专题16.3 一次函数（高效培优讲义）数学新教材华东师大版八年级下册

专题16.3 一次函数 教学目标 1.理解一次函数和正比例函数的概念，明确两者的关系。 2.掌握一次函数的图象画法和性质，能根据、的符号判断图象特征。 3.会用待定系数法求一次函数的表达式。 4.能运用一次函数解决实际问题，体会数形结合思想。 教学重难点 重点 1.一次函数和正比例函数的概念及两者关系。 2.一次函数的图象与性质（、对图象和性质的影响）。 3.用待定系数法求一次函数表达式。 4.一次函数的实际应用（建立模型解决问题）。 难点 1.理解、的符号与一次函数图象经过象限的对应关系。 2.一次函数图象平移规律的灵活应用。 3.实际问题中一次函数模型的建立（数量关系抽象）。 4.一次函数与方程、不等式、几何图形的综合应用。 知识点01：一次函数与正比例函数的概念 1.一次函数定义：一般地，形如（、是常数，且）的函数，叫做一次函数。 2.正比例函数定义：特别地，当时，函数（是常数，且）叫做正比例函数。 3.两者关系：正比例函数是一次函数的特殊情形，即正比例函数一定是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数。 4.自变量取值范围：一般情况下为全体实数；实际问题中需符合实际意义（如时间、长度不能为负）。 【即学即练】 1．（2025八年级上·全国·专题练习）若函数是关于x的一次函数，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D．m为任意实数 【答案】A 【分析】根据一次函数的定义，x 的系数不能为零，解答即可． 本题考查了一次函数的定义，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：∵函数是关于x的一次函数， ∴ x 的系数， ∴， 故选：A． 知识点02：一次函数的图象 1.图象形状：一次函数（）的图象是一条直线，简称直线；正比例函数（）的图象是经过原点的直线。 2.图象画法： 一次函数：用“两点确定一条直线”，通常取与坐标轴的交点和。 正比例函数：取原点和两点连线。 3. 图象范围：实际问题中，若自变量取值受限制，图象可能是线段、射线或直线上的部分点。 【即学即练】 1．（25-26八年级上·陕西西安·期中）已知一次函数 (1)填表： x … 0 3 6 … y … ___________ ___________ ___________ ___________ … (2)画出该函数图象． 【答案】(1)0，1，2，3 (2)见解析 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的图象． （1）代入x的值，求出y值即可； （2）描点、连线，画出函数图象． 【详解】（1）解：当时，； 当时，； 当时，； 当时， 故答案为：0，1，2，3； （2）解：描点、连线，画出函数图象． 知识点03：一次函数的性质（含k、b的作用） 条件 函数性质 经过象限 与坐标轴交点位置 ， 随的增大而增大 第一、二、三象限 与轴交于正半轴，与轴交于负半轴 ， 随的增大而增大 第一、三象限 与轴交于原点 ， 随的增大而增大 第一、三、四象限 与轴交于负半轴，与轴交于正半轴 ， 随的增大而减小 第一、二、四象限 与轴交于正半轴，与轴交于正半轴 ， 随的增大而减小 第二、四象限 与轴交于原点 ， 随的增大而减小 第二、三、四象限 与轴交于负半轴，与轴交于负半轴 补充性质：越大，直线与轴夹角越大（直线越陡）；越小，直线越缓。 【即学即练】 1．（25-26八年级上·河南郑州·期末）关于一次函数，下列说法正确的是（  ） A．函数图象经过点 B．y的值随着x的增大而增大 C．函数图象经过一，二，四象限 D．函数图象与y轴交于负半轴 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的图象性质，熟练掌握其图象是解题的关键． 通过一次函数的性质，计算函数值和分析一次项系数的符号判断各选项正误即可． 【详解】解：一次函数为，其中，， 选项A、当时，，则不经过点，A错误； 选项B、由于<0，则随增大而减小，B错误； 选项C、由于，，则图象经过第一、二、四象限，C正确； 选项D、当时，，则函数图象与轴交于，在正半轴，D错误； 故选：C． 知识点04：一次函数图象的平移规律 1.上下平移（常数项变化）：直线向上平移（）个单位得；向下平移（）个单位得，简记“上加下减”。 2.左右平移（自变量变化）：直线向左平移（）个单位得；向右平移（）个单位得，简记“左加右减”。 【即学即练】 1．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）将直线向上平移6个单位长度后所得的直线的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一次函数平移规则“上加下减”，向上平移时在函数值上加平移单位数．本题考查一次函数图像的平移，掌握“左加右减，上加下减”的规则是关键． 【详解】解：将直线向上平移6个单位长度后所得的直线的解析式为 ． 故选：C． 知识点05：待定系数法求一次函数表达式 1.定义：先设待求函数表达式（含待定系数），再根据条件列方程（组），求出系数后得到表达式的方法。 2.步骤： 设：正比例函数设为（）；一次函数设为（）。 代：将图象上点的坐标或、的对应值代入表达式，得方程（组）。 解：解方程（组）求出待定系数、。 写：将系数代入所设表达式，写出最终解析式。 3.注意：正比例函数需1个条件求；一次函数需2个条件求和。 【即学即练】 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）将一条直线向上平移3个单位后所得到的直线的表达式为，则原直线的表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换以及一次函数性质的运用，解题的关键是掌握平移的规律：直线向上平移个单位所得直线解析式为；直线向下平移个单位所得直线解析式为. 直接根据“上加下减”的平移规律求解即可． 【详解】解：将所得直线 向下平移个单位，得 ， 故原直线表达式为 ． 故答案为：． 知识点06：一次函数与方程、不等式、方程组的关系 1.与一元一次方程：直线与轴交点的横坐标，就是方程的解。 2.与一元一次不等式： 的解集：直线位于轴上方部分对应的的取值范围。 的解集：直线位于轴下方部分对应的的取值范围。 3.与二元一次方程组：方程组的解，就是直线与交点的坐标。 【即学即练】 1．（25-26八年级上·甘肃兰州·期末）如图，一次函数与的图象相交于点，则关于的二元一次方程组的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．先利用直线确定点坐标，然后根据方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标得到答案． 【详解】解：把代入得，解得， 即点坐标为， 所以二元一次方程组的解为． 故答案为：． 题型01：辨别一次函数与正比例函数 方法技巧：紧扣定义，先判断是否为（）的形式（自变量指数为1、系数不为0、整式函数）；正比例函数需额外满足。 【典例1】. （25-26七年级上·山东淄博·期末）下列函数中，是一次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的定义，一般地，形如，（k为常数，）的函数叫做一次函数． 根据一次函数的定义逐一判断即可． 【详解】解：A：，x的最高次数为2，不符合一次函数定义； B：，，，符合一次函数定义； C：，k未明确不等于0，故不一定是一次函数； D：，分母有未知数，不符合一次函数定义； 故选：B． 【变式1】. （25-26八年级上·山东·期末）下列函数中，是正比例函数的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正比例函数的定义，正比例函数的形式为（k为常数，），根据定义直接判断各选项是否符合． 【详解】∵正比例函数的标准形式为， 选项A：，含有常数项+1，不符合形式； 选项B：，是反比例函数，不符合形式； 选项C：，符合形式，且； 选项D：，是二次函数，不符合形式． 故选：C． 【变式2】. （25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）下列关于的函数中，是正比例函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正比例函数的定义，根据正比例函数的定义，形如（为常数，）的函数是正比例函数，逐一判断各选项即可． 【详解】解：A、该函数不是正比例函数，故本选项错误； B、该函数是正比例函数，故本选项正确； C、该函数不是正比例函数，故本选项错误； D、该函数不是正比例函数，故本选项错误； 故选：B． 【变式3】. （2025八年级上·全国·专题练习）下列函数中，y是x的一次函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的定义及其识别．一次函数的标准形式为：（其中为常数），自变量的次数必须是1，且不能出现在分母或根号中,因此需要逐个分析选项是否符合该形式，排除二次函数、反比例函数、根式函数等非一次函数类型． 【详解】∵一次函数的标准形式为， 选项A：，的次数为2，不是一次函数； 选项B：，分母中有字母，不是一次函数； 选项C：，满足，是一次函数； 选项D：，含有根号，的次数不为1，不是一次函数． 故选：C． 题型02：由k、b的符号判断一次函数图象 方法技巧：先根据的符号确定直线增减趋势（上升，下降），再根据的符号确定与轴交点位置（正半轴，负半轴），结合两者判断经过的象限。 【典例2】. （24-25八年级上·江苏扬州·月考）函数的图象为（   ） A． B． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的图象，通过解析式上的点确定函数图象是解题关键． 根据解析式求出该函数图象与坐标轴的交点坐标，通过交点坐标逐项判断即可（也可根据，，通过函数图象经过的象限判断）． 【详解】解：令，则， ∴该函数图象经过点， 令，则，， ∴该函数图象经过点， 四个选项中，只有A选项的图象同时经过这两点， 故选：A． 【变式1】. （20-21八年级下·湖南永州·期末）一次函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的图象性质，解题的关键是根据一次函数的斜率和截距判断图象经过的象限． 先确定一次函数中，截距，由此可知图象经过一、三、四象限． 【详解】解：对于一次函数，当，时，图象经过一、三、四象限． 在中，，，故其图象经过一、三、四象限． 观察选项，只有B选项的图象符合该特征． 故选：B． 【变式2】. （25-26八年级上·四川达州·期末）一次函数中，若，且y随着x的增大而减小，则其图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是一次函数的图象与性质．由一次函数中y随着x的增大而减小，可得，由，可得，此一次函数的图象过二、三、四象限，即可解答． 【详解】解：∵一次函数中，随的增大而减小， ∴， ∵， ∴， ∴一次函数的图象过二、三、四象限，A选项符合题意． 故选：A． 【变式3】. （25-26八年级上·山西太原·期末）一次函数的图象可能是下面的（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的图象，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据一次函数图象的性质解题即可． 【详解】解：一次函数，， ∴随着的增大而减小， 当时，，图象经过， ∴选项A符合题意． 故选：A． 题型03：求一次函数与坐标轴的交点 方法技巧：与轴交点：令，代入表达式求，交点为；与轴交点：令，解方程得，交点为。 【典例3】. （25-26八年级上·全国·期末）一次函数的图象与轴的交点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数图象与坐标轴的交点坐标的求法，熟练掌握 “函数图象与y轴交点的横坐标为0” 这一特点是解题的关键．求一次函数图象与轴的交点坐标，需令，代入函数解析式计算的值 【详解】解：令，则， 故一次函数的图象与轴的交点坐标为． 故答案为 【变式1】. （25-26八年级上·安徽池州·期末）直线在轴上的截距是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查直线与y轴的交点坐标，y轴上的截距是直线与y轴交点的纵坐标，令代入方程求解即可． 【详解】解：∵直线在y轴上的截距为时的y值， 令，得， ∴截距为． 故选：B． 【变式2】. （25-26八年级上·陕西西安·期末）在平面直角坐标系中，将一次函数向下平移3个单位，则平移后的图象与轴的交点为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数图象的平移，一次函数与坐标轴的交点问题．利用一次函数图象的平移规律，左加右减，上加下减，得到，进一步计算即可求解． 【详解】解：将函数的图象向下平移3个单位，得到， 当时，， 解得：， ∴平移后的图象与轴的交点坐标为， 故选：B． 【变式3】. （25-26八年级上·浙江湖州·期末）在平面直角坐标系中，直线与轴的交点坐标是 ． 【答案】 【分析】此题考查了求一次函数和y轴的交点坐标，将代入即可求解． 【详解】解：当时，， 所以直线与轴的交点坐标是． 故答案为：． 题型04：画一次函数的图象 方法技巧：遵循“列表→描点→连线”，一次函数优先取与坐标轴交点（坐标为整数，便于描点）；正比例函数必过原点，再取一个特殊点（如）。 【典例4】. （25-26八年级上·江苏徐州·月考）已知一次函数的图象与轴相交于点，与轴相交于点 (1)直接写出 ，两点的坐标； (2)在平面直角坐标系中画出函数的图象． 【答案】(1)，； (2)见解析； 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数图象的绘制． （1）求与坐标轴交点坐标时，令或其中一个为0求解另一个坐标； （2）绘制函数图象时，根据两点确定一条直线的原理，利用求出的坐标确定直线位置． 【详解】（1）在一次函数中，令，可求出与轴交点的横坐标，令，可求出与轴交点的纵坐标； 令，则，解得，所以的坐标为； 令，则，解得，所以的坐标为． （2）根据（1）中得到的，两点坐标，在平面直角坐标系中描出这两点，然后用直线连接起来，即可得到函数的图象． 【变式1】. （25-26八年级下·全国·课后作业）画出函数的图象． (1)列表： x … －2 －1 0 1 2 … y … … (2)描点：根据表中数据描出各点． (3)连线：用平滑的线依次连接各点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）选取包含原点的对称值，代入计算对应值，形成坐标列表，为描点提供数据； （2）根据列表的坐标，在坐标系中精准标记各点位置，为连线确定参考点； （3）因正比例函数图象是过原点的直线，用平滑直线连接所有点并延伸，得到完整图象． 【详解】（1）解：将代入，依次计算对应值： 、、0、3、6． x … －2 －1 0 1 2 … y … －6 －3 0 3 6 … （2）解：描点如图所示． （3）解：连线如图所示． 【点睛】本题考查了正比例函数的图象画法，掌握列表-描点-连线的基本作图步骤，以及正比例函数的图象是经过原点的直线这一性质是解题的关键． 【变式2】. （25-26八年级上·广东河源·月考）在平面直角坐标系中，画出函数的图像，并写出与坐标轴的交点坐标． 【答案】图象见解析；与坐标轴的交点为，． 【分析】本题考查了一次函数的图象，主要利用了一次函数图象与坐标轴的交点的求法，以及两点法作一次函数图象． 令分别求出与坐标轴的交点，然后利用两点法作出函数图象即可． 【详解】解： 令， 令，则， 解得， ∴与坐标轴的交点为，． 【变式3】. （25-26八年级上·广西崇左·月考）在同一个坐标系里画出函数，的图象，并填空： 函数 经过的象限 位置关系 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了画一次函数的图象、一次函数的图象与性质，根据一次函数的解析式画出图象，根据图象得出其经过的象限及两条直线的位置关系． 【详解】解：如图所示： 函数 经过的象限 位置关系 第一、三象限 平行 1 第一、二、三象限 题型05：用待定系数法求一次函数表达式 方法技巧：根据已知条件设出对应表达式（正比例函数设，一次函数设），代入2个（一次函数）或1个（正比例函数）点的坐标，列方程（组）求解系数，最后写出表达式。 【典例5】. （25-26八年级上·江苏泰州·期末）已知y是x的一次函数，当时，；当时，． (1)求y关于x的函数表达式； (2)若点在这个函数的图象上，求a的值． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键； （1）由题意可设，然后根据待定系数法可进行求解； （2）把点代入（1）中函数解析式进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意可设，把，和，代入得： ，解得：， ∴y关于x的函数表达式为； （2）解：把点代入得：， ∴． 【变式1】. （25-26七年级上·山东泰安·期末）已知直线过点，则该直线的表达式是 ． 【答案】 【分析】本题考查运用待定系数法求函数解析式，将点代入直线方程，利用待定系数法求出b的值即可． 【详解】解：将点代入直线方程得， ， 解得， ∴直线的表达式为． 故答案为：． 【变式2】. （25-26八年级下·全国·课后作业）已知一次函数的图象经过点和点，则关于的函数解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，解题关键是通过已知点的坐标建立方程组，求解出一次函数解析式． 要求一次函数的解析式，可利用待定系数法，设出一次函数的一般形式，再将已知两点的坐标代入，列方程组求解出和的值． 【详解】解：设该一次函数的解析式为 ． ∵函数图象经过点和，将两点坐标分别代入解析式： 代入：，可得； 代入：，可得． ∴，该一次函数的解析式为． 故答案为：． 【变式3】. （25-26八年级上·江苏宿迁·月考）已知与成正比例，且当时，． (1)写出与之间的函数关系式． (2)若点在函数图像上，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查待定系数法求解析式，函数图像上的坐标特点，掌握相关知识是解题的关键． （1）设，把，代入式子，求出k的值，即可解答； （2）把点代入函数关系式，即可求解． 【详解】（1）解：∵与成正比例， ∴设， ∵当时，， ∴，即， ∴， ∴， ∴与之间的函数关系式为． （2）解：∵点在函数图像上， ∴， ∴． 题型06：根据图象平移求一次函数表达式 方法技巧：牢记平移规律“上加下减常数项，左加右减自变量”，先根据平移方向和单位写出平移后的表达式形式，再结合已知条件（如经过某点）确定系数。 【典例6】. （24-25八年级上·北京·期末）将直线向下平移3个单位长度得到直线，则直线的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的平移规律．根据一次函数图像的平移规律，向下平移3个单位长度，只需将原解析式中的常数项减去平移的单位长度即可． 【详解】解：原直线解析式为， 向下平移3个单位长度后，新解析式为． 故答案为：． 【变式1】. （25-26八年级上·江苏泰州·期末）在平面直角坐标系中，把一次函数的图象向上平移后得到直线，若直线经过点，则直线对应的函数表达式是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数图象的平移性质以及利用待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握一次函数图象平移时斜率不变是解题的关键． 一次函数图象上下平移时，斜率保持不变，因此可设平移后的直线表达式为；再将已知点代入该表达式，求出的值，即可得到直线的函数表达式． 【详解】解：∵一次函数的图象向上平移得到直线， ∴设直线的函数表达式为， ∵直线经过点， ∴将，代入，得， ∴解得， ∴直线对应的函数表达式为， 故答案为：． 【变式2】. （25-26八年级上·江苏无锡·月考）在平面直角坐标系中，将函数的图象向上平移2个单位长度，则平移后的图象对应的函数表达式是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了一次函数的平移规律； 根据函数图象平移的规律，向上平移2个单位，常数项加2即可． 【详解】解：∵原函数为，向上平移2个单位， ∴函数表达式变为， 故答案为：． 【变式3】. （25-26八年级下·全国·周测）将一次函数的图象向下平移3个单位，若平移后的函数图象与一次函数的图象重合，则 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的平移规律，根据“函数图象上下平移时，斜率不变，截距相应变化”，结合平移后图象重合的条件，列方程求解参数、． 【详解】解：一次函数图象向下平移个单位，平移后的函数解析式为： ． ∵平移后的函数图象与一次函数 的图象重合， ∴对应项系数相等，即 且 ． 解得 ：，． ∴ ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数的平移规律，解题关键是掌握“上下平移时，斜率不变，截距随平移方向加减相应单位”，再通过图象重合的条件列方程求解参数． 题型07：比较一次函数值的大小 方法技巧：①代入法：将自变量值代入表达式求函数值，直接比较；②性质法：根据的符号确定增减性，结合自变量大小判断函数值大小；③图象法：在图象上找到对应点，观察纵坐标大小。 【典例7】. （江苏盐城市科创城初级中学两校2025-2026学年2月学情自测初二数学试卷）在已知点，在一次函数的图象上，则与大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数的图象与性质，根据一次函数的性质即可解决问题． 【详解】解：∵在一次函数中，， ∴随增大而减小， 又∵， ∴． 故选：A． 【变式1】. （25-26八年级上·江苏盐城·期末）已知点，都在直线上，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．无法比较 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，根据一次函数的性质，进行求解即可． 【详解】解：∵直线中， ∴ y随x的增大而减小， ∵ ∴ ． 故选：C． 【变式2】. （25-26八年级上·安徽合肥·期末）若点，，都在一次函数的图象上，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，正确判断一次函数的增减性是解题的关键． 根据一次函数的性质可知随的增大而增大，再根据图象上点的坐标特征即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴随的增大而增大， ∵点、，都在一次函数的图象上，且， ∴． 故选：A． 【变式3】. （25-26八年级上·江苏无锡·月考）若点，，都在的图像上，则，，的大小关系（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的图像与性质，由 中可知随增大而减小，因此，值越大，对应的值越小，又，，都在的图像上，且，所以，即，掌握一次函数的图像与性质是解题的关键． 【详解】解：∵中 ， ∴ 随增大而减小， ∵，，都在的图像上，且， ∴，即， 故选：． 题型08两一次函数图象共存性判断 方法技巧：先根据每个一次函数的、符号确定其经过的象限，再验证选项中两函数图象是否同时符合对应象限特征，排除参数符号矛盾的选项。 【典例8】. （25-26八年级上·浙江宁波·月考）关于 x 的一次函数和（其中 ）的图象可能是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数图象的性质，掌握一次函数中的正负与图象的关系是关键． 根据题意，分别分析的正负，结合选项判定即可． 【详解】解：当时，一次函数的图象经过第一、二、三象限，一次函数的图象经过第一、二、三象限，A，B，C，D选项不符合题意； 当时，一次函数的图象经过第一、三、四象限，一次函数的图象经过第一、二、四象限，此时，B选项符合题意； 当时，一次函数的图象经过第二、三、四象限，一次函数的图象经过第二、三、四象限，A，B，C，D选项不符合题意； 当时，一次函数的图象经过第一、二、四象限，一次函数的图象经过第一、三、四象限，A，B，C，D选项不符合题意； 故选：B ． 【变式1】. （25-26八年级上·江苏连云港·月考）两个一次函数与，它们在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了已知函数经过的象限求参数范围，先结合每个选项的一次函数经过的图象，得出的取值范围，再分析与的的取值范围是否一致，即可作答． 【详解】解：A、观察一次函数的图象，得出；观察一次函数的图象，得出，故该选项符合题意； B、观察一次函数的图象，得出；观察一次函数的图象，得出，故该选项不符合题意； C、观察一次函数的图象，得出；观察一次函数的图象，得出，故该选项不符合题意； D、观察一次函数的图象，得出；观察一次函数的图象，得出，故该选项不符合题意； 故选：A． 【变式2】. （25-26八年级上·陕西西安·期末）正比例函数的一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数和正比例函数的图象和性质，解题的关键是掌握数形结合的思想． 根据一次函数和正比例函数的图象可得参数的取值范围，然后进行比较即可． 【详解】解：A.由一次函数图象可知，， ∴； 由正比例函数图象可知，，与一次函数参数矛盾，不符合题意； B. 由一次函数图象可知，， ∴； 由正比例函数图象可知，，与一次函数参数矛盾，不符合题意； C. 由一次函数图象可知，， ∴； 由正比例函数图象可知，，与一次函数参数一致，符合题意； D. 由一次函数图象可知，， ∴； 由正比例函数图象可知，，与一次函数参数矛盾，不符合题意； 故选：C． 【变式3】. （25-26七年级上·山东泰安·期末）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了一次函数的图象与性质，解答的关键是熟知一次函数的图象有四种情况： 当，，函数的图象经过第一、二、三象限； 当，，函数的图象经过第一、三、四象限； 当，时，函数的图象经过第一、二、四象限； 当，时，函数的图象经过第二、三、四象限． 【详解】解：因为与， 所以时，两函数的值都是， 所以两直线的交点的横坐标为，故选项A、C不符合题意； 若，则一次函数与的图象都是随的增大而增大，且都交轴的正半轴； 若，则一次函数的图象中随的增大而减小，交轴的正半轴，的图象中随的增大而增大，交轴的负半轴，且两直线的交点的横坐标为； 故选项D符合题意，选项A不符合题意． 故选：D． 题型09：一次函数与方程、不等式的综合应用 方法技巧： ①方程解：直线与轴交点横坐标即为的解； ②不等式解集：根据直线在轴上方/下方的部分确定的取值范围； ③两直线交点：联立表达式求解，即为对应方程组的解。 【典例9】. （24-25八年级上·全国·课后作业）下列图象中，以方程的解为坐标的点组成的图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查一次函数与二元一次方程在坐标轴中的图象：根据一次函数与坐标轴的交点可确定图象的位置． 将方程转换成，找出直线与坐标轴的交点，即可确定以方程的解为坐标的点组成的图象． 【详解】解：将方程转换成， 当时，，过点； 当时，，解得：，过点； 通过观察图像可知，选项C符合要求， 故选：C． 【变式1】. （25-26八年级上·重庆·期中）若方程的解是，则直线与x轴的交点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题重点考查一次函数与坐标轴的交点问题，直线，与轴的交点为，与轴的交点为，熟练掌握一次函数的解析式和交点坐标是本题求解的关键． 方程的解，表示直线与轴的交点横坐标为，得到的关系，然后利用与的关系求直线与轴的交点坐标，完成求解． 【详解】解：∵方程的解是， ∴，即， ∴， 对于直线， 令，则，即， ∴， 代入， 得， ∴直线与轴的交点坐标为． 故答案为：． 【变式2】. （25-26八年级上·安徽合肥·期中）（1）用描点法画出函数的图象； （2）利用（1）中图象求不等式的解集； （3）利用（1）中图象求：当时，求的取值范围． 【答案】（1）画图见解析； （2）； （3） 【分析】本题考查了画一次函数图象，求一元一次不等式的解集，求一次函数自变量或函数值，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）通过列表、描点、连线画出函数图象； （2）先求出当时，自变量x的值，再结合图象求出不等式的解集； （3）先求出当时，再求出当时，求的取值范围． 【详解】（1）列表： x 0 1 2 3 y 5 3 1 描点、连线，如图： （2）当时，，解得：， 所以结合函数图象可知，不等式的解集为； （3）当时，， 结合函数图象可知当时，． 【变式3】. （24-25八年级下·北京·月考）一次函数与在同一平面直角坐标系中的图象如图所示．则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质、用待定系数法求一次函数的解析式，利用待定系数法求出直线的解析式为，根据解析式可以求出当时，，由图象可知，一次函数的随增大而减小，所以当时，． 【详解】解：直线经过点和， 可得：， 解得：， 为， 当时，， 一次函数与的交点坐标是， 由图象可知，一次函数的随增大而减小， 当时，． 故答案为：． 题型10：求一次函数图象与坐标轴围成的三角形面积 方法技巧：先求直线与轴、轴的交点坐标和，三角形面积，注意绝对值保证面积为正。 【典例10】. （25-26八年级上·黑龙江齐齐哈尔·月考）已知一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，求的面积． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题．先求出一次函数与坐标轴的交点坐标，再根据三角形面积公式进行计算． 【详解】解：对于一次函数， 令，得， 故点的坐标为； 令，得， 解得， 故点的坐标为； 故的面积． 【变式1】. （25-26八年级上·安徽六安·月考）已知直线的截距为，则该直线与两坐标轴围成的三角形面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的解析式，与坐标轴的交点坐标，由直线的截距为，得出直线的解析式，然后求出与x轴和y轴的交点坐标，即可求出三角形的面积． 【详解】解：∵直线的截距为， ∴ ∴， 当时，， ∴与y轴交于点， 令，则，解得， ∴与x轴交于点， ∴该直线与两坐标轴围成的三角形面积为， 故答案为： ． 【变式2】. （25-26八年级上·江西吉安·期中）如图，直线与轴相交于点，与轴相交于点． (1)求点，的坐标； (2)求的面积． 【答案】(1)点的坐标为，点的坐标为 (2) 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，即一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式． （1）根据、两点分别在、轴上，令求出的值；再令求出的值即可得出结论； （2）直接根据三角形的面积公式即可得出结论． 【详解】（1）解：依题意得，对于直线， 当时，，解得，则点的坐标为， 当时，，则点的坐标为． （2）点的坐标为，点的坐标为， ，． ． 【变式3】. （24-25八年级上·江苏扬州·月考）如图，已知直线经过点，，与直线相交于点B，且直线交x轴于点C，直线交x轴于点D． (1)求直线的函数表达式； (2)若在x轴上有一点P，且的面积等于的面积的，求点P的坐标． 【答案】(1)直线的函数表达式为 (2)点坐标为或 【分析】本题考查了一次函数的解析式，直线与坐标轴的交点，坐标与图形，绝对值方程．熟练掌握待定系数法求一次函数解析式是解题的关键． （1）将代入得，，即，待定系数法求直线的函数表达式即可； （2）将代入，求得，即，将代入，求得，即，根据，设，则，由的面积等于的面积的，可得，计算求解，然后作答即可． 【详解】（1）解：将代入得，， ∴， 将，代入得，，解得，， ∴直线的函数表达式为； （2）解：将代入得，，解得，，即， 将代入得，，解得，，即， ∴， 设， ∴， ∵的面积等于的面积的， ∴， 解得，或， ∴点坐标为或． 一、单选题 1．如图，直线对应的函数表达式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，熟知待定系数法是解题的关键． 设直线对应的函数表达式为，由图象可知直线过点、，代入解析式即可得到函数表达式． 【详解】解：设直线对应的函数表达式为， 由图象可知直线过点、，则 解得： 故该直线对应的函数表达式是， 故选：B． 2．在平面直角坐标系中，将一次函数的图象向上平移2个单位长度后，恰好经过点，则的值为（   ） A． B．5 C． D．7 【答案】B 【分析】本题考查一次函数的平移，待定系数法求解析式，掌握相关知识是解决问题的关键．根据题意一次函数向上平移后的解析式为，代入点坐标求解. 【详解】解：∵将一次函数向上平移个单位，得新函数为， ∵新函数经过点， ∴， 即， ∴， ∴. 故选：B． 3．下列函数中，随的增大而减小的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查一次函数的增减性，根据一次函数（）中的符号判断函数增减性即可，时随的增大而减小，时随的增大而增大，逐项判断即可． 【详解】解：一次函数（），当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大， A选项中，随的增大而减小，符合题意， B选项中，随的增大而增大，不符合题意， C选项中，随的增大而增大，不符合题意， D选项中，随的增大而增大，不符合题意， 故选：A． 4．如图，在平面直角坐标系中，已知直线与轴，轴分别交于，两点，若，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的性质． 求出点的坐标，代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵直线与轴，轴分别交于，两点， ∴， 解得：． 故选：A． 5．已知点在第二象限，则一次函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与、的关系．根据已知条件“点为第二象限内的点”推知、的符号，由它们的符号可以得到一次函数的图象所经过的象限． 【详解】解：点为第二象限内的点， ，， 一次函数的图象经过第一、三、四象限，观察选项，A选项符合题意， 故选：A． 二、填空题 6．在探究正比例函数（k为常数，）的图象时，小红列表如下，其中m的值为 ． x … 0 1 2 … y … 0 m … 【答案】 【分析】本题主要考查正比例函数，熟练掌握正比例函数是解题的关键；根据正比例函数的定义，利用已知点求比例系数，再代入x的值求即可． 【详解】解：由表格，当时，，代入得，解得， 所以函数关系式为； ∴当时，； 故答案为． 7．已知，是直线上的两个点，则的大小关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数图象与性质，熟记一次函数图象与性质比较函数值大小的方法是解决问题的关键． 根据一次函数中，可知函数值中随的增大而减小，比较，即可得到． 【详解】解：一次函数中， 的函数值随的增大而减小， ， ， 故答案为：． 8．点在一次函数的图象上，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质，点在一次函数图象上，则其坐标满足函数解析式． 将代入求解即可． 【详解】解：∵点在一次函数的图象上， ∴， 解得：． 故答案为：． 9．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x，y轴交于A，B两点，与正比例函数的图象交于点，若一次函数的图象与直线，不能围成三角形，则k的值为 ． 【答案】或2或 【分析】本题考查一次函数的图象与性质的理解与综合应用能力．主要涉及一次函数图象上点的坐标特征，即经过函数的某点一定在函数的图象上；两直线平行，k值相等．恰当利用待定系数法求出一次函数与坐标轴的交点坐标，巧用“图象信息”进行分析是解本题的关键．利用待定系数法将点代入的解析式中即可求解b的值，再由的解析式得其恒过点，后根据图象移动变化可知当与，平行或经过点时符合题意，最后得出结论． 【详解】解：把点代入得，， ， 的解析式为， 的解析式为，当时，， 恒过点． 、、不能围成三角形， 当与平行时，、、不能围成三角形，则； 当与平行时，、、不能围成三角形，则； 当经过点时，、、不能围成三角形，则，解得． 当，2或时，、、不能围成三角形． 故答案为：或2或． 10．函数的图象在第二、四象限，则一次函数的图象不经过第 象限． 【答案】三 【分析】此题主要考查了一次函数图象与系数的关系以及正比例函数的性质，由正比例函数图象在第二、四象限可得，再分析一次函数图象所经象限，即可求解． 【详解】解：∵函数的图象在第二、四象限 ，， 一次函数中，，， 图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限． 故答案为：三． 三、解答题 11．已知与成正比例，当时，． (1)求出y与x的函数关系式； (2)判断点是否在函数图像上． 【答案】(1) (2)点不在函数图像上 【分析】本题考查了正比例函数的图像与性质，熟练掌握正比例函数的图像与性质是解题的关键． （1）由题意可设，代入，求出的值，即可求解； （2）代入，求出对应的值，即可判断． 【详解】（1）解：∵与成正比例， ∴， 代入，得，， 解得， ∴， 整理得：； （2）解：当时，， ∴点不在函数图像上． 12．已知直线的表达式为，点，分别在轴、轴上． (1)求出点，的坐标，并在所给图中画出直线的图象； (2)将直线向上平移个单位得到直线，点，分别在轴、轴上．求出点，的坐标及直线的表达式，并在所给图中画出直线的图象； (3)若点到轴的距离为，且在直线上，求的面积． 【答案】(1)点的坐标为，点的坐标为，图见解析 (2)点的坐标为，点的坐标为，直线的关系式为，图见解析 (3)的面积为或 【分析】本题主要考查了一次函数的图象，一次函数与坐标轴的交点，一次函数的平移，三角形的面积等，熟练掌握求一次函数的图象与坐标轴交点的方法，一次函数的平移规律是解决问题的关键． ()对于，当时，，当时，，由此可得点，点的坐标，然后画出直线即可； ()根据一次函数平移的规律得直线的解析式为，然后再分别求出点的坐标，画出直线即可； ()根据点在直线上，可设点的坐标为再根据点到轴的距离为得，由此解得，， 进而得点的坐标，然后再求出的面积即可． 【详解】（1）解：对于，当时，， 当时，， ∴点的坐标为，点的坐标为直线如图所示： （2）解：对于直线，向上平移个单位得：，即直线的关系式为：， 对于，当时，，当时，， ∴点的坐标为，点的坐标为， 直线如图所示： （3）解：∵点在直线上，∴可设点的坐标为， ∵点到轴的距离为， ∴，解得，， 此时点的坐标为，， ①当点的坐标为时，如图所示： ； ②当点的坐标为时，如图所示： ∴． 综上所述：的面积为或． 13．如下图，已知一条直线经过点，，将这条直线向右平移使之与轴、轴分别交于点，．若，求直线对应的函数解析式． 【答案】 【分析】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，线段垂直平分线的判定，熟知一次函数图象平移时k的值不变，只有b发生变化是解答此题的关键． 先通过待定系数法求出直线的解析式，再根据平移的性质求直线的解析式． 【详解】解：设直线对应的函数解析式为， 点，在直线上， ， 解得， ∴直线对应的函数解析式为， ∵将这条直线向右平移使之与轴、轴分别交于点，，且， ∴垂直平分， ， ， 设直线对应的函数解析式为， 把点的坐标代入中， 得， 解得， 直线对应的函数解析式为． 14．如图，的三个顶点的坐标分别为、、． (1)在图中画出关于y轴对称的，并写出点的坐标； (2)点D为y轴上一点，且，求点D的坐标； (3)在x轴上是否存在一点P，使得的长最小？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)或 (3)存在， 【分析】本题考查轴对称-最短路线问题、三角形的面积、坐标与图形变化等知识，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． （1）作出A、B、C关于y轴的对称点、、并顺次连接即可得到，也可得到点的坐标； （2）设，构建方程即可解决问题； （3）作点B关于x轴的对称点，连接交x轴于P，此时的值最小．设直线的解析式为，运用待定系数法求出直线的解析式，令可得的值，即可得点P的坐标． 【详解】（1）解：如图，即为所求作； ， 点的坐标为； （2）解：∵，， ∴， 设，则： ， 解得或， ∴点的坐标为或； （3）解：在x轴上存在一点P，使得的长最小，如图， 作点B关于x轴的对称点，连接交x轴于P，则 ∴由两点之间线段最短得的最小值为, ∴点P即为所求作， 设直线的解析式为， ∵， ∴， 把，代入，得， ， 解得 ∴直线的解析式为， 当时，， ∴， ∴点P的坐标为． 15．如图，直线：与轴、轴分别交于点，．直线经过点，与轴负半轴交于点，且．求直线对应的一次函数解析式． 【答案】 【分析】通过构造全等三角形得到直线上一点的坐标，再利用待定系数法求出直线的一次函数解析式即可； 本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及待定系数法求解析式，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作，交于点D，过点作轴于点， 则． ， 是等腰直角三角形， ． ，， ． 在和中， ， ，． 直线与轴、轴分别交于点，， 点，， ，， 点的坐标为． 设直线对应的一次函数解析式为（）． 把，分别代入， 得 解得 直线对应的一次函数解析式为． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题16.3 一次函数 教学目标 1.理解一次函数和正比例函数的概念，明确两者的关系。 2.掌握一次函数的图象画法和性质，能根据、的符号判断图象特征。 3.会用待定系数法求一次函数的表达式。 4.能运用一次函数解决实际问题，体会数形结合思想。 教学重难点 重点 1.一次函数和正比例函数的概念及两者关系。 2.一次函数的图象与性质（、对图象和性质的影响）。 3.用待定系数法求一次函数表达式。 4.一次函数的实际应用（建立模型解决问题）。 难点 1.理解、的符号与一次函数图象经过象限的对应关系。 2.一次函数图象平移规律的灵活应用。 3.实际问题中一次函数模型的建立（数量关系抽象）。 4.一次函数与方程、不等式、几何图形的综合应用。 知识点01：一次函数与正比例函数的概念 1.一次函数定义：一般地，形如 （、是常数，且）的函数，叫做一次函数。 2.正比例函数定义：特别地，当 时，函数（是常数，且）叫做正比例函数。 3.两者关系：正比例函数是一次函数的特殊情形，即正比例函数一定是一次函数，但一次函数 正比例函数。 4.自变量取值范围：一般情况下为全体实数；实际问题中需符合实际意义（如时间、长度不能为负）。 【即学即练】 1．（2025八年级上·全国·专题练习）若函数是关于x的一次函数，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D．m为任意实数 知识点02：一次函数的图象 1.图象形状：一次函数（）的图象是 ，简称直线；正比例函数（）的图象是经过原点的直线。 2.图象画法： 一次函数：用“ ”，通常取与坐标轴的交点和。 正比例函数：取原点和两点连线。 3. 图象范围：实际问题中，若自变量取值受限制，图象可能是线段、射线或直线上的部分点。 【即学即练】 1．（25-26八年级上·陕西西安·期中）已知一次函数 (1)填表： x … 0 3 6 … y … ___________ ___________ ___________ ___________ … (2)画出该函数图象． 知识点03：一次函数的性质（含k、b的作用） 条件 函数性质 经过象限 与坐标轴交点位置 ， 随的 第一、二、三象限 与轴交于正半轴，与轴交于负半轴 ， 随的增大而增大 第一、三象限 与轴交于原点 ， 随的增大而增大 第一、三、四象限 与轴交于负半轴，与轴交于正半轴 ， 随的 第一、二、四象限 与轴交于正半轴，与轴交于正半轴 ， 随的增大而减小 第二、四象限 与轴交于原点 ， 随的增大而减小 第二、三、四象限 与轴交于负半轴，与轴交于负半轴 补充性质：越大，直线与轴夹角 （直线越陡）；越小，直线 。 【即学即练】 1．（25-26八年级上·河南郑州·期末）关于一次函数，下列说法正确的是（  ） A．函数图象经过点 B．y的值随着x的增大而增大 C．函数图象经过一，二，四象限 D．函数图象与y轴交于负半轴 知识点04：一次函数图象的平移规律 1.上下平移（常数项变化）：直线向上平移（）个单位得；向下平移（）个单位得，简记“ ”。 2.左右平移（自变量变化）：直线向左平移（）个单位得；向右平移（）个单位得，简记“ ”。 【即学即练】 1．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）将直线向上平移6个单位长度后所得的直线的解析式为（   ） A． B． C． D． 知识点05：待定系数法求一次函数表达式 1.定义：先设待求函数表达式（含待定系数），再根据条件列方程（组），求出系数后得到表达式的方法。 2.步骤： 设：正比例函数设为 （）；一次函数设为（）。 代：将图象上点的坐标或、的对应值代入表达式，得方程（组）。 解：解方程（组）求出待定系数、。 写：将系数代入所设表达式，写出最终解析式。 3.注意：正比例函数需1个条件求；一次函数需2个条件求和。 【即学即练】 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）将一条直线向上平移3个单位后所得到的直线的表达式为，则原直线的表达式为 ． 知识点06：一次函数与方程、不等式、方程组的关系 1.与一元一次方程：直线与轴交点的 ，就是方程的解。 2.与一元一次不等式： 的解集：直线位于轴上方部分对应的的取值范围。 的解集：直线位于轴下方部分对应的的取值范围。 3.与二元一次方程组：方程组的解，就是直线与交点 。 【即学即练】 1．（25-26八年级上·甘肃兰州·期末）如图，一次函数与的图象相交于点，则关于的二元一次方程组的解是 ． 题型01：辨别一次函数与正比例函数 方法技巧：紧扣定义，先判断是否为（）的形式（自变量指数为1、系数不为0、整式函数）；正比例函数需额外满足。 【典例1】. （25-26七年级上·山东淄博·期末）下列函数中，是一次函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】. （25-26八年级上·山东·期末）下列函数中，是正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】. （25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）下列关于的函数中，是正比例函数的是（ ） A． B． C． D． 【变式3】. （2025八年级上·全国·专题练习）下列函数中，y是x的一次函数的是（　　） A． B． C． D． 题型02：由k、b的符号判断一次函数图象 方法技巧：先根据的符号确定直线增减趋势（上升，下降），再根据的符号确定与轴交点位置（正半轴，负半轴），结合两者判断经过的象限。 【典例2】. （24-25八年级上·江苏扬州·月考）函数的图象为（   ） A． B． B． C． D． 【变式1】. （20-21八年级下·湖南永州·期末）一次函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【变式2】. （25-26八年级上·四川达州·期末）一次函数中，若，且y随着x的增大而减小，则其图象可能是（   ） A． B． C． D． 【变式3】. （25-26八年级上·山西太原·期末）一次函数的图象可能是下面的（   ） A． B． C． D． 题型03：求一次函数与坐标轴的交点 方法技巧：与轴交点：令，代入表达式求，交点为；与轴交点：令，解方程得，交点为。 【典例3】. （25-26八年级上·全国·期末）一次函数的图象与轴的交点坐标为 ． 【变式1】. （25-26八年级上·安徽池州·期末）直线在轴上的截距是（    ） A．2 B． C． D． 【变式2】. （25-26八年级上·陕西西安·期末）在平面直角坐标系中，将一次函数向下平移3个单位，则平移后的图象与轴的交点为（   ） A． B． C． D． 【变式3】. （25-26八年级上·浙江湖州·期末）在平面直角坐标系中，直线与轴的交点坐标是 ． 题型04：画一次函数的图象 方法技巧：遵循“列表→描点→连线”，一次函数优先取与坐标轴交点（坐标为整数，便于描点）；正比例函数必过原点，再取一个特殊点（如）。 【典例4】. （25-26八年级上·江苏徐州·月考）已知一次函数的图象与轴相交于点，与轴相交于点 (1)直接写出 ，两点的坐标； (2)在平面直角坐标系中画出函数的图象． 【变式1】. （25-26八年级下·全国·课后作业）画出函数的图象． (1)列表： x … －2 －1 0 1 2 … y … … (2)描点：根据表中数据描出各点． (3)连线：用平滑的线依次连接各点． x … －2 －1 0 1 2 … y … －6 －3 0 3 6 … 【变式2】. （25-26八年级上·广东河源·月考）在平面直角坐标系中，画出函数的图像，并写出与坐标轴的交点坐标． 【变式3】. （25-26八年级上·广西崇左·月考）在同一个坐标系里画出函数，的图象，并填空： 函数 经过的象限 位置关系 函数 经过的象限 位置关系 题型05：用待定系数法求一次函数表达式 方法技巧：根据已知条件设出对应表达式（正比例函数设，一次函数设），代入2个（一次函数）或1个（正比例函数）点的坐标，列方程（组）求解系数，最后写出表达式。 【典例5】. （25-26八年级上·江苏泰州·期末）已知y是x的一次函数，当时，；当时，． (1)求y关于x的函数表达式； (2)若点在这个函数的图象上，求a的值． 【变式1】. （25-26七年级上·山东泰安·期末）已知直线过点，则该直线的表达式是 ． 【变式2】. （25-26八年级下·全国·课后作业）已知一次函数的图象经过点和点，则关于的函数解析式为 ． 【变式3】. （25-26八年级上·江苏宿迁·月考）已知与成正比例，且当时，． (1)写出与之间的函数关系式． (2)若点在函数图像上，求的值． 题型06：根据图象平移求一次函数表达式 方法技巧：牢记平移规律“上加下减常数项，左加右减自变量”，先根据平移方向和单位写出平移后的表达式形式，再结合已知条件（如经过某点）确定系数。 【典例6】. （24-25八年级上·北京·期末）将直线向下平移3个单位长度得到直线，则直线的解析式为 ． 【变式1】. （25-26八年级上·江苏泰州·期末）在平面直角坐标系中，把一次函数的图象向上平移后得到直线，若直线经过点，则直线对应的函数表达式是 ． 【变式2】. （25-26八年级上·江苏无锡·月考）在平面直角坐标系中，将函数的图象向上平移2个单位长度，则平移后的图象对应的函数表达式是 ． 【变式3】. （25-26八年级下·全国·周测）将一次函数的图象向下平移3个单位，若平移后的函数图象与一次函数的图象重合，则 ． 题型07：比较一次函数值的大小 方法技巧：①代入法：将自变量值代入表达式求函数值，直接比较；②性质法：根据的符号确定增减性，结合自变量大小判断函数值大小；③图象法：在图象上找到对应点，观察纵坐标大小。 【典例7】. （江苏盐城市科创城初级中学两校2025-2026学年2月学情自测初二数学试卷）在已知点，在一次函数的图象上，则与大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式1】. （25-26八年级上·江苏盐城·期末）已知点，都在直线上，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．无法比较 【变式2】. （25-26八年级上·安徽合肥·期末）若点，，都在一次函数的图象上，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【变式3】. （25-26八年级上·江苏无锡·月考）若点，，都在的图像上，则，，的大小关系（    ） A． B． C． D． 题型08两一次函数图象共存性判断 方法技巧：先根据每个一次函数的、符号确定其经过的象限，再验证选项中两函数图象是否同时符合对应象限特征，排除参数符号矛盾的选项。 【典例8】. （25-26八年级上·浙江宁波·月考）关于 x 的一次函数和（其中 ）的图象可能是（  ） A． B． C． D． 【变式1】. （25-26八年级上·江苏连云港·月考）两个一次函数与，它们在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【变式2】. （25-26八年级上·陕西西安·期末）正比例函数的一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【变式3】. （25-26七年级上·山东泰安·期末）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象可能是（    ） A． B． C． D． 题型09：一次函数与方程、不等式的综合应用 方法技巧： ①方程解：直线与轴交点横坐标即为的解； ②不等式解集：根据直线在轴上方/下方的部分确定的取值范围； ③两直线交点：联立表达式求解，即为对应方程组的解。 【典例9】. （24-25八年级上·全国·课后作业）下列图象中，以方程的解为坐标的点组成的图象是（   ） A． B． C． D． 【变式1】. （25-26八年级上·重庆·期中）若方程的解是，则直线与x轴的交点坐标为 ． 【变式2】. （25-26八年级上·安徽合肥·期中）（1）用描点法画出函数的图象； （2）利用（1）中图象求不等式的解集； （3）利用（1）中图象求：当时，求的取值范围． x 0 1 2 3 y 5 3 1 【变式3】. （24-25八年级下·北京·月考）一次函数与在同一平面直角坐标系中的图象如图所示．则不等式的解集为 ． 题型10：求一次函数图象与坐标轴围成的三角形面积 方法技巧：先求直线与轴、轴的交点坐标和，三角形面积，注意绝对值保证面积为正。 【典例10】. （25-26八年级上·黑龙江齐齐哈尔·月考）已知一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，求的面积． 【变式1】. （25-26八年级上·安徽六安·月考）已知直线的截距为，则该直线与两坐标轴围成的三角形面积是 ． 【变式2】. （25-26八年级上·江西吉安·期中）如图，直线与轴相交于点，与轴相交于点． (1)求点，的坐标； (2)求的面积． 【变式3】. （24-25八年级上·江苏扬州·月考）如图，已知直线经过点，，与直线相交于点B，且直线交x轴于点C，直线交x轴于点D． (1)求直线的函数表达式； (2)若在x轴上有一点P，且的面积等于的面积的，求点P的坐标． 一、单选题 1．如图，直线对应的函数表达式是（    ） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，将一次函数的图象向上平移2个单位长度后，恰好经过点，则的值为（   ） A． B．5 C． D．7 3．下列函数中，随的增大而减小的是（   ） A． B． C． D． 4．如图，在平面直角坐标系中，已知直线与轴，轴分别交于，两点，若，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 5．已知点在第二象限，则一次函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．在探究正比例函数（k为常数，）的图象时，小红列表如下，其中m的值为 ． x … 0 1 2 … y … 0 m … 7．已知，是直线上的两个点，则的大小关系是 ． 8．点在一次函数的图象上，则 ． 9．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x，y轴交于A，B两点，与正比例函数的图象交于点，若一次函数的图象与直线，不能围成三角形，则k的值为 ． 10．函数的图象在第二、四象限，则一次函数的图象不经过第 象限． 三、解答题 11．已知与成正比例，当时，． (1)求出y与x的函数关系式； (2)判断点是否在函数图像上． 12．已知直线的表达式为，点，分别在轴、轴上． (1)求出点，的坐标，并在所给图中画出直线的图象； (2)将直线向上平移个单位得到直线，点，分别在轴、轴上．求出点，的坐标及直线的表达式，并在所给图中画出直线的图象； (3)若点到轴的距离为，且在直线上，求的面积． 13．如下图，已知一条直线经过点，，将这条直线向右平移使之与轴、轴分别交于点，．若，求直线对应的函数解析式． 14．如图，的三个顶点的坐标分别为、、． (1)在图中画出关于y轴对称的，并写出点的坐标； (2)点D为y轴上一点，且，求点D的坐标； (3)在x轴上是否存在一点P，使得的长最小？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 15．如图，直线：与轴、轴分别交于点，．直线经过点，与轴负半轴交于点，且．求直线对应的一次函数解析式． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $