专项提升训练：长方体和正方体的体积解决问题（考点梳理+例题讲解+考点练习）2025-2026学年五年级下册数学人教版

专项提升训练：长方体和正方体的体积解决问题 （考点梳理+例题讲解+考点练习） 考点梳理 1 考点一、基础体积计算 1 考点二、体积的“等积变形”与“排水法” 1 考点三、组合体与挖空体的体积计算 2 考点四、实际生活中的应用题 2 例题讲解 2 题型一、长方体的体积的应用 2 题型二、正方体的体积的应用 3 题型三、长方体和正方体组合体的体积的应用 4 考点练习 6 练习一、长方体的体积的应用 6 练习二、正方体的体积的应用 9 练习三、长方体和正方体组合体的体积的应用 11 考点梳理 考点一、基础体积计算 1.核心公式： (1)长方体体积 = 长 × 宽 × 高 ( ) (2)正方体体积 = 棱长 × 棱长 × 棱长 ( ) 2.典型应用场景： (1)求物体质量： 已知体积和单位体积的质量，求总质量。 (2)求沙石/填埋重量： 计算沙坑或路基的体积，再乘以单位重量。 (3)简单容器注水： 已知水深，求水的体积。 考点二、体积的“等积变形”与“排水法” 1.液体倒置（体积不变） (1)思路： 水从一个容器倒入另一个容器，体积不变。 (2)公式变形： 水深 = 水的体积 ÷ 新容器的底面积。 2.锻造问题（体积不变） (1)思路： 将一个物体锻造成另一个形状，体积不变。 3.水面上升（排水法） (1)思路： 物体完全浸没，水面上升的体积 = 物体的体积。 (2)公式变形： 上升高度 = 物体体积 ÷ 容器底面积。 4.沙藏法（体积差） (1)思路： 取出物体后，沙面下降部分的体积 = 物体的体积。 考点三、组合体与挖空体的体积计算 1.组合体（相加法） (1)特征： 由多个基本几何体拼接而成。 (2)解法： 总体积 = 各部分体积之和。 2.挖空体/零件（相减法） (1)特征： 大的几何体中间挖去一个小几何体。 (2)解法： 剩余体积 = 大体积 - 小体积。 3.复杂挖孔（重叠处理） (1)特征： 多次挖孔，且孔道有相交部分。 (2)解法： 需要注意相交部分被重复计算了，需要减去重叠部分的体积。 考点四、实际生活中的应用题 1.铺路问题： (1)思路： 把沥青看作长方体，求厚度（高）。 (2)公式变形： 厚度 = 体积 ÷ (长 × 宽)。 2.注水时间问题： (1)思路： 先求需要增加的水的体积，再除以每小时进水量。 (2)公式： 时间 = (目标体积 - 现有体积) ÷ 流量。 3.安装标准问题： (1)思路： 计算体积并与标准值比较，注意单位统一。 4.特殊应用（捆扎）： (1)思路： 结合周长和体积概念，计算捆扎物体所需的线长。 例题讲解 题型一、长方体的体积的应用 【例题1】有一块长方体钢板，长2米，宽0.2米，厚0.05米。每立方米钢重7800千克，这块钢板重多少千克？ 【答案】156千克 【分析】本题应先用公式“长方体的体积＝长×宽×高”求出钢板的体积，再用体积乘7800千克，即可解答。 【详解】（立方米） （千克） 答：这块钢板重156千克。 【练习1】张军家有一个长方体无盖鱼缸，长6分米，宽5分米，高4分米。 （1）做这个鱼缸至少需要玻璃多少平方分米？ （2）在鱼缸里注入2.5分米深的水，鱼缸里的水是多少立方分米？（玻璃的厚度忽略不计） 【答案】（1）118平方分米 （2）75立方分米 【分析】（1）求做这个鱼缸需要玻璃的面积，就是求这个长方体无盖鱼缸的表面积，根据长方表面积＝长×宽＋（长×高＋宽×高）×2，代入数据，即可解答。 （2）求鱼缸里注入2.5分米深的水，求鱼缸里的水的体积，就是求长是6分米，宽是5分米，高是2.5分米的长方体体积，根据长方体体积＝长×宽×高，代入数据，即可解答。 【详解】（1）6×5＋（6×4＋5×4）×2 ＝30＋（24＋20）×2 ＝30＋44×2 ＝30＋88 ＝118（平方分米） 答：做这个鱼缸至少需要玻璃118平方分米。 （2）6×5×2.5 ＝30×2.5 ＝75（立方分米） 答：鱼缸里的水是75立方分米。 题型二、正方体的体积的应用 【例题2】一块正方体石料的棱长为6分米，如果1立方分米石料的质量是2.7千克，这块石料的质量是多少千克？ 【答案】583.2千克 【分析】先根据正方体的体积公式，棱长×棱长×棱长，求出石料的体积，再乘2.7即可求出石料的质量即可。 【详解】6×6×6×2.7 ＝36×6×2.7 ＝216×2.7 ＝583.2（千克） 答：这块石料的质量是583.2千克。 【练习2】一个棱长为5分米的正方体鱼缸里装满水，把水倒入一个长8分米，宽5分米，高6分米的长方体空鱼缸里，水深多少分米？ 【答案】3.125分米 【分析】根据题意，先求出正方体鱼缸中水的体积，因为水的体积没变，所以用水的体积除以长方体鱼缸的底面积就是水的深度。长方体的体积＝长×宽×高，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，据此解答。 【详解】5×5×5÷（8×5） ＝25×5÷40 ＝125÷40 ＝3.125（分米） 答：水深3.125分米。 题型三、长方体和正方体组合体的体积的应用 【例题3】公园的凉亭里有一张石桌，如下图所示，这张石桌的体积是多少立方分米？ 【答案】180立方分米 【分析】石桌由上下两个长方体组成，体积＝上面长方体体积＋下面长方体体积。分别计算两个长方体体积再相加。依据长方体体积公式V＝a×b×c（a，b，c为长、宽、高），据此解答。 【详解】上面长方体体积： 5×6×2 ＝30×2 ＝60（立方分米） 下面长方体体积： 5×4×6 ＝20×6 ＝120（立方分米） 总体积：60＋120＝180（立方分米） 答：这张石桌的体积是180立方分米。 【练习3】一个零件的形状如图，它是由某种金属铸造而成，铸造一个零件需要这种金属多少立方厘米？ 【答案】176立方厘米 【分析】根据题意可知，这个零件的体积相当于长为8厘米、宽为6厘米、高为5厘米的长方体的体积减去棱长为4厘米的正方体体积，根据长方体的体积＝长×宽×高、正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据即可解答。 【详解】8×6×5－4×4×4 ＝240－64 ＝176（立方厘米） 答：铸造一个零件需要这种金属176立方厘米。 考点练习 练习一、长方体的体积的应用 1．抽烟会使密闭的室内（细颗粒物）含量急剧升高。如果在一间长6m、宽6m、高3m的密闭房间里抽烟，会导致室内每立方米的空间内含有10微克（一种质量单位）的细颗粒物。这个房间的细颗粒物一共有多少微克？ 【答案】1080微克 【分析】根据长方体的体积=长×宽×高，把数据代入公式求出这间密闭房间的空间，然后再乘每立方米空间内含有颗粒的质量即可。 【详解】（立方米） （微克） 答：这个房间的细颗粒物一共有1080微克。 2．一个游泳池长50米、宽21米，现在水深0.8米。工作人员要往池内加水，如果该游泳池每小时的进水量是300立方米，那么多少小时后水深达到1.8米？（蒸发损耗忽略不计） 【答案】3.5小时 【分析】根据长方体体积＝长×宽×高，代入数据，分别求出水深0.8米时，水的体积；水深1.8米时，水的体积，再用水深1.8米水的体积减去水深0.8米水的体积，求出需要加入水的体积；再用需要加入水的体积除以每小时的进水量，即可解答。 【详解】（50×21×1.8－50×21×0.8）÷300 ＝（1050×1.8－1050×0.8）÷300 ＝（1890－840）÷300 ＝1050÷300 ＝3.5（小时） 答：3.5小时后水深达到1.8米。 3．铺路工人铺一条宽8米、长500米的马路，现有沥青600立方米，可以铺多厚？ 【答案】0.15米 【分析】铺路工人铺一条马路，在马路上所铺的沥青范围可以近似看作是一个长方体，其中该长方体的长是500米，宽是8米，要求可以铺多厚，也就是所铺的高度；已知沥青的总体积，根据长方体体积＝长×宽×高，用体积除以（长×宽），所得结果即为高，也就可以铺的厚度。 【详解】600÷（500×8） ＝600÷4000 ＝0.15（米） 答：可以铺0.15米厚。 4．一个长方体游泳池，从里面量长50米、宽25米、深2米。 （1）要在这个游泳池的四周和底面贴上瓷砖，贴瓷砖的面积是多少平方米？ （2）如果注入2000立方米的水，水深多少米？ 【答案】（1）1550平方米 （2）1.6米 【分析】（1）根据题意，要在这个游泳池的四周和底面贴上瓷砖，贴瓷砖的面是长方体的下面、前后面、左右面共5个面；根据“长×宽＋长×高×2＋宽×高×2”求出这5个面的面积之和，就是贴瓷砖的面积。 （2）已知注入2000立方米的水，根据长方体的体积＝长×宽×高可知，长方体的高＝体积÷（长×宽），代入数据计算，求出水的深度。 【详解】（1）50×25＋50×2×2＋25×2×2 ＝1250＋200＋100 ＝1550（平方米） 答：贴瓷砖的面积是1550平方米。 （2）2000÷（50×25） ＝2000÷1250 ＝1.6（米） 答：水深1.6米。 5．李叔叔很喜欢养鱼，所以在基地修了一个长30米、宽20米、深2.2米的长方体小鱼池，又往鱼池中加了1.2米深的水。鱼池中水的体积是多少立方米？ 【答案】720立方米 【分析】把鱼池中的水看作一个长方体，长方体的长为30米，宽为20米，高为1.2米，利用“长方体的体积＝长×宽×高”求出鱼池中水的体积，据此解答。 【详解】30×20×1.2 ＝600×1.2 ＝720（立方米） 答：鱼池中水的体积是720立方米。 6．某小学操场上有一个沙坑长2.5米，宽1.5米，深0.6米，填满这个沙坑，每立方米沙子重1.4吨，填满这个沙坑需要细沙多少吨？ 【答案】3.15吨 【分析】根据长方体的体积公式，体积＝长×宽×高，求出沙坑的体积，再乘每立方米沙子的重量，即可得到所需细沙的总重量。 【详解】2.5×1.5×0.6×1.4 ＝3.75×0.6×1.4 ＝2.25×1.4 ＝3.15（吨） 答：填满这个沙坑需要细沙3.15吨。 7．《齐民要术》记载了保存种子、果实的方法——“沙藏法”。利用沙藏法保存生姜能够保持生姜的湿度，防止其干瘪。李伯伯在底面积为4.24平方米的长方体土坑内放入今年收获的生姜后盖上细沙，沙子刚好盖住生姜，等到售卖时取出生姜，沙子高度下降了8.5分米，则这些生姜的体积是多少立方米？ 【答案】3.604立方米 【分析】根据题意可知，生姜的体积等于沙子下降部分的体积，长方体体积公式为：V＝Sh（S是底面积，h是高）。沙子高度下降了8.5分米（即高），因为1米＝10分米，所以8.5分米换算为米是：8.5÷10＝0.85米。长方体土坑的底面积是4.24平方米，把数据代入公式计算即可解答。 【详解】1米＝10分米 8.5÷10＝0.85（米） 4.24×0.85＝3.604（立方米） 答：这些生姜的体积是3.604立方米。 8．某品牌新能源汽车，购车时店赠送一个家用充电桩，其尺寸为：高是，长是，厚度是。欣欣小区对于家用充电桩的安装标准是体积不能超过。店赠送的充电桩符合欣欣小区的安装标准吗？ 【答案】符合 【分析】根据题意，利用长方体体积公式：长方体体积＝长×宽×高，计算出赠送的家用充电桩的体积；由于题目中体积标准是dm3，再根据统一单位，比较体积是否小于12dm3即可解答。 【详解】40×25×10＝10000（cm3） 10000cm3＝10dm3 10dm3＜12dm3 答：店赠送的充电桩符合欣欣小区的安装标准。 练习二、正方体的体积的应用 1．东坡肉是一道中国传统名菜，其来历和典故与北宋著名的文学家、政治家苏东坡有关。乐乐也爱吃东坡肉，今天妈妈又精心准备了一盘（如图）。每小块肉都是棱长约为4厘米的正方体，都用棉线十字捆扎并打结，每个打结处用去约3厘米的棉线。 （1）每块东坡肉的体积约是多少？ （2）乐乐妈妈做这盘东坡肉至少需要用多少厘米的棉线？ 【答案】（1）（2） 【分析】（1）已知每小块肉都是棱长约为4cm的正方体，要求每块东坡肉的体积，根据正方体的体积公式：（其中为正方体的棱长），代入棱长数值即可求出每块东坡肉的体积。 （2）因为每小块肉都是用棉线十字捆扎并打结，十字捆扎时，上面和下面需要的棉线长度是2倍的棱长，侧面需要的棉线长度是1个棱长，所以捆一个正方体需要的棉线长度是8倍的棱长，再加上每个打结处用去约3cm的棉线，就可以得到捆扎一块肉需要的棉线长度，最后观察盘中肉的块数是4，即可求出乐乐妈妈做这盘东坡肉至少需要的棉线长度。 【详解】（1）每块东坡肉的体积： 答：每块东坡肉的体积约是。 （2）一块东坡肉需要的棉线长度： 四块东坡肉需要的棉线长度： 答：乐乐妈妈做这盘东坡肉至少需要用140厘米的棉线。 2．一块棱长为50厘米的正方体冰块，如果每立方厘米冰的质量是0.9克，那么这块冰一共有多少千克？ 【答案】112.5千克 【分析】已知一块正方体冰块的棱长为50厘米，根据正方体的体积公式V＝a3，求出这块冰的体积，再乘每立方厘米冰的质量，即是这块冰的总质量。注意单位的换算：1千克＝1000克。 【详解】50×50×50 ＝2500×50 ＝125000（立方厘米）    0.9×125000＝112500（克） 112500克＝112.5千克 答：这块冰一共有112.5千克。 3．一个棱长为0.6米的正方体钢坯，锻造成横截面是18平方分米的长方体钢材，这个长方体钢材的长是多少分米？ 【答案】12分米 【分析】根据1米＝10分米，统一单位，正方体体积＝棱长×棱长×棱长，据此求出钢坯体积，钢坯体积÷横截面＝长方体钢材的长，据此列式解答。 【详解】0.6米分米 6×6×6÷18 ＝216÷18 ＝12（分米） 答：这个长方体钢材的长是12分米。 4．一个长方体容器，长5分米，宽4分米，高3分米，将一个棱长2分米的钢材完全浸没在水里，水面上升多少厘米？ 【答案】4厘米 【分析】钢材完全浸没在水中，水面上升的体积等于钢材的体积。先求出钢材的体积，再用这个体积除以容器的底面积，得到水面上升的高度。最后注意单位换算，将结果从分米转换为厘米。 【详解】 （分米） 0.4分米＝4厘米 答：水面上升4厘米。 5．一个正方体的水箱，棱长40厘米，把这样一箱水倒入另一只长0.8米，宽25厘米的长方体水箱中，水深是多少厘米？ 【答案】32厘米 【分析】0.8米＝80厘米，根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，用40×40×40即可求出水的体积，然后根据长方体的体积＝长×宽×高，用水的体积÷80÷25即可求出水的深度。 【详解】0.8米＝80厘米 40×40×40÷80÷25 ＝64000÷80÷25 ＝32（厘米） 答：水深是32厘米。 【点睛】本题考查了正方体体积公式和长方体的体积公式的灵活应用，要熟练掌握公式。 练习三、长方体和正方体组合体的体积的应用 1．如图，有一个长方体钢材，底面是正方形，中间是空心的。它的体积是多少立方厘米？ 【答案】1500立方厘米 【分析】根据长方体的体积公式：，用大长方体物体的体积减去空心部分的体积即可，据此解答。 【详解】    （立方厘米） 答：它的体积是1500立方厘米。 2．妈妈做了两种形状如下图所示的奶酪（单位：cm），园园选择哪一种才能吃到更多的奶酪呢？ 【答案】选第一种才能吃到更多的奶酪。 【分析】第一种奶酪是长方体，把图中数据代入长方体的公式，即可求出第一种奶酪的体积；第二种奶酪是由一个大长方体减去一个小长方体组成，分别计算出两部分的体积再相减，即可算出第二种奶酪的体积，比较两种奶酪的体积，即可解答。 【详解】（立方厘米） （立方厘米） 答：选第一种才能吃到更多的奶酪。 3．如图①，一个棱长为6cm的正方体，从前面的中心向后面挖去一个长方体（向后面全部挖空），前面的孔是一个边长为2cm的正方形，图①剩余部分的体积是多少？如果像图②这样从前面和上面的中心各向对面挖一个这样的孔道，那么图②剩余部分的体积是多少？ 【答案】192立方厘米；176立方厘米 【分析】题图①中挖掉的是一个宽和高为2cm、长为6cm的长方体，用正方体的体积减去挖掉的长方体的体积即可。求题图②中剩余部分的体积，可以先计算两条孔道的体积，每条孔道的体积都是（cm³），两条孔道的体积之和是（cm³）。但两条孔道相交的地方是一个体积为（cm³）的正方体，且这个正方体总共被计算了2次，实际只计算1次就可以，因此两条孔道的实际总体积为（cm³）。最后用正方体的体积减去两条孔道的实际总体积即可。 【详解】 （立方厘米） （立方厘米） （立方厘米） 答：图①剩余部分的体积是192立方厘米；图②剩余部分的体积是176立方厘米。 【点睛】本题需利用正方体和长方体的体积公式，通过正方体体积减去挖去部分的体积来求解剩余部分体积。 4．为了更好地展示商品，华阳商场设计了一款商品展示柜。（如图）请选择喜欢的方法计算这款商品展示柜所占空间的大小。 【答案】162000立方厘米 【分析】展示柜所占空间可以看作长宽高是120厘米、30厘米、（30－15）厘米的长方体体积与长宽高是120厘米、60厘米、15厘米的长方体体积之和。也可以看作长宽高是120厘米、60厘米、30厘米的长方体体积与长宽高是120厘米、（60－30）厘米、（30－15）厘米的长方体体积之差。任选一种，根据V＝abh计算解答。 【详解】120×60×30－120×（60－30）×（30－15） ＝7200×30－120×30×15 ＝216000－54000 ＝162000（立方厘米） 答：这款商品展示柜所占空间是162000立方厘米。 5．市民广场搭了一个花台（如图）下面一个长方体，上面是一个正方体。 (1)如果要在花台的前面、后面、左面、右面和上面都插上鲜花，插花的面积一共有多少平方米？ (2)这个花台的体积是多少立方米？ 【答案】(1)148平方米 (2)136立方米 【分析】（1）先分析插花的面，包含长方体的前面、后面、左面、右面、上面，以及正方体的四个侧面（因为正方体的底面与长方体的上面重合，不插花）。长方体长6米，宽4米，高3米；正方体的棱长与长方体的宽相等，即4米。根据插花面积＝长×宽＋长×高×2＋宽×高×2＋棱长×棱长×4，据此把数据代入计算即可。 （2）花台的体积是长方体体积与正方体体积之和，分别用“长×宽×高”算出两者体积后相加即可。 【详解】（1）6×4＋6×3×2＋4×3×2＋4×4×4 ＝24＋18×2＋12×2＋16×4 ＝24＋36＋24＋64 ＝60＋24＋64 ＝148（平方米） 答：插花的面积一共有148平方米。 （2）6×4×3＝72（立方米） 4×4×4＝64（立方米） 72＋64＝136（立方米） 答：这个花台的体积是136立方米。 6．下图是从一个大长方体中挖掉一个小长方体的模具，求这个模具的表面积和体积。（单位：厘米） 【答案】240平方厘米；168立方厘米 【分析】由图可知，挖掉小长方体之前需要计算小长方体上面、前面2个面的面积，挖掉小长方体之后需要计算小长方体下面、后面、左面、右面4个面的面积，大长方体其它部分面积不变，则挖掉小长方体之后的表面积比原来大长方体的表面积增加了挖掉小长方体左、右2个面的面积，长方体的表面积＝（长×宽＋宽×高＋长×高）×2；长方体的体积＝长×宽×高，挖掉小长方体之后的体积比原来大长方体的体积减少了一个小长方体的体积，据此解答。 【详解】表面积：（8×8＋8×3＋8×3）×2＋4×2×2 ＝（64＋24＋24）×2＋4×2×2 ＝112×2＋4×2×2 ＝224＋8×2 ＝224＋16 ＝240（平方厘米） 体积：8×8×3－4×3×2 ＝64×3－12×2 ＝192－24 ＝168（立方厘米） 答：这个模具的表面积是240平方厘米，体积是168立方厘米。 7．高铝砖是一种新型材料烧制成的建筑材料，具有耐高温的优点，经常用于高温窑炉内衬和作为装饰材料等。下面是某公司生产的一种高铝砖的样式图。这样一块高铝砖的体积是多少立方厘米？ 【答案】156250立方厘米 【分析】观察图形可知，高铝砖的体积＝长为（25＋25＋25）厘米、宽为50厘米、高50厘米的长方体的体积－长为25厘米、宽为50厘米、高为（50－25）厘米的长方体的体积，根据长方体的体积公式V＝abh，代入数据计算求解。 【详解】（25＋25＋25）×50×50－（50－25）×25×50 ＝75×50×50－25×25×50 ＝187500－31250 ＝156250（立方厘米） 答：这样一块高铝砖的体积是156250立方厘米。 8．长城，我国现存规模最大的文化遗产。小强用积木搭的“长城”如下图，它的体积是多少立方厘米？（图中单位：厘米） 【答案】459立方厘米 【分析】观察图形可知，图形的下半部分可看作是一个长方体，长为21厘米，被平均分成7份，那么每份是21÷7＝3厘米。所以上半部分是3个棱长为3厘米的正方体。 长方体的长21厘米、宽3厘米、高6厘米。根据长方体体积公式V＝a×b×h（a为长，b为宽，h为高），把数据代入计算出长方体体积。 正方体的棱长是3厘米，有3个正方体，根据正方体体积公式V＝a×a×a（a为棱长），所以3个正方体的体积为：a×a×a×3，把数据代入计算出3个正方体的体积，然后再与长方体体积相加即可。 【详解】21÷7＝3（厘米） 21×3×6＝378（立方厘米） 3×3×3×3＝81（立方厘米） 378＋81＝459（立方厘米） 答：体积是459立方厘米。 9．4月23日是世界读书日，学校把每年的四月份定为读书活动月。妙妙分享了她制作的阅读主题创意手工，如图所示。寓意着“知识是人类进步的阶梯”。这件手工作品的占地面积是多少？体积是多少？ 【答案】 180平方厘米；960立方厘米 【分析】求这件手工作品的占地面积就是求三个长方体的底面积，可以看成一个长是厘米，宽是10厘米的长方形的面积；体积就是求三个长方体的体积之和。根据长方形的面积＝长×宽，，分别代入数据计算即可。 【详解】（6＋6＋6）×10 ＝18×10 ＝180（平方厘米） 6×8×10＋6×6×10＋6×2×10 ＝480＋360＋120 ＝960（立方厘米） 答：这件手工作品的占地面积是180平方厘米；体积是960立方厘米。 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项提升训练：长方体和正方体的体积解决问题 （考点梳理+例题讲解+考点练习） 考点梳理 1 考点一、基础体积计算 1 考点二、体积的“等积变形”与“排水法” 1 考点三、组合体与挖空体的体积计算 2 考点四、实际生活中的应用题 2 例题讲解 2 题型一、长方体的体积的应用 2 题型二、正方体的体积的应用 3 题型三、长方体和正方体组合体的体积的应用 4 考点练习 4 练习一、长方体的体积的应用 4 练习二、正方体的体积的应用 6 练习三、长方体和正方体组合体的体积的应用 8 考点梳理 考点一、基础体积计算 1.核心公式： (1)长方体体积 = 长 × 宽 × 高 ( ) (2)正方体体积 = 棱长 × 棱长 × 棱长 ( ) 2.典型应用场景： (1)求物体质量： 已知体积和单位体积的质量，求总质量。 (2)求沙石/填埋重量： 计算沙坑或路基的体积，再乘以单位重量。 (3)简单容器注水： 已知水深，求水的体积。 考点二、体积的“等积变形”与“排水法” 1.液体倒置（体积不变） (1)思路： 水从一个容器倒入另一个容器，体积不变。 (2)公式变形： 水深 = 水的体积 ÷ 新容器的底面积。 2.锻造问题（体积不变） (1)思路： 将一个物体锻造成另一个形状，体积不变。 3.水面上升（排水法） (1)思路： 物体完全浸没，水面上升的体积 = 物体的体积。 (2)公式变形： 上升高度 = 物体体积 ÷ 容器底面积。 4.沙藏法（体积差） (1)思路： 取出物体后，沙面下降部分的体积 = 物体的体积。 考点三、组合体与挖空体的体积计算 1.组合体（相加法） (1)特征： 由多个基本几何体拼接而成。 (2)解法： 总体积 = 各部分体积之和。 2.挖空体/零件（相减法） (1)特征： 大的几何体中间挖去一个小几何体。 (2)解法： 剩余体积 = 大体积 - 小体积。 3.复杂挖孔（重叠处理） (1)特征： 多次挖孔，且孔道有相交部分。 (2)解法： 需要注意相交部分被重复计算了，需要减去重叠部分的体积。 考点四、实际生活中的应用题 1.铺路问题： (1)思路： 把沥青看作长方体，求厚度（高）。 (2)公式变形： 厚度 = 体积 ÷ (长 × 宽)。 2.注水时间问题： (1)思路： 先求需要增加的水的体积，再除以每小时进水量。 (2)公式： 时间 = (目标体积 - 现有体积) ÷ 流量。 3.安装标准问题： (1)思路： 计算体积并与标准值比较，注意单位统一。 4.特殊应用（捆扎）： (1)思路： 结合周长和体积概念，计算捆扎物体所需的线长。 例题讲解 题型一、长方体的体积的应用 【例题1】有一块长方体钢板，长2米，宽0.2米，厚0.05米。每立方米钢重7800千克，这块钢板重多少千克？ 【练习1】张军家有一个长方体无盖鱼缸，长6分米，宽5分米，高4分米。 （1）做这个鱼缸至少需要玻璃多少平方分米？ （2）在鱼缸里注入2.5分米深的水，鱼缸里的水是多少立方分米？（玻璃的厚度忽略不计） 题型二、正方体的体积的应用 【例题2】一块正方体石料的棱长为6分米，如果1立方分米石料的质量是2.7千克，这块石料的质量是多少千克？ 【练习2】一个棱长为5分米的正方体鱼缸里装满水，把水倒入一个长8分米，宽5分米，高6分米的长方体空鱼缸里，水深多少分米？ 题型三、长方体和正方体组合体的体积的应用 【例题3】公园的凉亭里有一张石桌，如下图所示，这张石桌的体积是多少立方分米？ 【练习3】一个零件的形状如图，它是由某种金属铸造而成，铸造一个零件需要这种金属多少立方厘米？ 考点练习 练习一、长方体的体积的应用 1．抽烟会使密闭的室内（细颗粒物）含量急剧升高。如果在一间长6m、宽6m、高3m的密闭房间里抽烟，会导致室内每立方米的空间内含有10微克（一种质量单位）的细颗粒物。这个房间的细颗粒物一共有多少微克？ 2．一个游泳池长50米、宽21米，现在水深0.8米。工作人员要往池内加水，如果该游泳池每小时的进水量是300立方米，那么多少小时后水深达到1.8米？（蒸发损耗忽略不计） 3．铺路工人铺一条宽8米、长500米的马路，现有沥青600立方米，可以铺多厚？ 4．一个长方体游泳池，从里面量长50米、宽25米、深2米。 （1）要在这个游泳池的四周和底面贴上瓷砖，贴瓷砖的面积是多少平方米？ （2）如果注入2000立方米的水，水深多少米？ 5．李叔叔很喜欢养鱼，所以在基地修了一个长30米、宽20米、深2.2米的长方体小鱼池，又往鱼池中加了1.2米深的水。鱼池中水的体积是多少立方米？ 6．某小学操场上有一个沙坑长2.5米，宽1.5米，深0.6米，填满这个沙坑，每立方米沙子重1.4吨，填满这个沙坑需要细沙多少吨？ 7．《齐民要术》记载了保存种子、果实的方法——“沙藏法”。利用沙藏法保存生姜能够保持生姜的湿度，防止其干瘪。李伯伯在底面积为4.24平方米的长方体土坑内放入今年收获的生姜后盖上细沙，沙子刚好盖住生姜，等到售卖时取出生姜，沙子高度下降了8.5分米，则这些生姜的体积是多少立方米？ 8．某品牌新能源汽车，购车时店赠送一个家用充电桩，其尺寸为：高是，长是，厚度是。欣欣小区对于家用充电桩的安装标准是体积不能超过。店赠送的充电桩符合欣欣小区的安装标准吗？ 练习二、正方体的体积的应用 1．东坡肉是一道中国传统名菜，其来历和典故与北宋著名的文学家、政治家苏东坡有关。乐乐也爱吃东坡肉，今天妈妈又精心准备了一盘（如图）。每小块肉都是棱长约为4厘米的正方体，都用棉线十字捆扎并打结，每个打结处用去约3厘米的棉线。 （1）每块东坡肉的体积约是多少？ （2）乐乐妈妈做这盘东坡肉至少需要用多少厘米的棉线？ 2．一块棱长为50厘米的正方体冰块，如果每立方厘米冰的质量是0.9克，那么这块冰一共有多少千克？ 3．一个棱长为0.6米的正方体钢坯，锻造成横截面是18平方分米的长方体钢材，这个长方体钢材的长是多少分米？ 4．一个长方体容器，长5分米，宽4分米，高3分米，将一个棱长2分米的钢材完全浸没在水里，水面上升多少厘米？ 5．一个正方体的水箱，棱长40厘米，把这样一箱水倒入另一只长0.8米，宽25厘米的长方体水箱中，水深是多少厘米？ 练习三、长方体和正方体组合体的体积的应用 1．如图，有一个长方体钢材，底面是正方形，中间是空心的。它的体积是多少立方厘米？ 2．妈妈做了两种形状如下图所示的奶酪（单位：cm），园园选择哪一种才能吃到更多的奶酪呢？ 3．如图①，一个棱长为6cm的正方体，从前面的中心向后面挖去一个长方体（向后面全部挖空），前面的孔是一个边长为2cm的正方形，图①剩余部分的体积是多少？如果像图②这样从前面和上面的中心各向对面挖一个这样的孔道，那么图②剩余部分的体积是多少？ 4．为了更好地展示商品，华阳商场设计了一款商品展示柜。（如图）请选择喜欢的方法计算这款商品展示柜所占空间的大小。 5．市民广场搭了一个花台（如图）下面一个长方体，上面是一个正方体。 (1)如果要在花台的前面、后面、左面、右面和上面都插上鲜花，插花的面积一共有多少平方米？ (2)这个花台的体积是多少立方米？ 6．下图是从一个大长方体中挖掉一个小长方体的模具，求这个模具的表面积和体积。（单位：厘米） 7．高铝砖是一种新型材料烧制成的建筑材料，具有耐高温的优点，经常用于高温窑炉内衬和作为装饰材料等。下面是某公司生产的一种高铝砖的样式图。这样一块高铝砖的体积是多少立方厘米？ 8．长城，我国现存规模最大的文化遗产。小强用积木搭的“长城”如下图，它的体积是多少立方厘米？（图中单位：厘米） 9．4月23日是世界读书日，学校把每年的四月份定为读书活动月。妙妙分享了她制作的阅读主题创意手工，如图所示。寓意着“知识是人类进步的阶梯”。这件手工作品的占地面积是多少？体积是多少？ 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $