专题05轴对称（知识梳理+题型精析+寒假预习讲义）2025-2026学年苏科版七年级数学下册

专题05轴对称 【题型01 轴对称图形的识别】........................................4 【题型02 成轴对称的两个图形的识别】................................6 【题型03 作已知线段的垂直平分线】..................................8 【题型04 作垂线】.................................................11 【题型05 根据成轴对称图形的特征进行判断】.........................13 【题型06 根据成轴对称图形的特征进行求解】.........................16 【题型07 作角平分线】.............................................18 【题型08 台球桌面上的轴对称问题】.................................21 【题型09 轴对称中的光线反射问题】.................................24 【题型10 折叠问题】...............................................27 【题型11 画对称轴】...............................................29 【题型12 画轴对称图形】...........................................31 【题型13 求对称轴条数】...........................................34 【题型14 解答题6题】.............................................36 知识梳理 核心重点：两个概念、一个性质、两种作图、易错清单 知识点01:核心概念（必背） 1.轴对称图形：一个平面图形沿某直线折叠，直线两旁的部分能互相重合，该图形叫轴对称图形，这条直线是对称轴（直线，非线段 / 射线）。 2.两个图形成轴对称：两个平面图形沿某直线折叠后能完全重合，称这两个图形成轴对称，折叠后重合的点叫对称点。 3.区别与联系 区别：轴对称图形是一个图形的特性；两个图形成轴对称是两个图形的位置关系。 联系：将成轴对称的两个图形看成整体，是轴对称图形；将轴对称图形沿对称轴分成两部分，这两部分成轴对称。 知识点02:轴对称的性质（核心） 1.核心性质：成轴对称的两个图形中，对称轴是任意一对对应点所连线段的垂直平分线。 2.衍生结论：对应线段相等，对应角相等；成轴对称的两个图形全等。 若△ABC 与 △A'B'C' 关于直线 l 对称，则： 直线 l 垂直平分 AA′、BB′、CC′； 对应线段相等：AB=A′B′，BC=B′C′，AC=A′C′； 对应角相等：∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′。 3.线段垂直平分线：垂直且平分一条线段的直线，简称中垂线。 几何语言：若点 A 与点 A′ 关于直线 l 对称，则： 1.直线 l⊥AA′； 2.直线 l 平分 AA′（即垂足为 AA′ 中点）。 知识点03:常见图形的对称轴（高频考点） 图形 对称轴条数 对称轴位置 角 1 条 角平分线所在直线 等腰三角形 1 条 底边上的高（中线 / 顶角平分线）所在直线 等边三角形 3 条 各边上的高（中线 / 内角平分线）所在直线 长方形 2 条 过对边中点的直线 正方形 4 条 过对边中点的直线、对角线所在直线 等腰梯形 1 条 过上、下底中点的直线 圆 无数条 过圆心的任意直线 知识点04:作图（必会） 1.作一个图形关于直线 l 的对称图形（三步法） 找：确定关键点（顶点、拐点、端点）； 作：过关键点作直线 l 的垂线并延长，使垂线段被 l 平分，得到对称点； 连：按原图形顺序连接对称点。 2.作对称轴 找一对对应点，作其连线段的垂直平分线，即为对称轴。 几何语言： 若点 A′ 与点 A 关于直线 l 对称，则直线 l 垂直平分线段 AA′。 几何语言 若 △ABC 与 △A′B′C′ 关于直线 l 对称，则： 直线 l 垂直平分线段 AA′、BB′、CC′； 对应线段相等：AB=A′B′，BC=B′C′，AC=A′C′； 对应角相等：∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′。 知识点05:易错点与常考提醒 1.概念混淆：对称轴是直线，如 “角平分线” 是射线，“角平分线所在直线” 才是对称轴。 2.作图误区：对称点到对称轴的距离必须相等；对称轴上的点，对称点是其本身。 3.判断要点：“完全重合” 是核心，平行四边形等图形无对称轴。 .【题型1.轴对称图形的识别】 【典例】“书法”是我国汉字特有的一种传统艺术，它是我国十大国粹之一、下面的“美”字分别采用楷书、行书、草书、篆书等四种不同字体书写而成，它们呈现出美的不同形态．其中符合轴对称美的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是轴对称图形的概念，解题的关键是正确掌握轴对称的定义．根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称，进行判断即可． 【详解】解：A、B、C选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； D选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 故选：D． 【跟踪专练1】以下是中国七个银行的图标，这些图标中是轴对称图形的是有 个． 【答案】4 【分析】本题主要考查了轴对称图形．熟练掌握轴对称图形的概念，是解决问题的关键．如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形． 根据轴对称图形的概念逐一判断，即得． 【详解】解：七个图标中，以下四个图形是轴对称图形，共 故答案为：4 【跟踪专练2】第33届夏季奥运会于2024年7月26日在法国巴黎举行，下列图标是巴黎奥运会上常见的运动图标，其中是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】、不是轴对称图形，故选项不符合题意； 、不是轴对称图形，故选项不符合题意； 、不是轴对称图形，故选项不符合题意； 、是轴对称图形，故选项符合题意； 故选：． 【跟踪专练3】围棋起源于中国，古代称为“弈”．如图是两位同学的部分对弈图，轮到白方落子，观察棋盘，白方如果落子于点 的位置，则所得的对弈图是轴对称图形．（填写A，B，C，D中的一处即可，A，B，C，D位于棋盘的格点上） 【答案】A或C 【分析】根据轴对称图形的定义解答即可． 本题考查了轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的定义是解题的关键． 【详解】根据轴对称图形的定义，发现放在B，D处不能构成轴对称图形，放在A或C处可以， 故答案为：A或C． 【题型2.成轴对称的两个图形的识别】 【典例】下列两图形成轴对称的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是两图形成轴对称的定义，解题关键是熟练掌握某两个图形沿着一条直线对折，能够完全重合，则称这两个图形关于这条直线形成轴对称． 根据两图形成轴对称的定义对选项进行逐一判断即可． 【详解】解：选项，两图形大小不相等，不能完全重合，不符合两图形成轴对称的定义，不符合题意； 选项，两图形大小不相等，形状不相同，不能完全重合，不符合两图形成轴对称的定义，不符合题意； 选项，两图形大小不相等，形状不相同，不能完全重合，不符合两图形成轴对称的定义，不符合题意； 选项，能找到直线使两图形完全重合，符合定义，符合题意． 故选：． 【跟踪专练1】窗格经历了千年的传承与发展，是中国建筑装饰文化的重要标志之一．在如图所示的窗格中，与①成轴对称的是 ． 【答案】②③④ 【分析】本题考查了轴对称的概念．轴对称的关键是寻找对称轴，两边图象折叠后可重合． 把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，根据轴对称的定义判断即可． 【详解】解：如图所示，图形①与图形②关于直线成轴对称，图形①与图形③关于直线成轴对称，图形①与图形④关于直线成轴对称． 故答案为：②③④． 【跟踪专练2】如图，哪一个选项中的右边图形与左边图形成轴对称（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了成轴对称图形的相关概念，掌握成轴对称图形的概念是解答本题的关键．根据成轴对称图形的相关概念逐项判断即可解答． 【详解】解：A、不符合成轴对称图形的相关概念，故A不符合题意； B、不符合成轴对称图形的相关概念，故B不符合题意； C、符合成轴对称图形的相关概念，故C符合题意； D、不符合成轴对称图形的相关概念，故D不符合题意； 故选：C． 【跟踪专练3】下列关于轴对称的说法：①一个轴对称图形可以有多条对称轴；②成轴对称的两个图形一定全等；③若两个图形关于某直线对称，则它们的对应点一定位于对称轴的两侧；④若点A，B关于直线对称，则且平分．其中正确的是 ．（填序号） 【答案】①② 【分析】根据轴对称图形的性质逐项判断即可． 【详解】解：①一个轴对称图形可以有多条对称轴，正确； ②成轴对称的两个图形一定全等，正确； ③若两个图形关于某直线对称，它们的对应点可能都在对称轴上，原说法错误； ④若点A，B关于直线对称，则且平分，原说法错误； 故答案为：①②． 【点睛】本题考查了轴对称图形的性质，熟练掌握基础知识是解题的关键． 【题型3.作已知线段的垂直平分线】 【典例】如图，A，B，C为三个居民小区，在三个小区之间建有一个超市，如果超市恰好在，两边垂直平分线的交点处，那么超市（         ）    A．距离A较近 B．距离B较近 C．距离C较近 D．与A，B，C三点的距离相同 【答案】D 【分析】根据垂直平分线的性质进行解答即可． 【详解】解：∵线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等， 又∵超市恰好在，两边垂直平分线的交点处， ∴超市与A，B，C三点的距离相同，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质定理，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等． 【跟踪专练1】如图，已知线段长为4．现按照以下步骤作图：①分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧分别相交于点，；②过，两点作直线，与线段相交于点．则的长为 ． 【答案】2 【分析】根据作图得出是线段的垂直平分线，由线段垂直平分线的性质即可得出结论． 【详解】解：分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点和点， ，， 是线段的垂直平分线， ． 故答案为2． 【点睛】本题考查了作图基本作图以及线段垂直平分线的性质，熟知垂直平分线作法是解答此题的关键． 【跟踪专练2】.如图，中，边的垂直平分线分别交、于点D、E，，的周长为，则的周长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据是的垂直平分线，可得，，结合的周长为，即可得到答案； 【详解】解：∵是的垂直平分线，， ∴，， ∵的周长为， ∴ ∴的周长为：， 故选B． 【点睛】本题考查垂直平分线的性质，解题的关键是根据垂直平分线性质及三角形的周长得到． 【跟踪专练3】如图，在△ABC中，BC的垂直平分线交AC，BC于点D，E．若△ABD的周长为20，△ABC的周长为32，则BE＝ ． 【答案】6 【分析】根据线段垂直平分线的性质得出BD=CD，结合△ABD的周长求出AB+AC的长，再根据△ABC的周长求出BC的长，解答即可． 【详解】解：∵BC的垂直平分线分别交AC，BC于点D，E， ∴DB＝DC，BE＝EC， ∵△ABD的周长为20， ∴AB＋AD＋BD＝20， ∵DB＝DC， ∴AB＋AD＋DC＝20， 即AB＋AC＝20， ∵△ABC的周长为32， ∴AB＋BC＋AC＝32， ∴BC＝32−20＝12， ∴BE＝EC＝BC＝6． 故答案为：6． 【点睛】本题主要考查线段垂直平分线的性质，解题的关键是根据垂直平分线的性质求出DB＝DC． 【题型3.作垂线】 【典例】观察如图作图痕迹，所作为的边上的（  ） A．中线 B．高线 C．角平分线 D．中垂线 【答案】B 【分析】本题考查过直线外一点作已知直线的垂线，能掌握基本尺规作图是解题的关键． 【详解】根据作图过程，可得所作线段为边上的高线， 故选B． 【跟踪专练1】已知下列尺规作图：①作一个角的角平分线；②作一条线段的垂直平分线，其中作法正确的是 （填序号）． 【答案】① 【分析】本题考查尺规作图相关知识，解题的关键是掌握角平分线和线段垂直平分线正确的尺规作图方法． 需要分别分析角平分线和线段垂直平分线的尺规作图是否正确． 【详解】对于①作一个角的角平分线：其尺规作图的基本步骤是先以角的顶点为圆心，任意长为半径画弧，交角的两边于两点；再分别以这两个交点为圆心，大于两交点距离一半的长度为半径画弧，两弧相交于一点；最后过角的顶点和这个交点作射线，这条射线就是角平分线．图①的作图痕迹符合角平分线的尺规作图步骤，所以①的作法正确； 对于②作一条线段的垂直平分线：正确的尺规作图步骤是分别以线段的两个端点为圆心，大于线段一半长度为半径画弧，两弧分别在线段上下方各有一个交点，连接这两个交点所得直线才是线段的垂直平分线．图②中仅作出了过线段中点的垂线，但没有体现完整的尺规作图过程（没有体现以两端点为圆心画弧等操作），所以②的作法错误； 故答案为：①． 【跟踪专练2】下列尺规作图，能确定的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了尺规作图—基本作图，观察各选项作图痕迹，根据垂直平分线，角平分线，垂线性质逐项判断即可． 【详解】解：A选项作图痕迹可知，D为中点，即，不能确定； B选项作图痕迹可知，D在的垂直平分线上，即，不能确定； C选项作图痕迹可知，D在的平分线上，能确定； D选项作图痕迹可知，是边上的高，不能确定． 故选：C． 【跟踪专练3】如图，使用圆规作图，看图填空：    （1）在射线上 线段 ； （2）以点 为圆心，以线段 为半径作弧交 于点 ； （3）分别以点 和点 为圆心，以大于PQ的长为半径作弧，两弧分别交于点 和点 ； （4）以点 为圆心，以任意长为半径作弧，分别交两边 ， 于点 ，点 ． 【答案】 截取 A r / C P Q M N O D C 【分析】根据题目所给的作图方法逐一填空即可． 【详解】解：（1）在射线上截取线段， 故答案为：截取，，； （2）以点A为圆心，以线段r的长为半径作弧交于点C， 故答案为：A，r，，C； （3）分别以点P、Q为圆心，以大于PQ的长为半径作弧，两弧分别交于点M和点N， 故答案为：P，Q，M，N； （4）以点O为圆心，以任意长为半径作弧，分别交两边，于点D，点C， 故答案为：O，，，D，C． 【点睛】本题主要考查了画线段，画垂线等基本作图，熟知相关作图方法是解题的关键． 【题型5.根据成轴对称图形的特征进行判断】 【典例】将长方形纸片沿竖直虚线对折，用针尖在上面扎出“L”，然后展平，则可得到（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查轴对称．根据轴对称的性质判定即可． 【详解】解：根据题意，选项B中的图形关于直线对称， 故选：B． 【跟踪专练1】下列说法正确的有 个 （1）线段的对称轴有两条， （2）角是轴对称图形，它的角平分线就是它的对称轴， （3）到直线的距离相等的两个点关于直线对称， （4）若两个图形关于某直线对称，则它们的对应点一定位于对称轴的两侧． 【答案】1 【分析】本题考查轴对称的性质：关于某条直线对称的两个图形是全等形；如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或对应线段的延长线相交，那么交点在对称轴上．据此对各说法依次分析即可． 【详解】解：（1）线段的对称轴有两条，故原说法正确； （2）角是轴对称图形，它的角平分线所在的直线就是它的对称轴，故原说法错误； （3）对应点的连线与直线的位置关系是互相垂直，且到直线距离相等的两个点关于直线对称，故原说法错误； （4）若两个图形关于某直线对称，则它们的对应点不一定位于对称轴的两侧，故原说法错误； ∴说法正确的只有1个． 故答案为：1． 【跟踪专练2】如图，若与关于直线对称，交于点，则下列说法中，不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了根据成轴对称图形的特征进行判断，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 根据与关于直线对称，交于点，得出，，，与不一定互相平行，即可作答． 【详解】解：∵与关于直线对称，交于点， ∴，，， 故A、C、D选项不符合题意； 则与不一定互相平行， 故B选项符合题意； 故选：B 【跟踪专练3】如图，分别以的边所在直线为对称轴作的对称图形和．若，线段与相交于点O，连接．有如下结论：①；②；③．其中正确的是 （填序号）． 【答案】①②/②① 【分析】本题主要考查了轴对称的性质的综合运用等知识点，熟记相关性质并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．根据轴对称的性质可得，再根据周角等于列式计算即可求出，判断出①正确；再求出，根据对称可得，利用三角形的内角和定理可得，判断出②正确；说明即可判定③错误． 【详解】解：∵和是的轴对称图形， ∴， ∴，故①正确． ∴， 由对称的性质得，， 又∵， ∴，故②正确． 在和中，， ∵ ∴，故③错误； 综上所述，结论正确的是①②． 故答案为：①②． 【题型6.根据成轴对称图形的特征进行求解】 【典例】如图，与关于直线对称，则的度数为（   ） A．30° B．50° C．80° D．100° 【答案】A 【分析】本题考查了对称的性质，三角形的内角和定理．解题的关键在于明确角度之间的数量关系． 根据对称图形的对应角相等，即可解答． 【详解】解：∵与关于直线对称， ∴． 故选A． 【跟踪专练1】如图，已知四边形与四边形关于直线对称，四边形的周长为，，则四边形的周长为 ，的度数为 ． 【答案】 12 /度 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，熟练掌握轴对称的对应边相等、对应角相等以及对称轴是对应点连线的垂直平分线是解决此题的关键．根据轴对称的性质，两个图形关于某直线对称，对应边相等，对应角相等，周长也相等，所以四边形的周长四边形的周长，的度数等于的度数，即可得解 【详解】四边形与四边形关于直线对称， 四边形的周长四边形的周长，， 故答案为：12，． 【跟踪专练2】如图，和关于直线l对称，连接，在直线l上任取一点O，连接，，下列结论中，不一定正确的是（   ） A． B． C．l垂直平分 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键；根据轴对称的性质及全等三角形的概念进行求解． 【详解】解：∵和关于直线l对称， ∴，l垂直平分，， ∴只有A选项不一定成立． 故选A． 【跟踪专练3】如图，的面积为，，平分，若分别是上的动点，则的最小值为 ． , 【答案】 【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题，三角形的面积，垂线段最短．过点C作于点E，在上截取线段，使得，由，求出CE可得结论． 【详解】解：如图，过点C作于点E，在上截取线段，使得， 平分，， ，关于对称， ， ， ， ， ， 的最小值为． 故答案为：． 【题型7.作角平分线】 【典例】如图，由作图痕迹做出如下判断，其中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由作图痕迹得平分，垂直平分，根据角的平分线的性质，作，依据垂线段最短，可得结论； 【详解】解：由作图痕迹得平分，垂直平分， 过点作于点，如图， ， ， ， 故选：． 【点睛】本题考查角的平分线作图和线段的垂直平分线的作图，解题关键判断出角的平分线、线段的垂直平分线． 【跟踪专练1】如图，根据长方形中尺规作图的痕迹，得 ． 【答案】 【分析】根据平行线的性质、线段的垂直平分线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理解决问题即可. 【详解】解：∵四边形是长方形，根据尺规作图的痕迹可知，垂直平分，平分. ∵， ， ∵平分， ∴， ∵垂直平分， ，即， 故答案为： ． 【点睛】本题考查的是作图-基本作图，熟知角平分线及线段垂直平分线的作法是解答此题的关键． 【跟踪专练2】已知下列尺规作图：①作一条线段的垂直平分线；②作一个角的平分线；③过直线上一点作直线的垂线．其中作法正确的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】C 【分析】本题主要考查了垂线，角平分线和线段垂直平分线的尺规作图，根据角平分线、垂直平分线和垂线的尺规作图方法，直接判断即可． 【详解】解：由作图方法可知，图①作法下面应该还有两条相交的弧，即图①的正确作图如下： 图②和图③作法正确， 故选：C． 【跟踪专练3】如图，已知，求作射线，使平分，那么作法的合理顺序是 ． ①作射线； ②在和上分别截取，使； ③分别以为圆心，大于的长为半径作弧，在内，两弧交于C． 【答案】②③① 【分析】根据作角平分线的步骤即可判断； 【详解】解：已知，求作射线，使平分： 步骤：a、在和上分别截取，使； b、分别以为圆心，大于的长为半径作弧，在内，两弧交于C． c、作射线； 故答案为②③①． 【点睛】本题考查作图﹣基本作图，解题的关键是熟练掌握作角平分线的步骤，属于中考常考题型． 【题型8.台球桌面上的轴对称问题】 【典例】数学在我们的生活中无处不在，就连小小的台球桌上都有数学问题，如图所示，，若，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图形得出的度数，即可求出的度数． 【详解】解：，， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了台球桌上的轴对称问题，利用数形结合的思想解决问题是解题关键． 【跟踪专练1】2023年4月3日，斯诺克中国公开赛，中国江苏神奇小子丁俊晖奇迹般地战胜了世界头号选手亨德利，夺得了自己首个世界台球职业排名赛冠军，如图，是一个经过改造的台球桌面的示意图，图中阴影部分分别表示六个入球孔，如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），那么该球最后将落入的球袋是 号袋． 【答案】3 【分析】主要考查了轴对称的性质．根据题意画出图形，由轴对称的性质判定正确选项． 【详解】解：根据轴对称的性质可知，台球走过的路径为： ∴该球最后将落入的球袋是3号． 故答案为：3． 【跟踪专练2】如图，弹性小球从点P出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当小球第1次碰到矩形的边时的点为Q，第2次碰到矩形的边时的点为M，…．第2022次碰到矩形的边时的点为图中的（　　） A．点P B．点Q C．点M D．点N 【答案】A 【分析】根据反射角与入射角的定义作出图形，可知每6次反弹为一个循环组依次循环，用2022除以6，根据商和余数的情况确定所对应的点的坐标即可． 【详解】解：如图，经过6次反弹后动点回到出发点P， ∵2022÷6=337， ∴当点P第2022次碰到矩形的边时为第337个循环组的最后一次反弹， ∴第2022次碰到矩形的边时的点为图中的点P， 故选：A． 【点睛】此题主要考查了点的坐标的规律，作出图形，观察出每6次反弹为一个循环组依次循环是解题的关键． 【跟踪专练3】.四边形中，，，在，上分别找一点，，使的周长最小时，的度数为 ． 【答案】 【分析】作A关于BC和CD的对称点A′、A′′，连接A′A′′，交BC于M，交CD于N，则A′A′′即ΔAMN为的周长最小值，推出∠AMN+∠ANM=2（∠A′+∠A″）即可解决． 【详解】如图，作A关于BC和CD的对称点，连接，交BC于M，交CD于N，则即为的周长最小值， ， ， ∴∠A′+∠A″=70°， ∵BA=BA′，MB⊥AB， ∴MA=MA′，同理：NA=NA″， ∴∠A′=∠MAB，∠A″=∠NAD， ∵∠AMN=∠A′+∠MAB=2∠A′，∠ANM=∠A″+∠NAD=2∠A″， ∴∠AMN+∠ANM=2（∠A′+∠A″）=140°. 故答案为140° 【点睛】本题考查对称的性质、线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理等知识，利用对称作辅助线是解决最短的关键． 【题型9.轴对称中的光线反射问题】 【典例】图1是光的反射规律示意图．其中，PO是入射光线，OQ是反射光线，法线KO⊥MN，∠POK是入射角，∠KOQ是反射角，∠KOQ＝∠POK．图2中，光线自点P射入，经镜面EF反射后经过的点是(   ) A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 【答案】B 【分析】根据光反射定律可知，反射光线、入射光线分居法线两侧，反射角等于入射角并且关于法线对称，由此推断出结果． 【详解】连接EF，延长入射光线交EF于一点N，过点N作EF的垂线NM，如图所示： 由图可得MN是法线，为入射角 因为入射角等于反射角，且关于MN对称 由此可得反射角为 所以光线自点P射入，经镜面EF反射后经过的点是B 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称中光线反射的问题，根据反射角等于入射角，在图中找出反射角是解题的关键． 【跟踪专练1】如图，球沿图中箭头方向击出后碰到桌子的边缘会反弹，其中叫做入射角，叫做反射角，如果每次的入射角总是等于反射角，那么球最后将落入桌子四个顶角处的球袋中的 ．    【答案】号袋 【分析】根据每次的入射角总是等于反射角画出球运动的路线，即可得出答案． 【详解】解：如图，球最后将落入桌子四个顶角处的球袋中号袋．    故答案为：号袋． 【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，解题的关键是根据题意画出球运动的路线． 【跟踪专练2】如图，两条平行直线a，b，从点光源M射出的光线射到直线a上的A点，入射角为，然后反射光线射到直线b上的B点，当这束光线继续从B点反射出去后，反射光线与直线b所夹锐角的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查轴对称的性质和平行线的性质，根据“入射光线与直线的夹角始终与反射光线与该直线的夹角相等”得到，由平行线的性质可得，即可得出结论．熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵从点光源射出的光线射到直线上的A点，入射角为，然后反射光线射到直线上的点， ∴， ∵， ∴， ∴当这束光线继续从点反射出去后，反射光线与直线的夹角度数为． 故选：D 【跟踪专练3】如图是光的反射示意图，其中是入射光线，是反射光线，法线．若，则的度数为 ． 【答案】/50度 【分析】本题主要考查反射，熟练掌握平面镜反射光线的规律是解题的关键．根据射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的角相等即可得到答案． 【详解】解：平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的角相等， ． 故答案为：． 【题型10.折叠问题】 【典例】如图，三角形纸片，沿过点的直线折叠这个三角形，使顶点落在边上的点处，折痕为，则的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了折叠的性质，根据折叠的性质得，即可求出，再求出，则答案可得. 【详解】解：根据折叠的性质得， ∴. ∵， ∴， ∴的周长. 故选：D. 【跟踪专练1】如图，等边的边长为，、分别是、上的点，将沿直线折叠，点落在点处，且点在外部，则阴影部分图形的周长为 【答案】3 【分析】本题考查轴对称的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．由折叠可得阴影部分图形的周长正好等于原等边三角形的周长． 【详解】解：由折叠可得；， 阴影部分图形的周长为． 故答案为：3． 【跟踪专练2】如图，将一张长方形纸片沿对角线折叠后，点落在点处，交于点，再将沿折叠后，点落在点处，若刚好平分，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了翻折的性质，角平分线的性质，解题的关键是掌握以上性质． 假设，根据翻折的性质和角平分线的性质表示出相关角，列出，然后进行求解即可． 【详解】解：假设， 根据翻折的性质可得，， ∵平分， ∴， ∴， 根据翻折的性质可得，， ∵四边形为长方形， ∴， 解得， 故选：B． 【跟踪专练3】有一无弹性细线，拉直时测得细线 长为 ，现进行如下操作：1． 在细线上任取一点；2． 将细线折叠，使点 与点 重合，记折点为点 ；3．将细线折叠，使点 与点 重合，记折点为点 ． 继续进行折叠，使点 与点 重合，并把 点和与其重叠的 点处的细线剪开，使细线分成长为 的三段，当 ，则细线未剪开时 的长为 ． 【答案】2或/6或2 【分析】本题主要考查了线段中点的计算，根据条件得出线段之间的关系式是解题的关键．根据条件得到，分两种情况：当时以及当时讨论即可． 【详解】解：，细线剪开后分成三段， ， 当时，， ， ， ， ， ； 当时，， ， ， ， ， ． 故答案为：或． 【题型11.画对称轴】 【典例】如图，正八边形是轴对称图形，对称轴可以是直线（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：沿直线、、、折叠，可知，只有直线使得直线两旁的部分能够互相重合． ∴直线是正八边形的对称轴； 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 【跟踪专练1】如图所示的图形都可以看成是轴对称图形，其中只有1条对称轴的是 ；只有2条对称轴的是 ；只有4条对称轴的是 ．（填序号） 【答案】 ①②⑩ ③④⑤⑥⑧⑨ ⑦ 【分析】本题主要考查了轴对称图形对称轴的判断，根据定义逐项判断即可．将一个图形沿某直线折叠，直线两旁的部分能够重合，这样的图形称为轴对称图形． 【详解】解：因为图①有1条对称轴，图②有1条对称轴，图③有2条对称轴，图④有2条对称轴，图⑤有2条对称轴，图⑥有2条对称轴，图⑦有4条对称轴，图⑧有2条对称轴，图⑨2条对称轴，图⑩有1条对称轴． 所以只有1条对称轴的是①②⑩；只有2条对称轴的是③④⑤⑥⑧⑨；只有4条对称轴的是⑦． 故答案为：①②⑩；③④⑤⑥⑧⑨；⑦． 【跟踪专练2】下列说法不正确的是（　　） A．角平分线是角的对称轴 B．将对折，边与边重合，折痕所在的直线是的对称轴 C．角可以看做是以它的平分线所在直线为对称轴的轴对称图形 D．线段、角、等腰三角形都是轴对称图形 【答案】A 【分析】本题考查了对称轴、轴对称图形，根据对称轴和轴对称图形的定义判断即可求解，掌握对称轴和轴对称图形的定义是解题的关键． 【详解】解：、角平分线所在的直线是角的对称轴，该选项错误，符合题意； 、将对折，边与边重合，折痕所在的直线是的对称轴，该选项正确，不合题意； 、角可以看做是以它的平分线所在直线为对称轴的轴对称图形，该选项正确，不合题意； 、线段、角、等腰三角形都是轴对称图形，该选项正确，不合题意； 故选：． 【跟踪专练3】角的对称轴是 ；圆的对称轴是 ；正n边形的对称轴有 条． 【答案】 角平分线所在的直线 圆的直径所在的直线 n 【分析】将一个图形沿着某条直线翻折，使两侧能够完全重合，这条直线叫对称轴，根据定义解答． 【详解】解：角的对称轴是角平分线所在的直线；圆的对称轴是圆的直径所在的直线；正n边形的对称轴有n条， 故答案为：角平分线所在的直线；圆的直径所在的直线；n． 【点睛】此题考查图形的对称轴定义，熟记定义是解题的关键． 【题型12.画轴对称图形】 【典例】作已知点关于某直线的对称点的第一步是(　　) A．过已知点作一条直线与已知直线相交 B．过已知点作一条直线与已知直线垂直 C．过已知点作一条直线与已知直线平行 D．不确定 【答案】B 【分析】此题考查了作已知点关于某直线的对称点的步骤．根据作已知点关于某直线的对称点的步骤进行解答即可． 【详解】解：作已知点关于某直线的对称点的第一步是过已知点作一条直线与已知直线垂直． 故选B． 【跟踪专练1】如图，是一个轴对称汉字的一半，请你想象出它的另一半并写出这个字： ． 【答案】共 【分析】本题考查了轴对称图形，解题的关键是掌握相关知识．根据轴对称图形的特征即可求解． 【详解】解：由题意可得这个字是共， 故答案为：共． 【跟踪专练2】在如图所示的正方形网格中，画出格点，使得与成轴对称，则不同位置的有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【分析】此题考查利用轴对称设计图案，解题关键在于掌握作图法则．根据对称图形关于某直线对称，找出不同的对称轴，画出不同的图形，对称轴可以随意确定，因为只要根据确定的对称轴去画另一半对称图形，那这两个图形一定是轴对称图形． 【详解】解：如图所示： 因此共有6个不同位置， 故选：D． 【跟踪专练3】如图，在3×3的正方形网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形．图中的为格点三角形，在图中最多能画出 个格点三角形与成轴对称． 【答案】6 【分析】本题考查了利用轴对称变换作图，熟练掌握网格结构并准确找出对应点的位置是解题的关键，本题难点在于确定出不同的对称轴． 根据网格结构分别确定出不同的对称轴，然后作出轴对称三角形即可得解． 【详解】解：如图，最多能画出6个格点三角形与成轴对称． 故答案为：6． 【题型13.求对称轴条数】 【典例】下列图形中，对称轴条数最少的是（   ） A．等边三角形 B．长方形 C．正方形 D．圆 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称图形及其对称轴的概念，解题的关键是准确判断等边三角形、长方形、正方形、圆这四种图形各自的对称轴条数，并比较得出条数最少的图形． 先分别确定每个选项图形的对称轴条数：等边三角形有3条对称轴，长方形有2条对称轴，正方形有4条对称轴，圆有无数条对称轴；再将各图形的对称轴条数进行比较，找出条数最少的图形对应的选项． 【详解】解：A、等边三角形沿三条高所在直线对折后两边能完全重合，故其有3条对称轴，此选项不符合题意； B、长方形沿两组对边中点连线对折后两边能完全重合，故其有2条对称轴，此选项符合题意； C、正方形沿两组对边中点连线及两条对角线所在直线对折后两边能完全重合，故其有4条对称轴，此选项不符合题意； D、圆沿任意一条直径所在直线对折后两边能完全重合，故其有无数条对称轴，此选项不符合题意． 故选：B． 【跟踪专练1】如图，由三个相同的等边三角形组成的轴对称图形上有一些虚线，其中是对称轴的有 （填序号）． 【答案】②④⑥ 【分析】本题考查的是确定轴对称图形的对称轴，根据轴对称图形的定义可得对称轴的位置即可得到答案. 【详解】解：由三个相同的等边三角形组成的轴对称图形上有一些虚线，其中是对称轴的有：②④⑥； 故答案为：②④⑥ 【跟踪专练2】下列轴对称图形中，有两条对称轴的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了确定轴对称图形的对称轴，关键是掌握轴对称图形的概念．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A、图形有两条对称轴，故此选项符合题意； B、图形有一条对称轴，故此选项不符合题意； C、图形有一条对称轴，故此选项不符合题意； D、图形有六条对称轴，故此选项不符合题意； 故选：A． 【跟踪专练3】在一张纸上任意画上个半径相同的圆（它们的圆心两两不重合），那么所画图形的对称轴可能有 条．（写出所有可能的条数） 【答案】、1、2或3 【分析】本题考查轴对称图形和圆与圆的位置关系，掌握以上知识是解题关键； 根据三个圆的圆心的位置关系，分别作图进行讨论，逐一分析即可求解； 【详解】根据三个圆的位置关系，图形的对称轴可能有以下几种情况： ①三个圆圆心在一条直线上，如图： 对称轴共1或2条； ②三个圆圆心构成不等边三角形， 此情况下0条对称轴； ③三个圆圆心构成等腰三角形，如图：． ④三个圆圆心构成等边三角形：如图： 对称轴有3条； 综上所述，所画图形的对称轴可能为0条、1条、2条或3条； 故答案为：0、1、2或3； 解答题 1．如图，中，点P为边上一点，请用无刻度的直尺和圆规完成以下作图，要求：保留作图痕迹，不需要写作法． (1)如图①，作一条直线l，使点A关于l的对称点为点． (2)如图②，过点P作直线，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了轴对称的定义，尺规作垂线，解题的关键是熟练掌握轴对称的性质． （1）连接，作的垂直平分线即可； （2）以点P为圆心，任意长为半径作弧，交于E、F两点，再分别以E、F两点为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点M，连接即可． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求． （2）解：如图，即为所求． 2．如图，长方形台球桌上有两个球P，Q．    (1)请画出一条路径，使得球P撞击台球桌边反弹后，正好撞到球Q； (2)请画出一条路径，使得球P撞击台球桌边，经过两次反弹后，正好撞到球Q． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）作点P关于是对称点，连接′交于M，点M即为所求． （2）作点P关于是对称点，点Q关于的对称点，连接交于E，交于F，点E，点F即为所求． 【详解】（1）解：如图，运动路径：，点M即为所求．    （2）解：如图，运动路径：，点E，点F即为所求．    【点睛】本题考查轴对称的应用，解题的关键是学会利用轴对称解决实际问题． 3．如图，、是平面镜前同一发光点S发出的经平面镜反射后的反射光线，请通过画图确定发光点S的位置，并将光路图补充完整． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了轴对称作图，解题的关键是熟练掌握光在入射时，入射角等于反射角；两条入射光线的交点处是点光源所在处．作出和的入射光线，相交处即为点S所在位置． 【详解】解：如图所示： 4．如图所示的虚线中，哪些是图形的对称轴？ 【答案】b、d、f 【分析】图形沿一条直线翻折，翻折后能够实现完全重合，这样的直线称为图形的对称轴，由此判断即可． 【详解】解：∵该图形沿着虚线b，d，f翻折，均能够实现完全重合， ∴虚线b，d，f为该图形的对称轴． 【点睛】本题考查图形的对称轴判断，理解对称轴和轴对称图形的定义是解题关键． 5．如图，与关于直线对称，与的交点在直线上．若，，，． (1)求出的长度； (2)求的度数； (3)连接，线段与直线有什么关系？ 【答案】(1) (2) (3)直线垂直平分线段 【分析】本题主要考查轴对称的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． （1）先根据轴对称的性质得出，再根据，求出的长度即可； （2）根据轴对称的性质得出，再根据求出结果即可； （3）直接根据轴对称的性质即可得出答案． 【详解】（1）解：∵与关于直线对称，，， ∴， ∴． （2）解：∵与关于直线对称，，， ∴， ∴． （3）解：直线垂直平分线段．理由如下：如图， ∵，关于直线对称， ∴直线垂直平分线段． 6．探究与实践 【初步探究】（1）将一张长方形纸片按下图的方式折叠，，为折痕，求的度数；以下是美美的解题过程，请帮她补充完整： 解：由折叠可知，； 由平角的定义得：_____． 所以，（_____＋_____）； ……（请继续完成后面的解题过程） 【类比探究】（2）将一张长方形纸片按图②的方式折叠，、为折痕，，求的度数； 【拓广探究】（3）将一张长方形纸片按图③的方式折叠，、为折痕，，则_____．（直接写结果，用含的最简式子表示）． 【答案】（1）；；，；（2）；（3）拓广探究： 【分析】本题主要考查了翻折的性质，角的和差，解题的关键是掌握翻折的性质． （1）根据翻折的性质和平角的定义进行求解即可； （2）根据翻折的性质和平角的定义进行求解即可； （3）翻折的性质和平角的定义进行求解即可． 【详解】解：（1）由折叠可知，； 由平角的定义得：， 所以，． 故答案为：180，，，； （2）∵， ∴， 由翻折的性质得，； ； （3）∵， ∴， 由翻折的性质得，； ．. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05轴对称 【题型01 轴对称图形的识别】........................................4 【题型02 成轴对称的两个图形的识别】................................5 【题型03 作已知线段的垂直平分线】..................................5 【题型04 作垂线】..................................................6 【题型05 根据成轴对称图形的特征进行判断】..........................7 【题型06 根据成轴对称图形的特征进行求解】..........................8 【题型07 作角平分线】.............................................10 【题型08 台球桌面上的轴对称问题】.................................11 【题型09 轴对称中的光线反射问题】.................................12 【题型10 折叠问题】...............................................13 【题型11 画对称轴】...............................................14 【题型12 画轴对称图形】...........................................14 【题型13 求对称轴条数】...........................................15 【题型14 解答题6题】.............................................6 知识梳理 核心重点：两个概念、一个性质、两种作图、易错清单 知识点01:核心概念（必背） 1.轴对称图形：一个平面图形沿某直线折叠，直线两旁的部分能互相重合，该图形叫轴对称图形，这条直线是对称轴（直线，非线段 / 射线）。 2.两个图形成轴对称：两个平面图形沿某直线折叠后能完全重合，称这两个图形成轴对称，折叠后重合的点叫对称点。 3.区别与联系 区别：轴对称图形是一个图形的特性；两个图形成轴对称是两个图形的位置关系。 联系：将成轴对称的两个图形看成整体，是轴对称图形；将轴对称图形沿对称轴分成两部分，这两部分成轴对称。 知识点02:轴对称的性质（核心） 1.核心性质：成轴对称的两个图形中，对称轴是任意一对对应点所连线段的垂直平分线。 2.衍生结论：对应线段相等，对应角相等；成轴对称的两个图形全等。 若△ABC 与 △A'B'C' 关于直线 l 对称，则： 直线 l 垂直平分 AA′、BB′、CC′； 对应线段相等：AB=A′B′，BC=B′C′，AC=A′C′； 对应角相等：∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′。 3.线段垂直平分线：垂直且平分一条线段的直线，简称中垂线。 几何语言：若点 A 与点 A′ 关于直线 l 对称，则： 1.直线 l⊥AA′； 2.直线 l 平分 AA′（即垂足为 AA′ 中点）。 知识点03:常见图形的对称轴（高频考点） 图形 对称轴条数 对称轴位置 角 1 条 角平分线所在直线 等腰三角形 1 条 底边上的高（中线 / 顶角平分线）所在直线 等边三角形 3 条 各边上的高（中线 / 内角平分线）所在直线 长方形 2 条 过对边中点的直线 正方形 4 条 过对边中点的直线、对角线所在直线 等腰梯形 1 条 过上、下底中点的直线 圆 无数条 过圆心的任意直线 知识点04:作图（必会） 1.作一个图形关于直线 l 的对称图形（三步法） 找：确定关键点（顶点、拐点、端点）； 作：过关键点作直线 l 的垂线并延长，使垂线段被 l 平分，得到对称点； 连：按原图形顺序连接对称点。 2.作对称轴 找一对对应点，作其连线段的垂直平分线，即为对称轴。 几何语言： 若点 A′ 与点 A 关于直线 l 对称，则直线 l 垂直平分线段 AA′。 几何语言 若 △ABC 与 △A′B′C′ 关于直线 l 对称，则： 直线 l 垂直平分线段 AA′、BB′、CC′； 对应线段相等：AB=A′B′，BC=B′C′，AC=A′C′； 对应角相等：∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′。 知识点05:易错点与常考提醒 1.概念混淆：对称轴是直线，如 “角平分线” 是射线，“角平分线所在直线” 才是对称轴。 2.作图误区：对称点到对称轴的距离必须相等；对称轴上的点，对称点是其本身。 3.判断要点：“完全重合” 是核心，平行四边形等图形无对称轴。 【题型1.轴对称图形的识别】 【典例】“书法”是我国汉字特有的一种传统艺术，它是我国十大国粹之一、下面的“美”字分别采用楷书、行书、草书、篆书等四种不同字体书写而成，它们呈现出美的不同形态．其中符合轴对称美的是（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练1】以下是中国七个银行的图标，这些图标中是轴对称图形的是有 个． 【跟踪专练2】第33届夏季奥运会于2024年7月26日在法国巴黎举行，下列图标是巴黎奥运会上常见的运动图标，其中是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练3】围棋起源于中国，古代称为“弈”．如图是两位同学的部分对弈图，轮到白方落子，观察棋盘，白方如果落子于点 的位置，则所得的对弈图是轴对称图形．（填写A，B，C，D中的一处即可，A，B，C，D位于棋盘的格点上） 【题型2.成轴对称的两个图形的识别】 【典例】下列两图形成轴对称的是（ ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】窗格经历了千年的传承与发展，是中国建筑装饰文化的重要标志之一．在如图所示的窗格中，与①成轴对称的是 ． 【跟踪专练2】如图，哪一个选项中的右边图形与左边图形成轴对称（   ）． A． B． C． D． 【跟踪专练3】下列关于轴对称的说法：①一个轴对称图形可以有多条对称轴；②成轴对称的两个图形一定全等；③若两个图形关于某直线对称，则它们的对应点一定位于对称轴的两侧；④若点A，B关于直线对称，则且平分．其中正确的是 ．（填序号） 【题型3.作已知线段的垂直平分线】 【典例】如图，A，B，C为三个居民小区，在三个小区之间建有一个超市，如果超市恰好在，两边垂直平分线的交点处，那么超市（         ）    A．距离A较近 B．距离B较近 C．距离C较近 D．与A，B，C三点的距离相同 【跟踪专练1】如图，已知线段长为4．现按照以下步骤作图：①分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧分别相交于点，；②过，两点作直线，与线段相交于点．则的长为 ． 【跟踪专练2】.如图，中，边的垂直平分线分别交、于点D、E，，的周长为，则的周长是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练3】如图，在△ABC中，BC的垂直平分线交AC，BC于点D，E．若△ABD的周长为20，△ABC的周长为32，则BE＝ ． 【题型3.作垂线】 【典例】观察如图作图痕迹，所作为的边上的（  ） A．中线 B．高线 C．角平分线 D．中垂线 【跟踪专练1】已知下列尺规作图：①作一个角的角平分线；②作一条线段的垂直平分线，其中作法正确的是 （填序号）． 【跟踪专练2】下列尺规作图，能确定的是（    ）． A． B． C． D． 【跟踪专练3】如图，使用圆规作图，看图填空：    （1）在射线上 线段 ； （2）以点 为圆心，以线段 为半径作弧交 于点 ； （3）分别以点 和点 为圆心，以大于PQ的长为半径作弧，两弧分别交于点 和点 ； （4）以点 为圆心，以任意长为半径作弧，分别交两边 ， 于点 ，点 ． 【题型5.根据成轴对称图形的特征进行判断】 【典例】将长方形纸片沿竖直虚线对折，用针尖在上面扎出“L”，然后展平，则可得到（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】下列说法正确的有 个 （1）线段的对称轴有两条， （2）角是轴对称图形，它的角平分线就是它的对称轴， （3）到直线的距离相等的两个点关于直线对称， （4）若两个图形关于某直线对称，则它们的对应点一定位于对称轴的两侧． 【跟踪专练2】如图，若与关于直线对称，交于点，则下列说法中，不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练3】如图，分别以的边所在直线为对称轴作的对称图形和．若，线段与相交于点O，连接．有如下结论：①；②；③．其中正确的是 （填序号）． 【题型6.根据成轴对称图形的特征进行求解】 【典例】如图，与关于直线对称，则的度数为（   ） A．30° B．50° C．80° D．100° 【跟踪专练1】如图，已知四边形与四边形关于直线对称，四边形的周长为，，则四边形的周长为 ，的度数为 ． 【跟踪专练2】如图，和关于直线l对称，连接，在直线l上任取一点O，连接，，下列结论中，不一定正确的是（   ） A． B． C．l垂直平分 D． 【跟踪专练3】如图，的面积为，，平分，若分别是上的动点，则的最小值为 ． , 【题型7.作角平分线】 【典例】如图，由作图痕迹做出如下判断，其中正确的是（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，根据长方形中尺规作图的痕迹，得 ． 【跟踪专练2】已知下列尺规作图：①作一条线段的垂直平分线；②作一个角的平分线；③过直线上一点作直线的垂线．其中作法正确的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【跟踪专练3】如图，已知，求作射线，使平分，那么作法的合理顺序是 ． ①作射线； ②在和上分别截取，使； ③分别以为圆心，大于的长为半径作弧，在内，两弧交于C． 【题型8.台球桌面上的轴对称问题】 【典例】数学在我们的生活中无处不在，就连小小的台球桌上都有数学问题，如图所示，，若，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证为（    ）    A． B． C． D． 【跟踪专练1】2023年4月3日，斯诺克中国公开赛，中国江苏神奇小子丁俊晖奇迹般地战胜了世界头号选手亨德利，夺得了自己首个世界台球职业排名赛冠军，如图，是一个经过改造的台球桌面的示意图，图中阴影部分分别表示六个入球孔，如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），那么该球最后将落入的球袋是 号袋． 【跟踪专练2】如图，弹性小球从点P出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当小球第1次碰到矩形的边时的点为Q，第2次碰到矩形的边时的点为M，…．第2022次碰到矩形的边时的点为图中的（　　） A．点P B．点Q C．点M D．点N 【跟踪专练3】.四边形中，，，在，上分别找一点，，使的周长最小时，的度数为 ． 【题型9.轴对称中的光线反射问题】 【典例】图1是光的反射规律示意图．其中，PO是入射光线，OQ是反射光线，法线KO⊥MN，∠POK是入射角，∠KOQ是反射角，∠KOQ＝∠POK．图2中，光线自点P射入，经镜面EF反射后经过的点是(   ) A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 【跟踪专练1】如图，球沿图中箭头方向击出后碰到桌子的边缘会反弹，其中叫做入射角，叫做反射角，如果每次的入射角总是等于反射角，那么球最后将落入桌子四个顶角处的球袋中的 ．    【跟踪专练2】如图，两条平行直线a，b，从点光源M射出的光线射到直线a上的A点，入射角为，然后反射光线射到直线b上的B点，当这束光线继续从B点反射出去后，反射光线与直线b所夹锐角的度数为（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练3】如图是光的反射示意图，其中是入射光线，是反射光线，法线．若，则的度数为 ． 【题型10.折叠问题】 【典例】如图，三角形纸片，沿过点的直线折叠这个三角形，使顶点落在边上的点处，折痕为，则的周长为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，等边的边长为，、分别是、上的点，将沿直线折叠，点落在点处，且点在外部，则阴影部分图形的周长为 【跟踪专练2】如图，将一张长方形纸片沿对角线折叠后，点落在点处，交于点，再将沿折叠后，点落在点处，若刚好平分，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练3】有一无弹性细线，拉直时测得细线 长为 ，现进行如下操作：1． 在细线上任取一点；2． 将细线折叠，使点 与点 重合，记折点为点 ；3．将细线折叠，使点 与点 重合，记折点为点 ． 继续进行折叠，使点 与点 重合，并把 点和与其重叠的 点处的细线剪开，使细线分成长为 的三段，当 ，则细线未剪开时 的长为 ． 【题型11.画对称轴】 【典例】如图，正八边形是轴对称图形，对称轴可以是直线（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图所示的图形都可以看成是轴对称图形，其中只有1条对称轴的是 ；只有2条对称轴的是 ；只有4条对称轴的是 ．（填序号） 【跟踪专练2】下列说法不正确的是（　　） A．角平分线是角的对称轴 B．将对折，边与边重合，折痕所在的直线是的对称轴 C．角可以看做是以它的平分线所在直线为对称轴的轴对称图形 D．线段、角、等腰三角形都是轴对称图形 【跟踪专练3】角的对称轴是 ；圆的对称轴是 ；正n边形的对称轴有 条． 【题型12.画轴对称图形】 【典例】作已知点关于某直线的对称点的第一步是(　　) A．过已知点作一条直线与已知直线相交 B．过已知点作一条直线与已知直线垂直 C．过已知点作一条直线与已知直线平行 D．不确定 【跟踪专练1】如图，是一个轴对称汉字的一半，请你想象出它的另一半并写出这个字： ． 【跟踪专练2】在如图所示的正方形网格中，画出格点，使得与成轴对称，则不同位置的有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【跟踪专练3】如图，在3×3的正方形网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形．图中的为格点三角形，在图中最多能画出 个格点三角形与成轴对称． 【题型13.求对称轴条数】 【典例】下列图形中，对称轴条数最少的是（   ） A．等边三角形 B．长方形 C．正方形 D．圆 【跟踪专练1】如图，由三个相同的等边三角形组成的轴对称图形上有一些虚线，其中是对称轴的有 （填序号）． 【跟踪专练2】下列轴对称图形中，有两条对称轴的是（   ）． A． B． C． D． 【跟踪专练3】在一张纸上任意画上个半径相同的圆（它们的圆心两两不重合），那么所画图形的对称轴可能有 条．（写出所有可能的条数） 解答题 1．如图，中，点P为边上一点，请用无刻度的直尺和圆规完成以下作图，要求：保留作图痕迹，不需要写作法． (1)如图①，作一条直线l，使点A关于l的对称点为点． (2)如图②，过点P作直线，使得． 2．如图，长方形台球桌上有两个球P，Q．    (1)请画出一条路径，使得球P撞击台球桌边反弹后，正好撞到球Q； (2)请画出一条路径，使得球P撞击台球桌边，经过两次反弹后，正好撞到球Q． 3．如图，、是平面镜前同一发光点S发出的经平面镜反射后的反射光线，请通过画图确定发光点S的位置，并将光路图补充完整． 4．如图所示的虚线中，哪些是图形的对称轴？ 5．如图，与关于直线对称，与的交点在直线上．若，，，． (1)求出的长度； (2)求的度数； (3)连接，线段与直线有什么关系？ 6．探究与实践 【初步探究】（1）将一张长方形纸片按下图的方式折叠，，为折痕，求的度数；以下是美美的解题过程，请帮她补充完整： 解：由折叠可知，； 由平角的定义得：_____． 所以，（_____＋_____）； ……（请继续完成后面的解题过程） 【类比探究】（2）将一张长方形纸片按图②的方式折叠，、为折痕，，求的度数； 【拓广探究】（3）将一张长方形纸片按图③的方式折叠，、为折痕，，则_____．（直接写结果，用含的最简式子表示）． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $