、算术平方根的性质等知识；本题综合性强，熟练掌握矩形的性质和面积关系是解题的关键． 39．（24-25七年级下·四川南充·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，C的坐标分别为，，现将线段向左平移4个单位长度，得到．点A、C的对应点分别为B、D，连接． (1)直接写出点B，D的坐标，求出四边形的面积； (2)在x轴上是否存在一点F，使得三角形的面积是三角形面积的2倍，若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，四边形的面积为12 (2)或 【分析】本题考查了平面直角坐标系、平移的性质、三角形的面积公式，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据平移的性质即可求解； （2）设点F的坐标为，表示出和的面积，根据题意列出方程，解出的值即可求解． 【详解】（1）解：点、向左平移4个单位长度分别得到点B、D， ，，， 由平移的性质得，四边形是平行四边形， 又， 四边形的面积． （2）解：如图， 设点F的坐标为， ， ， ， ， 解得：或， 点F的坐标为或． 题型五：坐标系中的动点问题 40．（24-25七年级下·广东·期末）如图，以直角的直角顶点为原点，以，所在直线为轴和轴建立平面直角坐标系，点，满足． (1)点的坐标为________；点的坐标为________． (2)已知坐标轴上有两动点，同时出发，点从点出发沿轴负方向以每秒个单位长度的速度匀速移动，点从点出发沿轴正方向以每秒个单位长度的速度匀速移动，点到达点整个运动随之结束．的中点的坐标是，设运动时间为秒．问：是否存在这样的，使得与的面积相等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． (3)在（2）的条件下，若，点是第二象限中一点，并且轴平分．点是线段上一动点，连接交于点，当点在线段上运动的过程中，探究，，之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)， (2)存在时，与的面积相等 (3)，理由见详解 【分析】（1）利用非负性即可求出，即可得出结论； （2）先表示出，利用面积相等，建立方程求解即可得出结论； （3）先判断出，过点作交轴于点，进而判断出，由可判断出，即可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意得， ∵， ∴，解得，， ∴，， （2）解：由（1）可知，，， ∴， 根据运动的情况可得，， ∴， ∵， ∴， ， 若与的面积相等， ∴，解得，， ∴存在时，与的面积相等． （3）解：，理由如下： ∵以所在直线为轴和轴建立平面直角坐标系， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 如图所示，过点作交轴于点， ∴， ∴，同理，， ∵， ∴， ∴，即， ∴． 【点睛】本题考查了绝对值及算术平方根的非负性，三角形的面积公式，角平分线的定义，平行线的性质及判定，正确作出辅助线是解本题的关键． 41．（24-25七年级下·河南周口·月考）如图，在平面直角坐标系中（以1厘米为单位长度），过点的直线a垂直于y轴，点为直线a上一点，点P从点M出发，以每秒2厘米的速度沿直线a向左移动，同时，点Q从原点出发，以每秒1厘米的速度沿x轴向右移动． (1)几秒时，平行于y轴？ (2)若以A、O、Q、P为顶点的四边形的面积是10平方厘米，求点P的坐标． 【答案】(1)3秒后平行于y轴 (2)或 【分析】本题考查了坐标与图形性质，平行四边形的判定与性质，梯形的面积． （1）设x秒后平行于y轴，则，，由于，所以当时，四边形是平行四边形，那么平行于y轴，根据列出关于x的方程，解方程即可； （2）设y秒后以A、O、Q、P为顶点的四边形的面积为10平方厘米，则，或，根据四边形的面积分两种情况列出关于y的方程，进而求出点P的坐标． 【详解】（1）解：设x秒后平行于y轴，则，， ∵， ∴当时，四边形是平行四边形， ∴平行于y轴， 由，得， 解得， 故3秒后平行于y轴； （2）解：设y秒后四边形的面积为10平方厘米， 当在线段上时，则，， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴点P的坐标为． 如图，当在线段的延长线上时，则，， ∴， ∴， 解得：， ∴， 故点P的坐标为． 综上：点P的坐标为或． 42．（24-25七年级下·全国·期末）如图，A，B，C三点的坐标分别为，，． (1)求； (2)过点C作直线l平行于x轴，M为l上任意一点，试猜想与的关系，并验证你的猜想； (3)试在坐标轴上找一点P，使，请直接写出满足条件的点P的坐标． 【答案】(1)18 (2)猜想：，见解析 (3)，，， 【分析】本题考查了坐标与图形性质． （1）由图可知：，，即可求的面积； （2）猜想：，根据三角形的面积公式进行验证； （3）根据，分别在x轴，y轴上找到点P． 【详解】（1）解：由图可知，，， ； （2）解：猜想：，证明如下： ∵直线l平行于x轴，点M与点C在直线l上， ∴和的边上的高相等，都为6， 又∵和同底，为， ∴； （3）解：①当点P在x轴上时，设， 当时， ， 解得 (舍去)； 当时，， 解得或， ∴，； ②当点P在y轴上时，设， ∵， ∴， ∴， 解得或， ∴，． 综上所述，满足条件的点P坐标为，，，． 43．（24-25七年级下·吉林·月考）在数学活动课上，智慧小组研究了平面直角坐标系中的特殊线段的长度：在平面直角坐标系中有不重合的两点，点和点，当时，轴，且的长为；当时，轴，且的长为． 【实践操作】 （1）①若点，点的横坐标为2，轴，则的长为 ． ②若点轴，，则点的坐标为 ． 【初步运用】 （2）如图①，正方形的边长为4，顶点的坐标是轴，则顶点的坐标为 ，顶点的坐标为 ． 【问题解决】 （3）如图②，点的坐标为；将线段向上平移6个单位长度，得到线段，连接．点分别是线段上的动点（不与端点重合），点从点出发，以的速度向终点运动，点从点出发，以的速度向终点运动，若两点同时出发，运动时间为，当轴时，求的值． 【答案】（1）①4；②或(；（2）；（3） 【分析】本题考查坐标与图形，点坐标的特征，平移的性质等知识点，熟练掌握坐标与图形的性质是解题的关键． （1）根据平行于轴上的直线的点的坐标特征以及平行于轴上两点间的距离公式求解即可； （2）根据平行于轴上的直线的点的坐标特征以及平行于轴上两点间的距离公式求解即可； （3）由平移的性质得到，由题意得，根据轴，得到点的纵坐标相等，即，求解即可． 【详解】解：①∵点，点的横坐标为2，轴， ∴的长为， 故答案为：4； ②∵轴，点， ∴设， ∵， ∴， ∴或， ∴点的坐标为或， 故答案为：或； （2）∵正方形的边长为4， ∴， ∵的坐标是轴， ∴，， ∴， ∴， ∴顶点A的坐标为； ∵正方形， ∴， ∵轴， ∴顶点B的坐标为，即； 故答案为：，； （3）∵点A的坐标为，将线段向上平移6个单位长度，得到线段， ∴， 由题意得， ∵轴， ∴点的纵坐标相等， ∴， ∴． 44．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·月考）对数轴上的点A进行如下操作：先把A点向左移动a个单位，将得到的点表示的数乘以b，如图1，在坐标系中，，，，且满足． (1)的值为________，的值为________； (2)若动点M从坐标原点出发，以每秒2个单位长度的速度在坐标轴上运动，当三角形的面积等于三角形的面积的一半时，求点M的运动时间的值； (3)如图2，过点C作轴，交轴于点D，点P为线段延长线上一动点，连接，平分，．当点P运动时，求的值． 【答案】(1) (2)或3， (3)2 【分析】本题考查了非负数的性质，坐标与图形，三角形的面积，一元一次方程的应用，利用非负数的性质求出m、n的值是解题的关键． （1）根据非负数的性质可得解方程组即可求解； （2）由（1）可得求出得到分点M在x轴上运动和点M在y轴上运动两种情况解答即可求解； （3）设则由，可得，得得到即可求解． 【详解】（1）∵ ∴，解得 故答案为：； （2）∵ ∴ ∴ ， ∴当三角形的面积等于三角形的面积的一半时，， 当点M在x轴上运动时， ∴， 即， 解得； 当点M在y轴上运动时， ， 即， 解得 综上，或3， （3）∵平分 ∴ ∵ ∴，， ∴ 设 ∵轴， ∴轴， ∴ ∴ ∵， ∴， 解得 ∴ 故答案为： 1．（24-25七年级下·湖北襄阳·月考）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，．将线段向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到线段，连接，． (1)直接写出点C、D的坐标． (2)连接，M为x轴上的一动点，若，求点M的坐标． (3)若，设点P是x轴上一动点（不与点B重合），则与存在怎样的数量关系？请直接写出来． 【答案】(1)，； (2)或 (3)或或． 【分析】本题考查坐标与图形变化平移，求点的坐标，角的和差． （1）利用平移变换的性质求解； （2）先求出的值，进而分情况讨论即可； （3）分三种情形：①如图1中，当点在直线的左侧时，②如图2中，当点在直线的左侧或直线上且在直线的右侧时，③如图3中，当点在直线的右侧时，分别求解即可． 【详解】（1）解：将线段向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度， 可得：，； （2）解：∵点A，B，的坐标分别为，， ∴， 设， ∵， 如图，当M在B左侧时， ， 解得：， 即； 如图，当M在B右侧时， ， 解得：， 即； （3）解：①如图1中，当点在直线的左侧或上时，， ∴； ②如图2中，当点在直线的右侧且在直线的右侧时，， ∴； ③如图3中，当点在直线的右侧时，， ∴； 综上所述，与的关系为：或或． 2．（24-25七年级下·辽宁大连·月考）综合与探究 【问题背景】 一节数学课上，刘老师提出这样一个问题： 平面直角坐标系中，满足． 【初步探究】 （1）求A，B两点的坐标； 【深入研究】 （2）将线段平移得到，A，B的对应点分别为C，D，其中点C在y轴负半轴上．如图1，连接交于点E，若点E在y轴正半轴上，求的值； 【学以致用】 （3）如图2，在平面直角坐标系中，，点是坐标平面内的动点，若满足，求a的取值范围． 【答案】（1）；（2）1；（3），且 【分析】本题考查平面直角坐标系，点的平移，三角形面积，梯形面积； （1）由，，可得a、b的值，即可求出A，B两点的坐标； （2）设，由平移的性质得，由可得，即可求出； （3）设直线交直线于点F，过点B作x轴的垂线分别交x轴，直线于M，N，由可得，，，即，利用可得当时，或，所以当时，且点F与点不能重合所以且． 【详解】解：（1）∵，，且， ∴，解得：， ∴． （2）设， ∵将线段平移得到，． ∴由平移的性质得， 过D作轴于P， ∴， ∵， ∴， ∴，解得：， ∴， ∴． （3）设直线交直线于点F，过点B作x轴的垂线分别交x轴，直线于M，N， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 令， ∵， ∴， ∴， 解得或， ∵， ∴，且． 3．（24-25七年级下·吉林白山·期末）如图，在长方形中，O为平面直角坐标系的原点，点A的坐标为，点C的坐标为，且a，b满足，点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的线路移动． (1) ________， ________，点B的坐标为__________； (2)当点P移动时，请指出点P的位置，并求出点P的坐标； (3)在移动过程中，当点P到x轴的距离为5个单位长度时，求点P移动的时间． (4)在移动过程中，当三角形的面积等于6时，求点P移动的时间． 【答案】(1)，点B的坐标为 (2) (3)点P移动的时间为或 (4)点P移动的时间为或 【分析】（1）先利用算术平方根的非负性与绝对值的非负性求出，再得到，即可求解． （2）求出点P移动的路程，再除以时间即可求解． （3）确定出当点P到x轴的距离为5个单位长度时的坐标，再利用路程除以速度即可求解． （4）求出边上的高为2时即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵点A的坐标为，点C的坐标为， ∴， ∴， ∴点B的坐标为； （2）点P移动时，运动路程为个单位， ∵，， ∴点P在上，距离点C两个单位长度，且； （3）在移动过程中，当点P到x轴的距离为5个单位长度时，则或， 当运动到时，时间为， 当运动到时，时间为， ∴点P移动的时间为或； （4）∵点B的坐标为， ∴， ∴当三角形的面积等于6时，边上的高为2， ∴或， ∴当时，P点运动路程为8，则点P移动的时间为， 当时，P点运动路程为18，则点P移动的时间为， ∴点P移动的时间为或． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系内的动点问题，涉及到了算术平方根和绝对值的非负性、点到坐标轴的距离、三角形的面积公式和行程问题中的数量关系，解题关键是利用数形结合，正确得到动点运动的路程或位置并求解． 4．（24-25七年级下·河北邯郸·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，，三点，其中a、b、c满足关系式：．    (1)求a、b、c的值； (2)请直接判断与y轴的位置关系； (3)若平面内有一点，且点到的距离为5，请求出的面积； (4)如果点在平面内，是否存在m，使四边形的面积为面积的3倍？若存在，请直接写出满足条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)平行于轴 (3)或 (4)存在，满足条件的点P的坐标为或 【分析】（1）根据非负数的性质，得到，，，然后计算即可得出答案； （2）根据横坐标相同的两点构成的直线与轴平行即可判断； （3）根据点到的距离为5，点、的横坐标为4，可以求得的值有两种情况，然后代入计算的面积即可； （4）分两种情况进行讨论，当或时，根据四边形与三角形的面积关系列出方程，解得的值，然后写出点的坐标． 【详解】（1）解：， ，，， ，，； （2）解：由（1）可知：，， 点、点的横坐标相同， 平行于轴； （3）解：点到的距离为5，，， ， ， 解得：或， 点的坐标为或， 点的坐标为， ， 当时， ， 当时， ， 综上可得：或； （4）解：存在，理由如下： 当时，   ， ， 四边形的面积为面积的3倍， ， 解得：， 满足条件的点的坐标为； 当时，   ， ， 四边形的面积为面积的3倍， ， 解得：， 满足条件的点的坐标为； 综上所述，满足条件的点P的坐标为或 【点睛】本题主要考查平行线的判定与性质，非负数的性质，坐标与图形性质，三角形的面积，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 5．（24-25七年级下·贵州遵义·期末）对于长方形为坐标原点，点在第三象限．，满足． (1)直接写出点的坐标_____； (2)如图1，点从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的路线移动，当点移动到与轴距离为4个单位长度时，求出点移动的时间： (3)①如图1，若过点的直线与长方形的边交于点，且将长方形的面积分为两部分，求点的坐标； ②如图2，为轴负半轴上一点，且，点是轴正半轴上一动点，的平分线交的延长线于点．在点运动的过程中，的值是否变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由． 【答案】(1) (2)秒或秒 (3)①或；②的值不会变化，理由见解析 【分析】本题考查了坐标与图形性质：利用点的坐标计算相应线段的长和判断线段与坐标轴的位置关系．也考查了平行线的性质和角的和差运算、非负数的性质以及解二元一次方程组，灵活添加辅助线是解答的关键． （1）根据算术平方根非负性，列出方程组进行计算，即可得出点的坐标； （2）根据点从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的路线移动，确定长度和运动时间； （3）①分类讨论：当点在上时，设，根据题意得，则；当点在上时，设，根据题意得，则，然后分别解方程即可得到点坐标；②延长至点，如图2，由得，，利用得到，过点作交于点，根据平行线得性质得，，加上，于是可得，，所以，即有． 【详解】（1）解：∵满足， ∴， 解得， ∴， 故答案为：； （2）解：点到轴距离为4个单位长度， 点在或上， 当在上时，，此时（秒）， 当在上时，此时运动了个单位，（秒）， 综上，当点移动到与轴距离为4个单位长度时，点移动的时间为秒或秒； （3）解：①当点在上时，设， ， ， 即， 解得， ； 当点在上时，设， ， ， 即， 解得， ， 综上所述，点坐标为或； ②解：的值不会变化，理由如下： 延长至点，如图， 四边形为长方形， ， ，， ， ， 过点作交于点， ，， 又平分， ， ， ， ． 6．（24-25七年级下·贵州遵义·月考）乌江寨灯光秀是传统文化与现代科技融合的一场视觉盛宴，假定河两岸，桥长20米，横跨河两岸，为了强化灯光效果，在桥头A、O安置了可旋转探照灯．灯A射线从开始绕点A顺时针旋转至立即回转，灯O射线从开始绕点O顺时针旋转至立即回转，两灯不停旋转交叉照射．如图1建立平面直角坐标系，若灯A、灯O转动的速度分别是a度/秒、b度/秒，且满足． (1)填空：__________，__________，A点坐标（__________，__________）； (2)如图1，为确保“探照灯”顺利旋转，检修工人P从点G以每秒1米的速度向O点走去，到达O点便开始检修设备；检修工人Q从点F以每秒1.5米的速度向A点走去，到达A点便开始检修设备．其中，两人同时分别从点G、F出发，当检修工人走了多少秒时，有的面积等于的面积的2倍； (3)如图2，若两灯同时转动，在灯O射线第一次到达之前，两灯射出的光束交于点C．在射线上取一点D，且，则在转动过程中，是否存在实数k，使得为定值？若存在，请求出实数k的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2) (3)存在，， ， 【分析】本题考查了平方数、算术平方根的非负性，平行线的性质，三角形的内角和，解题的关键是：根据题意列出等量关系式． （1）根据平方数与算术平方根的非负性，可得，，即可求出，，由桥长20米，为坐标原点，即可得出点A坐标； （2）设检修工人走了t秒，由，，当时，代入即可求解； （3）由，，得到，结合，，得到，若为定值，则与t无关，即可求解， 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∴，， ∵桥长20米，为坐标原点， ∴， 故答案为：；；． （2）解：设检修工人走了t秒，如图，   ， ， 当时，，解得， 故答案为：； （3）解：存在；如图2，   ，， ， 又， ， 又， ， ， 若为定值，则与t无关， ， ，此时，， 故存在， ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 考点02 与平面直角坐标系有关的规律探究、面积问题 题型一：点的坐标规律问题 1）观察平面直角坐标系中点的位置变化，探索出点的位置的循环规律. 2）对比各点的横坐标和纵坐标，探索各点横、纵坐标之间存在的规律. 【小结】点的坐标规律问题，解题的关键是明确题意，找出图形中点的坐标的变化规律，求出相应的点的坐标. 类型一 沿坐标运动的点的规律 1．（23-24七年级下·云南昆明·期末）如图，小明编了一个“步步高升”程序，已知点A在平面直角坐标系中按的规律跳动．已知，，，，，，…，按此规律，的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·湖北十堰·期中）如图，在平面直角坐标系中，点根据这个规律，探究可得点，，，…根据这个规律，探究可得点的坐标是 ． 3．（23-24七年级下·山东济宁·期中）在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点称为整数点．如图，一列按箭头方向有规律排列的整数点，其坐标依次为，，，，，，，，…，根据规律，第2024个整数点的坐标为 ． 4．（24-25七年级下·安徽阜阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标为．若点按下列规律跳动：第次由点向左上方跳动至点，第次由点向右跳动至点，第次由点向左上方跳动至点，第次由点向右跳动至点，． 根据上述规律，解答下列问题 (1)写出点的坐标：__________； (2)第次跳动后，点的坐标为__________； (3)求三角形的面积． 5．（24-25七年级下·福建厦门·期中）如图，在平面直角坐标系中有若干个点，按如图顺序依次排列为：，，，，，，……，按此规律排列下去，则的坐标为 ． 6．（24-25七年级下·江西宜春·期末）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如，，，，，，，……，根据这个规律探索可得第个点的坐标是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25七年级下·广东江门·期中）如图，．按这样的规律，点的坐标为 ． 8．（24-25七年级下·河南漯河·期中）如图，动点在平面直角坐标系中按图中的箭头所示方向运动，第一次从原点运动到点（2.2），第2次运动到点，第3次接着运动到点按这样的运动规律，经过第2025次运动后动点P的坐标是 ． 类型二 绕原点呈“回”字形运动的点的规律 9．（24-25八年级上·江西抚州·期末）如图，，，，，按此规律，点的坐标为 ． 10．（24-25七年级下·山东日照·期中）如图，在一单位为1的方格纸上，，都是斜边在轴上，斜边长分别为的等腰直角三角形，若的顶点坐标分别为，则依图中所示规律，的坐标为（　　） A． B． C． D． 11．（24-25七年级下·重庆渝北·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，，，一只电子蚂蚁从点出发按…的规律每秒1个单位长度的速度爬行，则2025秒时蚂蚁所在的位置是（   ） A． B． C． D． 12．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）如图，在平面直角坐标系中，动点从原点出发，沿点 路径运动，依此规律运动下去，则点的坐标是 ，点的坐标是 ． 13．（24-25七年级下·重庆·月考）如图，在平面直角坐标系中，动点A从出发，第一次运动到点，第二次运动到点，第三次运动到点，第四次运动到点，按照此运动规律，第83次运动到点的坐标为（   ） A． B． C． D． 14．（24-25七年级下·福建龙岩·期中）某校某班共有45名学生，在校广播操比赛中排成方阵，先把每名学生都进行编号，号码为1至45号，然后把各自的位置固定下来．如图，在平面直角坐标系中，每个编号都对应着一个点，例如1号的对应点是，3号的对应点是，16号的对应点是⋯⋯若该校全体学生（不少于2520名）按照上述规律排成一个大方阵，则编号是2025号的学生所在位置对应点是 ． 题型二：坐标系中的图形面积问题（基础） 求平面直角坐标系中几何图形的面积，常见的图形是三角形和四边形. 1）如图1，当三角形有一条边平行于坐标轴或落在坐标轴上时，直接应用三角形的面积公式进行计算； 2）如图2，当三角形没有一条边平行于坐标轴或落在坐标轴上时，要用割补法，将三角形的面积转化为其他图形面积的和或差； 3）如图3，当求不规则多边形的面积时，一般采用割补法，将不规则的多边形割补为规则图形，进而求出其面积.一般地，过图形的顶点向x轴或y轴作垂线，找出不规则图形与规则图形之间的联系. 类型一 直角三角形三顶点在坐标轴上 15．（23-24七年级下·江苏南通·月考）已知点和点，且直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于10，则a的值是（   ） A．4 B．4或 C． D．2 16．（23-24七年级下·新疆喀什·期末）已知点，，点在轴上，且三角形的面积是，则点的坐标是（   ） A． B． C．或 D．或 17．（22-23七年级下·河北石家庄·期中）在平面直角坐标系中，，，，则三角形的面积为 ，如果在y轴上存在一点P，使得的面积与的面积相等，则点P的坐标为 ． 18．（24-25七年级下·湖北孝感·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，满足． (1)求、两点的坐标及的面积； (2)若点是轴上一点，且的面积为6，求点的坐标； (3)若是轴上方到轴的距离为6的一条直线，在直线上是否存在点，使的面积等于的面积，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 类型二 三角形一边在坐标轴上 19．（宁夏回族自治区吴忠市第三中学2024-2025学年七年级下学期数学期中测试）如图三角形顶点坐标分别是、、，那么它的面积等于 ． 20．（24-25七年级下·广东惠州·期末）如图， 在平面直角坐标系中， 已知， ， 其中a，b满足 ．点M的坐标，在y轴的正半轴上有一点 P，使得三角形 的面积与三角形的面积相等，则点 P 的坐标为（  ） A． B． C． D． 21．（2025八年级上·全国·专题练习）如图是一块不规则的四边形地皮，各顶点坐标分别为，，，（图上一个单位长度表示），则这块地皮的面积是（   ） A． B． C． D． 22．（24-25七年级下·江西赣州·期末）在平面直角坐标系中，点，点，若在坐标轴上有一点（不与点重合），使三角形和三角形面积相等，则点的坐标为 ． 类型三 矩形 / 正方形顶点在坐标轴上 23．（22-23七年级下·湖北武汉·期中）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的四个顶点A，B，C，D是整点（横、纵坐标都是整数），则四边形的面积是（   ）个平方单位． A． B．15 C．10 D．无法计算 24．（24-25七年级下·吉林·月考）如图所示的长方形阴影区域的面积是 ． 25．（24-25七年级下·天津南开·期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形和正方形的面积分别是4与9，正方形沿x轴向右平移，若平移后正方形与正方形重叠部分的面积为2，则F点移动后的坐标是 ． 26．（23-24七年级下·广东中山·期中）如图，的顶点的坐标分别为，，把沿轴向右平移得到． （1）若，则的长为 ； （2）连接，在（1）的条件下，则四边形的面积是 ． 题型三：坐标系中的图形面积问题（不规则图形转化型） 类型一 一般三角形（边不在坐标轴上） 27．（湖北省武汉市硚口区2022-2023学年七年级下学期期中数学试卷）如图在平而直角坐标系中，点，点，点，则三角形的面积是（    ） A． B． C． D． 28．（23-24七年级下·湖北武汉·期中）如图在平面直角坐标系中，点，点，点，则三角形的面积是（    ） A．19 B．20 C．21 D．21.5 29．（23-24七年级上·广东江门·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，，的坐标分别为，，．若在内中存在一点，使得的面积是的面积的9倍，则点的坐标为 ． 30．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）如图，在平面直角坐标系中，对于任意三点A，B，C的“矩面积”，给出如下定义：“水平底”：任意两点横坐标差的最大值：“铅垂高”：任意两点纵坐标差的最大值，则A，B，C三点的“矩面积”．例如：三点坐标分别为，则“水平底”，“铅垂高”，A，B，C三点的“矩面积”． 根据所给定义解决下列问题： (1)已知点，则A，B，C三点的“矩面积”______； (2)已知点，，在轴上是否存在点，使这三点的“矩面积”为？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)已知点，若，设A，B，M的“矩面积”为，A，B，N的“矩面积”为．若为固定值，求的取值范围． 31．（25-26八年级上·陕西西安·月考）已知：在平面直角坐标系中，，，， (1)求的面积； (2)设点P在y轴上，且的面积是的面积的2倍，求点P的坐标． 32．（北京东城区2024-2025学年七年级下学期期末数学试卷）在平面直角坐标系中，已知点．点P是线段上一动点，以O，A，P为顶点的三角形的面积记作． (1)___________（填“存在”或“不存在”）一点，使得； (2)将线段向下平移t个单位长度，若存在一点P，使得，则t的最大值是___________． 类型二 四边形（含凸 / 凹四边形） 33．（山东省青岛市2024-2025学年八年级上学期11月期中考试数学试题）在如图所示的直角坐标系中，四边形各个顶点的坐标分别是，，，，则这个四边形的面积是 ． 34．（25-26八年级上·广东梅州·期中）如图，已知． (1)求四边形的面积； (2)在y轴上存在一点P，使三角形的面积等于四边形面积的2倍，求点P 的坐标． 35．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，四边形各个顶点的坐标分别为，． (1)求这个四边形的面积； (2)如果把原来四边形各个顶点的横坐标都乘，纵坐标都乘，再顺次连接得到的各点，所得的四边形和原四边形的面积相比是否发生变化？面积是多少？ 题型四：坐标系中与图形面积有关的存在性问题 36．（24-25七年级下·陕西安康·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，，，且． (1)求a，b的值； (2)在y轴的正半轴上存在一点M，使三角形的面积等于三角形面积的一半，求出点M的坐标； (3)在坐标轴的其他位置是否存在点M，使三角形的面积等于三角形面积的一半？若存在，请直接写出符合条件的点M的坐标，若不存在，请说明理由． 37．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·月考）如图，已知在平面直角坐标系中，，，三角形的面积是6；    (1)求三角形ABC三个顶点A、B、C三点的坐标； (2)点的坐标是，连接、，并用含字母的式子表示的面积； (3)在（2）问的条件下，是否存在点，使的面积等于的面积的，如果存在，请求出的坐标，若不存在，请说明理由． 38．（24-25七年级下·重庆·月考）如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点分别在x轴、y轴上，轴，轴，点B的坐标为，且 (1)请直接写出点的坐标； (2)若动点P从原点O出发，沿x轴以每秒2个长度单位的速度向右运动，在运动过程中形成的的面积是长方形面积的时，点P停止运动，求点P的运动时间； (3)在（2）的条件下，点P停止运动后，在y轴上是否存在一点Q，连接，使的面积与长方形的面积相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 39．（24-25七年级下·四川南充·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，C的坐标分别为，，现将线段向左平移4个单位长度，得到．点A、C的对应点分别为B、D，连接． (1)直接写出点B，D的坐标，求出四边形的面积； (2)在x轴上是否存在一点F，使得三角形的面积是三角形面积的2倍，若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 题型五：坐标系中的动点问题 40．（24-25七年级下·广东·期末）如图，以直角的直角顶点为原点，以，所在直线为轴和轴建立平面直角坐标系，点，满足． (1)点的坐标为________；点的坐标为________． (2)已知坐标轴上有两动点，同时出发，点从点出发沿轴负方向以每秒个单位长度的速度匀速移动，点从点出发沿轴正方向以每秒个单位长度的速度匀速移动，点到达点整个运动随之结束．的中点的坐标是，设运动时间为秒．问：是否存在这样的，使得与的面积相等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． (3)在（2）的条件下，若，点是第二象限中一点，并且轴平分．点是线段上一动点，连接交于点，当点在线段上运动的过程中，探究，，之间的数量关系，并证明你的结论． 41．（24-25七年级下·河南周口·月考）如图，在平面直角坐标系中（以1厘米为单位长度），过点的直线a垂直于y轴，点为直线a上一点，点P从点M出发，以每秒2厘米的速度沿直线a向左移动，同时，点Q从原点出发，以每秒1厘米的速度沿x轴向右移动． (1)几秒时，平行于y轴？ (2)若以A、O、Q、P为顶点的四边形的面积是10平方厘米，求点P的坐标． 42．（24-25七年级下·全国·期末）如图，A，B，C三点的坐标分别为，，． (1)求； (2)过点C作直线l平行于x轴，M为l上任意一点，试猜想与的关系，并验证你的猜想； (3)试在坐标轴上找一点P，使，请直接写出满足条件的点P的坐标． 43．（24-25七年级下·吉林·月考）在数学活动课上，智慧小组研究了平面直角坐标系中的特殊线段的长度：在平面直角坐标系中有不重合的两点，点和点，当时，轴，且的长为；当时，轴，且的长为． 【实践操作】 （1）①若点，点的横坐标为2，轴，则的长为 ． ②若点轴，，则点的坐标为 ． 【初步运用】 （2）如图①，正方形的边长为4，顶点的坐标是轴，则顶点的坐标为 ，顶点的坐标为 ． 【问题解决】 （3）如图②，点的坐标为；将线段向上平移6个单位长度，得到线段，连接．点分别是线段上的动点（不与端点重合），点从点出发，以的速度向终点运动，点从点出发，以的速度向终点运动，若两点同时出发，运动时间为，当轴时，求的值． 44．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·月考）对数轴上的点A进行如下操作：先把A点向左移动a个单位，将得到的点表示的数乘以b，如图1，在坐标系中，，，，且满足． (1)的值为________，的值为________； (2)若动点M从坐标原点出发，以每秒2个单位长度的速度在坐标轴上运动，当三角形的面积等于三角形的面积的一半时，求点M的运动时间的值； (3)如图2，过点C作轴，交轴于点D，点P为线段延长线上一动点，连接，平分，．当点P运动时，求的值． 1．（24-25七年级下·湖北襄阳·月考）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，．将线段向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到线段，连接，． (1)直接写出点C、D的坐标． (2)连接，M为x轴上的一动点，若，求点M的坐标． (3)若，设点P是x轴上一动点（不与点B重合），则与存在怎样的数量关系？请直接写出来． 2．（24-25七年级下·辽宁大连·月考）综合与探究 【问题背景】 一节数学课上，刘老师提出这样一个问题： 平面直角坐标系中，满足． 【初步探究】 （1）求A，B两点的坐标； 【深入研究】 （2）将线段平移得到，A，B的对应点分别为C，D，其中点C在y轴负半轴上．如图1，连接交于点E，若点E在y轴正半轴上，求的值； 【学以致用】 （3）如图2，在平面直角坐标系中，，点是坐标平面内的动点，若满足，求a的取值范围． 3．（24-25七年级下·吉林白山·期末）如图，在长方形中，O为平面直角坐标系的原点，点A的坐标为，点C的坐标为，且a，b满足，点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的线路移动． (1) ________， ________，点B的坐标为__________； (2)当点P移动时，请指出点P的位置，并求出点P的坐标； (3)在移动过程中，当点P到x轴的距离为5个单位长度时，求点P移动的时间． (4)在移动过程中，当三角形的面积等于6时，求点P移动的时间． 4．（24-25七年级下·河北邯郸·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，，三点，其中a、b、c满足关系式：．    (1)求a、b、c的值； (2)请直接判断与y轴的位置关系； (3)若平面内有一点，且点到的距离为5，请求出的面积； (4)如果点在平面内，是否存在m，使四边形的面积为面积的3倍？若存在，请直接写出满足条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由． 5．（24-25七年级下·贵州遵义·期末）对于长方形为坐标原点，点在第三象限．，满足． (1)直接写出点的坐标_____； (2)如图1，点从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的路线移动，当点移动到与轴距离为4个单位长度时，求出点移动的时间： (3)①如图1，若过点的直线与长方形的边交于点，且将长方形的面积分为两部分，求点的坐标； ②如图2，为轴负半轴上一点，且，点是轴正半轴上一动点，的平分线交的延长线于点．在点运动的过程中，的值是否变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由． 6．（24-25七年级下·贵州遵义·月考）乌江寨灯光秀是传统文化与现代科技融合的一场视觉盛宴，假定河两岸，桥长20米，横跨河两岸，为了强化灯光效果，在桥头A、O安置了可旋转探照灯．灯A射线从开始绕点A顺时针旋转至立即回转，灯O射线从开始绕点O顺时针旋转至立即回转，两灯不停旋转交叉照射．如图1建立平面直角坐标系，若灯A、灯O转动的速度分别是a度/秒、b度/秒，且满足． (1)填空：__________，__________，A点坐标（__________，__________）； (2)如图1，为确保“探照灯”顺利旋转，检修工人P从点G以每秒1米的速度向O点走去，到达O点便开始检修设备；检修工人Q从点F以每秒1.5米的速度向A点走去，到达A点便开始检修设备．其中，两人同时分别从点G、F出发，当检修工人走了多少秒时，有的面积等于的面积的2倍； (3)如图2，若两灯同时转动，在灯O射线第一次到达之前，两灯射出的光束交于点C．在射线上取一点D，且，则在转动过程中，是否存在实数k，使得为定值？若存在，请求出实数k的值；若不存在，请说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $