专题01 一元一次不等式（6大题型）（专项训练）数学新教材北师大版八年级下册

专题01 一元一次不等式 目录 A题型建模・专项突破 题型一、不等式的基本性质 1 题型二、求一元一次不等式的解集 3 题型三、一元一次不等式求解中错解复原问题 6 题型四、求一元一次不等式的整数解 9 题型五、解|x|≥a型的不等式 11 题型六、用一元一次不等式解决实际问题 15 B综合攻坚・能力跃升 题型一、不等式的基本性质 1．（25-26八年级上·山东济南·期末）已知，则下列变形错误的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·河南驻马店·期末）若，则下列式子一定成立的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）下列说法不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．（25-26七年级下·全国·课后作业）下列不等式变形正确的是（   ） A．由，得 B．由，，得 C．由，得 D．由，得 题型二、求一元一次不等式的解集 5．（25-26八年级上·浙江衢州·期中）解下列一元一次不等式． (1)； (2)，并把解集表示在数轴上． 6．（25-26八年级上·陕西西安·月考）解下列不等式，并把它们的解集分别表示在数轴上． (1) (2) 7．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）解下列不等式，并将它们的解集表示在数轴上． (1)； (2)． 8．（25-26八年级上·山东潍坊·月考）（1）解不等式，并把解集在数轴上表示出来． （2）解不等式，并把解集在数轴上表示出来，再求出这个不等式的最小整数解． 题型三、一元一次不等式求解中错解复原问题 9．（24-25七年级下·全国·课后作业）下面是小明同学解不等式的过程． 解不等式：． 解：去分母，得，第一步 去括号，得，第二步 移项，得，第三步 合并同类项，得，第四步 系数化为1，得．第五步 (1)以上解题过程从第________步开始出现错误． (2)请写出该不等式的正确的解答过程． 10．（25-26八年级上·浙江·期中）下面是小明同学解不等式的过程，请认真阅读并解答． 解：．第①步 ．第②步 ．第③步 ．第④步 ．第⑤步 (1)第______步开始出现错误． (2)请给出正确解答． 11．（25-26八年级上·浙江舟山·期中）下面是某同学解不等式 的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：去分母，得．第一步 移项，得．第二步 合并同类项，得，第三步 系数化成，得，第四步 根据以上材料，解答下列问题： (1)第一步去分母的依据是______； (2)在解答过程中，从第______步开始出错，错误原因是______； (3)原不等式的正确解集为______． 12．（2025九年级下·全国·专题练习）下面是小颖同学解一元一次不等式的解答过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：，第一步 ，第二步 ，第三步 ．第四步 (1)任务一：①以上运算步骤中，第______步是去分母，去分母的依据是_______________________________； ②第______步开始出现错误． (2)任务二：请直接写出正确的计算结果； (3)任务三：请你根据平时的学习经验，就解一元一次不等式给其他同学提一条建议． 题型四、求一元一次不等式的整数解 13．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）写出一个满足不等式的正整数解是 ． 14．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）关于的不等式的最大正整数解是 ． 15．（24-25八年级下·上海·期末）不等式的正整数解是 ． 16．（25-26八年级上·黑龙江大庆·月考）若关于x的不等式只有3个正整数解，则a的取值范围 ． 题型五、解|x|≥a型的不等式 17．（24-25七年级下·江苏扬州·月考）请阅读下面求含绝对值的不等式和的解集过程． 对于含绝对值的不等式，从图1的数轴上看：大于而小于3的数的绝对值小于3，所以的解集为；对于含绝对值的不等式，从图2的数轴上看：小于或大于3的数的绝对值大于3，所以的解集为或．     (1)求含绝对值的不等式的解集； (2)已知含绝对值的不等式的解集为，求a，b的值． 18．（24-25七年级下·江苏盐城·月考）先阅读，再完成练习． 一个数在数轴上所对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值． ，x表示到原点的距离小于3的数，从如图1所示的数轴上看：大于而小于3的数，它们到原点的距离小于3，所以的解集是； ，x表示到原点的距离大于3的数，从如图2所示的数轴上看：小于的数和大于3的数，它们到原点的距离大于3，所以的解集是或． 解答下面的问题： (1)解不等式． (2)解不等式． (3)直接写出不等式的解集： ． 19．（24-25八年级下·江西南昌·期末）如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫做绝对值不等式．数轴是一个工具，它能很好地帮助我们解决这个问题． 例如求和的解集问题，就可以利用数轴来探究：根据绝对值的意义， ∵ ∴的解集为， ∵ ∴解集为或． 根据以上探究，解答下列问题： (1)填空：不等式的解集为______； (2)解不等式； (3)求不等式的解集． 20．（24-25七年级下·福建漳州·期中）【阅读材料】 我们知道，一个数的绝对值是指在数轴上表示这个数的点到原点的距离，例如表示数轴上表示这个数的点到原点的距离，那么式子可理解为：数轴上表示这个数的点到表示1这个数的点的距离，于是解不等式则是要在数轴上找出到1的距离小于或等于2的所有点，观察数轴可以看出，在数轴上到1的距离小于或等于2的点对应的数都在和3之间（包含和3两个点），这样我们就可以得到不等式的解集为． 【解决问题】 参考阅读材料，借助数轴，解答下列问题： (1)不等式的解集为___________． (2)求不等式的解集． (3)求不等式的解集． 题型六、用一元一次不等式解决实际问题 21．（25-26七年级上·河南开封·月考）为了响应“绿色出行”的号召，尉氏县推出了共享单车服务，某公司准备在尉氏县投放共享单车，前期投入了固定成本20000元，每投放一辆共享单车，还需要额外投入100元．预计每辆共享单车每月可产生收益300元（不考虑共享单车的损耗）． (1)设投放x辆共享单车，前期总投入为元，每月总收益为元，分别写出，与x的函数关系式； (2)若该公司希望第一个月就能收回前期总投入，求至少需要投放多少辆共享单车？ (3)实际投放时，由于市场需求，该公司投放了200辆共享单车，求投放后第几个月开始盈利？ 22．（25-26八年级上·陕西西安·期末）某校为积极响应“双减”政策，丰富学生课余生活，特举办“快乐易物”活动．八年级一班购进学习用品类和文娱玩具类商品共300件，活动中学习用品的平均售卖价为10元/件，文娱玩具的平均售卖价为15元/件． (1)若商品全部售完，营业额为3600元，其中有多少件学习用品？（用方程组求解） (2)若购进的商品总价不高于1335元，其中学习用品的平均进价为4元/件，文娱玩具的平均进价为5元/件，商品全部售完，请求出利润最大的采购方案以及最大利润． 23．（25-26八年级上·河南郑州·期末）为助力乡村振兴，支持惠农富农，某合作社销售我省西部山区出产的甲、乙两种苹果．已知2箱甲种苹果和3箱乙种苹果的售价之和为440元；4箱甲种苹果和5箱乙种苹果的售价之和为800元． (1)求甲、乙两种苹果每箱的售价． (2)某水果店计划用1000元购进甲、乙两种苹果（两种苹果均要购进），有哪几种购买方案？ (3)某公司计划从该合作社购买甲、乙两种苹果共10箱，且乙种苹果的箱数不超过甲种苹果的箱数．求该公司最少需花费多少元． 24．（25-26七年级上·广西南宁·期末）某超市计划购进A、B两种品牌的保温杯共个，已知A品牌保温杯的进价为元/个，售价为元/个；B品牌保温杯的进价为元/个，售价为元/个. (1)若购进两种品牌保温杯的总费用为元，求购进A、B两种品牌保温杯各多少个？ (2)若超市规定B品牌保温杯的进货数量不超过A品牌保温杯进货数量的倍，设购进A品牌保温杯个，这批保温杯的总利润为元，求的最大值； (3)在（2）的条件下，若超市对A品牌保温杯每件优惠元（）出售，B品牌保温杯售价不变，此时总利润的最大值为元，求的值． 一、单选题 1．（25-26九年级上·四川宜宾·期末）为何值时，根式有意义（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）下列各式中，是一元一次不等式的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·上海·月考）下列说法不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）育才中学组织初二年级研学，现有36座和42座两种客车供选择租用，若只租用36座客车若干辆，则正好坐满：若只租用42座客车，则能少租一辆，且有一辆车没有坐满，但超过30人．现在设租36座的车x辆，则x满足的不等关系为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·浙江杭州·开学考试）若关于x、y的二元一次方程组的解满足，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（25-26七年级上·江苏苏州·月考）已知关于的不等式是一元一次不等式，那么 ． 8．（25-26七年级下·全国·单元测试）已知关于的不等式的解集如图所示，则的值为 ． 9．（24-25七年级下·四川乐山·期末）已知关于的方程的解是正数，则的取值范围是 ． 10．（24-25七年级下·内蒙古赤峰·期末）关于x的不等式恰有三个非负整数解，则b的取值范围是 ． 11．（25-26七年级上·河南商丘·期中）如图，点在点的左侧，点在数轴上表示的数分别为和，则的值可能是 （写出一个正确的数字） 12．（24-25七年级下·湖北咸宁·期末）按照如下程序操作，规定：从“输入一个值x”到“结果是否大于21”为一次程序操作，如果结果得到的数小于或等于21，则用得到的这个数进行下一次操作． 如果程序操作进行了一次就停止，那么输入的x的最大整数是 ． 三、解答题 13．（25-26八年级上·河南驻马店·期末）解不等式，并将它的解集表示在数轴上． 14．（24-25七年级下·全国·课后作业）下面是小明同学解不等式的过程． 解不等式：． 解：去分母，得，第一步 去括号，得，第二步 移项，得，第三步 合并同类项，得，第四步 系数化为1，得．第五步 (1)以上解题过程从第________步开始出现错误． (2)请写出该不等式的正确的解答过程． 15．（25-26七年级上·江苏苏州·期末）某软件公司开发了一种图书管理软件，共花费固定成本160万元，每售出一套软件，软件公司还需支出服务成本万元，如果每套软件定价万元，那么至少需要售出多少套软件才能不亏本？ 16．（25-26八年级上·浙江台州·期中）定义一种新运算，例如：． (1)计算：； (2)请根据上述定义解不等式． 17．（25-26七年级下·全国·周测）已知不等式． (1)求它的非负整数解； (2)若该不等式的最大整数解是方程的解，求的值． 18．（25-26九年级上·云南昆明·期末） 市场调查 资料查阅 昭通苹果，产自云南昭通这片海拔1800米以上的高原沃土，是“中国苹果之城”的璀璨名片．依托低纬度高原独特的气候优势——年均1901小时充足日照、显著昼夜温差与微酸性沙质土壤，孕育出“早熟、甜脆、香浓”的卓越品质． 市场现状 1箱瑞雪苹果比2箱红富士苹果的售价总额多10元，2箱瑞雪苹果比3箱红富士苹果的售价总额多100元． 购买需求 某顾客欲购买12箱苹果，且红富士苹果的箱数不超过瑞雪苹果箱数的2倍． 问题解决 任务1确定单价 请你计算瑞雪苹果和红富士苹果的单价． 任务2拟定购买方案． 请你为该顾客设计购买方案，使得购买总价最低，并计算最低总价． 19．（25-26八年级上·安徽滁州·月考）某农机租赁公司共有台收割机，其中甲型台，乙型台，现将这台联合收割机派往，两地区收割水稻，其中台派往地区，台派往地区，两地区与该农机公司商定的每天租赁价格如表： 每台甲型收割机的租金 每台乙型收割机的租金 地区 元 元 地区 元 元 (1)设派往地区台乙型联合收割机，租赁公司这台联合收割机一天获得的租金为元，求关于的函数关系式； (2)若使农机租赁公司这台收割机一天所获租金不低于元，试写出满足条件的所有分派方案； (3)农机租赁公司拟出一个分派方案，使该公司台收割机每天获得租金最高，并说明理由． 20．（24-25七年级下·北京怀柔·期末）在数学课外小组活动中，老师提出了如下问题： 如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫做绝对值不等式，求绝对值不等式和的解集． 小明同学的探究过程如下： 先从特殊情况入手，求和的解集．确定的解集过程如图1： 先根据绝对值的几何定义，在数轴上找到原点的距离大于2的所有点所表示的数，在数轴上确定范围如下： (1)请将小明的探究过程补充完整； 所以，的解集是或______①___________． 再来确定的解集：同样根据绝对值的几何定义，在数轴上找到原点的距离小于2的所有点所表示的数，请你在图2的数轴上确定范围②； 所以，的解集为：_______③________． 经过大量特殊实例的实验，小明得到绝对值不等式的解集为___________④___________，的解集为___________⑤___________． 请你根据小明的探究过程及得出的结论，解决下列问题： (2)求绝对值不等式的解集． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 一元一次不等式 目录 A题型建模・专项突破 题型一、不等式的基本性质 1 题型二、求一元一次不等式的解集 3 题型三、一元一次不等式求解中错解复原问题 6 题型四、求一元一次不等式的整数解 9 题型五、解|x|≥a型的不等式 11 题型六、用一元一次不等式解决实际问题 15 B综合攻坚・能力跃升 题型一、不等式的基本性质 1．（25-26八年级上·山东济南·期末）已知，则下列变形错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查不等式的基本性质，需根据不等式的三条性质逐一分析选项，找出变形错误的选项即可． 【详解】解：∵， ∴根据不等式性质1：不等式两边同时加（或减）同一个数或式子，不等号方向不变. 可得，，故A、D正确； 根据不等式性质2：不等式两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号方向不变. 可得，故B正确； 根据不等式性质3：不等式两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号方向改变. 可得，故C错误． 故选：C． 2．（25-26八年级上·河南驻马店·期末）若，则下列式子一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的基本性质，依据不等式的基本性质逐一分析选项即可，掌握不等式的基本性质是解题的关键． 【详解】解：、∵， ∴当时，；当时，，故该选项不一定成立，不符合题意； 、∵， ∴根据不等式两边同乘，不等号方向改变，则，故该选项不成立，不符合题意； 、∵， ∴， ∴根据不等式两边同时加，不等号方向不变， ∴，故该选项不成立，不符合题意； 、∵， ∴根据不等式两边同时减，不等号方向不变， ∴，故该选项成立，符合题意； 故选：． 3．（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）下列说法不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的性质：①把不等式的两边都加(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；②不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；③不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 根据不等式的性质逐一分析各选项即可． 【详解】解：∵不等式两边同时减去同一个数，不等号方向不变， ∴若，则，选项A正确； ∵不等式两边同时乘以同一个正数，不等号方向不变， ∴若，则，选项B正确； ∵当时，，此时，不满足， ∴选项C的说法不正确； ∵不等式两边同时乘以同一个负数，不等号方向改变， ∴若，则，选项D正确； 故选：C． 4．（25-26七年级下·全国·课后作业）下列不等式变形正确的是（   ） A．由，得 B．由，，得 C．由，得 D．由，得 【答案】D 【分析】依据不等式的基本性质，对每个选项逐一进行分析判断，重点关注不等号方向是否正确． 【详解】解：A、由，根据不等式的对称性，不等号方向应相反，得，而不是，不符合题意； B、由，，根据不等式的传递性，得，而不是，不符合题意； C、由，根据不等式的对称性，应得到，不符合题意； D、根据不等式的对称性，由可得，故该变形正确，符合题意． 故选：D． 题型二、求一元一次不等式的解集 5．（25-26八年级上·浙江衢州·期中）解下列一元一次不等式． (1)； (2)，并把解集表示在数轴上． 【答案】(1) (2)，数轴见解析 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变． （1）根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得； （2）根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得． 【详解】（1）解：， ， ， ， 则； （2）解：， ， ， ， ， 则， 将不等式的解集表示在数轴上如下： 6．（25-26八年级上·陕西西安·月考）解下列不等式，并把它们的解集分别表示在数轴上． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】(1) 按照解不等式的基本步骤解答即可． (2) 按照解不等式的基本步骤解答即可． 本题考查了解不等式，熟练掌握解题的基本步骤是解题的关键． 【详解】（1）解：， 去括号，得 移项，得 合并同类项，得， 系数化为1，得， 数轴表示如下： （2）解：， 去分母，得： 去括号，得 移项，得 合并同类项， 两边同时除以，得， 数轴表示如下： 7．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）解下列不等式，并将它们的解集表示在数轴上． (1)； (2)． 【答案】(1)，数轴见解析 (2)，数轴见解析 【分析】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集． （1）移项合并，将x系数化为1，求出解集，将解集表示在数轴上即可； （2）去分母，去括号，移项合并，将x系数化为1，求出解集，将解集表示在数轴上即可． 【详解】（1）解： 移项得： 系数化为1得：． 在数轴上表示如图： （2）解： 去分母得： 去括号得： 移项得： 合并同类项得： 系数化为1得：． 在数轴上表示如图： 8．（25-26八年级上·山东潍坊·月考）（1）解不等式，并把解集在数轴上表示出来． （2）解不等式，并把解集在数轴上表示出来，再求出这个不等式的最小整数解． 【答案】（1），图见解析 （2），最小整数解为，图见解析 【分析】本题考查解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键． （1）通过去分母、移项、合并同类项、系数化为1解不等式，得到解集后在数轴上表示即可； （2）先通过去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1解不等式，得到解集后在数轴上表示，再找出最小整数解即可． 【详解】解：（1）， 去分母，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 数轴表示如下： （2）， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 数轴表示如下： 则这个不等式的最小整数解为． 题型三、一元一次不等式求解中错解复原问题 9．（24-25七年级下·全国·课后作业）下面是小明同学解不等式的过程． 解不等式：． 解：去分母，得，第一步 去括号，得，第二步 移项，得，第三步 合并同类项，得，第四步 系数化为1，得．第五步 (1)以上解题过程从第________步开始出现错误． (2)请写出该不等式的正确的解答过程． 【答案】(1)三 (2)见解析 【分析】（1）观察小明解题过程，找出错误的步骤即可； （2）先去分母，再去括号，移项，合并同类项，把的系数化为1即可． 【详解】（1）解：以上解题过程从第三步开始出现错误，移项时没有变号． 故答案为：三． （2）解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 10．（25-26八年级上·浙江·期中）下面是小明同学解不等式的过程，请认真阅读并解答． 解：．第①步 ．第②步 ．第③步 ．第④步 ．第⑤步 (1)第______步开始出现错误． (2)请给出正确解答． 【答案】(1)⑤ (2) 【分析】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握一元一次不等式的求解方法是解题关键．（1）第⑤步开始出现错误，错误的原因是：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号方向没有改变；（2）求出不等式的解集即可． 【详解】（1）解：第⑤步开始出现错误，错误的原因是：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号方向没有改变， 故答案为：⑤； （2）解：去分母，得． 去括号，得． 移项，得． 合并同类项，得． 系数化成1，得． 11．（25-26八年级上·浙江舟山·期中）下面是某同学解不等式 的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：去分母，得．第一步 移项，得．第二步 合并同类项，得，第三步 系数化成，得，第四步 根据以上材料，解答下列问题： (1)第一步去分母的依据是______； (2)在解答过程中，从第______步开始出错，错误原因是______； (3)原不等式的正确解集为______． 【答案】(1)不等式的基本性质； (2)四；不等号的方向没有改变； (3)． 【分析】本题考查了解不等式，不等式的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （）根据不等式基本性质即可求解； （）根据不等式基本性质即可求解； （）根据不等式解法即可求解． 【详解】（1）解：第一步去分母的依据是不等式的基本性质， 故答案为：不等式的基本性质； （2）解：在解答过程中，从第四步开始出错，错误原因是不等号的方向没有改变， 故答案为：四，不等号的方向没有改变； （3）解：去分母，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化成，得， 故答案为：． 12．（2025九年级下·全国·专题练习）下面是小颖同学解一元一次不等式的解答过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：，第一步 ，第二步 ，第三步 ．第四步 (1)任务一：①以上运算步骤中，第______步是去分母，去分母的依据是_______________________________； ②第______步开始出现错误． (2)任务二：请直接写出正确的计算结果； (3)任务三：请你根据平时的学习经验，就解一元一次不等式给其他同学提一条建议． 【答案】(1)①一，不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变②二 (2) (3)去分母时，不要漏乘不含分母的项；（答案不唯一，合理即可） 【分析】本题考查了一元一次不等式的解法，掌握不等式的基本性质以及去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为的步骤规范是解题的关键． （1）一元一次不等式的去分母步骤，其理论依据是不等式的基本性质，对每一步的运算进行规则校验，尤其是去括号的“符号法则” ； （2）本题依据一元一次不等式的完整解法流程（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为），每一步严格遵循不等式基本性质和运算规则； （3）根据解一元一次不等式的常见易错点，如：去分母漏乘、去括号符号错误、系数化为时不等号方向忘记改变等，给出适当的建议． 【详解】（1）解：由解题过程可以看出，第一步是去分母，去分母的依据是不等式基本性质：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变． 故答案为：一，不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；二． （2）解：， 去分母：， 去括号：， 合并同类项：， 移项：， 系数化为：． （3）解：解一元一次不等式时，要注意每一步的运算细节，尤其是去分母时各项都要乘最小公倍数，不要漏乘不含分母的项，去括号时的符号变化，以及系数化为时不等号方向是否改变，以上均是解一元一次不等式易出错的地方，可以选择任意一条作为给同学的建议． 题型四、求一元一次不等式的整数解 13．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）写出一个满足不等式的正整数解是 ． 【答案】1（答案不唯一） 【分析】本题考查了求一元一次不等式的整数解，解题关键是正确解一元一次不等式． 先求解不等式，得到解集后找出满足条件的正整数． 【详解】解：： 移项，得， 即， 两边同时除以2得， 即． 因此，正整数解为1、2， 故答案为：1（答案不唯一）． 14．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）关于的不等式的最大正整数解是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了解一元一次不等式，解答此题要先求出不等式的解集，再确定正整数解． 先求出不等式的解集，在取值范围内可以找到最大正整数解． 【详解】解：解不等式 ， 移项，得：， 两边同时除以 ，不等号方向改变，得：， 因此，不等式的解集为 ， 最大正整数解为：2， 故答案为：2． 15．（24-25八年级下·上海·期末）不等式的正整数解是 ． 【答案】1和2/2和1 【分析】本题主要考查了求一元一次不等式的整数解，掌握解一元一次不等式的方法是解题的关键． 先根据去分母、移项、合并同类项的步骤求出不等式的解集，进而确定正整数解即可． 【详解】解： ， 所以该不等式的正整数解为：1和2． 故答案为：1和2． 16．（25-26八年级上·黑龙江大庆·月考）若关于x的不等式只有3个正整数解，则a的取值范围 ． 【答案】 【分析】本题考查不等式的解，熟练掌握解不等式是解题的关键，解不等式，得到，再由不等式只有3个正整数解，从而得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵不等式只有3个正整数解， ∴， 故答案为：． 题型五、解|x|≥a型的不等式 17．（24-25七年级下·江苏扬州·月考）请阅读下面求含绝对值的不等式和的解集过程． 对于含绝对值的不等式，从图1的数轴上看：大于而小于3的数的绝对值小于3，所以的解集为；对于含绝对值的不等式，从图2的数轴上看：小于或大于3的数的绝对值大于3，所以的解集为或．     (1)求含绝对值的不等式的解集； (2)已知含绝对值的不等式的解集为，求a，b的值． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题主要考查解一元一次不等式，绝对值的几何意义，解二元一次方程组，解题的关键是掌握绝对值的几何意义及解一元一次不等式的能力． （1）依据题意，由绝对值的几何意义即可得出答案； （2）依据题意，由知，据此得出，再结合可得出关于、的方程组，解之即可求出、的值，从而得出答案． 【详解】（1）解：对于含绝对值的不等式， 从如图的数轴上看：小于或大于2的数的绝对值大于2， 所以的解集为或． 根据绝对值的定义得：或； （2）解：由题意， ， ， ， 解集为， ， ． 18．（24-25七年级下·江苏盐城·月考）先阅读，再完成练习． 一个数在数轴上所对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值． ，x表示到原点的距离小于3的数，从如图1所示的数轴上看：大于而小于3的数，它们到原点的距离小于3，所以的解集是； ，x表示到原点的距离大于3的数，从如图2所示的数轴上看：小于的数和大于3的数，它们到原点的距离大于3，所以的解集是或． 解答下面的问题： (1)解不等式． (2)解不等式． (3)直接写出不等式的解集： ． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了绝对值的几何意义、解不等式等知识点，从材料中得到解题方法是解题的关键． （1）把当做一个整体，然后利用阅读求出的取值范围，进而确定x的取值范围即可； （2）把当做一个整体，然后利用阅读求出的取值范围，进而确定x的取值范围即可； （3）先在数轴上找出的解，即可得出不等式的解集． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴． （2）解：， ∴或， ∴或． （3）解：在数轴上找出的解． 由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到1和对应的点的距离之和等于5的点对应的x的值． ∵在数轴上1和对应的点的距离为3， ∴满足方程的x对应的点在1的右边或的左边． 若x对应的点在1的右边，可得；若x对应的点在的左边，可得， ∴方程的解是或， ∴不等式的解集为． 故答案为． 19．（24-25八年级下·江西南昌·期末）如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫做绝对值不等式．数轴是一个工具，它能很好地帮助我们解决这个问题． 例如求和的解集问题，就可以利用数轴来探究：根据绝对值的意义， ∵ ∴的解集为， ∵ ∴解集为或． 根据以上探究，解答下列问题： (1)填空：不等式的解集为______； (2)解不等式； (3)求不等式的解集． 【答案】(1)或； (2)； (3)或． 【分析】本题考查在数轴上表示不等式的解集，绝对值以及不等式的定义，掌握在数轴上表示不等式的解集的方法，理解绝对值、不等式的定义是正确解答的关键． （1）根据题目所提供的数轴解法进行解答即可； （2）根据题目所提供的数轴解法进行解答即可； （3）根据所表示的意义，用数轴表示，进而得出x的取值范围即可． 【详解】（1）解：不等式的解集为或， 故答案为：或； （2）解：不等式的解集为， 解得； （3）解：所表示的意义为：数轴上表示数x的点，到表示数2，的点的距离之和大于7， 由数轴可知， 所以不等式的解集为或． 20．（24-25七年级下·福建漳州·期中）【阅读材料】 我们知道，一个数的绝对值是指在数轴上表示这个数的点到原点的距离，例如表示数轴上表示这个数的点到原点的距离，那么式子可理解为：数轴上表示这个数的点到表示1这个数的点的距离，于是解不等式则是要在数轴上找出到1的距离小于或等于2的所有点，观察数轴可以看出，在数轴上到1的距离小于或等于2的点对应的数都在和3之间（包含和3两个点），这样我们就可以得到不等式的解集为． 【解决问题】 参考阅读材料，借助数轴，解答下列问题： (1)不等式的解集为___________． (2)求不等式的解集． (3)求不等式的解集． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了绝对值、数轴与不等式． （1）根据绝对值的意义及数轴求解； （2）根据绝对值的意义及数轴求解； （3）先把不等式变形，再根据绝对值的意义及数轴求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：； （2）解：法①：在数轴上到2的距离大于或等于3的点对应的数小于或等于或者大于或等于5， 不等式的解集为或； 法②：不等式可化为或， 解得：或； 不等式的解集为或； （3）解：不等式可化为， ， 所以原不等式的解集为：． 题型六、用一元一次不等式解决实际问题 21．（25-26七年级上·河南开封·月考）为了响应“绿色出行”的号召，尉氏县推出了共享单车服务，某公司准备在尉氏县投放共享单车，前期投入了固定成本20000元，每投放一辆共享单车，还需要额外投入100元．预计每辆共享单车每月可产生收益300元（不考虑共享单车的损耗）． (1)设投放x辆共享单车，前期总投入为元，每月总收益为元，分别写出，与x的函数关系式； (2)若该公司希望第一个月就能收回前期总投入，求至少需要投放多少辆共享单车？ (3)实际投放时，由于市场需求，该公司投放了200辆共享单车，求投放后第几个月开始盈利？ 【答案】(1)， (2)100辆 (3)第1个月开始盈利 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用与一元一次不等式的求解，熟练掌握根据实际问题中的等量或不等关系建立数学模型并准确计算是解题的关键． （1）根据总投入=固定成本+每辆车额外投入×数量，总收益=每辆车月收益×数量，列函数关系式； （2）根据“收回前期总投入”即第一个月总收益≥前期总投入，列不等式求解； （3）设第个月开始盈利，根据个月总收益>前期总投入，列不等式求解． 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：由题意得：， ， ， ， ∴至少需要投放100辆共享单车； （3）解：前期总投入：， 设第个月开始盈利，得：， ， ， ∵为正整数， ∴， ∴投放后第1个月开始盈利． 22．（25-26八年级上·陕西西安·期末）某校为积极响应“双减”政策，丰富学生课余生活，特举办“快乐易物”活动．八年级一班购进学习用品类和文娱玩具类商品共300件，活动中学习用品的平均售卖价为10元/件，文娱玩具的平均售卖价为15元/件． (1)若商品全部售完，营业额为3600元，其中有多少件学习用品？（用方程组求解） (2)若购进的商品总价不高于1335元，其中学习用品的平均进价为4元/件，文娱玩具的平均进价为5元/件，商品全部售完，请求出利润最大的采购方案以及最大利润． 【答案】(1)有件学习用品 (2)利润最大的采购方案是购买件学习用品，购买135件文娱玩具，最大利润为2340元 【分析】本题考查了一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，理清题意，根据等量关系列出方程组及根据数量关系列出函数表达式是解题的关键． （1）设学习用品有件，文娱玩具有件，根据“购进学习用品类和文娱玩具类商品共300件”和“营业额为3600元”列出二元一次方程组，解方程组即可求解； （2）设学习用品有件，则文娱玩具有件，利润为元，根据数量关系得，再根据购进的商品总价不高于1335元求出，然后根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设学习用品有件，文娱玩具有件， 依题意得： 化简得：， 解得， 答：有件学习用品； （2）解：设学习用品有件，则文娱玩具有件，利润为元依题意得： ， ∵购进的商品总价不高于1335元， ∴， 解得． ∵，， ∴随的增大而减小， ∵， ∴当时，最大，， 文娱玩具数量件． 答：利润最大的采购方案是购买件学习用品，购买135件文娱玩具，最大利润为2340元． 23．（25-26八年级上·河南郑州·期末）为助力乡村振兴，支持惠农富农，某合作社销售我省西部山区出产的甲、乙两种苹果．已知2箱甲种苹果和3箱乙种苹果的售价之和为440元；4箱甲种苹果和5箱乙种苹果的售价之和为800元． (1)求甲、乙两种苹果每箱的售价． (2)某水果店计划用1000元购进甲、乙两种苹果（两种苹果均要购进），有哪几种购买方案？ (3)某公司计划从该合作社购买甲、乙两种苹果共10箱，且乙种苹果的箱数不超过甲种苹果的箱数．求该公司最少需花费多少元． 【答案】(1)甲、乙两种苹果每箱的售价分别为100元、80元 (2)购买方案有：甲种苹果2箱、乙种苹果10箱；甲种苹果6箱、乙种苹果5箱 (3)该公司最少需花费900元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组、二元一次方程、一次函数的应用、不等式的应用等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）设甲种苹果每箱售价为x元，乙种苹果每箱售价为y元，然后根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）设购进甲种苹果a箱，乙种苹果b箱（a，b为正整数），再根据题意列二元一次方程，再根据二元一次方程的解即可解答； （3）设购买甲种苹果m箱，则乙种苹果箱．由题意列不等式可得，再根据题意列出函数关系式，然后运用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设甲种苹果每箱售价为x元，乙种苹果每箱售价为y元． 根据题意得​， 解得：． 答：甲种苹果每箱售价100元，乙种苹果每箱售价80元． （2）解：设购进甲种苹果a箱，乙种苹果b箱（a，b为正整数） ，即， ∵a，b为正整数， ∴当时，；当时，． 购买方案：购进甲种苹果2箱，乙种苹果10箱；购进甲种苹果6箱，乙种苹果5箱 （3）解：设购买甲种苹果m箱，则乙种苹果箱． 由题意得：， 解得：． 由题意可得总花费： ∵， ∴W随m增大而增大． ∴当时，花费最少，． 答：该公司最少需花费900元． 24．（25-26七年级上·广西南宁·期末）某超市计划购进A、B两种品牌的保温杯共个，已知A品牌保温杯的进价为元/个，售价为元/个；B品牌保温杯的进价为元/个，售价为元/个. (1)若购进两种品牌保温杯的总费用为元，求购进A、B两种品牌保温杯各多少个？ (2)若超市规定B品牌保温杯的进货数量不超过A品牌保温杯进货数量的倍，设购进A品牌保温杯个，这批保温杯的总利润为元，求的最大值； (3)在（2）的条件下，若超市对A品牌保温杯每件优惠元（）出售，B品牌保温杯售价不变，此时总利润的最大值为元，求的值． 【答案】(1)购进品牌个，品牌个 (2)元 (3) 【分析】本题考查了利润=售价-进价的运用，总利润种保温杯的利润种保温杯的利润的运用，熟练掌握一元一次方程的应用及一次函数的应用是解题的关键． （1）设购进品牌保温杯个，则购进品牌保温杯个，根据题意列出一元一次方程，计算即可求解； （2）设设购进A品牌保温杯个，这批保温杯的总利润为元，由题意得，总利润，由，可得，即且为整数，当时，最大，代入即可求出最大值； （3）根据题意，列出优惠后的利润为 ，分两种情况讨论即可求出的值． 【详解】（1）解：设购进品牌保温杯个，则购进品牌保温杯个， 由题意得：， 去括号得：， 移项合并得：， 解得， 则， 答：购进品牌个，品牌个． （2）解：设购进A品牌保温杯个，这批保温杯的总利润为元， 总利润 ， 由题意得，， 解得， ∵为整数， ∴，且为整数， ∵， ∴随增大而增大， ∴当时，最大，最大值为元 ． （3）解：优惠后， ① 当时，随增大而增大，时最大， 即，解得； ② 当时，随减小而增大，时最大， ，不符合题意； 综上所述，． 一、单选题 1．（25-26九年级上·四川宜宾·期末）为何值时，根式有意义（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，需根据被开方数为非负数列一元一次不等式求解，熟练掌握二次根式有意义的条件是解此题的关键． 【详解】解：∵根式有意义， ∴， 解得， 故选：A． 2．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）下列各式中，是一元一次不等式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元一次不等式的判断，根据一元一次不等式的定义，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、不含未知数，不是一元一次不等式，不符合题意； B、不是整式，不是一元一次不等式，不符合题意； C、是代数式，不是不等式，不符合题意； D、是一元一次不等式，符合题意； 故选D． 3．（25-26七年级上·上海·月考）下列说法不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查不等式的基本性质，需逐项判断其正确性．选项A、B和D符合不等式性质，正确；选项C存在反例，不正确，从而可得答案． 【详解】解：A、两边同时加上2得，，不等号的方向不变，说法正确，故选项不符合题意； B、两边同时乘以得，，不等号的方向改变，说法正确，故选项不符合题意； C、若，当时，，原说法不正确，假命题，故选项符合题意； D、，两边同时除以2，则，不等号的方向不变，说法正确，故选项不符合题意． 故选：C． 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查在数轴上表示不等式的解集．正确地求出不等式的解集是解题的关键．注意在数轴上表示不等式的解集时，含等号，用实心点，不含等号，用空心点． 先求出不等式的解集，在数轴上表示出解集，进行判断即可． 【详解】解： 解得， ∴原不等式的解集为， 数轴表示为： ， 故选：D． 5．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）育才中学组织初二年级研学，现有36座和42座两种客车供选择租用，若只租用36座客车若干辆，则正好坐满：若只租用42座客车，则能少租一辆，且有一辆车没有坐满，但超过30人．现在设租36座的车x辆，则x满足的不等关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的应用． 根据总人数不变，结合42座客车的乘坐情况（少租一辆，有一辆没坐满但超过30人），列出关于x的不等关系，对应选项判断即可． 【详解】解：设租36座的车x辆， 由题意得， 故选：D． 6．（25-26八年级上·浙江杭州·开学考试）若关于x、y的二元一次方程组的解满足，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了根据二元一次方程组的解的情况求参数，解一元一次不等式． 两方程相加可得，再根据求解即可． 【详解】， 得， 即， ∵关于x、y的二元一次方程组的解满足， ∴， 解得：， 故选：D． 二、填空题 7．（25-26七年级上·江苏苏州·月考）已知关于的不等式是一元一次不等式，那么 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元一次不等式的定义，正确记忆含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式是解题关键． 根据一元一次不等式的定义，未知数的次数是1且系数不为0，据此求解即可． 【详解】解：由题意可得：且， 解得：， 故答案为：． 8．（25-26七年级下·全国·单元测试）已知关于的不等式的解集如图所示，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式的解，解题的关键是掌握一元一次不等式的解法．由题意可得是不等式的解集，解不等式可得，进而得到，即可求解． 【详解】解：由题意可得是不等式的解集， ， ， 解得， 故答案为：． 9．（24-25七年级下·四川乐山·期末）已知关于的方程的解是正数，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程和一元一次不等式的求解．求出方程的解，令方程的解大于零，解不等式即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， 由题可知，解得， 故答案为：． 10．（24-25七年级下·内蒙古赤峰·期末）关于x的不等式恰有三个非负整数解，则b的取值范围是 ． 【答案】 【分析】解出不等式得，根据不等式有三个非负整数解知，求解可得． 本题主要考查一元一次不等式的整数解，根据不等式的解得到范围是解题的关键． 【详解】解：解不等式得：， 由题意可得：， ， 故答案为：． 11．（25-26七年级上·河南商丘·期中）如图，点在点的左侧，点在数轴上表示的数分别为和，则的值可能是 （写出一个正确的数字） 【答案】0（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了一元一次不等式．由数轴得出，解一元一次不等式再根据选项即可求出结果． 【详解】解：由数轴可知，， 解得， ∴的值可能是0． 故答案为： 0（答案不唯一）． 12．（24-25七年级下·湖北咸宁·期末）按照如下程序操作，规定：从“输入一个值x”到“结果是否大于21”为一次程序操作，如果结果得到的数小于或等于21，则用得到的这个数进行下一次操作． 如果程序操作进行了一次就停止，那么输入的x的最大整数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． 根据程序操作进行了一次就停止，可列出关于x的一元一次不等式，求出最大整数解即可解答． 【详解】解：根据题意，得， 解得， ∴最大整数解为， 即输入x的最大整数是． 故答案为：． 三、解答题 13．（25-26八年级上·河南驻马店·期末）解不等式，并将它的解集表示在数轴上． 【答案】，数轴见解析 【分析】本题考查的是一元一次不等式的解法，先去分母，再去括号，移项，合并同类项，最后把未知数的系数化为“1”，最后在数轴上表示不等式的解集即可． 【详解】解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得． 在数轴上表示不等式的解集如下． 14．（24-25七年级下·全国·课后作业）下面是小明同学解不等式的过程． 解不等式：． 解：去分母，得，第一步 去括号，得，第二步 移项，得，第三步 合并同类项，得，第四步 系数化为1，得．第五步 (1)以上解题过程从第________步开始出现错误． (2)请写出该不等式的正确的解答过程． 【答案】(1)三 (2)见解析 【分析】（1）观察小明解题过程，找出错误的步骤即可； （2）先去分母，再去括号，移项，合并同类项，把的系数化为1即可． 【详解】（1）解：以上解题过程从第三步开始出现错误，移项时没有变号． 故答案为：三． （2）解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 15．（25-26七年级上·江苏苏州·期末）某软件公司开发了一种图书管理软件，共花费固定成本160万元，每售出一套软件，软件公司还需支出服务成本万元，如果每套软件定价万元，那么至少需要售出多少套软件才能不亏本？ 【答案】至少需要售出229套软件才能不亏本 【分析】本题考查了用一元一次不等式解决实际问题等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 设至少售出套软件，根据题意，列出不等式求解即可． 【详解】解：设至少售出套软件， 则， 解得：， ， 由于套数必须为整数， 故至少需要售出229套软件． 16．（25-26八年级上·浙江台州·期中）定义一种新运算，例如：． (1)计算：； (2)请根据上述定义解不等式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查新定义与一元一次不等式，理解题意后按要求进行计算是解题关键． （1）根据题意，展开后计算即可； （2）按照新定义将不等式左边展开，然后按照一元一次不等式的要求解不等式即可． 【详解】（1）解：， （2）解：， 由题意得，， 去括号得，， 移项后合并同类项得，， 解得，． 17．（25-26七年级下·全国·周测）已知不等式． (1)求它的非负整数解； (2)若该不等式的最大整数解是方程的解，求的值． 【答案】(1)或或或 (2) 【分析】本题考查了一元一次不等式的解法，一元一次方程的解法，非负整数解的确定等知识点，掌握一元一次不等式的解法和方程的代入求解是解题的关键． （1）先解不等式得到解集，再在解集中找出所有非负整数； （2）先确定不等式的最大整数解，将其代入方程，解关于的一元一次方程． 【详解】（1）解：去括号，得， 移项、合并同类项，得， 它的非负整数解为或或或． （2）解：由（1）可知该不等式的最大整数解为． 把代入方程，得， 解得． 18．（25-26九年级上·云南昆明·期末） 市场调查 资料查阅 昭通苹果，产自云南昭通这片海拔1800米以上的高原沃土，是“中国苹果之城”的璀璨名片．依托低纬度高原独特的气候优势——年均1901小时充足日照、显著昼夜温差与微酸性沙质土壤，孕育出“早熟、甜脆、香浓”的卓越品质． 市场现状 1箱瑞雪苹果比2箱红富士苹果的售价总额多10元，2箱瑞雪苹果比3箱红富士苹果的售价总额多100元． 购买需求 某顾客欲购买12箱苹果，且红富士苹果的箱数不超过瑞雪苹果箱数的2倍． 问题解决 任务1确定单价 请你计算瑞雪苹果和红富士苹果的单价． 任务2拟定购买方案． 请你为该顾客设计购买方案，使得购买总价最低，并计算最低总价． 【答案】任务1：瑞雪苹果单价为170元/箱，红富士苹果单价为80元/箱 任务2：购买瑞雪苹果4箱、红富士苹果8箱时总价最低，最低总价为1320元 【分析】本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用，理解题意是解答的关键． 任务1：设瑞雪苹果单价为x元/箱，红富士苹果单价为y元/箱，根据题意列方程组求解即可； 任务2：设购买瑞雪苹果a箱，则红富士苹果箱，购买总价为w元，根据题意可得，，利用一次函数的性质求解即可． 【详解】解：任务1：设瑞雪苹果单价为x元/箱，红富士苹果单价为y元/箱， 根据题意，得， 解得， 答：瑞雪苹果单价为170元/箱，红富士苹果单价为80元/箱； 任务2：∵红富士苹果的箱数不超过瑞雪苹果箱数的2倍， ∴，解得， 由题意，， ∵， ∴w随a的增大而增大， ∴当时，w取得最小值，最小值为， ∴（箱）， 答：购买瑞雪苹果4箱、红富士苹果8箱时总价最低，最低总价为1320元． 19．（25-26八年级上·安徽滁州·月考）某农机租赁公司共有台收割机，其中甲型台，乙型台，现将这台联合收割机派往，两地区收割水稻，其中台派往地区，台派往地区，两地区与该农机公司商定的每天租赁价格如表： 每台甲型收割机的租金 每台乙型收割机的租金 地区 元 元 地区 元 元 (1)设派往地区台乙型联合收割机，租赁公司这台联合收割机一天获得的租金为元，求关于的函数关系式； (2)若使农机租赁公司这台收割机一天所获租金不低于元，试写出满足条件的所有分派方案； (3)农机租赁公司拟出一个分派方案，使该公司台收割机每天获得租金最高，并说明理由． 【答案】(1) (2)三种分配方案，方案一：派往地区的甲型联合收割机台，乙型联合收割机台，其余的全派往地区；方案二：派往地区的甲型联合收割机台，乙型联合收割机台，其余的全派往地区；方案三：派往地区的甲型联合收割机台，乙型联合收割机台，其余的全派往地区 (3)派往地区台乙型联合收割机，台甲型联合收割机全部派往地区，使该公司台收割机每天获得租金最高；理由见解析 【分析】本题考查一次函数的应用，一元一次不等式的应用，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）设派往地区台乙型联合收割机，则派往地区乙型联合收割机为台，派往、地区的甲型联合收割机分别为台和台，每种情况乘以相应的租金，然后相加即可得关系式； （2）由题意可得，，求出整数解，得到分配方案； （3）利用一次函数的增减性求出函数在自变量范围内的最值即可． 【详解】（1）解：设派往地区台乙型联合收割机，则派往地区乙型联合收割机为台，派往、地区的甲型联合收割机分别为台和台， ； （2）解：由题意可得， ， 得， ，为整数， 、、， 有三种分配方案， 方案一：派往地区的甲型联合收割机台，乙型联合收割机台，其余的全派往地区； 方案二：派往地区的甲型联合收割机台，乙型联合收割机台，其余的全派往地区； 方案三：派往地区的甲型联合收割机台，乙型联合收割机台，其余的全派往地区； （3）解：派往地区台乙型联合收割机，台甲型联合收割机全部派往地区，使该公司台收割机每天获得租金最高， 理由：， ∵, ∴随的增大而增大， 且为整数， 当时，取得最大值，此时， 派往地区台乙型联合收割机，台甲型联合收割机全部派往地区，使该公司台收割机每天获得租金最高． 20．（24-25七年级下·北京怀柔·期末）在数学课外小组活动中，老师提出了如下问题： 如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫做绝对值不等式，求绝对值不等式和的解集． 小明同学的探究过程如下： 先从特殊情况入手，求和的解集．确定的解集过程如图1： 先根据绝对值的几何定义，在数轴上找到原点的距离大于2的所有点所表示的数，在数轴上确定范围如下： (1)请将小明的探究过程补充完整； 所以，的解集是或______①___________． 再来确定的解集：同样根据绝对值的几何定义，在数轴上找到原点的距离小于2的所有点所表示的数，请你在图2的数轴上确定范围②； 所以，的解集为：_______③________． 经过大量特殊实例的实验，小明得到绝对值不等式的解集为___________④___________，的解集为___________⑤___________． 请你根据小明的探究过程及得出的结论，解决下列问题： (2)求绝对值不等式的解集． 【答案】(1)①；②见解析；③；④或；⑤； (2)． 【分析】本题考查了一元一次不等式的解法、绝对值的性质；熟练掌握一元一次不等式的解法是解决问题的关键． （1）根据题意即可求得； （2）将的数字因数2化为1后，根据以上结论即可得． 【详解】（1）解：①∵， ∴或 故答案为：． 如下图： ∵， ∴ 故答案为：； ∵ ∴或； 故答案为：或 ∵ ∴； 故答案为： （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $