第二章 不等式与不等式组（必备知识+11题型+分层检测）（复习讲义）数学新教材北师大版八年级下册

第二章 不等式与不等式组（复习讲义） 1. 了解不等式、一元一次不等式及不等式组的意义，体会不等式性质与等式性质的异同，理解解集与函数图象之间的整体联系。 2. 能用不等式的三条基本性质对不等式进行变形，能准确求出一元一次不等式及不等式组的解集，并用数轴表示解集。 3. 理解并利用解一元一次不等式的一般步骤（去分母、去括号、移项、合并、系数化为1）解决不等式的求解问题。 4. 掌握列不等式解决实际问题的基本步骤，能根据实际问题中的不等关系建立不等式模型并求解。 5. 能利用一次函数的图象直观理解一元一次不等式的解集，体会数形结合思想在解决不等式问题中的应用。 知识点01 不等式的概念 一般地，用“＜”、 “＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等关系的式子也是不等式． 知识点02 不等式的基本性质 不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c． 不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或)． 不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或)． 知识点03 不等式的解与解集 1.不等式的解：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解. 2.不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集． 知识点04 一元一次不等式（组）的定义 1.一元一次不等式的定义：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式． 2.一元一次不等式组的定义：几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次不等式组． 知识点05 解一元一次不等式（组） 1.解一元一次不等式 根据不等式的性质解一元一次不等式 基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1． 以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向． 注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式． 2.解一元一次不等式组 （1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集． （2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组． （3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集． 方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分． 解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． 3.一元一次不等式（组）的整数解 ①利用数轴确定不等式组的解（整数解）． 解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到 下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解． ②已知解集（整数解）求字母的取值． 一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案． 知识点06 一元一次不等式（组）的应用 （1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案． （2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵． （3）列一元一次不等式（组）解决实际问题的方法和步骤： ①弄清题中数量关系，用字母表示未知数．②根据题中的不等关系列出不等式．③解不等式，求出解集．④写出符合题意的解． 知识点07 利用一次函数的图象得到一元一次不等式的解集 (1)一元一次不等式kx+b>0的解集，一次函数的图象在x轴上方的点的横坐标所组成的集合. (2)一元一次不等式kx+b<0的解集，一次函数的图象在x轴下方的点的横坐标所组成的集合. (3)一元一次不等式k1x+b1>k2x+b2的解集，一次函数y=k1x+b1图象在一次函数y=k2x+b2图象上方的点的横坐标所组成的集合. (4)一元一次不等式k1x+b1<k2x+b2的解集，一次函数y=k1x+b1图象在一次函数y=k2x+b2图象下方的点的横坐标所组成的集合. 【题型一 不等式的基本性质】 【例1】（25-26七年级上·江苏苏州·期末）已知，则下列结论中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了不等式的性质，关键是熟练应用性质进行判断；根据不等式的基本性质对各选项逐一分析判断即可． 【详解】解：∵， ∴根据不等式两边加同一个数，不等号方向不变，得， 故A选项错误； ∵， ∴根据不等式两边乘同一个负数，不等号方向改变，得， 故B选项正确； ∵， ∴根据不等式两边除以同一个正数，不等号方向不变，得， 故C选项错误； ∵， ∴移项得， 故D选项错误； 故答案选：B. 【变式1-1】（25-26八年级上·浙江台州·期末）若，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是不等式的基本性质，根据不等式的基本性质，逐一判断每个选项是否成立． 【详解】解：∵， A、两边同时乘以，不等号方向改变，则，故本选项不符合题意； B、两边同时减去 1，不等号方向不变，则，故本选项不符合题意； C、两边同时乘以，不等号方向改变，则，再两边加 1，则，故本选项符合题意； D、由，则，故本选项不符合题意； 故选：C． 【变式1-2】（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）下列说法不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的性质：①把不等式的两边都加(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；②不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；③不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 根据不等式的性质逐一分析各选项即可． 【详解】解：∵不等式两边同时减去同一个数，不等号方向不变， ∴若，则，选项A正确； ∵不等式两边同时乘以同一个正数，不等号方向不变， ∴若，则，选项B正确； ∵当时，，此时，不满足， ∴选项C的说法不正确； ∵不等式两边同时乘以同一个负数，不等号方向改变， ∴若，则，选项D正确； 故选：C． 【变式1-3】（25-26七年级上·北京朝阳·期末）下列推理错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】本题考查了等式的性质和不等式的性质，利用等式的性质和不等式的性质判断推理的正确性即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：、若，则，符合等式对称性，正确，不符合题意； 、若，则，但当时，恒成立，与不一定相等，推理错误，符合题意； 、若，则，因为正数加任何数大于原数，正确，不符合题意； 、若，则，因为等式两边平方相等，正确，不符合题意； 故选：． 【题型二 一元一次不等式（组）的定义】 【例2】（24-25七年级下·河南周口·月考）下列不等式中，是一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的定义，关键是掌握一元一次不等式的定义．根据一元一次不等式的定义，只要含有一个未知数，并且未知数的次数是1的不等式进行分析． 【详解】解：A．是分式，故不是一元一次不等式； B．的次数为二次，故不是一元一次不等式； C．含有、两个未知数，故不是一元一次不等式； D．是一元一次不等式，符合题意； 故选：D． 【变式2-1】（24-25八年级下·陕西西安·月考）若是关于x的一元一次不等式，则a的值为（   ） A．2 B．－1 C．0 D．0或2 【答案】C 【分析】本题考查一元一次不等式的定义，正确掌握定义是解决此题的关键．由一元一次不等式未知数x的次数为1且系数不为0，求出的值即可． 【详解】一元一次不等式未知数x的次数为1， ， 解得：或， 一元一次不等式未知数x的系数不为0， ， 解得：， 综上，a的值为0． 故选：C． 【变式1-2】（25-26七年级下·全国·课后作业）下列属于一元一次不等式组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元一次不等式组的定义，需由几个含有同一个未知数的一元一次不等式组成，逐一判断各选项． 【详解】解：A、包含等式，不是全由不等式组成，不符合题意； B、包含不等式，其中未知数的次数为，不是一元一次不等式，不符合题意； C、含有和两个未知数，不是一元，不符合题意； D、两个不等式都只含一个未知数，且未知数的次数为，都是一元一次不等式，符合题意． 故选：D． 【变式1-3】（2026七年级下·全国·专题练习）下列不等式组，其中是一元一次不等式组的个数（ ） ①；②；③；④；⑤ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式组的定义等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 根据一元一次不等式组的定义，即由几个含有同一个未知数的一元一次不等式组成的不等式组，对每个不等式组逐一判断即可． 【详解】解：只含未知数x，每个不等式都是一元一次不等式， ∴它是一元一次不等式组， ②只含未知数x，每个不等式都是一元一次不等式， ∴它是一元一次不等式组， ③含有两个未知数x和y，不符合定义， ∴它不是一元一次不等式组， ④只含未知数x，每个不等式都是一元一次不等式， ∴它是一元一次不等式组， ⑤未知数x的最高次数为2和3，不是1次，不符合定义， ∴它不是一元一次不等式组， ∴符合条件的有①②④，共3个， 故选：B． 【题型三 解一元一次不等式（组）】 【例3】（25-26八年级上·山东聊城·期末）解下列不等式或不等式组，并把它们的解集分别表示在数轴上： (1)； (2) 【答案】(1)，见解析 (2)，见解析 【分析】本题考查了解一元一次不等式，解不等式组，在数轴上表示不等式的解集，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先去分母，再去括号，移项，合并同类项，系数化为1，得出，再在数轴上表示出来，即可作答． （2）分别解出每个不等式的解集，再得出不等式组的解集，最后在数轴上表示出来，即可作答． 【详解】（1）解：∵， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 这个不等式的解集在数轴上的表示如图： （2）解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴该不等式组的解集是， 在同一数轴上分别表示不等式组的解集： 【变式3-1】（25-26八年级上·山东菏泽·期末）（1）解不等式： （2）解不等式组：，并把它的解集表示在数轴上． 【答案】（1）；（2），数轴表示见解析 【分析】本题考查了一元一次不等式和一元一次不等式组的解法，解题的关键是掌握不等式的基本性质，尤其是在去分母、系数化为1时，若两边乘（或除以）负数，不等号方向要改变； （1）先去分母，再去括号、移项、合并同类项、系数化为1； （2）分别解两个不等式，再取它们的公共解集，并在数轴上表示． 【详解】（1）解： 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． （2）解： 解不等式 ， 去括号，得， 移项，得， 即， ∴． 解不等式 ， 去分母，得， 去括号，得， 合并同类项，得， 移项，得． ∴ 不等式组的解集为 ． 不等式组的解集在数轴上表示为： 【变式3-2】（24-25七年级下·甘肃武威·期末）（1）解不等式：，并将解集表示在下列数轴上； （2）解不等式组：，并求它的最大整数解． 【答案】（1），图见解析；（2），最大整数解为 【分析】本题考查的是解一元一次不等式和解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式是关键． （1）不等式移项合并，把系数化为1，即可求出解，然后在数轴表示即可； （2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，再求出最大整数解即可． 【详解】解：（1）原不等式移项得，， 合并同类项得，， 系数化为1得，， 数轴表示如下： （2）， 解①得：， 解②得：； ， 整数解为：， 最大整数解为． 【变式3-3】（25-26八年级上·山东聊城·月考）解下列不等式（组）： (1)． (2)，将解集在数轴上表示出来，并写出它的所有整数解． 【答案】(1) (2)，数轴见解析，整数解为：、、 【分析】本题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组，利用数轴表示不等式解集，解题的关键在于熟练掌握解一元一次不等式基本步骤． （1）根据解一元一次不等式基本步骤求解即可； （2）先求出每个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到(无解)”求出不等式组的解集，再在数轴上表示出来，并确定所有整数解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ． （2）解：， 解不等式得：， 解不等式得：， 不等式组的解集为，在数轴上表示如图所示， 它的所有整数解为、、． 【题型四 求一元一次不等式（组）的整数解】 【例4】（25-26八年级下·全国·课后作业）不等式的正整数解为 ． 【答案】1，2，3，4 【分析】本题考查的是解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的基本步骤是解答此题的关键． 通过解不等式得到 x < 5, 再找出满足条件的正整数． 【详解】解：解不等式 ， 两边同时减去得 两边同时除以（负数）, 不等号方向改变, 得 , ∴正整数解为 ． 故答案为：． 【变式4-1】（25-26七年级下·全国·周测）不等式的非负整数解为 ． 【答案】0，1 【分析】先求解不等式，得到的取值范围，再找出非负整数解． 【详解】解： ， 两边同乘得 ， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：， 即 ． 非负整数解为和． 故答案为． 【变式4-2】（2025·黑龙江大庆·三模）求不等式组：整数解之和 ． 【答案】0 【分析】本题考查了解一元一次不等式组和一元一次不等式组的整数解，能根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集是解此题的关键． 先求出不等式的解集，再根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集，最后求出不等式组的整数解再作和． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 所以不等式组的解集是， 所以不等式组的整数解是，，0，1，2， ， 故答案为：． 【变式4-3】（25-26七年级下·全国·单元测试）不等式组的所有整数解的和为 ． 【答案】7 【分析】先分别解出不等式组中的两个不等式，求出它们的公共解集，再找出解集中的所有整数解，最后计算这些整数解的和． 【详解】解：首先解不等式组： 解不等式①： ． 解不等式②： ． 故：． 满足的整数为，． ∴整数解的和． 故答案为：． 【题型五 一元一次不等式（组）求解中错解复原问题】 【例5】（24-25七年级下·安徽亳州·月考）下面是某同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：去分母，得．     第一步 移项，得．     第二步 合并同类项，得．     第三步 系数化成1，得．     第四步 根据以上材料，解答下列问题： (1)去分母的依据是不等式基本性质________；（填“1”或“2”或“3”） (2)在解答过程中，共出现________处错误，其中最后一处错误在第_______步，错误的原因是________； (3)请写出解不等式的正确解答过程． 【答案】(1)2 (2)三，四，不等式的两边同除以时，不等号方向没有改变 (3)，过程见解析 【分析】本题考查解不等式，熟练掌握不等式的性质是解题的关键； （1）根据不等式的性质，进行作答即可； （2）根据解不等式的步骤，进行判断即可； （3）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1即可． 【详解】（1）去分母的依据是不等式基本性质2， 故答案为：． （2）在解答过程中，共出现三处错误，其中最后一处错误在第四步，错误的原因是不等式的两边同除以时，不等号方向没有改变； 故答案为：三，四，不等式的两边同除以时，不等号方向没有改变． （3）解： 去分母，得． 移项，得． 合并同类项，得． 系数化成1，得． 【变式5-1】（24-25七年级下·山西临汾·期末）下面是小茗同学解不等式的过程，请认真阅读，完成相应任务． 解：去括号，得：，第一步 即，第二步 移项得：，第三步 计算得到：，第四步 系数化为1，两边同时除以，得：．第五步 任务一：（1）小茗同学的解答过程中，从第 步开始出现错误．他的错误原因是 ； （2）第五步的解题依据是 ； 任务二：（3）直接写出这个不等式的解集： ； 任务三：（4）除小茗同学的错误外，在解不等式的过程中，还需要注意什么呢？（写出一条注意事项即可） 【答案】（1）一；括号前是“－”号，去括号后第二项没有变号；（2）不等式的基本性质3；（3）；（4）移项时，不等号的方向不变 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，解题关键是熟练掌握解一元一次不等式的一般步骤． 任务一：（1）观察解答过程，按照解一元一次不等式的容易出现的问题进行解答即可； （2）观察第五步的解答过程，利用不等式的性质进行解答即可； 任务二：（3）按照解一元一次不等式的一般步骤，求出不等式的解集即可； 任务三：（4）按照解一元一次不等式容易出现的问题进行解答即可． 【详解】解：任务一：（1）小茗同学的解答过程中，从第一步开始出现错误，他的错误原因是：括号前是“－”号，去括号后第二项没有变号， 故答案为：一；括号前是“－”号，去括号后第二项没有变号； （2）第五步的解题依据是：不等式的基本性质3， 故答案为：不等式的基本性质3； 任务二：（3）， ， ， ， ， ， 故答案为： 任务三：（4）移项时，不等号的方向不变（答案不唯一）． 【变式5-2】（24-25七年级下·河南洛阳·期中）（1）下面是乐乐同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解不等式：． 解：．……第一步 ．……第二步 ．……第三步 ．……第四步 ．……第五步 任务一： ①以上解题过程中，第一步是依据_______进行变形的； ②第______步出现错误，这一步错误的原因是_______； 任务二：请写出该不等式的正确解集为_______； 任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时学习经验，就在解不等式时还需要注意的事项给其他同学提一条建议； （2）解不等式组，并将其解集在数轴上表示出来． 【答案】（1）①不等式的性质2，②五，不等式的两边都除以，不等号的方向没有改变；；解不等式移项时，注意变号；（2），数轴表示见解析 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的解法，解一元一次不等式组及在数轴上表示出不等式组的解集． （1）任务一：①②根据不等式的基本性质即可求解； 任务二：先去分母、去括号、移项，合并同类项，再系数化为即可求解； 任务三：解不等式去分母时，注意不要漏乘不含分母的项；移项时，注意变号；去括号时要注意，括号前若是负号，括号内各项要变号等． （2）先分别解出两个不等式，再确定不等式组的解集，最后在数轴上表示即可． 【详解】（1）解：任务一：①不等式的性质2； ②五，不等式的两边都除以，不等号的方向没有改变； 任务二：； 任务三：解不等式移项时，注意变号（答案不唯一）； （2）解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为， 将解集在数轴上表示出来如图所示． ． 【变式5-3】（24-25七年级下·湖北随州·期末）请观察框内解不等式的过程，回答下列问题： 解不等式 解：第一步 第二步 第三步 第四步 第五步 (1)第______步出现错误，错误的原因是______； (2)该不等式的正确解集为：______， 在下面的数轴上表示这个解集； (3)直接写出不等式组的解集． 【答案】(1)五，不等式两边除以时，不等号的方向没改变 (2)，画图见解析 (3) 【分析】本题考查解一元一次不等式、一元一次不等式组的解法，理解题意，正确求解是解答的关键． （1）根据不等式的性质判断求解即可； （2）根据不等式的性质可得解集，再画图即可； （3）先分别求解两个不等式的解集，再确定解集的公共部分即可． 【详解】（1）解：∵第五步中，不等式两边都除以，不等式的方向没有改变， ∴第五步出现错误；错误原因是：不等式的方向没有改变； （2）解：该不等式的正确解集为； 在数轴上表示其解集如下： ； （3）解：， 由①得：， 由②得：， ∴不等式组的解集为：. 【题型六 根据一元一次不等式的解集求参数】 【例6】（2026七年级下·全国·专题练习）已知为非零实数，若的解集为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的性质，一元一次不等式的解集，解一元一次不等式，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题的关键． 由不等式解集的形式判断的符号，再根据解集端点建立方程求解． 【详解】解：∵的解集为， ． 当时，解不等式，得． 又该不等式的解集为， ， 解得． 检验：符合题意， 故答案为：． 【变式6-1】（25-26八年级下·全国·周测）若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】先根据已知不等式的解集​，判断出的符号，并得到与的数量关系，再将该关系代入待求不等式，化简后求解． 【详解】解：关于的不等式的解集是， ∴，． ∴． 将代入不等式得： ． ∵，两边同时除以（负数），不等号方向改变： ． 约去后得到：． 故答案为：． 【变式6-2】（25-26八年级下·全国·课后作业）若不等式的解都能使不等式成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式的解法，解集的包含关系，掌握解两个不等式，通过解集的包含关系建立新不等式求参数是解题的关键． 先解不等式 得到解集 ，再解不等式 得到解集 ，根据题意，第一个不等式的所有解都满足第二个不等式，因此 ，解此不等式即可得到 的取值范围． 【详解】解：解不等式 ， 去分母得 ， 化简得 ， 解得 ； 解不等式 ， 移项得 ， 解得 因为不等式 的解都能使不等式 成立， 所以 ， 解得 故答案为 ． 【变式6-3】（25-26八年级下·全国·周测）关于的一元一次不等式的解集为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式的解法和根据解集求参数的方法，掌握系数化为 1 时，若系数为负数，不等号方向要改变的性质是解题的关键． 通过解不等式求出的值，再代入表达式计算． 【详解】解：解不等式 ， 两边同乘以得 ， 移项得 ， 两边同除以得 ． 由解集为 ，得 ， 解得 ． 代入 得 ． 故答案为：． 【题型七 利用一元一次不等式（组）的整数解求参数的取值范围】 【例7】（25-26七年级上·江苏苏州·期中）关于的不等式的负整数解是，，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据不等式的解集求参数． 首先解不等式得到的取值范围，然后根据负整数解是和，确定和满足不等式，而不满足，从而得到关于的不等式组，求解即可． 【详解】解：解不等式，得， 由于负整数解是，， 因此和满足不等式，即，得； 同时不满足不等式，即，得； 故的取值范围是． 故答案为：． 【变式7-1】（25-26八年级上·黑龙江大庆·月考）若关于x的不等式只有3个正整数解，则a的取值范围 ． 【答案】 【分析】本题考查不等式的解，熟练掌握解不等式是解题的关键，解不等式，得到，再由不等式只有3个正整数解，从而得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵不等式只有3个正整数解， ∴， 故答案为：． 【变式7-2】（2025七年级上·江苏南京·专题练习）如果不等式组恰有3个整数解，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】此题考查了一元一次不等式组的解法．解题中要注意分析不等式组的解集的确定． 首先解不等式，根据解的情况确定的取值范围．特别是要注意不等号中等号的取舍． 【详解】解：解不等式得：， 解不等式得：， 此不等式组有3个整数解， 这3个整数解为3，4，5， 的取值范围是， 故答案为：． 【变式7-3】（25-26八年级上·重庆铜梁·期中）若关于x的不等式组有且仅有4个整数解，则所有满足条件的整数a的值之和 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据一元一次不等式组解的情况求参数，解不等式组得到解集为 ，根据有且仅有4个整数解，得到，解得，整数的值为，，，求和即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， 故不等式组的解集为， ∵不等式组有且仅有4个整数解， ∴整数解为，，，， ∴， 解得：， ∴整数的值为，，， ∴和为， 故答案为：． 【题型八 根据一元一次不等式组的解集的情况求参数的取值范围】 【例8】（25-26八年级下·全国·期末）若关于的不等式组的解集是，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先分别解出不等式组中两个不等式的解集，再根据“同大取大”的原则，结合已知的解集，确定参数的取值范围． 【详解】解：解不等式组 解不等式， ． 解不等式， 得． 已知不等式组的解集为，根据“同大取大”的原则，要使成为解集，必须满足． 故答案为:． 【变式8-1】（25-26八年级上·四川成都·期末）关于的不等式组无解，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了由不等式组解集的情况求参数，由题意得不等式组无解需满足两个不等式的解集无交集，即，根据解集的情况正确的列出关于参数的不等式是解题的关键． 【详解】解：∵关于的不等式组无解， ∴， 解得：， 故答案为：． 【变式8-2】（25-26八年级上·浙江杭州·月考）已知关于x的不等式组有解、则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据不等式组有解的条件确定的取值范围． 【详解】解：解不等式，得； 解不等式，得； 由于不等式组有解， 则． 故答案为：． 【变式8-3】（25-26八年级上·重庆南川·期中）若数使关于的不等式组的解集为，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，根据不等式组的解集求参数的取值范围，先分别解不等式组中的两个不等式，再根据解集为确定的取值范围即可，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， ∵数使关于的不等式组的解集为， ∴， 故答案为：． 【题型九 整式方程(组)与一元一次不等式（组）结合求参数的问题】 【例9】（25-26七年级下·全国·周测）若关于x的方程的解是正数，则m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程以及一元一次不等式，解题的关键是解一元一次不等式． 先解方程求的值，然后根据解是正数，求出的取值范围即可． 【详解】解：解原方程得． ∵原方程的解是正数，即， ， 解得． 故答案为：． 【变式9-1】（2025八年级上·重庆·专题练习）已知关于x，y的方程组．若方程组的解满足，则m的非正整数和为 ． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组，一元一次不等式的解法，掌握相关知识是解决问题的关键．将方程组两方程相加得到 ，即，代入条件 得 ，解得 ，非正整数包括负整数和零，满足条件的非正整数为 ，求和即可 【详解】解：∵ 方程组 ， ① + ② 得：   ∴ ， ∵ ∴ ∴ ∴ 则m的非正整数为， ∴  ． 故答案为：． 【变式9-2】（2025八年级上·全国·专题练习）若关于x，y的方程组的解满足，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解题关键．先将方程组中的两个方程相加可得，则，再根据可得一个关于的不等式组，解不等式组即可得． 【详解】解：， 由①②得：，即， ∵， ∴， 解得， 故答案为：． 【变式9-3】（24-25七年级下·安徽合肥·期中）已知关于的不等式组的解集为． （1）的取值范围是 ； （2）若整数使得关于，的二元一次方程组的解为整数，则符合条件的所有整数的和是 ． 【答案】 6 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组及二元一次方程组的解，熟知解一元一次不等式组的步骤及解二元一次方程组的步骤是解题的关键． （1）先求出不等式组中两个不等式的解集，再结合不等式组的解集即可得出m的取值范围． （2）先用m表示出方程组的解，再结合（1）中的取值范围即可解决问题． 【详解】解：（1）由题知， 解不等式得，； 解不等式，得，． ∵不等式组的解集为， ∴． 故答案为：． （2）解方程组得，． ∵此方程组的解为整数，且整数m为整数， ∴或或， 解得或或5或1或4或2． 又∵， ∴符合条件的所有整数m的和是：． 故答案为：6． 【题型十 一元一次不等式（组）与一次函数结合的问题】 【例10】（25-26八年级上·甘肃兰州·期末）如图所示，一次函数与正比例函数的图象相交于点，下列判断错误的是(    ) A．关于的方程的解是 B．关于的不等式的解集是 C．当时，函数的值比函数的值大 D．关于，的方程组的解是 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程(组)，一次函数与一元一次不等式，一次函数的性质．方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．根据条件结合图象对各选项进行判断即可． 【详解】解：∵一次函数是常数，与正比例函数是常数，的图象相交于点， ∴关于x的方程的解是，选项A判断正确，不符合题意； 关于x的不等式的解集是，选项B判断错误，符合题意； 当时，函数的值比函数的值大，选项C判断正确，不符合题意； 关于的方程组的解是，选项D判断正确，不符合题意； 故选：B． 【变式10-1】（25-26八年级上·浙江杭州·期末）如图，一次函数与（，，为常数）的图象交于点，则关于的一元一次不等式的解为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查一次函数与不等式的关系，掌握不等式与函数图像的关系是解题的关键． 根据不等式与函数图像的关系，可直接判断出一元一次不等式的解集． 【详解】解：∵点为一次函数与的图象交点， 且点的横坐标为， 根据一次函数与不等式的关系， 可判断出的解集为， 故答案为：． 【变式10-2】（25-26八年级上·安徽安庆·期末）如图，已知直线和直线相交于点，直线分别与轴和轴相交于点和点，直线与轴交于点． (1)分别求出这两个函数的解析式； (2)直接写出不等式组的解集_____． 【答案】(1)直线为，直线； (2)． 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式、待定系数法求一次函数解析式、两条直线相交或平行问题，解题时要能利用数形结合是关键． （1）先将点分别代入直线和直线，求出的值，再代入即可； （2）依据题意得，不等式组的解集是直线在直线的下方，且都在轴下方部分对应的自变量的取值范围，从而结合函数图象即可得解． 【详解】（1）解：∵直线和直线相交于点， ∴将代入直线中，得，即， 将代入直线中，得，即， ∴直线为，直线． （2）解：依据题意得，不等式组的解集是直线在直线下方，且都在轴下方部分对应的自变量的取值范围， ∵， ∴结合函数图象可得，． 【变式10-3】（25-26八年级上·河南郑州·期末）某文具店计划采购A，B两种书签，据了解，购买15张A书签与25张B书签需花费275元；购买20张A书签和30张B书签需花费340元． (1)求A，B两种书签每张的购买价格． (2)该文具店计划购进A，B两种书签共60张，且A书签的数量不超过B书签数量的，已知A，B两种书签的销售单价分别为10元和12元，如何设计购买方案，才能使文具店在这批书签全部售出后获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】(1)5元；8元 (2)购进15张A书签，45张B书签；255元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式． （1）设每张A种书签的进价是x元，每张B种书签的进价是y元，根据“购买15张A书签与25张B书签需花费275元；购买20张A书签和30张B书签需花费340元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进m张A种书签，则购进张B种书签，根据A种书签的购进数量不超过B种书签数量三分之一，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，设文具店将这批书签全部售出后获得的总利润为w元，利用总利润＝每张A种书签的销售利润×购进A种书签的数量＋每张B种书签的销售利润×购进B种书签的数量，可找出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【详解】（1）解：设每张A书签的进价是元，每张B书签的进价是元， 根据题意，得， 解得， 答：每张A书签的进价是5元，每张B书签的进价是8元； （2）解：设购进张A书签，则购进张B书签，根据题意，得   ． 解得． 设文具店将这批书签全部售出后获得的总利润为元，则 ， 即． ， 随的增大而增大． 当时，取得最大值， 最大值为． 此时． 答：当购进15张A书签，45张B书签时，文具店在这批书签全部售出后获得利润最大，最大利润是255元． 【题型十一 用一元一次不等式与不等式组解决实际问题】 【例11】（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）年月，浙江城市篮球赛浙在全省范围内举行，各地结合自身特色设计了相关的文创产品，深受人们喜爱．已知某文旅中心销售玩偶类文创产品，其中甲种玩偶的单价是元/个，乙种玩偶的单价是甲种玩偶单价的． (1)求乙种玩偶的单价． (2)某游客计划用不超过元购买甲、乙两种玩偶，且乙种玩偶的数量比甲种玩偶的数量多个，求该游客最多可以购买多少个甲种玩偶． 【答案】(1)元 (2)个 【分析】本题主要考查了分数乘法的应用、一元一次不等式的实际应用，熟练掌握根据实际问题中的数量关系列不等式并求解是解题的关键。 （1）根据乙种玩偶的单价是甲种玩偶单价的，直接用甲种玩偶的单价乘以即可求出乙种玩偶的单价。 （2）设购买甲种玩偶的数量为未知数，根据乙种玩偶数量比甲种多个表示出乙种玩偶的数量，再根据总费用不超过元列出不等式，解不等式后取符合条件的最大整数解。 【详解】（1）解：元． 答：乙种玩偶的单价为每个元． （2）解：设该游客购买了个甲种玩偶． 由题意得， 解得 因为为整数，所以该游客最多购买个甲种玩偶． 【变式11-1】（25-26八年级上·浙江金华·期末）金华佛手适宜闻香观赏，佛手柑挂件深受大家喜爱．某工艺品店销售小号和大号两种规格的佛手柑挂件，已知销售个小号佛手柑挂件和个大号佛手柑挂件共可获利元，销售个小号佛手柑挂件的获利和销售个大号佛手柑挂件的获利相等． (1)求销售个小号佛手柑挂件和个大号佛手柑挂件分别获利几元？ (2)该店某天销售佛手柑挂件共个，已知销售的大号佛手柑挂件的数量比小号佛手柑挂件的数量的倍还多，获得的总利润不足元，请求出销售的小号佛手柑挂件和大号佛手柑挂件各多少个？ 【答案】(1)销售一个小号佛手柑挂件获利元，销售一个大号佛手柑挂件获利元 (2)销售小号佛手柑挂件个，销售大号佛手柑挂件个 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用， （1）设销售一个小号佛手柑挂件获利元，销售一个大号佛手柑挂件获利元，根据“销售个小号佛手柑挂件和个大号佛手柑挂件共可获利元，销售个小号佛手柑挂件的获利和销售个大号佛手柑挂件的获利相等”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设销售小号佛手柑挂件个，则销售大号佛手柑挂件个（为正整数），根据“销售的大号佛手柑挂件的数量比小号佛手柑挂件的数量的倍还多，获得的总利润不足元”，可列出关于的一元一次不等式组，解之即可得出结论； 解题的关键：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． 【详解】（1）解：设销售一个小号佛手柑挂件获利元，销售一个大号佛手柑挂件获利元， 依题意，得：， 解得：， 答：销售一个小号佛手柑挂件获利元，销售一个大号佛手柑挂件获利元； （2）解：设销售小号佛手柑挂件个，则销售大号佛手柑挂件个（为正整数）， 依题意，得：， 解得：， ∵为正整数， ∴， ∴（个）， 答：销售小号佛手柑挂件个，销售大号佛手柑挂件个． 【变式11-2】（25-26八年级上·江苏扬州·期末）某商场筹集资金万元，一次性购进空调、彩电共台，根据市场需要，这些空调、彩电可以全部销售，全部销售后利润不低于万元，其中空调、彩电的进价和售价如右表所示： 设商场计划购进空调x台，空调和彩电全部销售后商场获得的利润为y元． 项目 空调 彩电 进价（元/台） 售价（元/台） (1)试写出与之间的函数关系式； (2)商场有哪几种进货方案可以选择？ (3)根据你所学的有关函数知识选择哪种方案获利最大，最大利润为多少？ 【答案】(1) (2)有三种购买方案：方案1：购买空调台，彩电台，方案2：购买空调台，彩电台，方案3：购买空调台，彩电台 (3)购买空调台，彩电台时，利润最大，最大利润为元 【分析】本题主要考查了一次函数的应用、一元一次不等式组的应用． (1)根据空调和彩电的利润列出与之间的函数关系式； (2)根据总利润不低于万元，进货资金不超过万元，列不等式组，解不等式组可得，又因为为整数，可得进货方案； (3)根据一次函数的性质可得最大利润． 【详解】（1）解：购进空调台，则购进彩电台， 销售空调的利润是元，销售彩电的利润是元， ， 与之间的函数关系式是； （2）解：由题意得：， 解得：， 为整数， 或或， 有三种购买方案， 方案1：购买空调台，彩电台， 方案2：购买空调台，彩电台， 方案3：购买空调台，彩电台； （3）解：一次函数，中， 该函数随的增大而增大， 当时，取得最大值，此时， 时，利润最大，最大利润为元． 【变式11-3】（24-25九年级下·湖北荆门·自主招生）为了抗击新冠疫情，防疫指挥部计划将甲、乙两厂“生产的防疫物资全部运往两地，甲厂有防疫物资吨，乙厂有防疫物资吨，地需防疫物资吨，地需防疫物资吨，每吨防疫物资的运输费用（百元）见表格，设从甲厂“运往地防疫物资吨． 接收地 出发地 地 地 甲厂 乙厂 (1)直接写出的取值范围： ． (2)请你设计一种调运总费用最低的运输方案，最低费用为多少？ (3)因路况原因，从甲厂到地的运输费用每吨增加了百元，从乙厂“到地的运输费用每吨降低了百元，其它每吨运输费用不变，且，请你探究总运费可以达到的最小值． 【答案】(1) (2)从甲厂运往地防疫物资吨，从甲厂运往地防 疫物资吨，从乙厂运往地防疫物资吨，从乙厂运往地防疫物资吨，运输费用最低，最低费用为百元 (3)百元 【分析】（）由题意可得从甲厂运往地防疫物资吨，从乙厂运往地防疫物资吨，从乙厂运往地防疫物资吨，进而列出不等式组解答即可求解； （）设总费用为百元，根据题意求出与的一次函数关系式，进而根据一次函数的性质解答即可求解； （）设总费用为百元，根据题意求出与的一次函数关系式，再分、和三种情况，根据一次函数的性质解答即可求解； 本题考查了一元一次不等式组的应用，一次函数的应用，理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：∵从甲厂运往地防疫物资吨， ∴从甲厂运往地防疫物资吨，从乙厂运往 地防疫物资吨，从乙厂运往地防疫物 资吨， 则， 解得， 故答案为：； （2）解：设总费用为百元， 根据题意得，， ∵， ∴随的增大而增大， ∴当时，的值最小，最小值为百元， ∴从甲厂运往地防疫物资吨，从甲厂运往地防疫物资吨，从乙厂运往地防疫物资吨，从乙厂运往地防疫物资吨，运输费用最低，最低费用为百元； （3）解：设总费用为百元， 根据题意得，， 当，即时，随的增大而减小， ∵， ∴时，的值最小，最小值为百元； 当，即时，百元； 当，即时，随的增大而增 大， ∴当时，的值最小，最小值为， 当时，， 此时的最小值为百元； 综上所述，总运费可以达到的最小值是百元． 基础巩固通关测 一、单选题 1．（25-26八年级上·浙江湖州·期中）下列式子中，属于一元一次不等式的是() A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了不等式的定义；一元一次不等式是指只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1的不等式．根据定义，逐一判断各选项即可． 【详解】解：∵A项中含有两个未知数k和b，∴不是一元一次不等式． ∵B项中只含有一个未知数t，且t的次数为1，且为不等式，∴是一元一次不等式． ∵C项是方程，不是不等式，∴不符合． ∵D项中没有未知数，∴不是一元一次不等式． ∴属于一元一次不等式的是B项． 故选：B． 2．（25-26八年级上·山东聊城·期末）若，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的性质：①把不等式的两边都加(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；②不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；③不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 直接代入具体数据判断A，根据不等式的性质判断B、C、D即可． 【详解】解：A选项：取，，满足，但，，， 故不恒成立，A错误； B选项：∵，根据不等式性质2，不等式两边同乘正数4，不等号方向不变， ∴，故B错误； C选项：∵，根据不等式性质3，不等式两边同乘负数，不等号方向改变， ∴，再根据不等式性质1，不等式两边同加4，不等号方向不变， ∴，故C错误； D选项：∵，根据不等式性质3，不等式两边同乘负数，不等号方向改变， ∴，故D正确； 故选：D． 3．（25-26八年级上·安徽宿州·期末）若点在第二象限，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平面直角坐标系中第二象限点的坐标特征，一元一次不等式组，掌握知识点是解题的关键． 根据第二象限点横坐标为负、纵坐标为正的特征列出不等式组，求解即可得到m的取值范围． 【详解】解：∵点在第二象限 ∴ 解不等式，得 ， 解不等式，得 ， ∴m的取值范围是． 故选B． 4．（25-26八年级上·全国·期末）如果关于x的不等式组 恰有2个整数解，符合条件的a的取值可以是（   ） A．6 B．3.5 C．4 D．4.5 【答案】B 【分析】本题主要考查一元一次不等式组的整数解，关键是掌握解不等式组的方法．先求出每个不等式的解集，再根据不等式组有且只有2个整数解，求出的取值范围即可求解． 【详解】解：， 两边乘2得，， 解得，； ， 移项得，， 解得，， 不等式组的解集为． 恰有2个整数解， 整数解为2和3， ， 即， 对比选项，只有3.5满足． 故选：B． 二、填空题 5．（25-26七年级上·江苏南京·期末）写出一个整数的值，使大于，则这个整数的值可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了解不等式，通过解不等式得到，从而确定整数为负整数． 【详解】解：由题意得：， 移项得：， 即， 两边同时除以，不等号方向改变得：， 所以， 因此整数可以是任何负整数，如． 故答案为：． 6．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知关于的不等式组无解，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，熟知解一元一次不等式组的步骤是解题的关键． 首先解不等式组中的第一个不等式，然后根据不等式组无解，可以得到答案． 【详解】解：解不等式 ，得； ∵不等式组无解， ∴， 故答案为：． 7．（25-26八年级上·浙江金华·期末）如图，直线与直线相交于点，则关于的不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与不等式之间的关系，根据函数图象找到一次函数的图象在正比例函数的图象上方时自变量的取值范围即可得到答案． 【详解】解：∵直线与直线相交于点， ∴关于的不等式的解集是， 故答案为：． 8．（25-26八年级上·浙江台州·期末）按照如下程序操作，规定：从“输入一个值”到“结果是否大于83”为一次程序操作．如果结果得到的数小于或等于83，则用得到的这个数进行下一次操作．如果程序操作执行两次才停止，则输入的的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用， 先根据程序图的操作过程得出不等式组，再求出不等式组的解集． 【详解】解：根据题意，得 ， 解得． 故答案为：． 三、解答题 9．（25-26八年级上·浙江台州·期末）解下列一元一次不等式（组）： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组． （1）直接移项、合并同类项、系数化为1即可； （2）分别求出两不等式的解集，进而可求不等式组的解集． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：解得； 解得； ∴不等式组解集是． 10．（25-26八年级上·安徽·期末）“卡旺卡”是安徽网红奶茶品牌，今年因“广德三件套”的爆火吸引了无数外省游客．2026年元旦期间，某门店销售“手剥大橘”和“徽州酒酿”两种口味的奶茶，若购买3杯“手剥大橘”和4杯“徽州酒酿”共需136元；若购买1杯“手剥大橘”和3杯“徽州酒酿”共需77元． (1)“手剥大橘”和“徽州酒酿”分别是多少元一杯？ (2)若旅游团队需要购买两种奶茶共30杯，且“手剥大橘”的数量比“徽州酒酿”多，且差不大于7，怎样购买才能使总费用最少？并求出最少费用． 【答案】(1)“手剥大橘”是20元一杯，“徽州酒酿”是19元一杯 (2)所以购买“手剥大橘”16杯，“徽州酒酿”14杯才能使总费用最少，最少费用为586元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用、用一次函数增减性求最值等知识点，正确列出方程组和一次函数的关系式是解题的关键． （1）设“手剥大橘”是x元一杯，“徽州酒酿”是y元一杯，再根据题意建立方程组求解即可； （2）设“手剥大橘”m杯，则“徽州酒酿”杯，总费用为w元，根据题意列不等式求出m的取值范围，进而确定m的可能取值，再根据题意列出w与m之间的函数关系式，最后根据一次函数的增减性即可求出w的最小值即可． 【详解】（1）解：设“手剥大橘”是x元一杯，“徽州酒酿”是y元一杯， 由题意得：，解得． 答：“手剥大橘”是20元一杯，“徽州酒酿”是19元一杯． （2）解：设“手剥大橘”m杯，则“徽州酒酿”杯，总费用为w元， 由“手剥大橘”与“徽州酒酿”数量的差不大于7， 则，解得：， 又∵m为正整数， ∴m的值为16或17或18， ∵总费用，，w随m增大而增大， ∴当时，． 答：所以购买“手剥大橘”16杯，“徽州酒酿”14杯才能使总费用最少，最少费用为586元． 能力提升进阶练 一、单选题 1．（25-26八年级上·陕西西安·月考）下列四个判断：其中正确的有（    ） ①若，则；②若，则；③若，则；④若，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据不等式的性质，逐一判断每个命题的正确性，注意乘除运算中正负号对不等式方向的影响. 本题考查不等式的基本性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解： ① ∵，且 ，但不等式成立时 （否则 ，矛盾）， ∴ ， 两边同除以 得 ，正确. ② ∵ 若 ，则 ，有 ，此时 不成立，错误. ③ ∵，两边加 2 得 ，正确. ④ ∵，两边乘 （负数），不等式方向改变，得 ，正确. 综上，正确命题有 3 个. 故选：C． 2．（25-26八年级上·浙江金华·月考）关于x的不等式的整数解只有4个，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了根据不等式组的解的情况求参数，掌握不等式组的解法是解题关键． 先解不等式组得到解集为，由整数解只有4个，可知整数解为，，，，从而确定的范围． 【详解】解不等式组得，， ∵关于x的不等式的整数解只有4个， ∴整数解为，，，， ∴的取值范围是， 故选：B． 3．（25-26七年级上·陕西榆林·期中）一组“数值转换机”按如图所示的程序计算，如果开始输入的值是，则最终输出的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了程序流程图、代数式求值、不等式等知识点，理解流程图是解题的关键． 先把代入可得，由；再把代入可得；由，重复计算，直到，方可输出． 【详解】解：把代入可得，由； ∴把代入可得，由； 把代入可得，由； 把代入可得，由，输出． 故选C． 4．（25-26八年级上·广西贺州·期中）如图，已知直线：与直线：都经过，直线交y轴于点，交x轴于点A，直线交y轴于点D，以下说法错误的是（    ） A．的面积为3 B．方程组的解为 C．点D的坐标为 D．当时， 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的图像和性质，一次函数与二元一次方程组的关系，与不等式的关系，掌握相关知识是解决问题的关键．A、求得和的长，根据三角形面积计算公式，即可得到的面积；B、根据一次函数图象与二元一次方程的关系，利用交点坐标可得方程组的解；C、依据题意，由直线为可得与y轴的交点坐标，即可得解；D、依据题意得，不等式的解集是直线：的图象在直线：上方对应的自变量的取值范围，结合直线：与直线：都经过，从而可以判断得解． 【详解】解：A．把代入直线，则， 解得， 在中，令，则 ， ∴， ∴， ∵直线经过，交y轴于点， 把，代入得： ， 解得， ∴直线解析式为， 在直线：中，令，则 ， ∴， ∴， ∴，故A正确； B．∵直线：与直线都经过， ∴方程组的解为故B正确； C．由题意，∵直线为， ∴令，则． ∴，故C错误； D．由题意得，不等式的解集是直线：的图象在直线：上方对应的自变量的取值范围， 又∵直线：与直线：都经过， ∴结合图象可得，不等式的解集是，故D正确． 故选：C． 二、填空题 5．（25-26八年级上·浙江台州·月考）已知关于x的方程的解是正数，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程以及一元一次不等式，解题的关键是解一元一次不等式． 先解方程求x的值，然后根据解是正数，求出m的取值范围即可． 【详解】解：， ， ， ， 关于x的方程的解是正数， ， 解得：． 故答案为：． 6．（25-26八年级上·浙江杭州·月考）若不等式组无解，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的相关知识，正确理解题意、熟练掌握解一元一次不等式组的方法是解题关键． 先解每个不等式，再根据不等式组无解的条件，即两个解集的交集为空集，确定a的取值范围即可． 【详解】解：， ： 解得， ： 解得， ∵不等式组无解， ∴ 解得， 故答案为：． 7．（2025八年级上·重庆·专题练习）已知关于x，y的方程组．若方程组的解满足，则m的非正整数和为 ． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组，一元一次不等式的解法，掌握相关知识是解决问题的关键．将方程组两方程相加得到 ，即，代入条件 得 ，解得 ，非正整数包括负整数和零，满足条件的非正整数为 ，求和即可 【详解】解：∵ 方程组 ， ① + ② 得：   ∴ ， ∵ ∴ ∴ ∴ 则m的非正整数为， ∴  ． 故答案为：． 8．（25-26七年级下·全国·课后作业）若一个不等式组A有解且解集为，称为A的“解集中点值”，若是不等式组B的解，则称不等式组B对于不等式组A“中点包含”．已知关于x的不等式组C和不等式组D若不等式组D对于不等式组C“中点包含”，则m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法及新定义的应用，掌握解一元一次不等式组的步骤，以及根据新定义转化条件的方法是解题的关键． 先分别解不等式组C和D，确定不等式组C有解的条件；再计算C的解集中点值，根据中点包含的定义，让该中点值满足不等式组D的解集，最后结合所有条件推导m的取值范围． 【详解】解：解不等式组C：，得； 解不等式组D：，得． 不等式组C有解需满足， 解得； 不等式组D有解需满足， 解得， 但已涵盖． C的解集中点值为． 由中点包含，需满足D的解集，即． 解得； 解得． 结合， 故． 故答案为：． 三、解答题 9．（25-26八年级上·陕西西安·期末）解下列不等式（组），并将其解集表示在数轴上． (1)． (2) 【答案】(1)，数轴见解析 (2)，数轴见解析 【分析】本题考查的是解一元一次不等式，以及解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． （1）先去分母，再去括号，移项、合并同类项，把x的系数化为1，再在数轴上表示出来即可； （2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，然后在数轴上表示出来即可． 【详解】（1）解： 两边同乘3，得 展开，得 移项，得 合并，得 两边同除以，不等号方向改变，得 将其解集表示在数轴上，如图， （2）解： 解①得 解②得 ∴不等式组的解集为 ， 将其解集表示在数轴上，如图， 10．（2026·山东威海·模拟预测）以下是小贤解不等式组的解答过程． 解：由①得，第一步 所以，第二步 由②得，第三步 所以，第四步 故原不等式组的解集是．第五步 小贤的解答过程从哪一步开始出现错误?请判断，并写出正确的解答过程． 【答案】从第四步开始出现错误，见解析 【分析】本题考查的是一元一次不等式组的解法，准确的计算是解决本题的关键． 先分别解不等式组中的两个不等式，再确定解集的公共部分即可． 【详解】解：小贤的解答过程从第四步开始出现错误． 正确的解答如下： 由①得 解得， 由②得 解得， 故原不等式组的解集为． 11．（25-26八年级上·安徽池州·期末）“石台硒茶”是安徽省池州市石台县特产，我县优越的自然环境赋予了茶叶独特的品质，富含茶多酚、咖啡因、茶氨酸等核心营养成分，广受人们的喜爱． 为了满足顾客需求，某电商平台决定购进A种包装和B种包装的茶叶进行销售．两种包装的茶叶进货价和销售价如表： 类别 A 种 B 种 进货价（元/件） 销售价（元/件） (1)第一次，该平台用5400元购进了A，B两种共100件，求两种茶叶各购进了多少件？ (2)第二次，该平台根据第一次的销售情况，决定再次购进A，B两种茶叶120件（两种茶叶的进货价不变），但A种的进货量不超过B种的，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？ 【答案】(1)购进A种茶叶40件，B种茶叶60件 (2)购进A种茶叶30件，B种茶叶90件时，获得的利润最大，最大利润为3090元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用及一次函数的应用： （1）设电商平台购进A种茶叶件，则购进B种茶叶件，根据等量关系列出方程，并解方程即可求解； （2）设电商平台购进A种茶叶件，获得的利润为元，根据题意列出不等式求得，进而根据是一次函数的性质求得最大利润，即可求解． 【详解】（1）解：设电商平台购进A种茶叶件，则购进B种茶叶件， 根据题意得 解得， ∴电商平台购进A种茶叶件，B种茶叶件； （2）解：设电商平台购进A种茶叶件，获得的利润为元， 根据题意得，解得， ， ； 随的增大而增大， ∴当时，有最大值，最大值为， 此时B种茶叶有：(件)， 答：当电商平台购进A种茶叶30件，B种茶叶90件时，获得的利润最大，最大利润为3090元 12．（24-25八年级下·山西晋中·期中）【材料阅读】 我们知道：二元一次方程有无数组解，如：，，……如果我们将方程的解（x的值记为横坐标，y的值记为纵坐标）看成一组有序数对，例如是方程的一个解，用一个点来表示．探究发现：以方程的解为坐标的点落在同一条直线上，同时这条直线上的点的坐标全都是该方程的解．我们把这条直线称为该方程的图象．如图1所示． 【问题探究】 在平面直角坐标系中，方程的图象是图1中的直线m，也可表示为． （1）仿照材料完成下列各题： ①写出二元一次方程的解（写出三对整数解）：_______． ②在图1中的同一平面直角坐标系中找出以上三点（x的值记为横坐标，y的值记为纵坐标），并画出这个方程的图象，记为直线n，也可表示为；请你直接写出直线m与直线n的交点M的坐标_______；则方程组的解是_______． ③过点且垂直于x轴的直线与m，n的交点分别为A、B两点，求出的面积． 【问题拓展】 （2）已知关于x，y的二元一次方程组无解，由此你猜想直线与直线这两条直线_______．（填位置关系） （3）如果（2）中有存在符合题意的两条直线恰好相交，且交点坐标为，请你利用图2分析并直接写出不等式中x的取值范围_______． 【答案】（1）①，，；②图象见详解，，；③9；（2）平行；（3） 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解，一次函数的图象和性质，方程组的解，解题的关键是理解题意，数形结合，熟练掌握一次函数与方程和不等式的关系． （1）①根据题意写出二元一次方程的三对整数解即可； ②先描出三个点，然后再连接即可得出直线，根据交点位置，得出交点坐标，即可得出方程组的解； ③先求出点的坐标，再求出的面积即可； （2）根据两条直线的交点坐标即为方程组的解，要使方程组无解，即两条直线无交点，根据同一平面内，不相交的两条直线平行，即可得出答案； （3）根据题意得出直线经过点，，画出两条直线，根据图象即可解答． 【详解】解：（1）①二元一次方程的三对整数解为：；（答案不唯一） ②如图，直线即为所求， 根据图象可知：直线与直线的交点的坐标； 则方程组的解是； ③把代入得：，解得：， ， 把代入得：，解得：， ， ． （2）∵两条直线的交点坐标即为方程组的解， ∴要使方程组无解，则需要使两条直线无交点， ∵同一平面内，不相交的两条直线平行， ∴这两条直线平行； （3）∵直线与直线相交，且交点坐标为， 令，则，故直线经过点，， 画出图象如图： 根据图象可得不等式中x的取值范围是． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 第二章不等式与不等式组（复习讲义) 单元目标聚焦·明核心 1.了解不等式、一元一次不等式及不等式组的意义，体会不等式性质与等式性质的异同，理解解集与函数 图象之间的整体联系。 2.能用不等式的三条基本性质对不等式进行变形，能准确求出一元一次不等式及不等式组的解集，并用数 轴表示解集。 3.理解并利用解一元一次不等式的一般步骤（去分母、去括号、移项、合并、系数化为1）解决不等式的 求解问题。 4.掌握列不等式解决实际问题的基本步骤，能根据实际问题中的不等关系建立不等式模型并求解。 5.能利用一次函数的图象直观理解一元一次不等式的解集，体会数形结合思想在解决不等式问题中的应用。 知识图谱梳理 固基础 一般地，用<”、“>”、"≤或之表示大小关系的式子，叫做不等式.用+表示不等 不等式的概念 关系的式子也是不等式. 不等式的基本性质1：不等式两边加（或减同一个数（或式子），不等号的方向不变 不等式的基本性质2：不等式两边都乘（或除以同一个正数，不等号的方向不变 不等式的基本性质 不等式的基本性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变 1.不等式的解：能使不等式成立的末知数的值，叫做不等式的解 不等式的解与解集 2不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集 元一次不等式的定义：含有一个未末知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式 一元一次不等式 2. 元一次不等式组的定义：几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了 组)的定义 一个一元一次不等式组 等式与不 1解一元一次不等式：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项：⑤化系数为 (0)一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做 由它们所组成的不等式组的解集. 解一元一次不 次 (2)解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组 等式 等式（组） (3)一元一次不等式组的解法：解一元—次不等式组时，一般先求出其中各不等式 的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集. 3.一元一次不等 ①利用数轴确定不等式组的解（整数解） 式（组）的整数解 ②已知解集（整数解）求字母的取值 ()由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型 一元次不等式( (2)列不等式解应用题需要以至少“、"最多“、“不超过”、“不低于“等词来体现问题中的不等关系 组)的应用 (3)列一元一次不等式（组）解决实际问题的方法和步骤：@弄清题中数量关系，用字母表示未知 数。②根据题中的不等关系列出不等式.③解不等式，求出解集.④写出符合题意的解 )一元一次不等式kx+b>0的解集，一次函数的图象在x轴上方的点的横坐标所组成的集合 (2)一元一次不等式kx+b<0的解集，一次函数的图象在x轴下方的点的横坐标所组成的集合 利用一次函数的图象得到 (3 一元一次不等式k1x+b1>k2x+b2的解集，一次函数y=k1x+b1图象在一次函数y=k2x+b2图 元一次不等式的解集 象上方的点的横坐标所组成的集合 (4)一元一次不等式k1x+b1<k2x+b2的解集，一次函数y=k1x+b1图象在一次函数y=k2x+b2图 象下方的点的横坐标所组成的集合 1117 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 教材要点精析·夯重点 知识点01不等式的概念 一 般地，用“<”、“>”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式.用“≠”表示不等 关系的式子也是不等式 知识点02不等式的基本性质 不等式的基本性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变. 用式子表示：如果a>b,那么a士c>b士c. 不等式的基本性质2：不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变， 用式子表示：如果a>b,c>0,那么ac>bc(成“>b). 不等式的基本性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变， 用式子表示：如果a>b,c<0,那么ac<bc(成<). CC 知识点03不等式的解与解集 1.不等式的解：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解 2不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集. 知识点04一元一次不等式（组）的定义 1.一元一次不等式的定义：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式. 2.一元一次不等式组的定义：几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次 不等式组 知识点05解一元一次不等式（组） 1.解一元一次不等式 根据不等式的性质解一元一次不等式 基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类 项；⑤化系数为1. 以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等 号方向。 注意：符号“≥”和“≤”分别比“>”和“<”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式. 2.解一元一次不等式组 (1)一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的 2/17 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 解集， (2)解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组. (3)一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解 集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集， 方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分. 解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找：大大小小找不到. 3一元一次不等式（组）的整数解 ①利用数轴确定不等式组的解（整数解）· 解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到 下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解. ②已知解集（整数解）求字母的取值. 一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中 对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案. 知识点06一元一次不等式（组）的应用 (1)由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的 答案。 (2)列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关 系.因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵。 (3)列一元一次不等式（组）解决实际问题的方法和步骤： ①弄清题中数量关系，用字母表示未知数.②根据题中的不等关系列出不等式.③解不等式，求出 解集.④写出符合题意的解。 知识点07利用一次函数的图象得到一元一次不等式的解集 (1)一元一次不等式+b>0的解集，一次函数的图象在x轴上方的点的横坐标所组成的集合 (2)一元一次不等式a+b<0的解集，一次函数的图象在x轴下方的点的横坐标所组成的集合 (3)一元一次不等式x+b>x+b2的解集，一次函数y=x+b1图象在一次函数y=k2x+b2图象上方的点的横 坐标所组成的集合 (④)一元一次不等式x+b1<k2x+b2的解集，一次函数y=kx+b1图象在一次函数y=k2x+b2图象下方的点的横 坐标所组成的集合。 3/17 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 考点题型突破·拓思维 【题型一不等式的基本性质】 【例1】(25-26七年级上江苏苏州期末)已知a>b, 则下列结论中，正确的是() A.a+2<b+2B.-4a<-4b c号号 D.a-b<0 【变式1-1】(25-26八年级上浙江台州期末)若a<b,则下列不等式成立的是() A.-2a<-2b B.a-1>b-1 C.-a+1>-b+1 D.a-b>0 【变式1-2】(25-26八年级上·浙江绍兴·期末)下列说法不正确的是（) A.若a>b,则a-3>b-3 B.若a>b,则3a>3b C.若a>b,则ac2>bc2 D.若a>b,则-2a<-2b 【变式1-3】（25-26七年级上，北京朝阳·期末)下列推理错误的是() A.若1=a,则a=1 B.若ab=ac,则b=c C.若b>0,则a+b>a D.若a=b,则a2=b2 【题型二一元一次不等式（组）的定义】 【例2】(24-25七年级下·河南周口·月考)下列不等式中，是一元一次不等式的是() A.+l>2 B.x2>9 C.2x+y≤5 D.-(x-3)<0 【变式2-1】(24-25八年级下.陕西西安月考)若(a-2)x--2<0是关于x的一元一次不等式，则a的值 为() A.2 B.-1 C.0 D.0或2 【变式1-2】(25-26七年级下·全国·课后作业)下列属于一元一次不等式组的是() x=1 [x2-1>-3 x+y>7 [x≤-1 A. B. C D. 3x-1<5 x-5<2x y-5x<-1 3x-1<5 【变式13】(2026七年级下·全国.专题练习)下列不等式组，其中是一元一次不等式组的个数() x+2>4:® x+1>0 x+3>0 x2+1<x 少-4<0：④ x<-7:⑤ x3+2>4 A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 4/17 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【题型三解一元一次不等式（组）】 【例3】(25-26八年级上山东聊城期末)解下列不等式或不等式组，并把它们的解集分别表示在数轴上： 0),2>+1-1 3 2 x+5≥4x-1 (2) 2x>1-x 【变式3-1】(25-26八年级上山东菏泽期末)(1)解不等式：”1≥2-y+2 2 5 2x-7<3(x-1 (2)解不等式组： x+-子xs1 1 1 并把它的解集表示在数轴上. 3 【变式3-2】(24-25七年级下·甘肃武威期末)(1)解不等式：2x-1<3x+2,并将解集表示在下列数轴 上； -4-3-210123→ +1>2r+5 (2)解不等式组： 36 3 ，并求它的最大整数解。 4x+1)≥3x-2 【变式3-3】(25-26八年级上山东聊城月考)解下列不等式（组）： (1)3-7(x+121. 3x+1)>5x-1 (②5x+1_2x-之-1，将解集在数轴上表示出来，并写出它的所有整数解。 23 -3-2-10123→ 【题型四求一元一次不等式（组)的整数解】 【例25.26小年级下全国课后作业)不等式x+1>-2的正整数解为一 【变式41】(25-26七年级下全国周测)不等式2x+3-2≤一的非负整数解为」 3 4 3(x-1≤x+1 【变式4-2】(2025黑龙江大庆三模)求不等式组： x-9 整数解之和 <2x 2 5x-1>3(x+1 【变式43】(25-26七年级下.全国单元测试)不等式组 2-1s3+ 3的所有整数解的和为 + 5117 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【题型五一元一次不等式（组）求解中错解复原问题】 【例5】(2425七年级下安徽毫州月考)下面是某同学解不等式1-5x+4,,2的过程，请认真阅读并 6> 2 完成相应的任务 解：去分母，得6-5x+4>3x-6. 第一步 移项，得-5x-3x>-6+4-6.第二步 合并同类项，得-8x>-8. 第三步 x系数化成1，得x>1. 第四步 根据以上材料，解答下列问题： ()去分母的依据是不等式基本性质 (填1”或“2”或“3”) (②)在解答过程中，共出现 处错误，其中最后一处错误在第 步，错误的原因是 ③)请写出解不等式1-5+4，x,2的正确解答过程。 6 2 【变式5-1】(24-25七年级下山西临汾期末)下面是小茗同学解不等式5-31-2x)>4x+3的过程，请认 真阅读，完成相应任务 解：去括号，得：5-3-6x>4x+3,第一步 即2-6x>4x+3,第二步 移项得：-6x-4x>3-2,第三步 计算得到：-10x>1,第四步 系数化为1，两边同时除以-10，得：x<。,第五步 101 任务一：(1)小茗同学的解答过程中，从第步开始出现错误.他的错误原因是_； (2)第五步的解题依据是_： 任务二：(3)直接写出这个不等式的解集：一； 任务三：(4)除小茗同学的错误外，在解不等式的过程中，还需要注意什么呢？（写出一条注意事项即可） 【变式5-2】(24-25七年级下·河南洛阳·期中)(1)下面是乐乐同学解不等式的过程，请认真阅读并完成 相应任务， 解不等式： +5-1≤3r+2 2 3 解：3x+5)-6≤2(3x+2).…第一步 3x+15-6≤6x+4..第二步 6/17 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 3x-6x≤4+6-15..第三步 -3x≤-5....第四步 r≤，第五步 任务一： ①以上解题过程中，第一步是依据 进行变形的： ②第 步出现错误，这一步错误的原因是 任务二：请写出该不等式的正确解集为 任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时学习经验，就在解不等式时还需要注意的事项给其他同学提一 条建议； x-3(x-2)24 (2)解不等式组 +1>-3,并将其解集在数轴上表示出来. 5 6 4 -5-4-3-2-1012345 【变式5-3】(24-25七年级下湖北随州·期末)请观察框内解不等式的过程，回答下列问题： 解不等式2->3x-2-1 3 2 解：2(2x-1)>33x-2)-6第一步 4x-2>9x-6-6第二步 4x-9x>-6-6+2第三步 -5x>-10第四步 x>2第五步 (1)第 步出现错误，错误的原因是 (2)该不等式的正确解集为： 在下面的数轴上表示这个解集； 101234 2x-1、3x-2-1 (3)直接写出不等式组{3 2的解集。 2x+3≥x+2 【题型六根据一元一次不等式的解集求参数】 7117 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 2026七年级下全国专趣练习》已知m为非专实数，若mx+4>0的解集为x< 1m= 【变式61】(25-26八年级下全国周测)若关于x的不等式mx-n>0的解集是x<?,则关于x的不等式 (m+n)x>n-m的解集是一 【变式62】(25-26八年级下全国课后作业)若不等式+！2-5之1的解都能使不等式4x<2r+a+1成 64 立，则实数a的取值范围是 【变式63】(25-26八年级下全国周测)关于x的一元一次不等式m2x≤-2的解集为x≥4，则 3 m3-2025的值为一 【题型七利用一元一次不等式（组）的整数解求参数的取值范围】 【例7】(25-26七年级上·江苏苏州期中)关于x的不等式2x+a20的负整数解是-2，-1，则a的取值范 围是 【变式7-1】(25-26八年级上·黑龙江大庆月考)若关于x的不等式x-a≤0只有3个正整数解，则a的取 值范围」 【变式7-2】(2025七年级上·江苏南京，专题练习)如果不等式组 x-a≤0 5-2x<1 恰有3个整数解，则a的取值范 围是一 3x-1 <x+1 【变式7-3】(25-26八年级上·重庆铜梁期中)若关于x的不等式组 2 有且仅有4个整数解， 2(x+l)≥-x+a 则所有满足条件的整数a的值之和一· 【题型八根据一元一次不等式组的解集的情况求参数的取值范围】 5x-1>5 【例8】(25-26八年级下·全国期末)若关于x的不等式组 的解集是x>a,则a的取值范围 a-x<0 x≥2无解，则a的取值范围是」 x<a-1 【变式8-1】(25-26八年级上·四川成都期末)关于x的不等式组 8/17 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 3+2x>1 【变式8-2】(25-26八年级上浙江杭州月考)己知关于x的不等式组 x-a<0有解、则a的取值范围 是 (x-a20 【变式8-3】(25-26八年级上·重庆南川期中)若数a使关于x的不等式组{3 的解集为x<2, x-2>3x-2) 则a的取值范围为 【题型九整式方程（组）与一元一次不等式（组）结合求参数的问题】 【例9】(25-26七年级下·全国周测)若关于x的方程2x=7+m的解是正数，则m的取值范围为 x-3y=m-1 【变式9-1】(2025八年级上·重庆.专题练习)己知关于x,y的方程组 (x+y=-3m+7· 若方程组的解满 足x-y<6,则m的非正整数和为一 x+2y=3k-1 【变式9-2】（2025八年级上·全国.专题练习)若关于x,y的方程组 的解满足0<x+y<4, 2x+y=7 则k的取值范围是」 x-1m>0 【变式9-3】（24-25七年级下·安徽合肥·期中)已知关于x的不等式组 x-4 的解集为x>4. -x<-4 3 (1)m的取值范围是_； x+y=6 (2)若整数m使得关于x,y的二元一次方程组 的解为整数，则符合条件的所有整数m的和 3x+y=2 是 【题型十一元一次不等式（组）与一次函数结合的问题】 【例10】(25-26八年级上·甘肃兰州期末)如图所示，一次函数y=kx+b(k≠0)与正比例函数 y=mxm≠0的图象相交于点M(1,2),下列判断错误的是() 9/17 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 y=mx M1,2) y=kx+b A.关于x的方程mx=kx+b的解是x=1 B.关于x的不等式mx≥kx+b的解集是x≤1 C.当x<0时，函数y=+b的值比函数y=mx的值大 D.关于x,y的方程组 y-mx=0 y-=b的解是 x=1 y=2 【变式10-1】(25-26八年级上浙江杭州期末)如图，一次函数y=-x+5与2=kx+b(k≠0，k,b为 常数)的图象交于点A,则关于x的一元一次不等式-x+5<x+b的解为 VA y2-kx+b A =-x+5 【变式10-2】(25-26八年级上·安徽安庆期末)如图，已知直线y=2x+b和直线y2=kx-1相交于点 P(-2,-2),直线y=2x+b分别与x轴和y轴相交于点A和点B,直线y2=kx-1与x轴交于点C. yh y=2x+b B y,=kx-1 (-2,-2)P ()分别求出这两个函数的解析式： (2)直接写出不等式组kx-1<2x+b<0的解集 【变式10-3】(25-26八年级上河南郑州期末)某文具店计划采购A,B两种书签，据了解，购买15张A 书签与25张B书签需花费275元；购买20张A书签和30张B书签需花费340元. 10/17