专题16.2 函数的图象（高效培优讲义）数学新教材华东师大版八年级下册

专题16.2 函数的图象 教学目标 1.理解平面直角坐标系的概念，能准确写出点的坐标及根据坐标描点。 2.掌握点的坐标特征、对称点规律及距离计算方法，体会数形结合思想。 3.会用描点法画简单函数图象，能从图象中提取关键信息。 4.能结合实际问题分析函数图象的意义，解决简单的实际应用问题。 5.初步掌握平面直角坐标系中图形面积的计算及点的平移规律。 教学重难点 重点 1.平面直角坐标系的概念及点的坐标表示。 2.点的坐标特征、对称点坐标规律及距离计算。 3.用描点法画函数图象的步骤。 4.从函数图象中读取信息并解决简单问题。 5.平面直角坐标系中基础图形的面积计算。 难点： 1.数形结合思想的理解与运用（如根据坐标分析图形特征、根据图象分析函数关系）。 2.根据实际问题的变化规律选择或绘制函数图象。 3.含参点的坐标特征分析及多解问题的处理。 4.动点问题中函数图象的分析与判断。 5.平面直角坐标系中不规则图形的面积计算（割补法的运用）。 知识点01：平面直角坐标系 1.定义：平面内两条原点重合、互相 且单位长度相同的 组成平面直角坐标系，水平数轴为 （横轴，向右为正），铅直数轴为 （纵轴，向上为正），交点为坐标 。 2.象限划分：两条坐标轴将平面分成 象限，按 顺序为第一至第四象限，坐标轴上的点不属于任何象限。 【即学即练】 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列说法错误的是（　　） A．坐标轴上的点不属于任何象限 B．平面直角坐标系中的两条坐标轴是互相垂直的 C．坐标平面被两条坐标轴分成了四个部分，每个部分称为象限 D．平面内两条互相垂直的数轴构成平面直角坐标系 知识点02：点的坐标及特征 1.点的坐标表示：平面内任意一点，过作x轴、y轴垂线，垂足对应的数分别为横坐标、纵坐标，记作，与 对一一对应。 2.坐标特征（表格呈现）： 点的位置 坐标特征 第一象限 ， 第二象限 ， 第三象限 ， 第四象限 ， x轴上 （为任意实数） y轴上 （为任意实数） 第一、三象限角平分线 第二、四象限角平分线 平行于x轴的直线上 所有点纵坐标相等 平行于y轴的直线上 所有点横坐标相等 【即学即练】 1．（25-26八年级上·江苏宿迁·月考）在平面直角坐标系中，点所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 知识点03：与点相关的距离及对称 1.距离公式： 点到 的距离为，到 的距离为； x轴上两点、的距离为； y轴上两点、的距离为。 2.对称点坐标特征： 点关于 对称的点为； 点关于 对称的点为； 点关于 对称的点为。 【即学即练】 1．（25-26八年级上·贵州贵阳·月考）点到轴的距离为 ，到轴的距离为 ． 知识点04：函数的图象基础与画法 1.定义：把函数 与 的每对对应值作为点的横、纵坐标，在平面直角坐标系中描出的点组成的图形。 2.核心关系：图象上任意点都满足 ；满足函数表达式的任意有序实数对对应的点必在 。 3.函数图象的画法 （1）基本步骤： 列表：在自变量取值范围内选取适当 ，计算对应 ； 描点：在坐标系中描出 对对应的点； 连线：用 曲线（或直线）依次连接各点（端点需区分实心/空心）。 （2）注意事项：同一坐标轴单位长度一致，自变量取值范围需符合实际意义。 【即学即练】 1．（23-24九年级上·内蒙古呼和浩特·月考）点关于y轴的对称点的坐标是 ；点A关于原点的对称点的坐标是 ；点A关于x轴的对称点的坐标为 ． 题型01确定平面直角坐标系中点的坐标 方法技巧：过点作x轴、y轴垂线，读取垂足对应的数值，横坐标在前、纵坐标在后，记作；网格中可直接根据横纵格数确定坐标。 【典例1】. （25-26八年级上·山西运城·期末）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为（  ） A． B． C． D． 【变式1】. （2026七年级下·全国·专题练习）已知点在平面直角坐标系中的位置如图所示，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式2】. （25-26八年级上·全国·期末）在如图所示的平面直角坐标系中，画出一个长方形，使长方形的两条边长分别是3，5，且长方形一个顶点A的坐标是，并根据所画图形，写出其余3个顶点的坐标．点B的坐标是____，点C的坐标是____，点D的坐标是____． 【变式3】. （25-26八年级上·全国·期末）在如图所示的正方形网格中，的顶点A，C的坐标分别为， (1)请作出关于y轴对称的； (2)写出点，的坐标． 题型02判断点的位置（象限或坐标轴） 方法技巧：根据点的横纵坐标符号，对照象限及坐标轴的坐标特征判断；注意时在y轴，时在x轴。 【典例2】. （25-26八年级上·陕西西安·期中）在平面直角坐标系中，点所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式1】. （25-26八年级上·安徽亳州·月考）下列各点中，位于第二象限的是（  ） A． B． C． D． 【变式2】. （25-26七年级上·山东泰安·期末）在平面直角坐标系中，点所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式3】. （25-26八年级上·上海·期末）若点在轴上，则点在第 象限． 题型03根据点所在象限求参数取值范围 方法技巧：先根据点所在象限的坐标特征（如第一象限且、第二象限且等）列出关于参数的不等式组，解不等式组得到参数取值范围；若参数为整数，需在取值范围内筛选出符合条件的整数解。 【典例3】. （25-26八年级上·山东·期末）已知点在第二象限，则 a 的取值范围是 ． 【变式1】. （25-26八年级上·陕西咸阳·期末）在平面直角坐标系中，若点在轴上，则点的坐标为 ． 【变式2】. （24-25八年级上·河北邯郸·期末）已知点关于轴的对称点在第一象限，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3】. （25-26八年级上·浙江杭州·月考）在平面直角坐标系中，点在第一象限内，则a的取值范围为 ． 题型04求点关于坐标轴或原点的对称点坐标 方法技巧：遵循“关于谁对称谁不变，关于原点对称全变”原则：x轴对称（不变，变号），y轴对称（不变，变号），原点对称（、均变号）。 【典例4】. （25-26八年级上·河南开封·期末）在平面直角坐标系中，点A的坐标为，则点A关于x轴的对称点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式1】. （25-26七年级上·山东东营·期末）已知点与点关于轴对称，则的值为（    ） A．0 B．3 C． D．1 【变式2】. （25-26八年级上·海南省直辖县级单位·期末）已知关于轴的对称点为，则的值是（   ） A． B． C． D． 【变式3】. （2026八年级下·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，点P与点M关于y轴对称，点N与点M关于x轴对称．若点P的坐标为，则点N的坐标为 ． 题型05计算点到坐标轴或两点间的距离 方法技巧：点到x轴距离为，到y轴距离为；同一坐标轴上两点距离为横（纵）坐标差的绝对值。 【典例5】. （25-26八年级上·安徽阜阳·月考）点P的坐标是，那么下列说法不正确的是（   ） A．点P到x轴的距离是2，到y轴的距离是4 B．点P到x轴的距离是4，到y轴的距离是2 C．点P到x轴的距离等于它到y轴距离的2倍 D．点P到y轴的距离等于它到x轴距离的一半 【变式1】. （21-22七年级下·湖北武汉·月考）在平面直角坐标系中，第三象限的点，到坐标轴的距离，正确的说法是（    ） A．到轴的距离是 B．到轴的距离是 C．到轴的距离是 D．到轴的距离是 【变式2】. （24-25七年级下·河北秦皇岛·期中）在平面直角坐标系中，点A的坐标是，点B是第四象限内一点，且点B到轴的距离是3，到轴的距离是1，则下列说法错误的是（   ） A．轴 B．点B的坐标是 C．点A到轴的距离是2 D．点B到原点的距离大于3 【变式3】. （17-18七年级下·北京·期中）如图所示的象棋盘上，若帅位于点上，相位于点上，则： (1)炮位于点______，马位于点______； (2)马与炮的距离是______，与帅的距离是______； (3)要把炮移动到关于轴对称的位置，则移动后炮的位置是______； (4)若另一炮所在位置的坐标为，此位置到轴的距离与到轴的距离相等，则此炮的位置是______． 题型06用描点法画函数图象 方法技巧：先确定自变量取值范围，列表时选取代表性值计算值，描点后按自变量增大方向用光滑曲线（或直线）连线，注意端点虚实。 【典例6】. （25-26七年级下·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中描出下列各点：，，，，则描错的点的个数是 ． 【变式1】. （24-25八年级上·甘肃兰州·期中）兰州市第八中学是一所历史悠久、文化底蕴深厚的百年老校，是兰州市首批示范性中学．如图是我校一些地点的分布示意图，若图书馆的坐标为，广播站的坐标为． (1)请在图中画出相应的平面直角坐标系，并写出示意图中食堂和前门的坐标； (2)若学生广场的坐标为，种植园坐标为，请在图中标出学生广场和种植园的位置． 【变式2】. （25-26八年级上·全国·期末）如图，在的网格纸中，建立平面直角坐标系，已知的三个顶点坐标分别为．请按要求画图，并回答问题． (1)请在图中画出． (2)以y轴为对称轴，在图中作的轴对称图形，并写出点C的对应点F的坐标：F___________． 【变式3】. （25-26八年级上·安徽亳州·期末）如图，在平面直角坐标系中有，，三点的坐标分别为，，． (1)在平面直角坐标系中描出，，三点； (2)点与点关于直线成轴对称，请在平面直角坐标系中画出直线l． 题型07点的平移、对称、旋转与坐标变化 方法技巧： 平移：右移、左移、上移、下移； 对称：关于轴、关于轴、关于原点； 旋转：绕原点为，顺时针为，逆时针为，按类型直接推导。 【典例7】. （25-26八年级上·江苏苏州·月考）将点向右平移3个单位长度得到点，点落在轴上，则点的坐标为 ． 【变式1】. （25-26八年级上·青海西宁·期中）已知点，关于轴对称，则 ． 【变式2】. （25-26九年级上·陕西安康·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，将绕点逆时针旋转后得到，点，的对应点分别为点，，画出，并写出点的坐标． 【变式3】. （25-26八年级上·陕西西安·周测）平面直角坐标系内，已知点，点，点是点关于的对称点． (1)求点的坐标； (2)若点在轴上，过点作直线轴，点关于直线的对称点是点，那么当的面积等于24时，求点的坐标． 题型08求平面直角坐标系中图形的面积 方法技巧：规则图形直接用公式，不规则图形用割补法转化为矩形、三角形等规则图形，利用点的坐标求边长后代入计算。 【典例8】. （25-26八年级上·河南新乡·期中）在平面直角坐标系中的位置如图所示，且，，三点在格点上． (1)作出关于轴对称的，并写出点的坐标． (2)作出关于轴对称的，并写出点的坐标． (3)求的面积． 【变式1】. （24-25八年级上·湖南湘西·期中）如图，在长度为个单位长度的小正方形组成的网格中，点、、均在格点上． (1)画出关于轴对称的； (2)分别写出点，，的坐标； (3)求的面积． 【变式2】. （2025八年级上·全国·专题练习）如图，四边形各个顶点的坐标分别为，． (1)求这个四边形的面积； (2)如果把原来四边形各个顶点的横坐标都乘，纵坐标都乘，再顺次连接得到的各点，所得的四边形和原四边形的面积相比是否发生变化？面积是多少？ 【变式3】. （24-25七年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，对于任意三点的“矩面积”，给出如下定义：“水平底”为任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”为任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积”．已知：如图，． (1)若点的坐标为，则三点的“水平底”，“铅垂高”，“矩面积” ； (2)点在x轴上，若三点的“矩面积”为，直接写出点的坐标 ； (3)点， ①若三点的“矩面积”为，直接写出满足题意的的取值范围； ②若，直接写出三点的“矩面积”的取值范围 ． 题型09根据函数图象读取信息 方法技巧：先明确横、纵轴表示的变量，再分析图象的升降（函数增减性）、水平线段（变量不变）、特殊点（起点、终点、交点）的实际意义。 【典例9】. （25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）小明从家跑步到体育馆，在那里锻炼了一段时间后又跑步到书店买书，然后步行回家（小明家、书店、体育馆依次在同一直线上），如图表示的是小明离家的距离与时间的关系，则小明在体育馆锻炼的时间为（    ） A． B． C． D． 【变式1】. （25-26八年级下·全国·课后作业）“龟兔赛跑”的故事同学们都非常熟悉．下图中的线段和折线分别表示乌龟和兔子赛跑时路程（单位：）与时间（单位：）之间的关系．请你根据图象解决下列问题： (1)乌龟每分钟爬行多少米？ (2)乌龟用了多少分钟追上了正在睡觉的兔子？ (3)兔子醒来后，以的速度跑向终点，结果还是比乌龟晚到了．兔子中间停下睡觉用了多少分钟？ 【变式2】. （25-26八年级上·江苏盐城·期末）如图，已知甲列车从A地出发，以的平均速度驶向B地；乙列车在甲列车出发后，从B地出发以的平均速度驶向A地，两列车与A地的距离关于甲车行驶时间h的函数如图所示，请根据图象回答问题： (1)乙车比甲车晚出发________小时． (2)求乙车与A地的距离与甲行驶时间h之间的函数关系式． (3)甲列车出发多久与乙列车相遇？ 【变式3】. （25-26八年级下·全国·课后作业）小红星期天从家里出发骑车去舅舅家做客（中途有折返去商店购买礼物），下图是她本次去舅舅家所用的时间（单位：）与离自己家距离（单位：）的关系示意图．根据图中提供的信息回答下列问题： (1)小红家到舅舅家的路程是____________，小红在商店停留了____________． (2)在整个去舅舅家的途中，哪个时间段小红骑车速度最快？最快的速度是多少？ (3)本次去舅舅家的行程中，小红一共行驶了多少米？一共用了多少分钟？ 一、单选题 1．在平面直角坐标系中，点 位于 （    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点是（     ） A． B． C． D． 3．下列各点中，在如图所示的阴影区域内的是（   ） A． B． C． D． 4．点到x轴的距离为（   ） A． B． C．3 D．2 5．一辆货车从地去往地，一辆轿车从地去往地，同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停止运动，轿车的速度大于货车的速度．两辆车之间的距离（单位：）与货车行驶的时间（单位：）之间的函数关系如图所示．下列说法正确的是（    ） A．货车行驶到达地 B．货车的速度是 C．轿车比货车早到达目的地 D．货车行驶或，两车相距 二、填空题 6．将点向右平移3个单位，再向上平移2个单位后得到点，则点的坐标为 ． 7．定义 “新运算问题”：对于有序数对定义如下的运算 “”：，对于点，若，则点在第 象限． 8．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，将线段绕点逆时针旋转，则点对应点的坐标为 ． 9．如图，在平面直角坐标系中，点，，则点B的坐标为 ． 10．已知点，，，以，，三点为顶点画对边互相平行的四边形，则第四个顶点不可能在第 象限． 三、解答题 11．已知在平面直角坐标系中，点在轴上，求的值及点的坐标． 12．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)画出关于轴对称的，点、、的对应点分别为点、、； (2)在（1）的条件下，写出点，的坐标． 13．如图，在直角坐标平面内，已知点的坐标． (1)写出图中点的坐标：_______； (2)若点关于轴对称的点是，写出点的坐标：_______； (3)的面积是_______； (4)已知，在轴上找一点，使为以为腰的等腰三角形，则点的坐标为_______． 14．小丽和小明从甲地出发沿一条笔直的公路匀速前往乙地，甲、乙两地相距45千米，其中小丽步行，小明骑车．已知小丽先出发，小丽和小明之间的距离与小丽出发时间之间的部分函数关系如图中折线段所示． (1)小丽步行的速度是__________和小明骑车的速度是__________； (2)当两人都到达乙地时，请补全图中的函数图象，并标出必要的数据． (3)求小丽出发多长时间后，两人相距． 15．如下图，在平面直角坐标系中，用描点法分别画出函数与的图象． (1)完成下列表格． … … … … … … (2)画出函数图象． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题16.2 函数的图象 教学目标 1.理解平面直角坐标系的概念，能准确写出点的坐标及根据坐标描点。 2.掌握点的坐标特征、对称点规律及距离计算方法，体会数形结合思想。 3.会用描点法画简单函数图象，能从图象中提取关键信息。 4.能结合实际问题分析函数图象的意义，解决简单的实际应用问题。 5.初步掌握平面直角坐标系中图形面积的计算及点的平移规律。 教学重难点 重点 1.平面直角坐标系的概念及点的坐标表示。 2.点的坐标特征、对称点坐标规律及距离计算。 3.用描点法画函数图象的步骤。 4.从函数图象中读取信息并解决简单问题。 5.平面直角坐标系中基础图形的面积计算。 难点： 1.数形结合思想的理解与运用（如根据坐标分析图形特征、根据图象分析函数关系）。 2.根据实际问题的变化规律选择或绘制函数图象。 3.含参点的坐标特征分析及多解问题的处理。 4.动点问题中函数图象的分析与判断。 5.平面直角坐标系中不规则图形的面积计算（割补法的运用）。 知识点01：平面直角坐标系 1.定义：平面内两条原点重合、互相垂直且单位长度相同的数轴组成平面直角坐标系，水平数轴为x轴（横轴，向右为正），铅直数轴为y轴（纵轴，向上为正），交点为坐标原点。 2.象限划分：两条坐标轴将平面分成四个象限，按逆时针顺序为第一至第四象限，坐标轴上的点不属于任何象限。 【即学即练】 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列说法错误的是（　　） A．坐标轴上的点不属于任何象限 B．平面直角坐标系中的两条坐标轴是互相垂直的 C．坐标平面被两条坐标轴分成了四个部分，每个部分称为象限 D．平面内两条互相垂直的数轴构成平面直角坐标系 【答案】D 【分析】此题主要考查了平面直角坐标系，掌握平面直角坐标系的构成是解决本题的关键．根据平面直角坐标系中相关知识点找到正确选项即可． 【详解】解：A、坐标轴上的点不在任何一个象限内，正确，不符合题意； B、平面直角坐标系中两条坐标轴是互相垂直的，正确，不符合题意； C、坐标平面被两条坐标轴分成了四个部分，每个部分称为象限，正确，不符合题意； D、平面内，两条有公共原点且垂直的数轴构成平面直角坐标系，故说法错误，符合题意； 故选：D． 知识点02：点的坐标及特征 1.点的坐标表示：平面内任意一点，过作x轴、y轴垂线，垂足对应的数分别为横坐标、纵坐标，记作，与有序实数对一一对应。 2.坐标特征（表格呈现）： 点的位置 坐标特征 第一象限 ， 第二象限 ， 第三象限 ， 第四象限 ， x轴上 （为任意实数） y轴上 （为任意实数） 第一、三象限角平分线 第二、四象限角平分线 平行于x轴的直线上 所有点纵坐标相等 平行于y轴的直线上 所有点横坐标相等 【即学即练】 1．（25-26八年级上·江苏宿迁·月考）在平面直角坐标系中，点所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题考查了平面直角坐标系中各象限点的坐标符号特征． 根据平面直角坐标系中各象限点的坐标符号特征，第一象限，第二象限，第三象限，第四象限，点的横坐标为正，纵坐标为负，因此在第四象限． 【详解】解：∵点P的横坐标，纵坐标， ∴点P在第四象限． 故选：D． 知识点03：与点相关的距离及对称 1.距离公式： 点到x轴的距离为，到y轴的距离为； x轴上两点、的距离为； y轴上两点、的距离为。 2.对称点坐标特征： 点关于x轴对称的点为； 点关于y轴对称的点为； 点关于原点对称的点为。 【即学即练】 1．（25-26八年级上·贵州贵阳·月考）点到轴的距离为 ，到轴的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查了点到坐标轴的距离，根据点到轴的距离等于其纵坐标的绝对值，点到轴的距离等于其横坐标的绝对值即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：点到轴的距离为，到轴的距离为， 故答案为：，． 知识点04：函数的图象基础与画法 1.定义：把函数自变量与函数值的每对对应值作为点的横、纵坐标，在平面直角坐标系中描出的点组成的图形。 2.核心关系：图象上任意点都满足函数表达式；满足函数表达式的任意有序实数对对应的点必在图象上。 3.函数图象的画法 （1）基本步骤： 列表：在自变量取值范围内选取适当值，计算对应值； 描点：在坐标系中描出有序实数对对应的点； 连线：用光滑曲线（或直线）依次连接各点（端点需区分实心/空心）。 （2）注意事项：同一坐标轴单位长度一致，自变量取值范围需符合实际意义。 【即学即练】 1．（23-24九年级上·内蒙古呼和浩特·月考）点关于y轴的对称点的坐标是 ；点A关于原点的对称点的坐标是 ；点A关于x轴的对称点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，中心对称，关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数，关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同，关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数，据此求解即可． 【详解】解；点关于y轴的对称点的坐标是；点A关于原点的对称点的坐标是；点A关于x轴的对称点的坐标为， 故答案为：；；． 题型01确定平面直角坐标系中点的坐标 方法技巧：过点作x轴、y轴垂线，读取垂足对应的数值，横坐标在前、纵坐标在后，记作；网格中可直接根据横纵格数确定坐标。 【典例1】. （25-26八年级上·山西运城·期末）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了平面直角坐标系中点的坐标．根据点在坐标系中的位置写出坐标即可． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点的坐标为． 故选：A 【变式1】. （2026七年级下·全国·专题练习）已知点在平面直角坐标系中的位置如图所示，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的坐标确定方法，掌握横坐标看轴、纵坐标看轴，左负右正、上正下负的规则是解题的关键． 根据平面直角坐标系中点的坐标定义，先确定点到轴的水平距离和到轴的垂直距离，再结合所在象限确定坐标的正负． 【详解】解：点在轴左侧，距离轴个单位长度，因此横坐标为； 确定点纵坐标在轴上方，距离轴个单位长度，因此纵坐标为； 写出点的坐标为，对应选项B． 故选：B． 【变式2】. （25-26八年级上·全国·期末）在如图所示的平面直角坐标系中，画出一个长方形，使长方形的两条边长分别是3，5，且长方形一个顶点A的坐标是，并根据所画图形，写出其余3个顶点的坐标．点B的坐标是____，点C的坐标是____，点D的坐标是____． 【答案】图形见解析；；；（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了坐标与图形．根据坐标与图形的性质解答即可． 【详解】解：∵长方形的两条边长分别是3，5， ∴， 如图，长方形即为所求； 点B的坐标是，点C的坐标是，点D的坐标是． 故答案为：；；（答案不唯一） 【变式3】. （25-26八年级上·全国·期末）在如图所示的正方形网格中，的顶点A，C的坐标分别为， (1)请作出关于y轴对称的； (2)写出点，的坐标． 【答案】(1)见详解 (2)， 【分析】本题主要考查平面直角坐标系的特点，作轴对称图形，掌握平面直角坐标系的特点是关键． （1）根据轴对称图形的性质作图即可； （2）根据平面直角坐标系的特点，结合图形即可求解． 【详解】（1）解：如图所示， ∴即为所求图形； （2）解：根据图示，． 题型02判断点的位置（象限或坐标轴） 方法技巧：根据点的横纵坐标符号，对照象限及坐标轴的坐标特征判断；注意时在y轴，时在x轴。 【典例2】. （25-26八年级上·陕西西安·期中）在平面直角坐标系中，点所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征．根据各象限内的点坐标的符号特征：在第四象限即可解答． 【详解】解： ，， 点所在的象限是第四象限， 故选：D． 【变式1】. （25-26八年级上·安徽亳州·月考）下列各点中，位于第二象限的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平面直角坐标系象限的定义，第二象限的点横坐标为负，纵坐标为正．根据坐标点的位置特征逐一判断即可． 【详解】解：∵第二象限的点需满足且， ∴选项B：中，，，符合条件； 选项A：中，，，位于第一象限； 选项C：中，，，位于第三象限； 选项D：中，，，位于第四象限． 因此，只有选项B位于第二象限． 故选：B． 【变式2】. （25-26七年级上·山东泰安·期末）在平面直角坐标系中，点所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】本题考查平面直角坐标系，正确掌握各个象限内坐标的符号特点是解题的关键．通过分析点的横纵坐标符号，即可求解． 【详解】解： ， ， 点P横坐标为负，纵坐标为负， 点P在第三象限． 故选：C． 【变式3】. （25-26八年级上·上海·期末）若点在轴上，则点在第 象限． 【答案】四 【分析】本题考查了平面直角坐标系中的点的坐标特征，解题的关键是掌握数形结合的思想． 根据y轴上点的横坐标为0，求出m的值，再代入点B的坐标，判断其所在象限即可． 【详解】点A在y轴上， ，解得， ，故点B在第四象限． 故答案为：四． 题型03根据点所在象限求参数取值范围 方法技巧：先根据点所在象限的坐标特征（如第一象限且、第二象限且等）列出关于参数的不等式组，解不等式组得到参数取值范围；若参数为整数，需在取值范围内筛选出符合条件的整数解。 【典例3】. （25-26八年级上·山东·期末）已知点在第二象限，则 a 的取值范围是 ． 【答案】a < / 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，根据第二象限内点的横坐标小于零，纵坐标大于零，由点P的纵坐标已满足大于零，只需横坐标小于零，列出不等式求解． 【详解】解：∵点在第二象限， ∴横坐标， 解得， 故答案为：． 【变式1】. （25-26八年级上·陕西咸阳·期末）在平面直角坐标系中，若点在轴上，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标轴上点的坐标特征，根据轴上的点横坐标为，求出的值，进而即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵点在轴上， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标为， 故答案为：． 【变式2】. （24-25八年级上·河北邯郸·期末）已知点关于轴的对称点在第一象限，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了关于轴对称的点的坐标特征，第一象限内点的坐标符号特征，先根据关于轴对称的点的坐标特征求出点的对称点，再根据第一象限内的点横坐标和纵坐标是正数列出关于的不等式组，解不等式组即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵点关于轴的对称点为，且该点在第一象限， ∴ ， 解得， 故选：． 【变式3】. （25-26八年级上·浙江杭州·月考）在平面直角坐标系中，点在第一象限内，则a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了第一象限点的坐标特征，求不等式组的解集．根据平面直角坐标系第一象限点的坐标特征，横坐标和纵坐标均大于零，列出不等式组求解 【详解】解：∵点在第一象限， ∴． 解得； 解得． ∴． 故答案为：． 题型04求点关于坐标轴或原点的对称点坐标 方法技巧：遵循“关于谁对称谁不变，关于原点对称全变”原则：x轴对称（不变，变号），y轴对称（不变，变号），原点对称（、均变号）。 【典例4】. （25-26八年级上·河南开封·期末）在平面直角坐标系中，点A的坐标为，则点A关于x轴的对称点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查关于轴对称的点的特征，熟练掌握关于轴对称的点的特征是关键．根据关于轴对称的点横坐标不变，纵坐标互为相反数，即可得出答案． 【详解】解：点A的坐标为， 点A关于x轴的对称点的坐标是． 故选：D． 【变式1】. （25-26七年级上·山东东营·期末）已知点与点关于轴对称，则的值为（    ） A．0 B．3 C． D．1 【答案】B 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中点的对称特点，根据两点关于y轴对称，则横坐标互为相反数，纵坐标相等，由此列式求解． 【详解】解：∵点与点关于y轴对称， ∴，， 解得，， ∴， 故选：B． 【变式2】. （25-26八年级上·海南省直辖县级单位·期末）已知关于轴的对称点为，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了关于轴对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律．根据关于轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，即可求解． 【详解】解：关于轴的对称点为， 横坐标不变，即． 故选：D． 【变式3】. （2026八年级下·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，点P与点M关于y轴对称，点N与点M关于x轴对称．若点P的坐标为，则点N的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了关于坐标轴对称的点的坐标特征，解题的关键是掌握：点关于轴的对称点的坐标是；关于轴的对称点的坐标是． 根据关于轴对称和关于轴对称的点的坐标特征，先由点的坐标求出点的坐标，再由点的坐标求出点的坐标 【详解】解：点的坐标为， ∵点与点关于轴对称， ∴点的横坐标为，纵坐标为，即点的坐标为； ∵点与点关于轴对称， ∴点的横坐标为，纵坐标为，即点的坐标为． 故答案为：． 题型05计算点到坐标轴或两点间的距离 方法技巧：点到x轴距离为，到y轴距离为；同一坐标轴上两点距离为横（纵）坐标差的绝对值。 【典例5】. （25-26八年级上·安徽阜阳·月考）点P的坐标是，那么下列说法不正确的是（   ） A．点P到x轴的距离是2，到y轴的距离是4 B．点P到x轴的距离是4，到y轴的距离是2 C．点P到x轴的距离等于它到y轴距离的2倍 D．点P到y轴的距离等于它到x轴距离的一半 【答案】A 【分析】本题考查点到坐标轴的距离． 由点的坐标，可得点P到轴的距离，点P到轴的距离，即可求解． 【详解】解：∵点的坐标为， ∴点到轴的距离为，到轴的距离为， ∴选项A符合题意，选项B不符合题意， ∵，， ∴点P到x轴的距离等于它到y轴距离的2倍，点P到y轴的距离等于它到x轴距离的一半， ∴选项C、D不符合题意． 故选：A． 【变式1】. （21-22七年级下·湖北武汉·月考）在平面直角坐标系中，第三象限的点，到坐标轴的距离，正确的说法是（    ） A．到轴的距离是 B．到轴的距离是 C．到轴的距离是 D．到轴的距离是 【答案】C 【分析】根据点到轴的距离是纵坐标的绝对值，到轴的距离是横坐标的绝对值，解答即可． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点到轴的距离是纵坐标的绝对值，到轴的距离是横坐标的绝对值， 所以点，到轴的距离是，到轴的距离是． 故选：． 【点睛】本题考查了在直角坐标系中点到坐标轴的距离，掌握点到轴的距离是纵坐标的绝对值，到轴的距离是横坐标的绝对值是解题的关键． 【变式2】. （24-25七年级下·河北秦皇岛·期中）在平面直角坐标系中，点A的坐标是，点B是第四象限内一点，且点B到轴的距离是3，到轴的距离是1，则下列说法错误的是（   ） A．轴 B．点B的坐标是 C．点A到轴的距离是2 D．点B到原点的距离大于3 【答案】B 【分析】本题考查了点的坐标特征，点到坐标轴的距离及点到原点的距离，正确理解点的坐标特征是解题的关键．根据点的坐标特征，可逐步求得点B的坐标，点A到坐标轴的距离，与y轴的位置关系，点B到原点的距离，即可判断答案． 【详解】解：A、根据点B到轴的距离是3，到轴的距离是1，可得，所以轴，选项A正确，不符合题意； B、根据点B到轴的距离是3，到轴的距离是1，可得，所以选项B错误，符合题意； C、根据点A的坐标是，所以点A到轴的距离是2，选项C正确，不符合题意； D、点B到原点的距离为，所以选项C正确，不符合题意． 故选：B． 【变式3】. （17-18七年级下·北京·期中）如图所示的象棋盘上，若帅位于点上，相位于点上，则： (1)炮位于点______，马位于点______； (2)马与炮的距离是______，与帅的距离是______； (3)要把炮移动到关于轴对称的位置，则移动后炮的位置是______； (4)若另一炮所在位置的坐标为，此位置到轴的距离与到轴的距离相等，则此炮的位置是______． 【答案】(1)， (2)3，2 (3) (4)或 【分析】本题考查了平面直角坐标系的应用、坐标与图象变换-轴对称，根据已知两点的坐标建立平面直角坐标系是解题的关键． （1）根据已知得到平面直角坐标系，在坐标系中进行判断即可得； （2）结合坐标系，观察图形即可得； （3）结合图形和轴对称的性质即可得； （4）根据点到x轴的距离与到y轴的距离相等，则可知此时点的横、纵坐标相等或互为相反数，据此列方程求出m的值后即可得． 【详解】（1）解：由题意，建立平面直角坐标系如图所示， ， 根据坐标系可知，炮位于点，马位于点， 故答案为：，； （2）解：由图可知马与炮的距离是3，与帅的距离是2， 故答案为3，2； （3）解：要把炮移动到关于y轴对称的位置，由图可知移动后炮的位置是，故答案为：； （4）解：由题意得或，解得：或， 则此炮的位置是或， 故答案为：或． 题型06用描点法画函数图象 方法技巧：先确定自变量取值范围，列表时选取代表性值计算值，描点后按自变量增大方向用光滑曲线（或直线）连线，注意端点虚实。 【典例6】. （25-26七年级下·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中描出下列各点：，，，，则描错的点的个数是 ． 【答案】1 【分析】本题考查点的坐标，解题的关键是掌握点的坐标的定义． 对于坐标平面内的任意一点，过点分别向轴、轴作垂线，垂足在轴、轴上对应的数分别叫作点的横坐标和纵坐标，有序数对叫作点的坐标，据此解答即可． 【详解】解：由图可知：点的坐标为，，，， 根据题意可得描错的点是． 故答案为：． 【变式1】. （24-25八年级上·甘肃兰州·期中）兰州市第八中学是一所历史悠久、文化底蕴深厚的百年老校，是兰州市首批示范性中学．如图是我校一些地点的分布示意图，若图书馆的坐标为，广播站的坐标为． (1)请在图中画出相应的平面直角坐标系，并写出示意图中食堂和前门的坐标； (2)若学生广场的坐标为，种植园坐标为，请在图中标出学生广场和种植园的位置． 【答案】(1)图见详解，食堂的坐标为；前门的坐标为, (2)图见详解 【分析】此题考查了坐标确定位置，正确找到原点坐标是解答本题的关键． （1）将图书馆的坐标向左平移2个单位，向下平移4个单位即可得到原点坐标，据此即可作出坐标轴，再根据坐标系即可找到食堂和前门的坐标； （2）根据食堂的坐标，在坐标系中标明即可． 【详解】（1）解：作图如下： 根据坐标系可知食堂的坐标为；前门的坐标为 （2）学生广场和种植园的位置，如上图所示： 【变式2】. （25-26八年级上·全国·期末）如图，在的网格纸中，建立平面直角坐标系，已知的三个顶点坐标分别为．请按要求画图，并回答问题． (1)请在图中画出． (2)以y轴为对称轴，在图中作的轴对称图形，并写出点C的对应点F的坐标：F___________． 【答案】(1)见解析 (2)图见解析， 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，坐标与图形，熟知关于y轴对称的点的坐标特点是解题的关键． （1）根据点的坐标，先描点，再连线画出对应的图形即可； （2）关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相同，据此可得点D、E、F的坐标，描出点D、E、F，并顺次连接点D、E、F即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求，点F的坐标为． 【变式3】. （25-26八年级上·安徽亳州·期末）如图，在平面直角坐标系中有，，三点的坐标分别为，，． (1)在平面直角坐标系中描出，，三点； (2)点与点关于直线成轴对称，请在平面直角坐标系中画出直线l． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了点的坐标、画对称轴； （1）根据三点的坐标描点； （2）利用网格的特点，作直线的垂直平分线即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，直线即为所求． 题型07点的平移、对称、旋转与坐标变化 方法技巧： 平移：右移、左移、上移、下移； 对称：关于轴、关于轴、关于原点； 旋转：绕原点为，顺时针为，逆时针为，按类型直接推导。 【典例7】. （25-26八年级上·江苏苏州·月考）将点向右平移3个单位长度得到点，点落在轴上，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了点坐标的平移，熟练掌握点坐标的平移规律是解题关键．先根据点坐标的平移规律可得，再根据轴上的点的横坐标等于0可得的值，据此解答即可得． 【详解】解：∵将点向右平移3个单位长度得到点， ∴，即， ∵点落在轴上， ∴， ∴， ∴，， ∴． 故答案为：． 【变式1】. （25-26八年级上·青海西宁·期中）已知点，关于轴对称，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了在直角坐标系中点的对称，根据关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，列出方程求解和，再计算它们的和． 【详解】点和点关于轴对称， 横坐标相等，即，解得， 纵坐标互为相反数，即，解得， ， 故答案为． 【变式2】. （25-26九年级上·陕西安康·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，将绕点逆时针旋转后得到，点，的对应点分别为点，，画出，并写出点的坐标． 【答案】图见解析，点的坐标为 【分析】本题考查了坐标系中的旋转，求绕某点（非原点）旋转度的点的坐标，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解．先画出图形，再写出点的坐标即可. 【详解】解：∵的三个顶点坐标分别为，，，将绕点逆时针旋转后得到，如图， 点，的对应点分别为点，， ∴点的坐标为． 【变式3】. （25-26八年级上·陕西西安·周测）平面直角坐标系内，已知点，点，点是点关于的对称点． (1)求点的坐标； (2)若点在轴上，过点作直线轴，点关于直线的对称点是点，那么当的面积等于24时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 或 【分析】本题主要考查了坐标与图形，对称变换，解题的关键是掌握对称的定义和性质． （1）设，根据点C是点A关于的对称点，利用对称的性质即可求解； （2）设，利用对称的性质求出，得到，再根据且，可得，即可得到答案． 【详解】（1）解：设， 根据题意，得， 解得， 则； （2）解：设， ∵点关于直线的对称点是点，，过点作直线轴， ∴， ∴， ∵且， ∴，即， 解得或， ∴点的坐标为或． 题型08求平面直角坐标系中图形的面积 方法技巧：规则图形直接用公式，不规则图形用割补法转化为矩形、三角形等规则图形，利用点的坐标求边长后代入计算。 【典例8】. （25-26八年级上·河南新乡·期中）在平面直角坐标系中的位置如图所示，且，，三点在格点上． (1)作出关于轴对称的，并写出点的坐标． (2)作出关于轴对称的，并写出点的坐标． (3)求的面积． 【答案】(1)见解析， (2)见解析， (3) 【分析】本题考查作图，轴对称变换，三角形面积等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质． （1）利用轴对称变换的性质分别作出，，的对应点，，即可； （2）利用轴对称变换的性质分别作出，，的对应点，，即可； （3）利用三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：（1）如图所示．点的坐标为． （2）如图所示．点的坐标为． （3）顺次连接、、， 的面积． 【变式1】. （24-25八年级上·湖南湘西·期中）如图，在长度为个单位长度的小正方形组成的网格中，点、、均在格点上． (1)画出关于轴对称的； (2)分别写出点，，的坐标； (3)求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)，， (3) 【分析】本题考查了格点画图问题、轴对称图形的坐标变化、三角形面积问题，熟练掌握轴对称图形的坐标变化规律是解题的关键．小问，根据关于轴对称的对应点关系，找到对应点的位置，依次连接即可得到所求图形；小问，依据坐标系中的数据，找到对应的横纵坐标即可；可通过勾股定理的逆定理证明为等腰直角三角形，面积可用求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求， ． （2）解：观察图象可得，，，． 故答案为，，． （3）解：∵，，， ∴，， ∵，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴． 故答案为． 【变式2】. （2025八年级上·全国·专题练习）如图，四边形各个顶点的坐标分别为，． (1)求这个四边形的面积； (2)如果把原来四边形各个顶点的横坐标都乘，纵坐标都乘，再顺次连接得到的各点，所得的四边形和原四边形的面积相比是否发生变化？面积是多少？ 【答案】(1) (2)面积不发生变化，其面积是 【分析】本题考查图形与坐标，数形结合是解决问题的关键． （1）作轴于点轴于点，如图所示，数形结合得到，代值求解即可得到答案； （2）由题意可知，所得的四边形和原四边形关于原点对称，图形形状不变，则面积不发生变化，即可得到答案． 【详解】（1）解：作轴于点轴于点，如图所示： ； （2）解：由题意可知，所得的四边形和原四边形关于原点对称，图形形状不变，则面积不发生变化，其面积是． 【变式3】. （24-25七年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，对于任意三点的“矩面积”，给出如下定义：“水平底”为任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”为任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积”．已知：如图，． (1)若点的坐标为，则三点的“水平底”，“铅垂高”，“矩面积” ； (2)点在x轴上，若三点的“矩面积”为，直接写出点的坐标 ； (3)点， ①若三点的“矩面积”为，直接写出满足题意的的取值范围； ②若，直接写出三点的“矩面积”的取值范围 ． 【答案】(1) (2)或 (3)① ；② 【分析】本题考查了坐标与图形，不等式组的解法，属于新定义题型，理解题意，注意分类讨论是解题的关键． （1）根据题意直接求解即可； （2）根据题意求出，设，分两种情况：当时，当时；分别求出点坐标即可； （3）①根据题意得到三点的“矩面积”最小为，得到，解得； ②由题得，继而得到，即可得到答案． 【详解】（1）解：“水平底”，“铅垂高”， ， 故答案为：； （2）解： 三点的“矩面积”为，点在x轴上， 三点的“铅垂高”， 三点的“水平底”， 设， 当时，， 解得， ； 当时， ， 解得；， ； 综上所述，点的坐标为或； 故答案为：或； （3）解：① ，， 三点的“矩面积”最小为 ， 解得； ②， ， ， ， ， 故答案为：． 题型09根据函数图象读取信息 方法技巧：先明确横、纵轴表示的变量，再分析图象的升降（函数增减性）、水平线段（变量不变）、特殊点（起点、终点、交点）的实际意义。 【典例9】. （25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）小明从家跑步到体育馆，在那里锻炼了一段时间后又跑步到书店买书，然后步行回家（小明家、书店、体育馆依次在同一直线上），如图表示的是小明离家的距离与时间的关系，则小明在体育馆锻炼的时间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查函数图像的解读，需结合横纵坐标含义(横坐标为时间，纵坐标为离家距离)，分析图像，第一段水平线段表示小明在体育馆锻炼，第二段水平线段表示小明在书店买书． 【详解】解：小明在体育馆锻炼时，离家距离不变，对应图像中第一段上升后的水平线段，锻炼时间为该水平线段的结束时间减去开始时间，水平线段起点为，终点为，锻炼时间为． 故选． 【变式1】. （25-26八年级下·全国·课后作业）“龟兔赛跑”的故事同学们都非常熟悉．下图中的线段和折线分别表示乌龟和兔子赛跑时路程（单位：）与时间（单位：）之间的关系．请你根据图象解决下列问题： (1)乌龟每分钟爬行多少米？ (2)乌龟用了多少分钟追上了正在睡觉的兔子？ (3)兔子醒来后，以的速度跑向终点，结果还是比乌龟晚到了．兔子中间停下睡觉用了多少分钟？ 【答案】(1)乌龟每分钟爬行 (2)乌龟用了追上了正在睡觉的兔子 (3)兔子中间停下睡觉用了 【分析】（1）根据点实际意义可知乌龟的速度； （2）利用兔子睡觉前行驶的路程是米，结合乌龟的速度求出所用的时间； （3）根据比乌龟晚到了分钟求出兔子走完全程的时间，再得出兔子醒来后奔跑所用时间，求解可得． 【详解】（1）解：， 即乌龟每分钟爬行． （2）， 即乌龟用了追上了正在睡觉的兔子． （3）， ， 即兔子中间停下睡觉用了． 【点睛】本题考查函数的图象，解答时认真分析函数图象意义是解答本题的关键． 【变式2】. （25-26八年级上·江苏盐城·期末）如图，已知甲列车从A地出发，以的平均速度驶向B地；乙列车在甲列车出发后，从B地出发以的平均速度驶向A地，两列车与A地的距离关于甲车行驶时间h的函数如图所示，请根据图象回答问题： (1)乙车比甲车晚出发________小时． (2)求乙车与A地的距离与甲行驶时间h之间的函数关系式． (3)甲列车出发多久与乙列车相遇？ 【答案】(1) (2) (3)小时 【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，列函数关系式，一元一次方程的应用，正确读懂函数图象是解题的关键． （1）根据函数图象即可得到答案； （2）根据函数图象可知，A、B两地相距，当时，，当时，用200减去乙所走的路程即可得到答案； （3）根据两车相遇时路程之和为建立方程求解即可． 【详解】（1）解：由函数图象可知，乙车比甲车晚出发小时； （2）解：当时，， ， 当时，； 综上所述，； （3）解：由题意得，， 解得， 答：甲列车出发小时与乙列车相遇． 【变式3】. （25-26八年级下·全国·课后作业）小红星期天从家里出发骑车去舅舅家做客（中途有折返去商店购买礼物），下图是她本次去舅舅家所用的时间（单位：）与离自己家距离（单位：）的关系示意图．根据图中提供的信息回答下列问题： (1)小红家到舅舅家的路程是____________，小红在商店停留了____________． (2)在整个去舅舅家的途中，哪个时间段小红骑车速度最快？最快的速度是多少？ (3)本次去舅舅家的行程中，小红一共行驶了多少米？一共用了多少分钟？ 【答案】(1)1500，4 (2)在速度最快，为． (3)共行驶了，共用了． 【分析】（1）根据图象，路程的最大值即为小红家到舅舅家的路程；读图，对应题意找到其在商店停留的时间段，进而可得其在商店停留的时间； （2）分析图象，找函数变化最快的一段，可得小红骑车速度最快的时间段，进而可得其速度； （3）分开始行驶的路程，折回商店行驶的路程以及从商店到舅舅家行驶的路程三段相加即可求得小红一共行驶路程；读图即可求得本次去舅舅家的行程中，小红一共用的时间． 【详解】（1）解：，． 根据图象舅舅家纵坐标为，小红家的纵坐标为，故小红家到舅舅家的路程是米； 据题意，小红在商店停留的时间为从到，故小红在商店停留了分钟． （2）解：根据图象，时，直线最陡，故小红在这一时间段速度最快，为． （3）解：小红共行驶了，共用了． 【点睛】本题考查利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决． 一、单选题 1．在平面直角坐标系中，点 位于 （    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，正确掌握各象限内点的坐标特点是解题关键． 根据平面直角坐标系中点的坐标特征，通过坐标符号判断点所在象限． 【详解】解：点的坐标为，其中，， 点位于第二象限． 故选． 2．在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了关于y轴对称点的特点．直接利用关于y轴对称点的特点（纵坐标不变，横坐标互为相反数）得出答案． 【详解】解：点关于y轴的对称点的坐标是， 故选：A． 3．下列各点中，在如图所示的阴影区域内的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平面直角坐标系中各象限内点的坐标特征，先确定阴影区域所在的象限，再判断各选项中点所在的象限，从而找出在阴影区域内的点． 【详解】解：∵平面直角坐标系中，第二象限内的点的横坐标为负，纵坐标为正，观察图形可知阴影区域位于第二象限； A选项的横坐标为正，纵坐标为正，在第一象限，不在阴影区域内； B选项的横坐标为负，纵坐标为正，在第二象限，在阴影区域内； C选项的横坐标为负，纵坐标为负，在第三象限，不在阴影区域内； D选项的横坐标为正，纵坐标为负，在第四象限，不在阴影区域内； 故选：B． 4．点到x轴的距离为（   ） A． B． C．3 D．2 【答案】C 【分析】本题考查点到坐标轴的距离，掌握知识点是解题的关键． 点到x轴的距离是其纵坐标的绝对值，即可解答． 【详解】解：点到x轴的距离等于其纵坐标的绝对值，即为． 故选C． 5．一辆货车从地去往地，一辆轿车从地去往地，同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停止运动，轿车的速度大于货车的速度．两辆车之间的距离（单位：）与货车行驶的时间（单位：）之间的函数关系如图所示．下列说法正确的是（    ） A．货车行驶到达地 B．货车的速度是 C．轿车比货车早到达目的地 D．货车行驶或，两车相距 【答案】C 【分析】本题考查了函数图象在实际行程问题中的运用，正确读取函数图象上的信息，结合题意进行分析是解题的关键．根据题意和函数图象中的数据，可以逐一判断各个小题中的结论是否成立，从而可以求解． 【详解】解：A、根据函数图象可知，货车行驶与轿车相遇，未到达B地，故该选项错误，不符合题意； B、∵轿车用了从B地到达了A地，两地相距， ∴轿车的速度为：， ∵两车相遇时间为， ∴货车的速度为：，故该选项说法错误，不符合题意； C、∵货车速度为， 又∵， ∴货车到达目的地用时， 轿车到达目的地用时， ， ， 即轿车比货车早到达目的地，故该选项说法正确，符合题意； D、相遇前两车相距时，货车行驶的时间是： ， ， 根据图象可得：当相遇后两车相距时，轿车到达目的地， ∴两车相遇后两车相距时，货车行驶的时间是： ，故该选项说法错误，不符合题意． 故选：C． 二、填空题 6．将点向右平移3个单位，再向上平移2个单位后得到点，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的平移规律．点的平移规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减，据此求解即可． 【详解】将点向右平移3个单位，横坐标增加3，变为；再向上平移2个单位，纵坐标增加2，变为． 因此点的坐标为． 故答案为：． 7．定义 “新运算问题”：对于有序数对定义如下的运算 “”：，对于点，若，则点在第 象限． 【答案】一 【分析】本题考查了新定义运算，判断点所在的象限，读懂题目信息，理解“”的运算方法是解题的关键．根据新运算规则表示出，结合，得到和的值，从而确定点的坐标，并判断象限即可． 【详解】解：由运算定义，． ， ，， 点的坐标为， 点在第一象限． 故答案为：一． 8．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，将线段绕点逆时针旋转，则点对应点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形，旋转的性质，等腰三角形的判定与性质，将线段绕点逆时针旋转得到，过点作轴于点，则，由旋转的性质得出，，则为等腰直角三角形，求出，即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，将线段绕点逆时针旋转得到，过点作轴于点，则， ， ∵点的坐标为， ∴， 由旋转的性质可得，， ∴为等腰直角三角形， ∴由勾股定理得， ∴点对应点的坐标为， 故答案为：． 9．如图，在平面直角坐标系中，点，，则点B的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，写出直角坐标系中点的坐标，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键．根据等角对等边可知为等腰三角形，然后过点B作y轴的垂线，利用等腰三角形的性质求得垂线的长度，结合点B所在象限，即可解答． 【详解】解：如图，过点B作轴于点D， ∵，， ∴，，， ∴为等腰三角形， ∴， ∴点B的坐标为． 故答案为：． 10．已知点，，，以，，三点为顶点画对边互相平行的四边形，则第四个顶点不可能在第 象限． 【答案】三 【分析】此题重点考查坐标与图形性质、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地进行分类讨论并且画出相应的图形是解题的关键． 首先根据已知在直角坐标系中标出点、、的位置，然后连接、、，接下来分别以、、三条线段为平行四边形的对角线，进行分类讨论，结合图形进行判断即可得到结论． 【详解】解：在坐标系中表示出点，，，如图所示： 如果以线段为对角线，、为边，作平行四边形，则第四个顶点在第四象限； 如果以线段为对角线，、为边，作平行四边形，则第四个顶点在第一象限； 如果以线段为对角线，、为边，作平行四边形，则第四个顶点在第二象限． 综上，第四个顶点可能在第一、第二、第四象限，不可能在第三象限． 故答案为：三． 三、解答题 11．已知在平面直角坐标系中，点在轴上，求的值及点的坐标． 【答案】， 【分析】本题考查坐标轴上的点的坐标特征，能够熟练掌握数形结合思想是解决本题的关键．根据坐标轴上的点的坐标特征可求出的值． 【详解】解：点在轴上 即 解得 点的坐标为． 12．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)画出关于轴对称的，点、、的对应点分别为点、、； (2)在（1）的条件下，写出点，的坐标． 【答案】(1)见详解； (2)， 【分析】本题考查在直角坐标系中画轴对称图形，关于y轴对称的点的坐标； （1）找出对应点连接即可； （2）根据对称点的坐标的性质即可解答． 【详解】（1）解：如图即为所求， （2）解：∵，关于轴对称的点分别为点、， ∴，． 13．如图，在直角坐标平面内，已知点的坐标． (1)写出图中点的坐标：_______； (2)若点关于轴对称的点是，写出点的坐标：_______； (3)的面积是_______； (4)已知，在轴上找一点，使为以为腰的等腰三角形，则点的坐标为_______． 【答案】(1)； (2)； (3)12； (4)或． 【分析】本题考查关于轴、轴对称的点的坐标、等腰三角形的判定、三角形的面积等，掌握关于轴、轴对称的点的坐标特征、等腰三角形的判定是解答本题的关键． （1）由图可直接得出答案； （2）关于轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等，由此可得答案； （3）利用三角形的面积公式计算即可； （4）结合等腰三角形的判定、三线合一、勾股定理可得答案． 【详解】（1）解：由图可得，点的坐标为． 故答案为：． （2）∵点关于轴对称的点是， ∴点的坐标为． 故答案为：． （3）解：∵点，点， ∴， ∵点， ∴点到直线的距离， ∴ 故答案为：． （4）如图， ①若点为等腰三角形的顶点，即， ∵， ∴或（舍）． ②若点为等腰三角形的顶点，， ∵如图点， ∴轴 ∴， ∴， ∴点的坐标为或． 故答案为：或． 14．小丽和小明从甲地出发沿一条笔直的公路匀速前往乙地，甲、乙两地相距45千米，其中小丽步行，小明骑车．已知小丽先出发，小丽和小明之间的距离与小丽出发时间之间的部分函数关系如图中折线段所示． (1)小丽步行的速度是__________和小明骑车的速度是__________； (2)当两人都到达乙地时，请补全图中的函数图象，并标出必要的数据． (3)求小丽出发多长时间后，两人相距． 【答案】(1)； (2)见解析 (3)或或 【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，一元一次方程的应用，能从图象获取信息是解题的关键． （1）由函数图象可知，段表示小丽出发，小明未出发的情形，段表示小明追赶小丽的情形，据此根据路程等于速度乘以时间先求出小丽的速度，进而求出小明的速度即可； （2）根据（1）所求分别求出小明和小丽到达终点需要的时间，再求出小明到达终点时，小丽的出发时间，以及此时二人的距离，据此补全函数图象即可； （3）分三种情况求解：①小丽出发，而小明还未出发；②小明出发，但两人还未相遇；③小明追上小丽后，列方程求解即可． 【详解】（1）解：由函数图象可知，段表示小丽出发，小明未出发的情形，段表示小明追赶小丽的情形， ∴小丽的速度为， ∴小明的速度为； 故答案为：；． （2）解：小明到达终点需要的时间为， 小丽到达终点需要的时间为， ∴小丽出发6小时时，小明到达终点，此时二人相距， 如图所示，即为所求． （3）解：当小丽出发，而小明还未出发，若两人相距，小丽已经出发了； 当小明出发，但两人还未相遇时，若两人相距，则 ，解得； 当小明追上小丽后，若两人相距，则， 解得； 综上所述，小丽出发或或时，两人相距． 15．如下图，在平面直角坐标系中，用描点法分别画出函数与的图象． (1)完成下列表格． … … … … … … (2)画出函数图象． 【答案】(1)列表见解析 (2)函数图像见解析 【分析】本题考查了描点法画函数图象，根据题意正确画出函数图象是解题的关键． （1）列表找出点的坐标即可； （2）利用描点法画函数图象即可． 【详解】（1）解：列表如下： … 1 2 3 … … 4 3 2 0 … … 1 2 … （2）解：画出函数图象如图． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $